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71
Grundlagen und diskrete Strukturen - Prüfungsvorbereitung.tex
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@ -101,14 +101,55 @@ Erlaubte Hilfsmittel: eine math. Formelsammlung/Nachschlagwerk, ein handbeschrie
\part Untersuche, welche der folgenden aussagenlogischen Ausdrücke logisch äquivalent sind. Begründe die Entscheidung.\\\begin{center}
$\varphi=p\rightarrow (q\wedge\overline{r})$, $\psi=(p\rightarrow q)\wedge(r\rightarrow\overline{p})$, $y=(\overline{p}\vee q)\leftrightarrow r$ \end{center}
\begin{solution}
$\varphi=p\rightarrow (q\wedge\overline{r})$
\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
$p$ & $q$ & $r$ & $q\wedge\overline{r}$ & $p\rightarrow(q\wedge\overline{r})$ \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0
\end{tabular}
$\psi=(p\rightarrow q)\wedge(r\rightarrow\overline{p})$
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
$p$ & $q$ & $r$ & $p\rightarrow q$ & $r\rightarrow\overline{p}$ & $(p\rightarrow q)\wedge(r\rightarrow\overline{p})$ \\\hline
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{tabular}
$y=(\overline{p}\vee q)\leftrightarrow r$
\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
$p$ & $q$ & $r$ & $\overline{p}\vee q$ & $(\overline{p}\vee q)\leftrightarrow r$ \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0
\end{tabular}
\end{solution}
\part Negiere die Aussage: $\forall S\in\mathbb{R}\exists m\in\mathbb{N} \forall n\in\mathbb{N}: n>m\Rightarrow a_n>S$
\begin{solution}
$\exists S\in\mathbb{R}\exists m\in\mathbb{N} \forall n\in\mathbb{N}: n>m\Rightarrow a_n < S$
\end{solution}
\part Negiere die Aussage: ,,In jeder GudS-Klausur gibt es mindestens eine Aufgabe, die von niemandem richtig gelöst wird''
\begin{solution}
,,Es gibt eine GudS-Klausur in der jemand jede Aufgabe richtig löst.''
\end{solution}
\end{parts}
@ -120,6 +161,34 @@ Erlaubte Hilfsmittel: eine math. Formelsammlung/Nachschlagwerk, ein handbeschrie
\begin{parts}
\part Bestimme mit Hilfe des euklidischen Algorithmus ganze Zahlen $a,b$, für die gilt $1=a*100+b*23$
\begin{solution}
$ggT(a,b)= a*x+b*y$
$\downarrow$: $b_i\rightarrow a_{i+1}$, $r_i\rightarrow b_{i+1}$
$\uparrow$: $x_i=y_{i+1}$, $y_i=x_{i+1}-q_i*y_{i+1}$
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
i & a & b & q (Teiler) & r(est) & x & y & Nebenrechnung $\downarrow$ & Nebenrechnung $\uparrow$ \\\hline
1 & 100 & 23 & 4 & 8 & 3 & -13 & $100-23*4 = 8$ & $100*3 + 23*(-1-4*3)= 300-299= 1$ \\
2 & 23 & 8 & 2 & 7 & -1 & 3 & $23-2*8=7$ & $23*-1 + 8*(1-2*(-1))=1$ \\
3 & 8 & 7 & 1 & 1 & 1 & -1 & $8-1+7=1$ & $8*1 + 7*(0-1*1)=1$ \\
4 & 7 & 1 & 7 & 0 & 0 & 1 & $7-7*1=0$ & $7*0+1*1 = 1$
\end{tabular}
Lösung: $a=3$, $b=-13$
\end{solution}
\part Bestimme mit Hilfe des euklidischen Algorithmus ganze Zahlen $a,b$, für die gilt $1=a*23+b*17$
\begin{solution}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
i & a & b & q & r & x & y \\\hline
1 & 23 & 17 & 1 & 6 & 3 & $-1-1*3=-4$ \\
2 & 17 & 6 & 2 & 5 & -1 & $1-2*-1=3$ \\
3 & 6 & 5 & 1 & 1 & 1 & $0-1*1=-1$ \\
4 & 5 & 1 & 5 & 0 & 0 & 1
\end{tabular}
Lösung: $1=-3*23 -4*17 = 69-68 = 1$
\end{solution}
\part Untersuche, ob es ein multiplikativ inverses Element zu $\overline{23}$ in $\mathbb{Z}_{100}$ gibt und bestimme dieses gegebenfalls. Gebe außerdem ein nicht invertierbares Element außer $\overline{0}$ in $\mathbb{Z}_{100}$ an.
@ -143,7 +212,7 @@ Erlaubte Hilfsmittel: eine math. Formelsammlung/Nachschlagwerk, ein handbeschrie
\end{solution}
\end{parts}
\question Gegeben sei folgender Graph:
\question Gegeben sei folgender Graph:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto]
\node (A) [state] {A};