Robert Jeutter fece53c4b9 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

2020-12-08 08:47:44 +01:00

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Stochastik	Wintersemester 20/21	Wieerwill

Wahrscheinlichkeiten

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang.

Wahrscheinlichkeitsraum `(\Omega , P)`

Ergebnis-/Grundraum \Omega, Menge aller möglichen Elementarereignisse (Bsp: \Omega={heil, kaputt}^x)
- die Anzahl aller möglichen Ergebnisse heißt Mächtigkeit des Ergebnisraums |\Omega| (Bsp: |\Omega|=2)
- Endlicher Ergebnisraum: die Elemente können abgezählt und eine Obergrenze angegeben werden
- Abzählbar-unendlicher Ergebnisraum: die Elemente können abgezählt aber keine Obergrenze angegeben werden
- Überabzählbar-unendlicher Ergebnisraum: die Elemente können nicht abgezählt werden
Ergebnis/Ausgang \omega \in \Omega (Bsp: \omega=(heil, heil, heil, kaputt, heil...), \omega_1=(heil))
- ein Ergebnis, das genau ein Element enthält, heißt ELementarergebnis
Ereignis A \subseteq \Omega (Bsp: A={\omega: Anzahl kaputt = 2 })
- das Ereignis, das kein Element enthält, heißt unmögliches Ereignis (Bsp "Augenzahl größer 6" beim Würfelwurf)
- das Ereignis, das genau ein Element enthält, heißt Elementarereignis
- Ein Ereignis, das mehr als ein Element enthält, heißt zusammengesetztes Ereignis.
- das Ereignis, das alle Elemente von \Omega enthält, heißt sicheres Ereignis \Omega: P(\Omega)= 1
Wahrscheinlichkeitsmaß/Ereignisraum, die Menge aller Ereignisse, P(\Omega)
- setzt sich zusammen aus dem unmöglichen Ereignis, den Elementarereignissen, den mehrelementigen Teilmengen und dem sicheren Ereignis (Bsp P(\Omega)=\{\{\},\{heil\},\{kaputt\},\{heil, kaputt\} \})
- die Anzahl der möglichen Ereignisse heißt Mächigkeit des Ereignisraums |P(\Omega)|
- Der Ereignisraum besteht aus 2^{|\Omega|} Ereignissen
Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt: \Omega \supseteq A \rightarrow P(A) \in [0,1]
$\sigma$-Additivität: P(U_{k\in N} A_k)= \sum_{k\in N} P(A_k) für disjunkte A_k, k\in N

Ereignisalgebra

Vereinigung: A\cup B= \{\omega | \omega\in A \vee \omega\in B \}
- Bsp: A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, A\cup B=\{1,2,3\}
Durchschnitt: A\cap B = \{\omega | \omega\in A \wedge \omega\in B \}
- Bsp: A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, A\wedge B=\{2\}
Gegenereignis: \bar{A} = \{\omega | \omega\not\in A\}
- Bsp: A=\{1,2\}, \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}, \bar{A}=\{3,4,5,6\}
Differenz A \backslash B = A\cap\bar{B} = \{\omega| \omega\in A \wedge \omega\not\in B\}
- Bsp: A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, A\backslash B=\{1\}
Symmetrische Differenz (A\cap \bar{B})\cup(\bar{A}\cap B)
- die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B, nicht aber zu beiden Ereignissen gehören
- Bsp: A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, A\cup B=\{1,3\}
disjunkte Ereignisse A\cap B = \varnothing
- wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben (unvereinbar)

Rechengesetze

Kommutativ:
- A\cup B = B\cup A
- A\cap B = B\cap A
Assoziativ:
- (A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C)
- (A\cap B)\cap C = A\cap(B\cap C)
Distributiv:
- A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)
- A\cup(B\cap C)= (A\cup B)\cap (A\cup C)
Absorption
- A\cap(A\cup B)=A
- A\cup(A\cap B)=A
Idempotenz
- A\cap A=A
- A\cup A=A
De-Morgan-Gesetz
- \bar{A}\cap\bar{B}=\overline{A\cup B}
- \bar{A}\cup\bar{B}=\overline{A\cap B}
Neutrale Elemente
- A\cap \Omega=A
- A\cup \varnothing = A
Dominante Elemente
- A\cap \varnothing = \varnothing
- A\cup \Omega = \Omega
Komplemente
- A\cap \bar{A} = \varnothing
- A\cup \bar{A} = \Omega
- \bar{\bar{A}} = A

Vierfeldertafel

Alle vier Felder zusammen entsprechen dem Ergebnisraum \Omega

`\Omega`	`B`	`\bar{B}`
`A`	`A\cap B`	`A\cap \bar{B}`
`\bar{A}`	`\bar{A}\cap B`	`\bar{A}\cap\bar{B}`

Absolute Häufigkeit

Die absolute Häufigkeit H_n(E) gibt an, wie oft das Ereignis E innerhalb eines Zufallsexperiments, welches n-mal ausgeführt wird, aufgetreten ist.

Die Summe der absoluten Häufigkeiten ergibt n.

Bsp: Münze wird 20 mal geworfen. Man erhält 8 mal Kopf und 12 mal Zahl:

H_{20}(Kopf)=8
H_{20}(Zahl)=12

Relative Häufigkeit

Tritt ein Ereignis E bei n Versuchen $k$-mal ein, so heißt die Zahl h_n(E)=\frac{k}{n} relative Häufigkeit des Ereignisses E.

anders: h_n(E)=\frac{H_n(E)}{n}

Bsp: Münze wird 20 mal geworfen. Man erhält 8 mal Kopf und 12 mal Zahl:

h_{20}(Kopf)=\frac{8}{20}=0,4
h_{20}(Zahl)=\frac{12}{20}=0,6
die Relative Häufigkeit nimmt Werte zwischen 0 und 1 an
die relative Häufigkeit des sicheren Ereignisses ist 1 h_n(\Omega)=1
die relative Häufigkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0 h_n(\{\})=0
jedes Ereignis und sein Gegenereignis ergänzen sich zum Ergebnisraum \Omega, d.h. hn(\bar{E})=1-h_n(E)
h_n(A\cup B)= h_n(A)+h_n(B)-h_n(A\cap B)
H_n(E)=h_n(E)*n

Mehrstufige Zufallsexperimente

Baumdiagramm

Ein Baumdiagramm ist eine graphische Darstellung, welche die möglichen Ergebnisse eines bestimmten Ablaufs hierarchischer Entscheidungen zeigt.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1.

Die Pfadregeln dienen der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in einem mehrstufigen Zufallsexperiment.

(UND) Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades.
- Bsp: P(\{SS\})=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}
(ODER) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.
- Bsp: P(\{SW, WS\})=\frac{1}{2}*\frac{1}{3} + \frac{1}{3}*\frac{1}{2}

Kombinatorik

Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) von Objekten.

Permutation
- k=n (d.h. es werden alle Elemente k der Grundmenge n betrachtet)
- Reihenfolge der Elemente wird berücksichtigt
Variation
- k<n (d.h. es wird nur eine Stichprobe - also k Elemente der Grundmenge n betrachtet)
- Reihenfolge der Elemente wird berücksichtigt \rightarrow Variation = geordnete Stichprobe
Kombination
- k<n (d.h. es wird nur eine Stichprobe - also k Elemente der Grundmenge n betrachtet)
- Reihenfolge der Elemente wird nicht berücksichtigt \rightarrow Kombination = ungeordnete Stichprobe

Permutation ohne Wiederholung
- Für das erste Objekt gibt es n Platzierungsmöglichkeiten. Für das zweite Objekt verbleiben (n−1) Möglichkeiten, für das dritte Objekt (n−2) ... und für das letzte Objekt verbleibt nur noch eine Möglichkeit.
- kurz: n!
Permutation mit Wiederholung
- Sind genau k Objekte identisch, dann sind diese auf ihren Plätzen vertauschbar, ohne dass sich dabei eine neue Reihenfolge ergibt. Auf diese Weise sind genau k! Anordnungen gleich.
- kurz: \frac{n!}{k!} und mit mehreren Gruppen \frac{n!}{k_1! * k_2!...}
Variation ohne Wiederholung
- Für das erste Objekt gibt es n Platzierungsmöglichkeiten. Für das zweite Objekt verbleiben (n-1) Möglichkeiten, für das dritte Objekt (n-2) ...und für das letzte Objekt verbleiben noch (n-k+1) Möglichkeiten.
- kurz: \frac{n!}{(n-k)!}
Variation mit Wiederholung
- Für das erste Objekt gibt es n Auswahlmöglichkeiten. Da Objekte mehrfach ausgewählt werden dürfen, gibt es auch für das zweite, dritte und k-te Objekt n Möglichkeiten.
- n^k
Kombination ohne Wiederholung
- Der einzige Unterschied zwischen einer Variation ohne Wiederholung und einer Kombination ohne Wiederholung ist die Tatsache, dass bei der Kombination im - Gegensatz zur Variation - die Reihenfolge der Objekte keine Rolle spielt.
- kurz: \frac{n!}{(n-k)!*k!} = \binom{n}{k}
Kombination mit Wiederholung
- Durch eine kleine Modifikation des Zählers und des Nenners gelangen wir schließlich zur Formel für eine Kombination mit Wiederholung
- \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!*k!} = \binom{n+k-1}{k}

		Menge	Reihenfolge
Permutation ohne Wiederholung	`n!`	n aus n	beachtet
Permutation mit Wiederholung	`\frac{n!}{k_1!k_2!...}`	n aus n	beachtet
Variation ohne Wiederholung	`\frac{n!}{(n-k)!}`	k aus n	beachtet
Variation mit Wiederholung	`n^k`	k aus n	beachtet
Kombination ohne Wiederholung	`\binom{n}{k}`	k aus n	nicht beachtet
Kombination mit Wiederholung	`\binom{n+k-1}{k}`	k aus n	nicht beachtet

Laplace Expriment

Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}

\Omega sei endlich und P(\omega)=\frac{1}{\Omega} \rightarrow Laplace-Verteilung oder diskrete Gleichverteilung \rightarrow für A \subseteq \Omega: P(A)=\sum_{\omega \in A} P(\omega)=\frac{*A}{*\Omega}=\frac{\text{Anzahl "günstige" Ausgänge"}}{\text{Anzahl "alle" Ausgänge}}

Vorgehen: Laplace Wahrscheinlichkeit

Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen
Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen E eintritt
Laplace Wahrscheinlichkeit berechnen

Satz von de Moivre-Laplace: Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p sowie reelle Zahlen a und b gilt P(a\leq X \leq b)= \int_{a-0,5}^{b+0,5} \varphi_{\mu_i \delta} (x) dx_i wobei \mu = n*p und \delta?\sqrt{n*p*(1-p)} ist.

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst.

Bsp:

Ziehen mit Zurücklegen (unabhängig): Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A im 2. Zug ist unabhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis B oder \bar{B} eintritt. In beiden Fällen ist die Wahrscheinlichkeit gleich P(A).
Ziehen ohne Zurücklegen (anhängig): Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A im 2. Zug ist abhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis B oder \bar{B} eintritt: P_B(A) ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist. P_{\bar{B}}(A) ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass \bar{B} eingetreten ist.

Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig, wenn gilt: P(A \cap B)=P(A)*P(B). Wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, dann sind dies auch \bar{A} und B, A und \bar{B} sowie \bar{A} und \bar{B}.

Bei stochastischer Unabhängigkeit zweier Ereignisse hat jeder in die gleiche Richtung zeigende Ast in einem Baumdiagramm die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Bei stochastischer Unabhängigkeit zweier Ereignisse ist die Wahrscheinlichkeit eines Feldes in der Vierfeldertafel gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Zeile und der zugehörigen Spalte.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

P_B(A) ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist; häufig schreibt man auch P(A|B). die bedingte Wahrscheinlichkeit von "A gegeben B": P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

A,B \subseteq \Omega mit P(B)> 0; man beobachtet, dass B eintritt nachdem A eingetreten ist.

die totale Wahrscheinlichkeit: P(A)=\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)

Multiplikationssatz

Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades.

Bsp: P(A\cap B)= P(B)*P_B(A)

Totale Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse A und B: Bsp: P(A) = P(A\cap B) + P(A\cap \bar{B}) = P(B)*P_B(A)+P(\bar{B})*P_{\bar{B}}(A)

Satz von Bayes

Der Satz von Bayes erlaubt das Umkehren von Schlussfolgerungen: Man geht von einem bekannten Wert P_A(B) aus, mit dessen Hilfe man P_B(A) berechnet.

Um die Formel für die Berechnung von P_A(B) aus P_B(A) zu erhalten, müssen wir zwei Baumdiagramme mit unterschiedlichem Ablauf miteinander verknüpfen. Nach dem Multiplikationssatz gilt: P(A\cap B)=P(B)*P_B(A). Nach P_B(A) aufgelöst gilt P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}. Nach dem zweiten Multiplikationssatz gilt P(A\cap B)=P(A)*P_A(B). Einsetzten der Formel in die erste Abbildung: P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \Rightarrow P(A\cap B)=P(A)*P_A(B). daraus erhält man den Satz von Bayes P_B(A)=\frac{P(A)*P_A(B)}{P(B)}

Satz von Bayes: P_B(A)=\frac{P(A)*P_A(B)}{P(B)}=\frac{P(A)*P_A(B)}{P(A)*P_A(B)+P(\bar{A})*P_{\bar{A}}(B) }

Zufallsvariable

Eine Funktion X, die jedem Ergebnis \omega des Ergebnisraum \Omega genau eine Zahl x der Menge der reelen Zahlen \R zuordnet, heißt Zufallsvariable. Kurz X:\Omega\rightarrow\R Veranschaulicht: Eine Zufallsvariable ordnet jedem \omega_i aus \Omega genau ein x_i aus \R zu.

Es gibt drei Möglichkeiten, eine (diskrete) Zufallsvariable darzustellen:

als Wertetabelle
als abschnittsweise definierte Funktion
als Mengendiagramm

Diskrete Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable X wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt.

Bsp: X:=„Anzahl Würfe, bis zum ersten Mal 6 erscheint“ -> unendliche Wertemenge, die jedoch abzählbar ist
Bsp: X:=„Anzahl defekter Artikel in einer Stichprobe“ -> endliche Wertemenge

Diskrete Zufallsvariablen entstehen meist durch einen Zählvorgang.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen.

Erwartungswert :$\mu_x =E(X)=\sum_i x_i*P(X=x_i)$\ Varianz: $\omega^2_X = Var(X) = \sum_i(x_i-\mu_X)^2 *P(X=x_i)$\ Standardabweichung: \omega_X = \sqrt{Var(x)}

Stetige Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable X wird als stetig bezeichnet, wenn sie überabzählbar unendlich viele Werte annimmt.

Bsp: X:=„Gewicht einer zufällig ausgewählten Person“ -> unendliche Wertemenge, die nicht abzählbar ist
Bsp X:=„Geschwindigkeit eines an einer Radarkontrolle vorbeifahrenden Autos“ -> unendliche Wertemenge, die nicht abzählbar ist

Stetige Zufallsvariablen entstehen meist durch einen Messvorgang.

Erwartungswert: $\mu_X= E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x*f(x)dx$\ Varianz: $\omega_X^2 =Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu_X)^2 *f(x)dx$\ Standardabweichung: \omega_X= \sqrt{Var(X)}

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen.

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich entweder

durch die Verteilungsfunktion oder
die Wahrscheinlichkeitsfunktion (bei diskreten Zufallsvariablen)
bzw. die Dichtefunktion (bei stetigen Zufallsvariablen) vollständig beschreiben.

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine Funktion f, die jedem x einer Zufallsvariablen X genau ein p aus [0;1] zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion. Kurz: f:x\rightarrow p

P(X=x) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsgröße X den Wert x annimmt.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f der Zufallsvariablen X gibt die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Realisationen von X an: $f(x)=P(X=x)= \begin{cases} p_i \text{für } x=x_i (i=1,2,...,n) \ 0 \text{sonst} \end{cases}$ Für die Summe der Wahrscheinlichkeiten gilt \sum_{i=1}^n p_i=1

Dichtefunktion

Die Dichtefunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.\ Eigenschaften der Dichtefunktion

Die Dichtefunktion kann nur positive Werte annehmen. f(x) \geq 0 für alle x\in\R
Die Fläche unter der Dichtefunktion hat den Inhalt 1. \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx= 1

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable X einen bestimmten Wert x annimmt, ist stets Null. P(X=x)=0

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer diskreten oder stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Diskrete Verteilungsfunktionen

P(X\leq a)=F(a)
P(X<a)= F(a)−P(X=a)
P(X>a)= 1−F(a)
P(X\geq a)=1−F(a)+P(X=a)
P(a<X\leq b)=F(b)−F(a)
P(a\leq X \leq b)=F(b)−F(a)+P(X=a)
P(a<X<b) = F(b)−F(a)−P(X=b)
P(a\leq X < b)=F(b)−F(a)+P(X=a)−P(X=b)

Eigenschaften einer Verteilungsfunktion

F(x) ist monoton steigend.
F(x) ist rechtsseitig stetig.
lim_{x\rightarrow -\infty} F(x)=0 und lim_{x\rightarrow +\infty} F(x)=1

Stetige Verteilungsfunktion

F(X)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x} f(u) du

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable X einen bestimmten Wert x annimmt, ist stets Null.

P(X=x)=0
P(X\leq a)=F(a)
P(a<X\leq b)=F(b)−F(a)
P(X>a)=1−F(a)

Normalverteilung Stetige Gleichverteilung Exponentialverteilung

Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Poisson-Verteilung

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