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Stochastik	Wintersemester 20/21	Wieerwill

Stochastik ist

• Wahrscheinlichkeitstheorie: mathematische "Sprache" zur Modellierung zufälliger Phänomene
  • Ziel: über gegebene Eigenschaften des Systems präzise Aussagen über zukünftige, zufällige Beobachtungen
• und Statistik:
  • Beschreibung beobachteter Daten
  • Schätzen unbekannter Parameter
  • Testen von Hypothesen
  • Vorhersagen unbeobachteter zufälliger Werte
  • Modellwahl und -überprüfung
  • Ziel: basierend auf zufälligen Beobachtungen auf Eigenschaften des Systems“ schließen

Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega , P)

• \Omega: Grundraum, Menge der Elementarereignisse (oder Ausgänge) (Bsp: \Omega={heil, kaputt}^x)
• \omega \in \Omega: Elementarereignis, Ausgang (Bsp: \omega=(heil, heil, heil, kaputt, heil...))
• A \subseteq \Omega: Ereignis (Bsp: A={\omega: Anzahl kaputt = 2 })
• P: Wahrscheinlichkeitsmaß, d.h.
  • Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt: \Omega \supseteq A \rightarrow P(A) \in [0,1]
  • $\sigma$-Additivität: P(U_{k\in N} A_k)= \sum_{k\in N} P(A_k) für disjunkte A_k, k\in N
  • sicheres Ereignis \Omega: P(\Omega)= 1

Laplace Expriment

\Omega sei eindlich und P(\omega)=\frac{1}{*\Omega} \rightarrow Laplace-Verteilung oder diskrete Gleichverteilung \rightarrow für A \subseteq \Omega: P(A)=\sum_{\omega \in A} P(\omega)=\frac{*A}{*\Omega}=\frac{\text{Anzahl "günstige" Ausgänge"}}{\text{Anzahl "alle" Ausgänge}}

Laplace-Verteilung: Alle Ausgänge sind gleichwahrscheinlich \rightarrow Symmetrie

Urnenmodell

Eine Urne enthält schwarze (S) und weiße (W) Kugeln, insgesamt also N=S+W. Man zieht zufällig eine Kugel und nummeriert durch.

• P(i-te Kugel wird gezogen)= \frac{1}{N} für i=1,..,N
• P(Kugel ist schwarz)=\sum_{i=1}^S P(\text{i-te Kugel wird gezogen}) = S \frac{1}{N}=\frac{S}{N}

Ziehen ohne zurücklegen

Was, wenn man noch eine Kugel zieht (ohne Zurücklegen)? \rightarrow Zweistufiges Experiment! Modellieren mit bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

A,B \subseteq \Omega mit P(B)> 0; man beobachtet, dass B eintritt

die bedingte Wahrscheinlichkeit von "A gegeben B": P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

die totale Wahrscheinlichkeit: P(A)=\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)