Informatik/Automaten, Sprachen und Komplexität.md

title	date	author
Automaten, Sprachen und Komplexität	Wintersemester 20/21	Robert Jeutter

Literaturempfehlung: Theoretische Informatik - kurz gefasst, Uwe Schöning, Spektrum Akademischer Weg

Einführung

Grundfrage

Welche Probleme können mit unseren begrenzten Resourcen gelöst werden und welche nicht?

bzw

Wo ist die grenze der Problemlösung mit unseren Resourcen?

Probleme (als Abbildung)

f: Menge der mögl Eingaben \rightarrow Menge der mögl Ausgaben

Spezialfall A={0,1} heißt Entscheidungsproblem. Sie ist gegeben durch die Menge der Eingaben.

Mengen nennt man "Sprachen"

(beschränkte) Resourcen

• Art des Speicherzugriffs
• Art der Steuereinheit (deterministisch?)
• Dauer der Berechnung
• Größe des Speichers

Grundbegriffe

Natürliche Zahlen \N = {0,1,2,3,...}

Definition: Für eine Menge X ist X* die Menge der endlichen Folgen über X.

Definition: Ein Alphabet ist eine endliche nichtleere Menge.

üblicherweise heißen Alphabete hier: $\sum, \Gamma, \Delta$ Ist \Sum Alphabet, so nennen wir die Elemente oft Buchstaben. Ist \Sum ein Alphabet, so heißen die Elemente von \Sum* auch Wörter über \Sum (auch String/Zeichenkette)

Beispiele:

• Alphabete:{0},{0,1,2},...{A,K,S,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, {groß,klein}
• keine Alphabete: \varempty, \N, \Q
• Das Alphabet{0,1,2}hat also die drei Buchstaben 0, 1 und 2.
• Das Alphabet{groß,klein}hat die zwei Buchstabengroßundklein
• (0),()und(1,2,0,0) sind also Wörter über dem Alphabet{0,1,2}.
• (groß),(klein,groß),(klein,groß,klein)und()sind Wörter überdem Alphabet{groß,klein}.
• (1,2,0,0) wird geschrieben als 1 2 0 0
• (1) wird geschrieben als1
• () wird geschrieben als \epsilon (dasleere Wort)
• (klein,groß,klein) wird geschrieben als klein.groß.klein

Definition: Sind u=(a_1, a_2, ...a_n) und v=(b_1, b_2,...,b_n) Wörter, so ist u*v das Wort (a_1,a_2,...a_n,b_1,b_2,...,b_n); es wird als Verkettung/Konkatenation von u und v bezeichnet.

An Stelle von u*v schreibt man auch uv

Beobachtung: \Sum* x \Sum* \rightarrow \Sum* ist eine Abbildung

• Assoziativ: u*(w*v)=(u*w)*v
• neutrales Element: \epsilon * u = u * \epsilon = u

Kürzer: (\Sum, *, \epsilon) ist ein Monoid

Definition: Für \omega \in \Sum* und n\in \N ist w^n induktiv definiert

w^n=\epsilon \text{ falls } n=0; \omega*\omega^{n-1} \text{ falls } n>0

Definition: Seien y,w Wörter über \Sum. Dann heißt

• Präfix/Anfangsstück von w, wenn es z\in\Sum* gibt mit yz=w
• Infix/Faktor von w, wenn es x,z \in \Sum* gibt mit xyz=w
• Suffix/Endstück von w, wenn es x\in \Sum* gibt mit xy=w

Definition: Sei \Sum ein Alphabet. Teilmengen von \Sum* werden formale Sprachen über \Sum genannt.

Definition: Eine Menge L ist eine formale Sprache wenn es ein Alphabet \Sum gibt, so dass L formale Sprache über \Sum ist (d.h. L\subseteq \Sum*)

Definition: Sind L_1 und L_2 Sprachen, so heißt die Sprache L_1 L_2={w | \exists w_1 \in L_1, w_2 \in L_2: w=w_1 w_2} die Konkatenation/Verkettung von L_1 und L_2.

Beispiele:

• ${0}{1}={0^i1^j | i,j>0}

• {0}\cup {1}{0,1}* ist die Menge der Binärzahlen

• Die Verkettung von Sprachen ist assoziativ

• es gibt ein neutrales Element \epsilon

• es gibt ein auslöschendes Element \varempty

Definition: Sei L Sprache und n\in\N. Dann ist L^n induktiv definiert: L^n = {\epsilon} \text{ falls } n=0; LL^{n-1} \text{ falls } n>0

Definition: Sei L eine Sprache. Dann ist L*=\bigcup_{n\geq 0} L^n der Kleene-Abschluss oder die Kleene-Iteration von L. Weiter ist L+ = \bigcup_{n\geq 0} L^n

L+ = L* L* = L* * L

Beobachtung: Sei \Sum Alphabet.

• Sind L_1 und L_2 Sprachen über \Sum, so auch die Verkettung L_1L_2, die Kleene-Iteration L_1*, die positive Iteration L_1+, die Vereinigung L_1\cup L_2, die Differenz L_1 \ L_2 und der Schnitt L_1 \cap L_2.
• \varempty, \Sum, \Sum* sind Sprachen über \Sum

Prioritätsregeln für Operationen auf Sprachen

• Potenz/Iteration binden stärker als Konkatenation
• Konkatenation stärker als Vereinigung/Durchschnitt/Differenz Sprechweise: "Klasse" von Sprachen ( nicht "Menge")