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WieErWill 2022-02-14 10:40:17 +01:00
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Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.pdf
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67
Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.tex
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@ -125,7 +125,7 @@
\part Die von einem NFA $M=(Z,\sum,S,\delta, E)$ akzeptierte Sprache ist $L(M)=...$ (ohne Definition der Mehr-Schritt Übergangsfunktion $\delta$)
\begin{solution}
$L(M)={w\in \sum^* | \hat{\delta}(S,w)\cap E \not = \emptyset}$
$L(M)=\{w\in \sum^* | \hat{\delta}(S,w)\cap E \not = \emptyset\}$
(Das Wort wird akzeptiert wenn es mindestens einen Pfad vom Anfangs in den Endzustand gibt)
\end{solution}
@ -157,12 +157,14 @@
\end{enumerate}
\end{solution}
\part Die Klasse der regulären Sprachen ist unter anderem abgeschlossen unter folgenden drei Operationen:
\part Die Klasse der regulären Sprachen ist unter anderem abgeschlossen unter folgenden Operationen:
\begin{solution}
\begin{itemize}
\item Vereinigung $L=L_0\cup L_1$
\item Verkettung $L=L_0L_1$
\item Abschluss $L=L_0^*$
\item Vereinigung $(L_1,L_2\text{ regulär } \Rightarrow L_1\cup L_2\text{ regulär })$
\item Schnitt $(L_1,L_2\text{ regulär } \Rightarrow L_1\cap L_2\text{ regulär })$
\item Komplement $(L\text{ regulär } \Rightarrow \sum^*\backslash L\text{ regulär })$
\item Produkt/Konkatenation $(L_1, L_2\text{ regulär } \Rightarrow L_1 L_2\text{ regulär })$
\item Abschluss/Stern-Operation $(L\text{ regulär } \rightarrow L^*\text{ regulär })$
\end{itemize}
\end{solution}
@ -180,30 +182,18 @@
\begin{solution}
Abgeschlossen unter
\begin{itemize}
\item Vereinigung $(L_1,L_2\ regulär \Rightarrow L_1\cup L_2\ regulär)$
\item Produkt/Konkatenation $(L_1, L_2\ regulär \Rightarrow L_1 L_2\ regulär)$
\item Stern-Operation $(L\ regulär \rightarrow L^*\ regulär)$
\item Vereinigung $(L_1,L_2 \Rightarrow L_1\cup L_2)$
\item Produkt/Konkatenation $(L_1, L_2 \Rightarrow L_1 L_2)$
\item Stern-Operation $(L \rightarrow L^*)$
\end{itemize}
Nicht abgschlossen unter
\begin{itemize}
\item Schnitt $(L_1,L_2\ regulär \Rightarrow L_1\cap L_2\ regulär)$
\item Komplement $(L\ regulär \Rightarrow \sum^*\backslash L\ regulär)$
\item Schnitt $(L_1,L_2 \Rightarrow L_1\cap L_2)$
\item Komplement $(L \Rightarrow \sum^*\backslash L)$
\item es gibt kontextfreie Sprachen, die nicht deterministisch kontextfrei sind
\end{itemize}
\end{solution}
\part Die Klasse der regulären Sprachen ist abgeschlossen unter ...
\begin{solution}
\begin{itemize}
\item Vereinigung $(L_1,L_2\ regulär \Rightarrow L_1\cup L_2\ regulär)$
\item Schnitt $(L_1,L_2\ regulär \Rightarrow L_1\cap L_2\ regulär)$
\item Komplement $(L\ regulär \Rightarrow \sum^*\backslash L\ regulär)$
\item Produkt/Konkatenation $(L_1, L_2\ regulär \Rightarrow L_1 L_2\ regulär)$
\item Stern-Operation $(L\ regulär \rightarrow L^*\ regulär)$
\end{itemize}
\end{solution}
\part Der Satz von Myhill-Nerode besagt,...
\begin{solution}
Sei L eine Sprache. L ist regulär $\Leftrightarrow index(R_L)< \infty$
@ -357,7 +347,7 @@
\begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto]
\node (q0) [state, accepting, initial, initial text = {}] {0};
\node (q3) [state, accepting, below right = of q0] {3};
\node (q124) [state, below left = of q0] {124};
\node (q124) [state, below left = of q0] {1,2,4};
\path [-stealth, thick]
(q0) edge node {a} (q3)
@ -692,6 +682,12 @@
\part Sei $f:N^k\rightarrow\mathbb{N}$ eine Funktion für ein $k\in\mathbb{N}$. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1) $f$ ist Turing-berechenbar, 2)..., 3)..., 4)...
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item $f$ ist Turing berechenbar
\item $f$ ist $\mu$ rekursiv
\item $f$ ist rekursiv aufzählbar
\item $f$ ist von Menschen berechenbar
\end{enumerate}
\end{solution}
\part Sei $L\subseteq \sum^*$ eine Sprache. Sind $L$ und $\sum^*\backslash L$ semi-entscheidbar, dann...
@ -757,13 +753,13 @@
$z_2$ zurück zum Anfang bei $a_n=0$: $\delta(z_2,0)=(z_2,0,L), \delta(z_2,1)=(z_2,1,L), \delta(z_2,\Box)=(z_4,\Box,R)$
$z_3$ zurück zum Anfang bei $a_n=1$: $\delta(z_2,0)=(z_2,0,L), \delta(z_2,1)=(z_2,1,L), \delta(z_2,\Box)=(z_5,\Box,N)$
$z_3$ zurück zum Anfang bei $a_n=1$: $\delta(z_3,0)=(z_3,0,L), \delta(z_3,1)=(z_3,1,L), \delta(z_3,\Box)=(z_5,\Box,N)$
$z_4$ $a_n=0$ an Anfang schreiben: $\delta(z_4,\Box)=(z_e,0,N)$
$z_5$ $a_n=1$ an Anfang schreiben: $\delta(z_4,\Box)=(z_e,1,N)$
$z_5$ $a_n=1$ an Anfang schreiben: $\delta(z_5,\Box)=(z_e,1,N)$
$z_e$ Endzustand: $\delta(z_e, 0)=(z_e,0,N), \delta(z_e,1)=(z_e,1,N), \delta(z_e,\Box)?(z_e,\Box,N)$
$z_e$ Endzustand: $\delta(z_e, 0)=(z_e,0,N), \delta(z_e,1)=(z_e,1,N), \delta(z_e,\Box)=(z_e,\Box,N)$
\end{solution}
\end{parts}
@ -811,7 +807,7 @@
\part NP, P, EXPTIME, NEXPTIME, PSPACE, NPSPACE, NEXPSPACE, EXPSPACE
\begin{solution}
$P\leq NP \leq PSPACE = NPSPACE \leq EXPTIME \leq NEXPTIME \leq EXPSPACE = NEXPSPACE $
$P\leq NP \leq PSPACE, NPSPACE \leq EXPTIME \leq NEXPTIME \leq EXPSPACE, NEXPSPACE $
\end{solution}
\end{parts}
@ -820,22 +816,21 @@
\part Gebe entscheidbare Probleme an (als Menge oder als Eingabe-Frage-Paar)
\begin{solution}
\begin{itemize}
\item Wortproblem: Gilt $w\in L(M)$ für eine gegebene reguläre Sprache $L$ und $w\in\sum^*$
\item Leerheitsproblem: Gilt $L(M)=\varnothing$ für eine gegebene reguläre Sprache $L$
\item Endlichkeitsproblem: Ist eine gegebene reguläre Sprache endlich?
\item Schnittproblem: Gilt $L_1\cap L_2 =\varnothing$ für gegebene reguläre $L_1,L_2$?
\item Inklusionsproblem: Gilt $L_1\subseteq L_2$ für gegebene reguläre $L_1,L_2$?
\item Äquivalenzproblem: Gilt $L_1=L_2$ für gegebene reguläre $L_1,L_2$?
\item Wortproblem: Gilt $w\in L(M)$ für eine gegebene Sprache $L$ und $w\in\sum^*$
\item Leerheitsproblem: Gilt $L(M)=\varnothing$ für eine gegebene Sprache $L$
\item Endlichkeitsproblem: Ist eine gegebene Sprache endlich?
\item Schnittproblem: Gilt $L_1\cap L_2 =\varnothing$ für gegebene $L_1,L_2$?
\item Inklusionsproblem: Gilt $L_1\subseteq L_2$ für gegebene $L_1,L_2$?
\item Äquivalenzproblem: Gilt $L_1=L_2$ für gegebene $L_1,L_2$?
\end{itemize}
\end{solution}
\part Gebe unterscheidbare Probleme an (als Menge oder als Eingabe-Frage-Paar)
\part Gebe unentscheidbare Probleme an (als Menge oder als Eingabe-Frage-Paar)
\begin{solution}
\begin{itemize}
\item allgemeine Halteproblem: Das Halteproblem ist die Menge aller Paare $(M, x)$, wobei $M$ eine TM ist und $x\in\{0,1\}^*$, so dass $M$ bei Eingabe von $x$ hält. $H=\{ w\# w \mid w\in L_{TM}, x\in\{0,1\}^*, M_w \text{ angesetzt auf x hält} \}$
\item spezielle Halteproblem: $K=\{w\in L_{TM}\mid M_w \text{ angesetzt auf w hält}\}$
\item Halteproblem auf leerem Band: $H_0=\{w\in L_{TM} \mid M_w\text{ hält angesetzt auf ein leeres Band}\}$
\item allgemeine Wortproblem: $A=\{(G,w) | \text{ G ist Grammatik mit } w\in L(G)\}$
\item Posts Korrespondenzproblem: PCP ist die Menge der Korrespondenzsysteme (endliche Folge von Paaren), die eine Lösung besitzen
\item Schnittproblem: $\{(G_1, G_2) \mid G_1,G_2\text{ kontextfreie Grammatiken }, L(G_1)\cap L(G_2)=\varnothing\}$
\item Regularitätsproblem für PDA: $Reg_{PDA}=\{P\mid P\ PDA\text{ mit } L(P) \text{ regulär}\}$
@ -888,7 +883,7 @@
Travelling Salesman Problem
\begin{itemize}
\item eine $n\times n$-Matrix $M=(M_{i,j})$ von Entfernungen zwischen $n$ Städten und eine Zahl $d$.
\item Eingabe: eine $n\times n$-Matrix $M=(M_{i,j})$ von Entfernungen zwischen $n$ Städten und eine Zahl $d$.
\item FRAGE: Gibt es eine Tour durch alle Städte, die maximal die Länge $d$ hat?
\end{itemize}