zusätzliche Fragen mit Lösungen
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2e9de37bc4
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1fb0c3c076
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@ -22,7 +22,7 @@
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\usepackage{bussproofs}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{automata, arrows.meta, positioning}
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%\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent}
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\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Antwort}: }
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\SolutionEmphasis{\small}
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\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm}
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@ -168,22 +168,47 @@
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\part Sei $\sum$ ein Alphabet. Die Anzahl der Grammatiken über $\sum$ ist ... und die Anzahl der Sprachen über $\sum$ ist ... .
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\begin{solution}
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Für jedes Alphabet ist die Menge der Grammatiken abzählbar unendlich und die Anzahl der Sprachen überabzählbar.
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\end{solution}
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\part Unter anderem sind folgende (mind. drei) Probleme für kontextfreie Sprachen entscheidbar:
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\begin{solution}
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Wortproblem, Leerheitsproblem, Äquivalenzproblem
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\end{solution}
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\part Die Klasse der Kontextfreien Sprachen ist abgeschlossen unter den Operationen 1)... und 2)... . Sie ist aber nicht abgeschlossen unter 3)... und 4)... .
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\begin{solution}
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Abgeschlossen unter
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\begin{itemize}
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\item Vereinigung $(L_1,L_2\ regulär \Rightarrow L_1\cup L_2\ regulär)$
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\item Produkt/Konkatenation $(L_1, L_2\ regulär \Rightarrow L_1 L_2\ regulär)$
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\item Stern-Operation $(L\ regulär \rightarrow L^*\ regulär)$
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\end{itemize}
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Nicht abgschlossen unter
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\begin{itemize}
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\item Schnitt $(L_1,L_2\ regulär \Rightarrow L_1\cap L_2\ regulär)$
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\item Komplement $(L\ regulär \Rightarrow \sum^*\backslash L\ regulär)$
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\item es gibt kontextfreie Sprachen, die nicht deterministisch kontextfrei sind
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\end{itemize}
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\end{solution}
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\part Die Klasse der regulären Sprachen ist abgeschlossen unter ...
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\begin{solution}
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\begin{itemize}
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\item Vereinigung $(L_1,L_2\ regulär \Rightarrow L_1\cup L_2\ regulär)$
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\item Schnitt $(L_1,L_2\ regulär \Rightarrow L_1\cap L_2\ regulär)$
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\item Komplement $(L\ regulär \Rightarrow \sum^*\backslash L\ regulär)$
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||||
\item Produkt/Konkatenation $(L_1, L_2\ regulär \Rightarrow L_1 L_2\ regulär)$
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||||
\item Stern-Operation $(L\ regulär \rightarrow L^*\ regulär)$
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\end{itemize}
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\end{solution}
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\part Der Satz von Myhill-Nerode besagt,...
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\begin{solution}
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Sei L eine Sprache. L ist regulär $\leftrightarrow index(R_L)< \infty$ (d.h. nur wenn die Myhill-Nerode-Äquivalenz endliche Klassen hat).
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Sei L eine Sprache. L ist regulär $\Leftrightarrow index(R_L)< \infty$
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(d.h. nur wenn die Myhill-Nerode-Äquivalenz endliche Klassen hat).
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\end{solution}
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\part Das Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen ...
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@ -292,6 +317,57 @@
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\end{center}
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\end{solution}
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\part Betrachte den folgenden DFA X. Berechne den minimalen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto]
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\node (q0) [state, accepting, initial, initial text = {}] {0};
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\node (q1) [state, below right = of q0] {1};
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\node (q2) [state, below left = of q0] {2};
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\node (q3) [state, accepting, above right = of q0] {3};
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\node (q4) [state, above left = of q0] {4};
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\path [-stealth, thick]
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(q0) edge node {a} (q3)
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(q0) edge [bend left] node {b} (q2)
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(q1) edge node {a,b} (q0)
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(q2) edge [bend left] node {a,b} (q0)
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(q3) edge node {a} (q4)
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(q3) edge node {b} (q1)
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(q4) edge node {a,b} (q0);
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Stelle eine Tabelle aller ungeordneten Zustandspaare $\{z, z'\}$ mit $z\not = z'$ auf.
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\item Markiere * alle Paare $\{z, z'\}$ mit $z\in E$ und $z'\not\in E$.
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\item Markiere (*) ein beliebiges unmarkiertes Paar $\{z, z'\}$, für das es ein $a\in\sum$ gibt, so dass $\{\delta(z,a),\delta(z',a)\}$ bereits markiert ist (falls dies möglich ist).
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\item Wiederhole den vorherigen Schritt, bis sich keine Änderung in der Tabelle mehr ergibt.
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||||
\item Unmarkierte Paare werden verschmolzen
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\end{enumerate}
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
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1 & * \\
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2 & * & \\
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3 & (*) & (*) & (*) \\
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4 & * & & * & * \\\hline
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& 0 & 1 & 2 & 3
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\end{tabular}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto]
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\node (q0) [state, accepting, initial, initial text = {}] {0};
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\node (q3) [state, accepting, below right = of q0] {3};
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\node (q124) [state, below left = of q0] {124};
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\path [-stealth, thick]
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(q0) edge node {a} (q3)
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(q0) edge [bend left] node {b} (q124)
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||||
(q3) edge node {a,b} (q124)
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||||
(q124) edge [bend left] node {a,b} (q0);
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\end{tikzpicture}
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||||
\end{center}
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||||
\end{solution}
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\part Betrachte den folgenden DFA X. Berechne den minimalen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto]
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@ -317,22 +393,34 @@
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{solution}
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* erster Schritt: Paare mit mind. einem Endzustand markieren,
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(*) zweiter Schritt: leere Paare die in Endzustandspaar überführen markieren,
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dritter Schritt: unmarkierte Paare verschmelzen
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
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2 & * \\
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3 & * & * \\
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4 & (*) & * & * \\
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5 & * & * & * & * \\
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6 & (*) & * & * & (*) & * \\\hline
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& 1 & 2 & 3 & 4 & 5
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2 & * \\
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3 & * & \\
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||||
4 & (*) & * & * \\
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||||
5 & * & (*) & (*) & * \\
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||||
6 & (*) & * & * & & * \\\hline
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& 1 & 2 & 3 & 4 & 5
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||||
\end{tabular}
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Keine unmarkierten Paare $\rightarrow$ nicht minimierbar bzw schon minimal
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\end{solution}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto]
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||||
\node (q1) [state, initial, initial text = {}] {1};
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||||
\node (q23) [state, accepting, right = of q1] {2,3};
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||||
\node (q46) [state, below = of q1] {4,6};
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||||
\node (q5) [state, accepting, right = of q4] {5};
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\path [-stealth, thick]
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||||
(q1) edge node {b} (q23)
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||||
(q1) edge node {a} (q46)
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||||
(q23) edge [loop right] node {a}()
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||||
(q23) edge node {b} (q5)
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||||
(q46) edge node {a} (q23)
|
||||
(q46) edge [loop left] node {b}()
|
||||
(q5) edge node {a,b} (q46);
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{center}
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||||
\end{solution}
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\part Betrachte den folgenden DFA X. Berechne den minimalen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$.
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\begin{center}
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@ -361,13 +449,30 @@
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\end{center}
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\begin{solution}
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
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2 & * \\
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||||
3 & * & * \\
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4 & * & * & \\
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||||
5 & * & * & (*) & * \\
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6 & * & * & * & * & * \\\hline
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& 1 & 2 & 3 & 4 & 5
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||||
2 & \\
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||||
3 & * & * \\
|
||||
4 & (*) & (*) & * \\
|
||||
5 & * & * & & * \\
|
||||
6 & (*) & (*) & * & & * \\\hline
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||||
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5
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||||
\end{tabular}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto]
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\node (q12) [state, accepting, initial, initial text = {}] {1,2};
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\node (q35) [state, below right = of q12] {3,5};
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||||
\node (q46) [state, accepting, above right = of q12] {4,6};
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||||
\path [-stealth, thick]
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||||
(q12) edge node {a} (q35)
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(q12) edge [loop above] node {b}()
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(q35) edge [loop right] node {a} ()
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(q35) edge [bend right] node {b} (q46)
|
||||
(q46) edge [bend left] node {a} (q12)
|
||||
(q46) edge node {b} (q35);
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{center}
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||||
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||||
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\end{solution}
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||||
\end{parts}
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@ -523,12 +628,12 @@
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\part Eine Turingmaschine ist ein 7-Tupel $M=(Z,\sum,\Gamma,\delta,z_0,\Box, E)$, wobei...
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\begin{solution}
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\begin{itemize}
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||||
\item 7-Tupel $M=(Z,\sum, \Phi, \delta, z_o, \Box, E)$
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||||
\item 7-Tupel $M=(Z,\sum, \Gamma, \delta, z_o, \Box, E)$
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||||
\item $\sum$ das Eingabealphabet
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||||
\item $\Phi$ mit $\Phi\supseteq\sum$ und $\Phi\cap Z\not= 0$ das Arbeits- oder Bandalphabet,
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||||
\item $\Gamma$ mit $\Gamma\supseteq\sum$ und $\Gamma\cap Z\not= 0$ das Arbeits- oder Bandalphabet,
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||||
\item $z_0\in Z$ der Startzustand,
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||||
\item $\delta:Z\times\Phi\rightarrow(Z\times\Phi\times\{L,N,R\})$ die Überführungsfunktion
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||||
\item $\Box\in\Phi/\sum$ das Leerzeichen oder Blank und
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||||
\item $\delta:Z\times\Gamma\rightarrow(Z\times\Gamma\times\{L,N,R\})$ die Überführungsfunktion
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||||
\item $\Box\in\Gamma/\sum$ das Leerzeichen oder Blank und
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\item $E\subseteq Z$ die Menge der Endzustände ist
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\end{itemize}
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\end{solution}
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@ -538,6 +643,16 @@
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$L(M)=\{ w\in\sum^* | \text{es gibt akzeptierte Haltekonfiguration mit } z_0w\Box\vdash_M^* k\}$.
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\end{solution}
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||||
\part Gödels Vermutung lautet,...
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\begin{solution}
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Eine partielle Funktion $\mathbb{N}^k \rightarrow \mathbb{N}$ ist genau dann intuitiv berechenbar, wenn sie $\mu$-rekursiv ist.
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\end{solution}
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\part Wann ist eine Sprache semi-entscheidbar?
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\begin{solution}
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Eine Sprache ist genau dann semi-entscheidbar, wenn sie von einer nichtdeterministischen Turingmaschine akzeptiert wird.
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\end{solution}
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\part Seien $A\subseteq \sum^*$ und B$\subseteq \Gamma^*$. Eine Reduktion von A auf B ist ...
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\begin{solution}
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Eine Reduktion von A auf B ist eine totale und berechenbare Funktion $f:\sum^*\rightarrow\Gamma^*$, so dass für alle $w\in\sum^*$ gilt: $w\in A\leftrightarrow f(x)\in B$. A heißt auf B reduzierbar (in Zeichen $A\leq B$), falls es eine Reduktion von A auf B gibt.
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@ -571,7 +686,7 @@
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eine Turingmaschine M' die diesselbe Funktion löst
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\begin{itemize}
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\item Simulation mittels Einband-Turingmaschine durch Erweiterung des Alphabets: Wir fassen die übereinanderliegenden Bandeinträge zu einem Feld zusammen und markieren die Kopfpositionen auf jedem Band durch $\ast$.
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\item Alphabetsymbol der Form $(a,\ast,b,\diamond,c,\ast,...)\in(\Phi\times\{\ast,\diamond\})^k$ bedeutet: 1. und 3. Kopf anwesend ($\ast$ Kopf anwesend, $\diamond$ Kopf nicht anwesend)
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||||
\item Alphabetsymbol der Form $(a,\ast,b,\diamond,c,\ast,...)\in(\Gamma\times\{\ast,\diamond\})^k$ bedeutet: 1. und 3. Kopf anwesend ($\ast$ Kopf anwesend, $\diamond$ Kopf nicht anwesend)
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{solution}
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||||
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@ -635,7 +750,7 @@
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\part Gebe eine deterministische Turingmaschine $M$ für das Eingabealphabet $\{0,1\}$ an, das folgende Funktion berechnet: Für Eingabe $a_1a_2...a_{n-1}a_n$ berechnet M die Ausgabe $a_na_1...a_{n-1}$ (letzte Symbol der Eingabe an erste Stelle).
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\begin{solution}
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$\sum=\{0,1\}$
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$z_0$ Zahlenende finden: $\delta(z_0,0)=(z_0,0,R), \delta(z_0,1)=(z_0,1,R), \delta(z_0,\Box)=(z_1,\Box,L)$
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||||
$z_1$ letzte Zahl löschen: $\delta(z_1,0)=(z_2,\Box,L), \delta(z_1,1)=(z_3,\Box,L), \delta(z_1,\Box)=(z_2,\Box,N)$
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||||
@ -682,32 +797,103 @@
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||||
\end{solution}
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||||
\end{parts}
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||||
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\question Unentscheidbare Probleme: Gebe (mind vier) unterscheidbare Probleme an (als Menge oder als Eingabe-Frage-Paar).
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||||
\begin{solution}
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das spezielle Halteproblem
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\question Komplexitätsklassen. Bringe in die richtige Reihenfolge:
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\begin{parts}
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||||
\part EXPSPACE, PSPACE, 2EXPTIME, EXPTIME, P
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||||
\begin{solution}
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||||
$P \subseteq PSPACE\subseteq EXPTIME\subseteq EXPSPACE\subseteq 2EXPTIME$
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\end{solution}
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||||
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||||
das allgemeine Halteproblem
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||||
\part PSPACE, EXPSPACE,2EXPSPACE, NEXPTIME, 2NEXPTIME, NP
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||||
\begin{solution}
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||||
$NP \subseteq PSPACE, NEXPTIME \subseteq EXPSPACE, 2NEXPTIME \subseteq 2EXPSPACE$
|
||||
\end{solution}
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||||
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||||
das Halteproblem auf leerem Band
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||||
\part NP, P, EXPTIME, NEXPTIME, PSPACE, NPSPACE, NEXPSPACE, EXPSPACE
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||||
\begin{solution}
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||||
$P\leq NP \leq PSPACE = NPSPACE \leq EXPTIME \leq NEXPTIME \leq EXPSPACE = NEXPSPACE $
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||||
\end{solution}
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||||
\end{parts}
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||||
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||||
das allgemeine Wortproblem $A=\{(G,w) | \text{ G ist Grammatik mit } w\in L(G)\}$
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||||
\question Unentscheidbare Probleme:
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||||
\begin{parts}
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||||
\part Gebe entscheidbare Probleme an (als Menge oder als Eingabe-Frage-Paar)
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||||
\begin{solution}
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Wortproblem: Gilt $w\in L(M)$ für eine gegebene reguläre Sprache $L$ und $w\in\sum^*$
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||||
\item Leerheitsproblem: Gilt $L(M)=\varnothing$ für eine gegebene reguläre Sprache $L$
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||||
\item Endlichkeitsproblem: Ist eine gegebene reguläre Sprache endlich?
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||||
\item Schnittproblem: Gilt $L_1\cap L_2 =\varnothing$ für gegebene reguläre $L_1,L_2$?
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||||
\item Inklusionsproblem: Gilt $L_1\subseteq L_2$ für gegebene reguläre $L_1,L_2$?
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||||
\item Äquivalenzproblem: Gilt $L_1=L_2$ für gegebene reguläre $L_1,L_2$?
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||||
\end{itemize}
|
||||
\end{solution}
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||||
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||||
Posts Korrespondenzproblem
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||||
\part Gebe unterscheidbare Probleme an (als Menge oder als Eingabe-Frage-Paar)
|
||||
\begin{solution}
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item allgemeine Halteproblem: Das Halteproblem ist die Menge aller Paare $(M, x)$, wobei $M$ eine TM ist und $x\in\{0,1\}^*$, so dass $M$ bei Eingabe von $x$ hält. $H=\{ w\# w \mid w\in L_{TM}, x\in\{0,1\}^*, M_w \text{ angesetzt auf x hält} \}$
|
||||
\item spezielle Halteproblem: $K=\{w\in L_{TM}\mid M_w \text{ angesetzt auf w hält}\}$
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||||
\item Halteproblem auf leerem Band: $H_0=\{w\in L_{TM} \mid M_w\text{ hält angesetzt auf ein leeres Band}\}$
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||||
\item allgemeine Wortproblem: $A=\{(G,w) | \text{ G ist Grammatik mit } w\in L(G)\}$
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||||
\item Posts Korrespondenzproblem: PCP ist die Menge der Korrespondenzsysteme (endliche Folge von Paaren), die eine Lösung besitzen
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||||
\item Schnittproblem: $\{(G_1, G_2) \mid G_1,G_2\text{ kontextfreie Grammatiken }, L(G_1)\cap L(G_2)=\varnothing\}$
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||||
\item Regularitätsproblem für PDA: $Reg_{PDA}=\{P\mid P\ PDA\text{ mit } L(P) \text{ regulär}\}$
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||||
\item Inklusionsproblem DPDA: $\{(P_1, P_2) \mid P_1, P_2 \text{ DPDAs mit } L(P_1)\subseteq L(P_2)$
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||||
\item Universalitätsproblem: $\{P\ PDA \mid L(P)=\sum^*\}$
|
||||
\item Äquivalenzproblem PDA: $\{(P_1, P_2) \mid P_1,P_2 \text{ PDAs mit } L(P_1) = L(P_2)$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
das Schnitt- und verwandte Probleme über kontextfreie Sprachen
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||||
\end{solution}
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||||
\question NP-Vollständigkeit
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||||
\begin{parts}
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||||
\part Eine Sprache $B$ ist NP-vollständig, falls ...
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||||
\begin{solution}
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||||
Eine Sprache ist NP-vollständig, falls sie zu NP gehört und NP-hart ist.
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||||
|
||||
\question NP-vollständiges Problem: Gebe (mind. zwei) NP-vollständige Probleme an (als Menge oder Eingabe-Frage-Paar).
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||||
\begin{solution}
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||||
Eine Sprache $B$ ist NP-hart, falls für alle $A\in NP$ gilt: $A\leq_P B$ (A ist mindestens so schwer wie jedes Problem in NP).
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||||
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||||
Hamilton Kreis
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Eingabe: Graph(V,E)
|
||||
\item Frage: Kann der Graph so durchlaufen werden, dass jeder Knoten genau ein mal besucht/abgelaufen wird?
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Wenn $B$ NP-vollständig ist, dann gilt: $P = NP \Leftrightarrow B\in P$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Gebe NP-vollständige Probleme an (als Menge oder Eingabe-Frage-Paar).
|
||||
\begin{solution}
|
||||
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||||
Gerichteter Hamiltonkreis?
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Eingabe: gerichteter Graph $G=(V,E)$ mit Knotenmenge $V$ und Kantenmenge $E\subseteq V\times V$
|
||||
\item Frage: Besitzt der Graph $G$ einen Hamiltonkreis, d.h. kann man den Graphen so durchlaufen, daß jeder Knoten genau einmal besucht wird?
|
||||
\end{itemize}
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||||
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||||
Ungerichteter Hamiltonkreis
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Eingabe: ungerichteter Graph $G=(V,E)$ mit Knotenmenge $V$ und Kantenmenge $E\subseteq\binom{V}{2}=\{X\subseteq V\mid |X|=2\}$.
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||||
\item Frage: Kann ein ungerichteter Graph so durchlaufen werden, dass jeder Knoten genau ein mal besucht wird?
|
||||
\end{itemize}
|
||||
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||||
3-Färbbarkeit
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Eingabe: ungerichteter Graph(V,E)
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||||
\item Frage: Gibt es einen ungerichteten Graphen, deren Knoten sich mit drei Farben färben lassen, so dass benachbarte Knoten unterschiedliche Farben haben
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||||
\item Frage (alternativ): Gibt es Zuordnung von $k$ verschiedenen Farben zu Knoten in $V$, so dass keine zwei benachbarten Knoten $v_1, v_2$ dieselbe Farbe haben?
|
||||
\end{itemize}
|
||||
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||||
3-SAT
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Ist eine aussagenlogische Formel in konjunktiver Normalform mit $\geq 3$ Literalen pro Klausel erfüllbar?
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\item Eingabe: eine aussagenlogische Formel $\varphi$ in konjunktiver Normalform mit höchstens drei Literalen pro Klausel.
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\item Frage: Hat $\varphi$ eine erfüllende Belegung?
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\end{itemize}
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Travelling Salesman Problem
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\begin{itemize}
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\item eine $n\times n$-Matrix $M=(M_{i,j})$ von Entfernungen zwischen $n$ Städten und eine Zahl $d$.
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\item FRAGE: Gibt es eine Tour durch alle Städte, die maximal die Länge $d$ hat?
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\end{itemize}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Polynomialzeitreduktion: Betrachte das Problem 4C, also die Menge der ungerichteten Graphen die sich mit vier Farben färben lassen.
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\begin{parts}
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