diff --git a/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.pdf b/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.pdf index 80d92a8..2f84335 100644 Binary files a/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.pdf and b/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.pdf differ diff --git a/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.tex b/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.tex index d74a93f..dbb4dd8 100644 --- a/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.tex +++ b/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.tex @@ -125,7 +125,7 @@ \part Die von einem NFA $M=(Z,\sum,S,\delta, E)$ akzeptierte Sprache ist $L(M)=...$ (ohne Definition der Mehr-Schritt Übergangsfunktion $\delta$) \begin{solution} - $L(M)={w\in \sum^* | \hat{\delta}(S,w)\cap E \not = \emptyset}$ + $L(M)=\{w\in \sum^* | \hat{\delta}(S,w)\cap E \not = \emptyset\}$ (Das Wort wird akzeptiert wenn es mindestens einen Pfad vom Anfangs in den Endzustand gibt) \end{solution} @@ -157,12 +157,14 @@ \end{enumerate} \end{solution} - \part Die Klasse der regulären Sprachen ist unter anderem abgeschlossen unter folgenden drei Operationen: + \part Die Klasse der regulären Sprachen ist unter anderem abgeschlossen unter folgenden Operationen: \begin{solution} \begin{itemize} - \item Vereinigung $L=L_0\cup L_1$ - \item Verkettung $L=L_0L_1$ - \item Abschluss $L=L_0^*$ + \item Vereinigung $(L_1,L_2\text{ regulär } \Rightarrow L_1\cup L_2\text{ regulär })$ + \item Schnitt $(L_1,L_2\text{ regulär } \Rightarrow L_1\cap L_2\text{ regulär })$ + \item Komplement $(L\text{ regulär } \Rightarrow \sum^*\backslash L\text{ regulär })$ + \item Produkt/Konkatenation $(L_1, L_2\text{ regulär } \Rightarrow L_1 L_2\text{ regulär })$ + \item Abschluss/Stern-Operation $(L\text{ regulär } \rightarrow L^*\text{ regulär })$ \end{itemize} \end{solution} @@ -180,30 +182,18 @@ \begin{solution} Abgeschlossen unter \begin{itemize} - \item Vereinigung $(L_1,L_2\ regulär \Rightarrow L_1\cup L_2\ regulär)$ - \item Produkt/Konkatenation $(L_1, L_2\ regulär \Rightarrow L_1 L_2\ regulär)$ - \item Stern-Operation $(L\ regulär \rightarrow L^*\ regulär)$ + \item Vereinigung $(L_1,L_2 \Rightarrow L_1\cup L_2)$ + \item Produkt/Konkatenation $(L_1, L_2 \Rightarrow L_1 L_2)$ + \item Stern-Operation $(L \rightarrow L^*)$ \end{itemize} Nicht abgschlossen unter \begin{itemize} - \item Schnitt $(L_1,L_2\ regulär \Rightarrow L_1\cap L_2\ regulär)$ - \item Komplement $(L\ regulär \Rightarrow \sum^*\backslash L\ regulär)$ + \item Schnitt $(L_1,L_2 \Rightarrow L_1\cap L_2)$ + \item Komplement $(L \Rightarrow \sum^*\backslash L)$ \item es gibt kontextfreie Sprachen, die nicht deterministisch kontextfrei sind \end{itemize} \end{solution} - \part Die Klasse der regulären Sprachen ist abgeschlossen unter ... - \begin{solution} - \begin{itemize} - \item Vereinigung $(L_1,L_2\ regulär \Rightarrow L_1\cup L_2\ regulär)$ - \item Schnitt $(L_1,L_2\ regulär \Rightarrow L_1\cap L_2\ regulär)$ - \item Komplement $(L\ regulär \Rightarrow \sum^*\backslash L\ regulär)$ - \item Produkt/Konkatenation $(L_1, L_2\ regulär \Rightarrow L_1 L_2\ regulär)$ - \item Stern-Operation $(L\ regulär \rightarrow L^*\ regulär)$ - \end{itemize} - \end{solution} - - \part Der Satz von Myhill-Nerode besagt,... \begin{solution} Sei L eine Sprache. L ist regulär $\Leftrightarrow index(R_L)< \infty$ @@ -357,7 +347,7 @@ \begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto] \node (q0) [state, accepting, initial, initial text = {}] {0}; \node (q3) [state, accepting, below right = of q0] {3}; - \node (q124) [state, below left = of q0] {124}; + \node (q124) [state, below left = of q0] {1,2,4}; \path [-stealth, thick] (q0) edge node {a} (q3) @@ -692,6 +682,12 @@ \part Sei $f:N^k\rightarrow\mathbb{N}$ eine Funktion für ein $k\in\mathbb{N}$. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1) $f$ ist Turing-berechenbar, 2)..., 3)..., 4)... \begin{solution} + \begin{enumerate} + \item $f$ ist Turing berechenbar + \item $f$ ist $\mu$ rekursiv + \item $f$ ist rekursiv aufzählbar + \item $f$ ist von Menschen berechenbar + \end{enumerate} \end{solution} \part Sei $L\subseteq \sum^*$ eine Sprache. Sind $L$ und $\sum^*\backslash L$ semi-entscheidbar, dann... @@ -757,13 +753,13 @@ $z_2$ zurück zum Anfang bei $a_n=0$: $\delta(z_2,0)=(z_2,0,L), \delta(z_2,1)=(z_2,1,L), \delta(z_2,\Box)=(z_4,\Box,R)$ - $z_3$ zurück zum Anfang bei $a_n=1$: $\delta(z_2,0)=(z_2,0,L), \delta(z_2,1)=(z_2,1,L), \delta(z_2,\Box)=(z_5,\Box,N)$ + $z_3$ zurück zum Anfang bei $a_n=1$: $\delta(z_3,0)=(z_3,0,L), \delta(z_3,1)=(z_3,1,L), \delta(z_3,\Box)=(z_5,\Box,N)$ $z_4$ $a_n=0$ an Anfang schreiben: $\delta(z_4,\Box)=(z_e,0,N)$ - $z_5$ $a_n=1$ an Anfang schreiben: $\delta(z_4,\Box)=(z_e,1,N)$ + $z_5$ $a_n=1$ an Anfang schreiben: $\delta(z_5,\Box)=(z_e,1,N)$ - $z_e$ Endzustand: $\delta(z_e, 0)=(z_e,0,N), \delta(z_e,1)=(z_e,1,N), \delta(z_e,\Box)?(z_e,\Box,N)$ + $z_e$ Endzustand: $\delta(z_e, 0)=(z_e,0,N), \delta(z_e,1)=(z_e,1,N), \delta(z_e,\Box)=(z_e,\Box,N)$ \end{solution} \end{parts} @@ -811,7 +807,7 @@ \part NP, P, EXPTIME, NEXPTIME, PSPACE, NPSPACE, NEXPSPACE, EXPSPACE \begin{solution} - $P\leq NP \leq PSPACE = NPSPACE \leq EXPTIME \leq NEXPTIME \leq EXPSPACE = NEXPSPACE $ + $P\leq NP \leq PSPACE, NPSPACE \leq EXPTIME \leq NEXPTIME \leq EXPSPACE, NEXPSPACE $ \end{solution} \end{parts} @@ -820,22 +816,21 @@ \part Gebe entscheidbare Probleme an (als Menge oder als Eingabe-Frage-Paar) \begin{solution} \begin{itemize} - \item Wortproblem: Gilt $w\in L(M)$ für eine gegebene reguläre Sprache $L$ und $w\in\sum^*$ - \item Leerheitsproblem: Gilt $L(M)=\varnothing$ für eine gegebene reguläre Sprache $L$ - \item Endlichkeitsproblem: Ist eine gegebene reguläre Sprache endlich? - \item Schnittproblem: Gilt $L_1\cap L_2 =\varnothing$ für gegebene reguläre $L_1,L_2$? - \item Inklusionsproblem: Gilt $L_1\subseteq L_2$ für gegebene reguläre $L_1,L_2$? - \item Äquivalenzproblem: Gilt $L_1=L_2$ für gegebene reguläre $L_1,L_2$? + \item Wortproblem: Gilt $w\in L(M)$ für eine gegebene Sprache $L$ und $w\in\sum^*$ + \item Leerheitsproblem: Gilt $L(M)=\varnothing$ für eine gegebene Sprache $L$ + \item Endlichkeitsproblem: Ist eine gegebene Sprache endlich? + \item Schnittproblem: Gilt $L_1\cap L_2 =\varnothing$ für gegebene $L_1,L_2$? + \item Inklusionsproblem: Gilt $L_1\subseteq L_2$ für gegebene $L_1,L_2$? + \item Äquivalenzproblem: Gilt $L_1=L_2$ für gegebene $L_1,L_2$? \end{itemize} \end{solution} - \part Gebe unterscheidbare Probleme an (als Menge oder als Eingabe-Frage-Paar) + \part Gebe unentscheidbare Probleme an (als Menge oder als Eingabe-Frage-Paar) \begin{solution} \begin{itemize} \item allgemeine Halteproblem: Das Halteproblem ist die Menge aller Paare $(M, x)$, wobei $M$ eine TM ist und $x\in\{0,1\}^*$, so dass $M$ bei Eingabe von $x$ hält. $H=\{ w\# w \mid w\in L_{TM}, x\in\{0,1\}^*, M_w \text{ angesetzt auf x hält} \}$ \item spezielle Halteproblem: $K=\{w\in L_{TM}\mid M_w \text{ angesetzt auf w hält}\}$ \item Halteproblem auf leerem Band: $H_0=\{w\in L_{TM} \mid M_w\text{ hält angesetzt auf ein leeres Band}\}$ - \item allgemeine Wortproblem: $A=\{(G,w) | \text{ G ist Grammatik mit } w\in L(G)\}$ \item Posts Korrespondenzproblem: PCP ist die Menge der Korrespondenzsysteme (endliche Folge von Paaren), die eine Lösung besitzen \item Schnittproblem: $\{(G_1, G_2) \mid G_1,G_2\text{ kontextfreie Grammatiken }, L(G_1)\cap L(G_2)=\varnothing\}$ \item Regularitätsproblem für PDA: $Reg_{PDA}=\{P\mid P\ PDA\text{ mit } L(P) \text{ regulär}\}$ @@ -888,7 +883,7 @@ Travelling Salesman Problem \begin{itemize} - \item eine $n\times n$-Matrix $M=(M_{i,j})$ von Entfernungen zwischen $n$ Städten und eine Zahl $d$. + \item Eingabe: eine $n\times n$-Matrix $M=(M_{i,j})$ von Entfernungen zwischen $n$ Städten und eine Zahl $d$. \item FRAGE: Gibt es eine Tour durch alle Städte, die maximal die Länge $d$ hat? \end{itemize}