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Grundlagen und diskrete Strukturen

Aussagen

Aussagen sind Sätze die wahr oder falsch sind, d.h. der Wahrheitswert ist wahr oder falsch.

"5 ist prim" -> Aussage, wahr
"dieser Satz ist falsch" -> keine Aussage

Für keine natürliche Zahl n>3 ist die Gleichung x^n+y^n=z^n in positiven ganzen Zahl lösbar ~ Fermatsche Ex-Vermutung

Verknüpfungen von Aussagen

Seien p und q Aussagen, dass sind folgende Sätze auch Aussagen

• p \wedge q "und"
• p \vee q "oder"
• \neg p "nicht"
• p \rightarrow q "impliziert"
• p \leftrightarrow q "genau dann wenn"

Der Wahrheitswert dieser Verknüpfung ergibt sich aus den Wahrheitswerten p,q wie folgt

p	q	p\wedge q	p\vee q	\neg q	p\rightarrow q	p\leftrightarrow q
f	f	f	f	w	w	w
f	w	f	w	w	w	f
w	f	f	w	f	f	f
w	w	w	w	f	w	w

Aussagenlogische Variablen: Variable die den Wert w oder f annimmt

Aussagenlogische Formel: Verknüpfung aussagenloser Variablen nach obrigen Muster

Belegung: Zuordnung von w/f an jede Variable einer aussagenlogischer Formel

Wahrheitswerteverlauf: Wahrheitswert der Aussagenformel in Abhängigkeit von der Belegung der Variable

Tautologie: Formel deren Wahrheitswerteverlauf konstant w ist

Kontradiktion: Formel deren Wahrheitswerteverlauf konstant f ist

Kontraposition: (p\rightarrow q)\leftrightarrow (\neg q \rightarrow p) ist eine Tautologie Modus Potens: (p\vee (p\rightarrow q))\rightarrow q ist eine Tautologie

Äquivalenz: Zwei Formeln p,q sind äquivalent (bzw logisch äquivalent) wenn p\leftrightarrow Tautologie ist. Man schreibt p \equiv q

Die Formel p impliziert die Formel q, wenn p\rightarrow q eine Tautologie ist

Regeln

• p\wedge q \equiv q \wedge p (Kommutativ)
• p\vee q \equiv q \vee p (Kommutativ)
• p\wedge (q \wedge r) \equiv (p \wedge q) \wedge r (Assoziativ)
• p\vee ( q \vee r) \equiv (p \vee q) \vee (Assoziativ)
• p\wedge (q\vee r) \equiv (p\wedge q) \vee (p\wedge r) (Distributiv)
• p\vee (q\wedge r) \equiv (p\vee q) \wedge (p\vee r) (Distributiv)
• \neg(\neg q) \equiv q (Doppelte Verneinung)
• \neg(p\wedge q) \equiv (\neg p) \wedge (\neg q) (de Morgansche)

Aussagenform über den Universen U_1,...,U_n: Satz mit Variablen x_1,...,x_n der bei Ersetzung jedes x durch ein Objekt am U_j stets zu einer Aussage wird. Variablen können mehrfach auftreten, werden aber jeweils durch das gleiche Objekt (aus U_j) ersetzt.

• "x ist prim" ist eine Aussagenform über dem Universum \N der natürlichen Zahlen
• "$x<y$" ist eine Aussagenform über dem Universum \R der reellen Zahlen
• "x ist wahr" ist eine Aussagenform über dem Universum der Aussagen
• "x ist falsch" ist keine Aussagenform über dem Universum aller Sätze

Aussagenformen in einer Variable x aus dem Universum U heißen Prädikate von U. Aussagenformen in n Variablen x_1,...,x_n aus dem Universum U heißen "n-stellige Prädikate" von U. Nach Ersetzung von x im 2-stelligen Prädikat "$x<y$" etwa durch "17" entsteht das 1-stellige Prädikat "$17<y$".

Sei p(x) ein Prädikat über dem Universum U (z.B. p(x) ist "x ist prim")

• "$\forall x:p(x)$": ist die Aussage "für alle x aus U ist p(x) wahr"
• "$\exists x:p(x)$": ist die Aussage "es gibt ein x aus U für das p(x) wahr ist"

Leeres Universum U (U enthält keine Objekte)

• "$\forall x:p(x)$": ist wahr (für jedes Prädikat)
• "$\exists x:p(x)$": ist falsch (für jedes Prädikat)

Endliches Universum U, etwa aus Objekte a_1,...,a_n

• "$\forall x:p(x)$": bedeutet p(a_1)\wedge p(a_2) \wedge ... \wedge p(a_n) ist wahr/falsch
• "$\exists x:p(x)$": bedeutet p(a_1)\vee p(a_2) \vee .. \vee p(a_n) ist wahr/falsch

Regeln: Seien p,q Prädikate über U

• (\forall x: (p(x) \wedge q(x)))\leftrightarrow (\forall x: p(x) \wedge \forall x: q(x))
• \exists x: (p(x) \vee q(x)) \leftrightarrow (\exists x: p(x) \vee \exists x: q(x))
• \neg (\forall x:p(x))\leftrightarrow \exists x: \neg p(x)
• $\neg(\exists x:p(x))\leftrightarrow \forall x:\neg p(x)$ Schachtelung von Quantoren (\forall, \exists). Sei p(x,y) 2-stelliges Prädikat über$U_1, U_2$: \forall x: \exists y:p(x,y). Achtung: Verschiedenartige Quantoren dürfen nicht getauscht werden! gleichartige Quantoren dürfen getauscht werden

Negation: $\neg (\forall x \forall y \exists z \forall w \exists v: p(x,y,z)\rightarrow q(w,v)$ \exists x \exists y \forall z \exists w \forall v: \neg (p(x,y,z)\rightarrow q(w,v))

Mengen

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens. (Cantor) Von jedem Objekt steht fest, ob es zur Menge gehört oder nicht.

Bsp: {M,A,T,H,E,M,A,T,I,K} \approx {M,A,T,H,E,I,K}: Mengen der Buchstaben des Wortes Mathematik

Probleme der naiven Mathematik

Wunsch 1

"$x\in y$" soll Aussagenform über dem Universum U aller Mengen sein. D.h. für je zwei Mengen x und y ist entweder x ein Element von y oder nciht. D.h. "$x\in y$" ist ein 2-stelliges Prädikat über U.

Wunsch 2

Ist p(x) ein Prädikat über U, so soll es eine Menge geben, die aus genau denjenigen Mengen x besteht, für die p(x) wahr ist. Bezeichnung {x:p(x) ist wahr }. Danach gäbe es eine Menge M, die aus genau denjenigen Mengen x mit x\not \in x besteht: M={x:x\not \in x}. D.h. Wunsch 1 und 2 führen zu einem Widerspruch in der Mengenlehre!
Lösung: Aussonderung nur an bereits "gesicherten" Mengen\

Wunsch 2':

Ist A eine Menge und p(x) ein Prädikat über U, dann gilt es eine Menge B die aus genau denjenigen Mengen x aus A besteht, für die p(x) wahr ist. Bezeichnung: B={x\in A:p(x) wahr}. Folgerung: die Gesamtheit aller Mengen ist selbst keine Menge, sonst findet man einen Widerspruch wie oben.

Wunsch 3

Zwei Mengen x,y sind genau dann gleich wenn sie diesselben Elemente enthalten. D.h. x=y: \leftrightarrow \forall z:(z\in x \leftrightarrow z\in y). Somit gilt für zwei Prädikate p(x), q(x) über U und jede Menge A: {x\in A: p(x) wahr} = {x\in A: q(x) wahr} genau dann, wen q(x), p(x) den gleichen Wahrheitswert für jedes x aus A haben.

Wunsch 0

Es gibt eine Menge. Ist A irgendeine Menge, so ist {x \in A: \neg (x=x)} eine Menge ohne Elemente, die sogenannte leere Menge \varemtpy.

Wunsch 4

Zu jeder Menge A gibt es eine Menge B, die aus genau denjenigen Mengen besteht, die Teilmengen von A sind. Dabei ist x eine Teilmenge von $y: \leftrightarrow \forall z:(z\in x \rightarrow z \in y) [x \subseteq y]$
B={x:x\subseteq A}=\wp(A) B heißt Potentmenge von A
Bsp: \wp({1,2,3}) = {\varempty, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}) (Daraus lässt sich ein Hesse-Diagramm zeichnen).

Teilmengen

A Teilmenge von B $\leftrightarrow \forall x: (x\in A \rightarrow x \in B):\Rightarrow A\subseteq B$
A Obermenge von B $\leftrightarrow \forall x: (x\in B \rightarrow x \in A):\Rightarrow A\supseteq B$
Folglich $A=B \leftrightarrow A\subseteq B \wedge B\subseteq A$
Schnittmenge von A und B: $A\cap B = {x: x\in A \wedge x\in B}$
Vereinigungsmenge von A und B: A\cup B = {x: x\in A \vee x\in B}

Sei eine Menge (von Mengen) dann gibt es eine Menge die aus genau den Mengen besteht, die in jeder Menge von A enthalten sind (außer A=\varemtpy). Ebenso gibt es Mengen die aus genau den Mengen besteht, die in wenigstens einer Menge aus A liegen. Die Existenz dieser Menge wird axiomatisch gefordert in ZFC:$ UA = {x: \exists z \in A: x \in z}$\

Seien A,B Mengen, dann sei $A/B:={x\in A: x\not \in B } = A\bigtriangleup B$
De Moorgansche Regel: \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} und $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$
Das geordnete Paar (x,y) von Mengen x,y ist definiert durch ${{x},{x,y}}:={x,y}$
A und B Mengen: A x B:={(x,y):x\in A \wedge y \in B}

Relationen

A={Peter, Paul, Marry} und $B={C++, Basic, Lisp}: R\subseteq AxB, etwa {(Peter,c++),(Paul, C++), (Marry,Lisp)}. Seien A,B Mengen: Eine Relation von A nach B ist eine Teilmenge R von AxB.
(x,y)\in R: x steht in einer Relation R zu y; auch xRy
Ist A=B, so heißt R auch binäre Relation auf A

binäre Relation

1. Allrelation R:=AxA \subseteq AxA
2. Nullrelation R:=\varemtpy \subseteq AxA
3. Gleichheitsrelation $R:={(x,y)... x=y}
4. A=R R:={(x,y)\in \R x \R, x \leq y}
5. A=\Z R:={(x,y)\in \Z x \Z: x ist Teiler von y } kurz: x|y

Eigenschaften von Relationen

Sei R\in AxA binäre Relation auf A

1. Reflexiv \leftrightarrow xRx \forall x \in A
2. Symetrisch \leftrightarrow xRy \rightarrow yRx
3. Antisymetrisch \leftrightarrow xRy \wedge yRx \rightarrow x=y
4. Transitiv \leftrightarrow xRy \wedge yRz \rightarrow xRz
5. totale Relation \leftrightarrow xRy \vee yRx \forall x,y \in A

• R heißt Äquivalenzrelation \leftrightarrow R reflexiv, symetrisch und transitiv
• R heißt Ordnung \leftrightarrow R reflexiv, antisymetrisch und transitiv
• R heißt Totalordnung $leftrightarrow$ R Ordnung und total
• R heißt Quasiordnung \leftrightarrow R reflexiv und transitiv