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title: Stochastik
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date: Wintersemester 20/21
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author: Wieerwill
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# Stochastik ist
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- Wahrscheinlichkeitstheorie: mathematische "Sprache" zur Modellierung zufälliger Phänomene
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- Ziel: über gegebene Eigenschaften des Systems präzise Aussagen über zukünftige, zufällige Beobachtungen
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- und Statistik:
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- Beschreibung beobachteter Daten
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- Schätzen unbekannter Parameter
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- Testen von Hypothesen
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- Vorhersagen unbeobachteter zufälliger Werte
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- Modellwahl und -überprüfung
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- Ziel: basierend auf zufälligen Beobachtungen auf Eigenschaften des Systems“ schließen
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## Wahrscheinlichkeiten
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### Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega , P)$
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- $\Omega$: Grundraum, Menge der Elementarereignisse (oder Ausgänge) (Bsp: $\Omega={heil, kaputt}^x$)
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- $\omega \in \Omega$: Elementarereignis, Ausgang (Bsp: $\omega=(heil, heil, heil, kaputt, heil...)$)
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- $A \subseteq \Omega$: Ereignis (Bsp: $A={\omega: Anzahl kaputt = 2 }$)
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- $P$: Wahrscheinlichkeitsmaß, d.h.
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- Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt: $\Omega \supseteq A \rightarrow P(A) \in [0,1]$
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- $\sigma$-Additivität: $P(U_{k\in N} A_k)= \sum_{k\in N} P(A_k)$ für disjunkte $A_k, k\in N$
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- sicheres Ereignis $\Omega$: $P(\Omega)= 1$
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## Laplace Expriment
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$\Omega$ sei eindlich und $P(\omega)=\frac{1}{*\Omega} \rightarrow$ Laplace-Verteilung oder diskrete Gleichverteilung $\rightarrow$ für $A \subseteq \Omega: P(A)=\sum_{\omega \in A} P(\omega)=\frac{*A}{*\Omega}=\frac{\text{Anzahl "günstige" Ausgänge"}}{\text{Anzahl "alle" Ausgänge}}$
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Laplace-Verteilung: Alle Ausgänge sind gleichwahrscheinlich $\rightarrow$ Symmetrie
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## Urnenmodell
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Eine Urne enthält schwarze (S) und weiße (W) Kugeln, insgesamt also $N=S+W$. Man zieht zufällig eine Kugel und nummeriert durch.
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- P(i-te Kugel wird gezogen)= $\frac{1}{N}$ für $i=1,..,N$
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- P(Kugel ist schwarz)=$\sum_{i=1}^S P(\text{i-te Kugel wird gezogen}) = S \frac{1}{N}=\frac{S}{N}$
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### Ziehen ohne zurücklegen
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Was, wenn man noch eine Kugel zieht (ohne Zurücklegen)?
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$\rightarrow$ Zweistufiges Experiment! Modellieren mit bedingten Wahrscheinlichkeiten.
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## Bedingte Wahrscheinlichkeiten
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$A,B \subseteq \Omega$ mit $P(B)> 0$; man beobachtet, dass B eintritt
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die bedingte Wahrscheinlichkeit von "A gegeben B": $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
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die totale Wahrscheinlichkeit: $P(A)=\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)$
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