--- title: Grundlagen und diskrete Strukturen --- # Aussagen Aussagen sind Sätze die wahr oder falsch sind, d.h. der Wahrheitswert ist wahr oder falsch. > "5 ist prim" -> Aussage, wahr \ > "dieser Satz ist falsch" -> keine Aussage Für keine natürliche Zahl n>3 ist die Gleichung x^n+y^n=z^n in positiven ganzen Zahl lösbar ~ Fermatsche Ex-Vermutung ## Verknüpfungen von Aussagen Seien p und q Aussagen, dass sind folgende Sätze auch Aussagen - $p \wedge q$ "und" - $p \vee q$ "oder" - $\neg p$ "nicht" - $p \rightarrow q$ "impliziert" - $p \leftrightarrow q$ "genau dann wenn" Der Wahrheitswert dieser Verknüpfung ergibt sich aus den Wahrheitswerten p,q wie folgt | p | q | $p\wedge q$ | $p\vee q$ | $\neg q$ | $p\rightarrow q$ | $p\leftrightarrow q$ | | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | | f | f | f | f | w | w | w | | f | w | f | w | w | w | f | | w | f | f | w | f | f | f | | w | w | w | w | f | w | w | Aussagenlogische Variablen: Variable die den Wert w oder f annimmt Aussagenlogische Formel: Verknüpfung aussagenloser Variablen nach obrigen Muster Belegung: Zuordnung von w/f an jede Variable einer aussagenlogischer Formel Wahrheitswerteverlauf: Wahrheitswert der Aussagenformel in Abhängigkeit von der Belegung der Variable Tautologie: Formel deren Wahrheitswerteverlauf konstant w ist Kontradiktion: Formel deren Wahrheitswerteverlauf konstant f ist Kontraposition: $(p\rightarrow q)\leftrightarrow (\neg q \rightarrow p)$ ist eine Tautologie Modus Potens: $(p\vee (p\rightarrow q))\rightarrow q$ ist eine Tautologie Äquivalenz: Zwei Formeln p,q sind äquivalent (bzw logisch äquivalent) wenn $p\leftrightarrow$ Tautologie ist. Man schreibt $p \equiv q$ Die Formel p impliziert die Formel q, wenn $p\rightarrow q$ eine Tautologie ist ## Regeln - $p\wedge q \equiv q \wedge p$ (Kommutativ) - $p\vee q \equiv q \vee p$ (Kommutativ) - $p\wedge (q \wedge r) \equiv (p \wedge q) \wedge r$ (Assoziativ) - $p\vee ( q \vee r) \equiv (p \vee q) \vee$ (Assoziativ) - $p\wedge (q\vee r) \equiv (p\wedge q) \vee (p\wedge r)$ (Distributiv) - $p\vee (q\wedge r) \equiv (p\vee q) \wedge (p\vee r)$ (Distributiv) - $\neg(\neg q) \equiv q$ (Doppelte Verneinung) - $\neg(p\wedge q) \equiv (\neg p) \wedge (\neg q)$ (de Morgansche) Aussagenform über den Universen $U_1,...,U_n$: Satz mit Variablen $x_1,...,x_n$ der bei Ersetzung jedes x durch ein Objekt am $U_j$ stets zu einer Aussage wird. Variablen können mehrfach auftreten, werden aber jeweils durch das gleiche Objekt (aus $U_j$) ersetzt. - "x ist prim" ist eine Aussagenform über dem Universum $\N$ der natürlichen Zahlen - "$x Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens. (Cantor) Von jedem Objekt steht fest, ob es zur Menge gehört oder nicht. Bsp: ${M,A,T,H,E,M,A,T,I,K} \approx {M,A,T,H,E,I,K}:$ Mengen der Buchstaben des Wortes Mathematik ## Probleme der naiven Mathematik ### Wunsch 1 "$x\in y$" soll Aussagenform über dem Universum U aller Mengen sein. D.h. für je zwei Mengen x und y ist entweder x ein Element von y oder nciht. D.h. "$x\in y$" ist ein 2-stelliges Prädikat über U. ### Wunsch 2 Ist p(x) ein Prädikat über U, so soll es eine Menge geben, die aus genau denjenigen Mengen x besteht, für die p(x) wahr ist. Bezeichnung ${x:p(x)$ ist wahr $}$. Danach gäbe es eine Menge M, die aus genau denjenigen Mengen x mit $x\not \in x$ besteht: $M={x:x\not \in x}$. D.h. Wunsch 1 und 2 führen zu einem Widerspruch in der Mengenlehre!\ Lösung: Aussonderung nur an bereits "gesicherten" Mengen\ #### Wunsch 2': Ist A eine Menge und p(x) ein Prädikat über U, dann gilt es eine Menge B die aus genau denjenigen Mengen x aus A besteht, für die p(x) wahr ist. Bezeichnung: $B={x\in A:p(x) wahr}$. Folgerung: die Gesamtheit aller Mengen ist selbst keine Menge, sonst findet man einen Widerspruch wie oben. ### Wunsch 3 Zwei Mengen x,y sind genau dann gleich wenn sie diesselben Elemente enthalten. D.h. $x=y: \leftrightarrow \forall z:(z\in x \leftrightarrow z\in y)$. Somit gilt für zwei Prädikate p(x), q(x) über U und jede Menge A: ${x\in A: p(x) wahr} = {x\in A: q(x) wahr}$ genau dann, wen q(x), p(x) den gleichen Wahrheitswert für jedes x aus A haben. ### Wunsch 0 Es gibt eine Menge. Ist A irgendeine Menge, so ist ${x \in A: \neg (x=x)}$ eine Menge ohne Elemente, die sogenannte leere Menge $\varemtpy$. ### Wunsch 4 Zu jeder Menge A gibt es eine Menge B, die aus genau denjenigen Mengen besteht, die Teilmengen von A sind. Dabei ist x eine Teilmenge von $y: \leftrightarrow \forall z:(z\in x \rightarrow z \in y) [x \subseteq y]$\ $B={x:x\subseteq A}=\wp(A)$ B heißt Potentmenge von A\ Bsp: $\wp({1,2,3}) = {\varempty, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3})$ (Daraus lässt sich ein Hesse-Diagramm zeichnen). ## Teilmengen A Teilmenge von B $\leftrightarrow \forall x: (x\in A \rightarrow x \in B):\Rightarrow A\subseteq B$\ A Obermenge von B $\leftrightarrow \forall x: (x\in B \rightarrow x \in A):\Rightarrow A\supseteq B$\ Folglich $A=B \leftrightarrow A\subseteq B \wedge B\subseteq A$\ Schnittmenge von A und B: $A\cap B = {x: x\in A \wedge x\in B}$\ Vereinigungsmenge von A und B: $A\cup B = {x: x\in A \vee x\in B}$ Sei eine Menge (von Mengen) dann gibt es eine Menge die aus genau den Mengen besteht, die in jeder Menge von A enthalten sind (außer $A=\varemtpy$). Ebenso gibt es Mengen die aus genau den Mengen besteht, die in wenigstens einer Menge aus A liegen. Die Existenz dieser Menge wird axiomatisch gefordert in ZFC:$ UA = {x: \exists z \in A: x \in z}$\ Seien A,B Mengen, dann sei $A/B:={x\in A: x\not \in B } = A\bigtriangleup B$\ De Moorgansche Regel: $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ und $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$\ Das geordnete Paar (x,y) von Mengen x,y ist definiert durch ${{x},{x,y}}:={x,y}$\ A und B Mengen: $A x B:={(x,y):x\in A \wedge y \in B}$ # Relationen $A={Peter, Paul, Marry}$ und $B={C++, Basic, Lisp}: $R\subseteq AxB$, etwa {(Peter,c++),(Paul, C++), (Marry,Lisp)}. Seien A,B Mengen: Eine Relation von A nach B ist eine Teilmenge R von AxB.\ $(x,y)\in R:$ x steht in einer Relation R zu y; auch xRy\ Ist A=B, so heißt R auch binäre Relation auf A ## binäre Relation 1. Allrelation $R:=AxA \subseteq AxA$ 2. Nullrelation $R:=\varemtpy \subseteq AxA$ 3. Gleichheitsrelation $R:={(x,y)... x=y} 4. $A=R$ $R:={(x,y)\in \R x \R, x \leq y}$ 5. $A=\Z$ $R:={(x,y)\in \Z x \Z:$ x ist Teiler von y $}$ kurz: x|y ## Eigenschaften von Relationen Sei $R\in AxA$ binäre Relation auf A 1. Reflexiv $\leftrightarrow$ xRx $\forall x \in A$ 2. Symetrisch $\leftrightarrow xRy \rightarrow yRx$ 3. Antisymetrisch $\leftrightarrow xRy \wedge yRx \rightarrow x=y$ 4. Transitiv $\leftrightarrow xRy \wedge yRz \rightarrow xRz$ 5. totale Relation $\leftrightarrow xRy \vee yRx \forall x,y \in A$ - R heißt Äquivalenzrelation $\leftrightarrow$ R reflexiv, symetrisch und transitiv - R heißt Ordnung $\leftrightarrow$ R reflexiv, antisymetrisch und transitiv - R heißt Totalordnung \$leftrightarrow$ R Ordnung und total - R heißt Quasiordnung $\leftrightarrow$ R reflexiv und transitiv