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Grundlagen und diskrete Strukturen

Aussagen

Aussagen sind Sätze die wahr oder falsch sind, d.h. der Wahrheitswert ist wahr oder falsch.

"5 ist prim" -> Aussage, wahr
"dieser Satz ist falsch" -> keine Aussage

Für keine natürliche Zahl n>3 ist die Gleichung x^n+y^n=z^n in positiven ganzen Zahl lösbar \sim Fermatsche Ex-Vermutung

Verknüpfungen von Aussagen

Seien p und q Aussagen, dass sind folgende Sätze auch Aussagen

p \wedge q "und"
p \vee q "oder"
\neg p "nicht"
p \rightarrow q "impliziert"
p \leftrightarrow q "genau dann wenn"

Der Wahrheitswert dieser Verknüpfung ergibt sich aus den Wahrheitswerten p,q wie folgt

p	q	`p\wedge q`	`p\vee q`	`\neg q`	`p\rightarrow q`	`p\leftrightarrow q`
f	f	f	f	w	w	w
f	w	f	w	w	w	f
w	f	f	w	f	f	f
w	w	w	w	f	w	w

Aussagenlogische Variablen: Variable die den Wert w oder f annimmt

Aussagenlogische Formel: Verknüpfung aussagenloser Variablen nach obrigen Muster

Belegung: Zuordnung von w/f an jede Variable einer aussagenlogischer Formel

Wahrheitswerteverlauf: Wahrheitswert der Aussagenformel in Abhängigkeit von der Belegung der Variable

Tautologie: Formel deren Wahrheitswerteverlauf konstant w ist

Kontradiktion: Formel deren Wahrheitswerteverlauf konstant f ist

Kontraposition: (p\rightarrow q)\leftrightarrow (\neg q \rightarrow p) ist eine Tautologie Modus Potens: (p\vee (p\rightarrow q))\rightarrow q ist eine Tautologie

Äquivalenz: Zwei Formeln p,q sind äquivalent (bzw logisch äquivalent) wenn p\leftrightarrow Tautologie ist. Man schreibt p \equiv q

Die Formel p impliziert die Formel q, wenn p\rightarrow q eine Tautologie ist

Regeln

p\wedge q \equiv q \wedge p (Kommutativ)
p\vee q \equiv q \vee p (Kommutativ)
p\wedge (q \wedge r) \equiv (p \wedge q) \wedge r (Assoziativ)
p\vee ( q \vee r) \equiv (p \vee q) \vee (Assoziativ)
p\wedge (q\vee r) \equiv (p\wedge q) \vee (p\wedge r) (Distributiv)
p\vee (q\wedge r) \equiv (p\vee q) \wedge (p\vee r) (Distributiv)
\neg(\neg q) \equiv q (Doppelte Verneinung)
\neg(p\wedge q) \equiv (\neg p) \wedge (\neg q) (de Morgansche)

Aussagenform über den Universen U_1,...,U_n: Satz mit Variablen x_1,...,x_n der bei Ersetzung jedes x durch ein Objekt am U_j stets zu einer Aussage wird. Variablen können mehrfach auftreten, werden aber jeweils durch das gleiche Objekt (aus U_j) ersetzt.

"x ist prim" ist eine Aussagenform über dem Universum \N der natürlichen Zahlen
"$x<y$" ist eine Aussagenform über dem Universum \R der reellen Zahlen
"x ist wahr" ist eine Aussagenform über dem Universum der Aussagen
"x ist falsch" ist keine Aussagenform über dem Universum aller Sätze

Aussagenformen in einer Variable x aus dem Universum U heißen Prädikate von U. Aussagenformen in n Variablen x_1,...,x_n aus dem Universum U heißen "n-stellige Prädikate" von U. Nach Ersetzung von x im 2-stelligen Prädikat "$x<y$" etwa durch "17" entsteht das 1-stellige Prädikat "$17<y$".

Sei p(x) ein Prädikat über dem Universum U (z.B. p(x) ist "x ist prim")

"$\forall x:p(x)$": ist die Aussage "für alle x aus U ist p(x) wahr"
"$\exists x:p(x)$": ist die Aussage "es gibt ein x aus U für das p(x) wahr ist"

Leeres Universum U (U enthält keine Objekte)

"$\forall x:p(x)$": ist wahr (für jedes Prädikat)
"$\exists x:p(x)$": ist falsch (für jedes Prädikat)

Endliches Universum U, etwa aus Objekte a_1,...,a_n

"$\forall x:p(x)$": bedeutet p(a_1)\wedge p(a_2) \wedge ... \wedge p(a_n) ist wahr/falsch
"$\exists x:p(x)$": bedeutet p(a_1)\vee p(a_2) \vee .. \vee p(a_n) ist wahr/falsch

Regeln: Seien p,q Prädikate über U

(\forall x: (p(x) \wedge q(x)))\leftrightarrow (\forall x: p(x) \wedge \forall x: q(x))
\exists x: (p(x) \vee q(x)) \leftrightarrow (\exists x: p(x) \vee \exists x: q(x))
\neg (\forall x:p(x))\leftrightarrow \exists x: \neg p(x)
$\neg(\exists x:p(x))\leftrightarrow \forall x:\neg p(x)$ Schachtelung von Quantoren (\forall, \exists). Sei p(x,y) 2-stelliges Prädikat über$U_1, U_2$: \forall x: \exists y:p(x,y). Achtung: Verschiedenartige Quantoren dürfen nicht getauscht werden! gleichartige Quantoren dürfen getauscht werden

Negation: $\neg (\forall x \forall y \exists z \forall w \exists v: p(x,y,z)\rightarrow q(w,v)$ \exists x \exists y \forall z \exists w \forall v: \neg (p(x,y,z)\rightarrow q(w,v))

Mengen

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens. (Cantor) Von jedem Objekt steht fest, ob es zur Menge gehört oder nicht.

Bsp: {M,A,T,H,E,M,A,T,I,K} \approx {M,A,T,H,E,I,K}: Mengen der Buchstaben des Wortes Mathematik

Probleme der naiven Mathematik

Wunsch 1

"$x\in y$" soll Aussagenform über dem Universum U aller Mengen sein. D.h. für je zwei Mengen x und y ist entweder x ein Element von y oder nciht. D.h. "$x\in y$" ist ein 2-stelliges Prädikat über U.

Wunsch 2

Ist p(x) ein Prädikat über U, so soll es eine Menge geben, die aus genau denjenigen Mengen x besteht, für die p(x) wahr ist. Bezeichnung {x:p(x) "ist-wahr" }. Danach gäbe es eine Menge M, die aus genau denjenigen Mengen x mit x\not \in x besteht: M={x:x\not \in x}. D.h. Wunsch 1 und 2 führen zu einem Widerspruch in der Mengenlehre!
Lösung: Aussonderung nur an bereits "gesicherten" Mengen\

Wunsch 2':

Ist A eine Menge und p(x) ein Prädikat über U, dann gilt es eine Menge B die aus genau denjenigen Mengen x aus A besteht, für die p(x) wahr ist. Bezeichnung: B={x\in A:p(x) wahr}. Folgerung: die Gesamtheit aller Mengen ist selbst keine Menge, sonst findet man einen Widerspruch wie oben.

Wunsch 3

Zwei Mengen x,y sind genau dann gleich wenn sie diesselben Elemente enthalten. D.h. x=y: \leftrightarrow \forall z:(z\in x \leftrightarrow z\in y). Somit gilt für zwei Prädikate p(x), q(x) über U und jede Menge A: {x\in A: p(x) wahr} = {x\in A: q(x) wahr} genau dann, wen q(x), p(x) den gleichen Wahrheitswert für jedes x aus A haben.

Wunsch 0

Es gibt eine Menge. Ist A irgendeine Menge, so ist {x \in A: \neg (x=x)} eine Menge ohne Elemente, die sogenannte leere Menge \emptyset.

Wunsch 4

Zu jeder Menge A gibt es eine Menge B, die aus genau denjenigen Mengen besteht, die Teilmengen von A sind. Dabei ist x eine Teilmenge von $y: \leftrightarrow \forall z:(z\in x \rightarrow z \in y) [x \subseteq y]$
B={x:x\subseteq A}=\wp(A) B heißt Potentmenge von A
Bsp: \wp({1,2,3}) = (\emptyset, (1),(2),(3),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3)) (Daraus lässt sich ein Hesse-Diagramm zeichnen).

Teilmengen

A Teilmenge von B $\leftrightarrow \forall x: (x\in A \rightarrow x \in B):\Rightarrow A\subseteq B$
A Obermenge von B $\leftrightarrow \forall x: (x\in B \rightarrow x \in A):\Rightarrow A\supseteq B$
Folglich $A=B \leftrightarrow A\subseteq B \wedge B\subseteq A$
Schnittmenge von A und B: $A\cap B = {x: x\in A \wedge x\in B}$
Vereinigungsmenge von A und B: A\cup B = {x: x\in A \vee x\in B}

Sei eine Menge (von Mengen) dann gibt es eine Menge die aus genau den Mengen besteht, die in jeder Menge von A enthalten sind (außer A=\emptyset). Ebenso gibt es Mengen die aus genau den Mengen besteht, die in wenigstens einer Menge aus A liegen. Die Existenz dieser Menge wird axiomatisch gefordert in ZFC:$ UA = {x: \exists z \in A: x \in z}$\

Seien A,B Mengen, dann sei $A/B:={x\in A: x\not \in B } = A\bigtriangleup B$
De Moorgansche Regel: \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} und $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$
Das geordnete Paar (x,y) von Mengen x,y ist definiert durch ${{x},{x,y}}:={x,y}$
A und B Mengen: A x B:={(x,y):x\in A \wedge y \in B}

Relationen

A={Peter, Paul, Marry} und $B={C++, Basic, Lisp}: R\subseteq AxB, etwa {(Peter,c++),(Paul, C++), (Marry,Lisp)}. Seien A,B Mengen: Eine Relation von A nach B ist eine Teilmenge R von AxB.
(x,y)\in R: x steht in einer Relation R zu y; auch xRy
Ist A=B, so heißt R auch binäre Relation auf A

binäre Relation

Allrelation R:=AxA \subseteq AxA
Nullrelation R:=\emptyset \subseteq AxA
Gleichheitsrelation $R:={(x,y)... x=y}
A=R R:={(x,y)\in \R x \R, x \leq y}
A=\Z R:={(x,y)\in \Z x \Z: \text{x ist Teiler von y} } kurz: x|y

Eigenschaften von Relationen

Sei R\in AxA binäre Relation auf A

Reflexiv \leftrightarrow xRx \forall x \in A
Symetrisch \leftrightarrow xRy \rightarrow yRx
Antisymetrisch \leftrightarrow xRy \wedge yRx \rightarrow x=y
Transitiv \leftrightarrow xRy \wedge yRz \rightarrow xRz
totale Relation \leftrightarrow xRy \vee yRx \forall x,y \in A

R heißt Äquivalenzrelation \leftrightarrow R reflexiv, symetrisch und transitiv
R heißt Ordnung \leftrightarrow R reflexiv, antisymetrisch und transitiv
R heißt Totalordnung $leftrightarrow$ R Ordnung und total
R heißt Quasiordnung \leftrightarrow R reflexiv und transitiv

Äqivalenzrelation

Sei A Menge, C\wp (A) Menge von teilmengen von A. C heißt Partition von A, falls gilt:

UC=A d.h. jedes x\in A liegt in (wenigstens) einem y\in C
\emptyset \not \in C d.h. jedes y\in C enthält (wenigstens) ein Element von A
X \cap Y = \emptyset f.a. X\not \in Y aus C

Zwei Mengen X\cap Y = \emptyset heißten disjunkt. Die Elemente von C heißten Teile, Klassen oder Partitionen. Satz: Sei \sim Äquivalenzrelation auf A. Für x\in A betrachtet [x]_{/\sim }:={y\in A: y\sim x}. Dann ist {[x]{/\sim }:x\in A}= C{/\sim }$ Partition von A. Die Elemente [x]_{/\sim } von C_{/\sim } heißen Äquivalenzklassen.

Wichtiges Bsp: Restklassen modulo m
m\not \in \Z, m \geq 2; Für x,y \in \Z schreibe x \equiv y mod m ("x konvergent y modulo m") falls m | (x-y). \equiv (mod m) ist eine binäre Relation auf $\Z$ "$\equiv§ transitiv" aus x=y mod m und y\equiv z mod m folgt \rightarrow m| x-z

Somit ist \equiv(mod m) eine Äquivalenzrelation. Ihre Äquivalenzklassen heißen Restklassen mod m

Ein Graph G=(V,E) ist ein Paar bestehend aus einer Menge V und E\subseteq (x,y: x\not = y \text{ aus V} ). Zu a,b\in V heißt eine Folge P=x_1,..,x_n von paarweise verschiedenen Ebenen mit a=x_0, b=x_j; x_{j-1},x_i \in E{a*i \in b*j} ein a,b-Weg der Länge l oder Weg a nach b. Durch a\sim b gibt es einen a,b-Weg in G, wird eine Äquivalenzrelation auf V definiert, denn:

"\sim reflexiv": es ist x\sim x, denn P=x ist ein x,x-Weg in G
"\sim symetrisch": aus x\sim y folgt, es gibt einen x,y-Weg \rightarrow es gibt einen y,x-Weg y\sim x
"\sim transitiv": aus x\sim y und y\sim x folgt, es gibt einen x,y-Weg und einen y,x-Weg Die Äquivalenzklassen von \sim _G erzeugen die Zusammenhangskomponenten von G

Satz: Sei C eine Partition von A, dann wird durch x\sim _G y \leftrightarrow es gibt ein X\in C mit x,y\in X eine Äquivalenzrelation auf A definiert.

(Halb) Ordnungen

Sei also leq eine Ordnung auf X. Seo A\subseteq X, b\in X

b minimal in A \leftrightarrow b\in A und (c\leq b \rightarrow c=b f.a. c\in A)
b maximal in A \leftrightarrow b\in A und (b\leq c \rightarrow b=c f.a. c\in A)
b kleinstes Element in A \leftrightarrow b\in A und (b\leq c f.a. c\in A)
b größtes Element in A \leftrightarrow b\in A und (c\leq b f.a. c\in A)
b untere Schranke von A \leftrightarrow b\leq c f.a. c\in A
b obere Schranke von A \leftrightarrow c\leq b f.a. c\in A
b kleinste obere Schranke von A \leftrightarrow b ist kleinstes Element von (b'\in X: \text{b' obere Schranke von A}) auch Supremum von A: \lor A = b
b größte untere Schranke von A \leftrightarrow b ist das größte Element von (b'\in X: \text{ b' untere Schranke von A} ) auch Infinium von A; $\land A = b$ kleinstes und größtes Element sind jew. eindeutig bestimmt (falls existent)

Satz: Sei X Menge. \subseteq ist Ordnung auf \wp(X). Ist O\subseteq \wp(X), so ist sup O=\bigcup O und inf O=\bigcap O

Satz: Die Teilbarkeitsrelation | ist Ordnung auf den natürlichen Zahlen \N. Es gibt sup(a,b)=kgV(a,b) (kleinstes gemeinsames Vielfaches) und inf(a,b)=ggT(a,b) (größtes gemeinsames Vielfaches)

Hesse Diagramm

Darstellung einer Ordnung \subseteq auf X

Im Fall x\subseteq y zeichne x "unterhalb" von y in die Ebene
Gilt x\subseteq y (x\not = y) und folgt aus x \subseteq z \subseteq y stets x=z oder y=z so wird x mit y "verbunden"

Zoonsche Lemma

Zu jeder Menge und für jede Ordnung \leq auf X mit der Eigenschaft, dass jede nicht-leere Kette nach der beschränkt ist, gibt es ein maximales Element.

Wohlordnungssatz

Jede Menge lässt sich durch eine Ordnung \subseteq so ordnen, dass jede nichtleere Teilmenge von X darin ein kleinstes Element ist

Induktion

X ist eine Menge, $X:=X\vee {X}$
M Menge heißt induktiv :\leftrightarrow \emptyset \in M \wedge \forall X \in M X^+ \in M.

Ist O eine Menge von induktiven Mengen, O\pm O dann ist auch \bigcap O induktiv. Insbesondere ist der Durchschnitt zweier induktiver Mengen induktiv. Es gibt eine induktive Menge M: M =\bigcap {A \in \wp(M): A induktiv}. Sei M' irgendeine (andere) induktive Menge \rightarrow M \cap M' ist induktive Teilmenge von M. \N_M ist der Durchschnitt über alle induktiven Teilmengen von M \N_M \subseteq M\cap M' \subseteq M'. Folglich ist \N_m Teilmenge jeder induktiven Menge.

Satz I (Induktion I)

Sei p(n) ein Prädikat über \N. Gelte p(0) und p(n)\rightarrow p(n^+) f.a. n\in \N dann ist p(n) wahr f.a. n\in N. Schreibe x=y:\leftrightarrow x\in y \vee x=y

Satz II (Induktion II)

Sei p(n) ein Prädikat über \N, gelte (\forall x < n: p(x9))\rightarrow p(n) f.a. n\in \N. Damit ist p(n) wahr für alle n\in \N.

Funktionen

Seien A,B Mengen: Eine Relation f\subseteq A x B heißt Funktion. A nach B ("$f:A\rightarrow B$") falls es zu jedem x\in A genau ein y\in B mit (x,y)\in f gibt. Dieses y wird mit $f(x) bezeichnet.

Satz: f:A\rightarrow B, g:A\rightarrow B; dann gilt f=g \leftrightarrow f(x)=g(x). Sei f:A\rightarrow B Funktion

f heißt injektiv \leftrightarrow jedes y aus B hat höchstens ein Urbild
f heißt subjektiv \leftrightarrow jedes y aus B hat wenigstens ein Urbild
f heißt bijektiv \leftrightarrow jedes y aus B hat genau ein Urbild

Ist f:A\rightarrow B bijektive Funktion, dann ist auch f^{-1}\subseteq BxA bijektiv von B nach A, die Umkehrfunktion von f. Man nennt f dann Injektion, Surjektion bzw Bijektion

f injektiv \leftrightarrow (f(x)=f(y)\rightarrow x=y) f.a. x,y\in A oder (x\not = y \rightarrow f(x)\not = f(y))
f surjektiv \leftrightarrow Zu jedem x\in B existiert ein x\in A mit f(x)=y
f bijektiv \leftrightarrow f injektiv und surjektiv

Sind f:A\rightarrow B und g:B\rightarrow C Funktionen, so wird durch (g \circ f)(x):=g(f(x)) eine Funktion g \circ f: A \rightarrow C definiert, die sog. Konkatenation/Hintereinanderschaltung/Verkettung/Verkopplung von f und g (gesprochen "g nach f").

Satz: f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow C sind Funktionen. Sind f,g bijektiv, so ist auch g \circ f: A\rightarrow C bijektiv

Satz: ist f:A\rightarrow B bijektiv, so ist f^{-1} eine Funktion B nach A. Mengen A,B, heißen gleichmächtig (|A|=|B| \equiv A\cong B) falls Bijektion von A nach B. \cong ist auf jeder Menge von Mengen eine Äquivalenzrelation

"\cong reflexiv": A\cong A, denn f:A\rightarrow A, f(x)=X, ist Bijektion von A nach A
"\cong symetrisch": Aus A\cong B folgt Bijektion von A nach B \rightarrow B\cong A
"\cong transitiv": Aus A\cong B und B\cong C folgt A\cong C

|A|=|A|:|A| ist die Kordinalität von A, d.h. die kleisnte zu A gleichmächtige Ordinalzahö. Eine Ordinalzahl ist eine e-transitive Menge von e-transitiven Mengen. Eine Menge X heißt e-transitiv, wenn aus a\in b und b\in c stets a\in c folgt. Sei A:=\N und B={0,2,4,...}={n\in \N: 2|n}, dann sind A und B gleichmächtig, denn f:A\rightarrow B, f(x)=2x ist Bijektion von A nach B. Eine Menge A heißt endlich, wenn sie gleichmächtig zu einer natürlichen Zahl ist; sonst heißt A unendlich. Eine Menge A heißt Deckend-unendlich, falls es eine Injektion f:A\rightarrow B gibt die nicht surjektiv ist.

Satz: A unendlich \leftrightarrow A deckend-unendlich A,B sind Mengen. A heißt höchstens so mächtig wie B, falls es eine Injektion von A nach B gibt. |A|\leq |B| bzw A\preceq B. \preceq ist Quasiordnung auf jeder Menge von Mengen.

"\preceq reflexiv": Injektion von A nach A
"\preceq transitiv": A\preceq B und B\preceq C folgt Injektion f:A\rightarrow B und g:B\rightarrow C. Verkopplung g \circ f \rightarrow A \preceq C

Satz (Vergleichbarkeitssatz): Für zwei Mengen A,B gilt |A|\leq |B| oder |B| \leq |A|. Eine Relation f von A nach B heißt partielle Bijektion (oder Matching), falls es Teilmengen A'\subseteq A und B'\subseteq B gibt sodass f eine Bijektion von A' nach B' gibt.

Sei M die Menge aller Matchings von A nach B und wie jede Menge durch \subseteq geordnet. Sei K\subseteq M eine Kette von Matchings. K besitzt eine obere Schranke (\bigcup K) in M. Seien (x,y);(x',y') zwei Zuordnungspfeile aus \bigcup K, zeige x\not = x' und y\not = y' dann folgt Matching. Jede Kette von Matchings benutzt eine obere Schranke, die ebenfalls ein Matching ist \rightarrow es gibt ein maximales Matching von A nach B, etwa h. Im Fall (x\in A, y\in B mit (x,y)\in h) ist h eine Injektion von A nach B, d.h. |A| \subseteq |B| andernfalls y\in B, x\in A mit x,y\in h ist h^{-1} eine Injektion von B nach A, d.h. |B| \subseteq |A|.

Satz - Cantor/Schröder/Bernstein

Für zwei Mengen A,B gilt: Aus |A|\subseteq |B| und |B| \subseteq |A| folgt |A| = |B|.

Die Komponenten von f und g sind:

endliche Kreise
einseitig unendliche Wege
beidseitig unendliche Wege

Satz Cantor

Für jede Menge X gilt: |X|\leq \wp(X) und |X|\not = |\wp (X)|. Z.B. ist |\N|<|\R|; zu |\N| gleichmächtige Mengen nennt man abzählbar; unendliche nicht-abzählbare Mengen nennt man überzählbar.

Kontinuitätshypothese

Aus |\N|\leq |A| \leq |\R| folgt |A|=|\N| oder |A|=|\R| (keine Zwischengrößen)

Seien M,I zwei Mengen. Eine FUnktion f:I\rightarrow M von I nach M heißt auch Familie über der Indexmenge I auf M. Schreibweise (m_i)_{i\in I} wobei m_i=f(i). Damilien über I=\N heißen Folgen (bzw. unendliche Folgen). Eine (endliche) Folge ist eine Familie über einer endlichen Indexmenge I. Funktionen von {1,...,n} in einer Menga A (a_q,...,a_n\in A) heißen n-Tupel. Für eine Mengenfamilie (A_i)_{i\in A} sei ihr Produkt durch \prod A_i=(f: \text{ Funktion von I nach}\bigcup A_i \text{ mit } f(i)\in A_i \text{ f.a. } i\in I). Ist allgemein A_i=A konstant, so schreibe \prod A_i=A^I={f:I\rightarrow R}. Bezeichnung auch 2^{\N}.

Gruppen, Ringe, Körper

Eine Operation auf eine Menge A ist eine Funktion f:AxA\rightarrow A; schreibweise xfy. EIne Menge G mit einer Operation \circ auf G heißt Gruppe, falls gilt:

a\circ (b\circ c) = (a\circ b)\circ c freie Auswertungsfolge
es gibt ein e\in G mit a\circ e=a und e\circ a=a f.a. a\in G. e heißt neutrales Element von G und ist eindeutig bestimmt
zu jedem a\in G existiert ein b\in G mit a\circ b=e und b\circ a=e; wobei e ein neutrales Element ist. b ist durch a eindeutig bestimmt, denn gäbe es noch ein c\in G mit a\circ c=e folgt b=b\circ e. Schreibweise für dieses eindeutig durch a bestimmte b: a^{-1}

Eine Gruppe G mit \circ wird auch mit (G, \circ) bezeichnet. Sie heißt kommutativ bzw abelsch, falls neben 1.,2. und 3. außerdem gilt: 4. a\circ b = b\circ a f.a. a,b \in G

Das neutrale Element aus 2. wird mit 1 bezeichnet. Im Fall der abelschen Gruppe benutzt man gerne "additive Schreibung": "+" statt "$\circ$" und "0" statt "1" (Bsp: 1*a = a*1 = a)

Bsp: Sei X Menge und S_X sei die Menge aller Bijektionen von X nach X. EIne Bijektion von X nach X heißt Permutation von X. (S_X, \circ) ist eine Gruppe.

Zwei Gruppen (G, \circ_G) und (H,\circ_H) heißen isomorph, falls es einen Isomorphismus von (G,\circ_G) nach (H,\circ_H) gibt (bzw. von G nach H). Schreibweise (G,\circ_G)\cong (H,\circ_H)

"\cong reflexiv": G\cong G, denn id_G ist ein Isomorphismus
"\cong symetrisch": aus G\cong G folt: es exisitert ein bijektiver Homomorphismus
"\cong transitiv": sei G\cong H und H\cong J \rightarrow es gibt einen Isomorphismus \phi:G\rightarrow H und \psi:H\rightarrow J \rightarrow \phi\circ \psi :G\rightarrow J \rightarrow J ist bijektiv. \phi\circ G ist Homomorphismus von G nach J und bijektiv also Isomorph

Satz: Jede Gruppe (G,\circ) ist zu einer Untergruppe von (S_G, \circ) isomorh

Arithmetik von `\N`

+: \N x \N \rightarrow \N wird definiert durch:

m+0:=m f.a. m\in \N (0 ist neutral)
m+n sei schon definiert f.a. m\in \N und ein gutes n\in \N
m+n^+:=(m+n)^+ f.a. $m,n \in \N$ Satz: m+n=n+m f.a. m,n\in\N (Beweis induktiv über m)

Satz: l+(m+n)=(l+m)+n f.a. l,m,n\in\N (Klammern sind neutral bzgl +)

Satz (Streichungsregel): aus a+n=b+n folgt a=b f.a. a,b,n\in\N

Analog: Multiplikation

*: \N x \N \rightarrow \N wird definiert durch:

m*0:=0 f.a. m\in \N
m*n^+=m*n+m f.a. $n\in\N$ Es gilt:

m*n=n*m f.a. n\in\N
m*(n*l)=(m*n)*l f.a. m,n\in\N
m*1 = 1*m =m f.a. m\in\N
a*n=b*n \rightarrow a=b f.a. a,b\in\N, n\in\N/{0}
a*(b+c)=a*b+a*c (Distributivgesetz)

Die ganzen Zahlen `\Z`

Durch (a,b)\sim (c,d)\leftrightarrow a+d=b+c wird eine Äquivalenzrelation auf \N x\N definiert. Die Äquivalenzklassen bzgl \sim heißen ganze Zahlen (Bezeichnung \Z, Bsp 17=[(17,0)]_{/\sim }). Wir definieren Operationen +, * auf \Z durch

[(a,b)]_{/\sim } + [(c,d)]_{/\sim } = [(a+c, b+d)]_{/\sim }
$[(a,b)]{/\sim } * [(c,d)]{/\sim } = [(ac+bd, ad+bc)]_{/\sim }$ Zu zeigen ist: DIe auf der rechten Seite definierten Klassen hängen nicht von der Wahl der "Repräsentanten" der Klassen auf der linken Seite ab (Wohldefiniert).

Formal (für +): [(a,b)]_{/\sim } = [(a',b')]_{/\sim } und [(c,d)]_{/\sim } = [(c',d')]_{/\sim } impliziert [(a,b)]_{/\sim } + [(c,d)]_{/\sim } = [(a'+c', b'+d')]_{/\sim }. Aus der Vss konstant kommt a+b'=b+a' und c+d'=c'+d. Dann folgt a+c+b'+d'=b+d+a'+c', also (a+c, b+d)\sim (a'+c',b'+d').

Satz: \Z ist eine abelsche Gruppe (+ assoziativ, enhält neutrales Element, additiv Invers). [(a,0)]_{/\sim } wird als a notiert. -[(a,0)]_{/\sim }=[(0,a)]_{/\sim } wird als -a notiert. Anordnung: [(a,b)]_{/\sim } \subseteq [(c,d)]_{/\sim } \leftrightarrow a+d\leq b+c

Ein Ring R ist eine Menge mit zwei Operationen +,*: \R x\R \rightarrow \R mit:

a+(b+c) = (a+b)+c f.a. a,b,c\in \R
Es gibt ein neutrales Element O\in \R mit O+a=a+O=O f.a. a\in\R
zu jedem a\in\R gibt es ein -a\in \R mit a+(-a)=-a+a=0
a+b=b+a f.a. a,b\in\R
a*(b*c)=(a*b)*c) f.a. a,b,c\in\R
a*(b+c)=a*b+a*c f.a. $a,b,c\in\R$ R heißt Ring mit 1, falls:
es gibt ein 1\in\R mit a*1=1*a=a f.a. $a\in\R$ R heißt kommutativ, falls:
a*b=b*a f.a. $a,b\in\R$ Ein kommutativer Ring mit 1\not=O heißt Körper, falls:
zu jedem a\in\R gibt es ein a^{-1}\in\R mit a*a^{-1}=a^{-1}*a=1

Bemerkung: O kann kein multiplivativ inverses haben.

Ist \R ein Körper, so ist \R*=\R\\{0} mit * eine abelsche Gruppe.
\Z mit + und * ist ein kommutativer RIng mit 1\not=0 aber kein Körper
\mathbb{Q}, \mathbb{C}, \R mit + und * ist ein Körper

Division mt Rest in `\Z`

Satz: Zu a,b\in\Z, b\not=0, gibt es eindeutig bestimmte q,r\in\Z mit a=q*b+r und 0\leq q <|b| (d.h. \Z ist ein euklidischer Ring). (Beweis über Induktion)

Zerlegen in primäre Elemente

Satz: Jede ganze Zahl n>0 lässt sich bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.

Beweis-Existenz mit Annahme: Der Satz gilt nicht, dann gibt es eine kleinste Zahl n die sich nicht als Produkt von Primzahlen schreiben lässt \rightarrow n weder Primzahl noch 1 \rightarrow n=m*l für m,l>1 \rightarrow m und l sind Produkte von Primzahlen \rightarrow m*l= Produkt von Primzahlen.

Eindeutigkeit mit Annahme: es gibt ein n>0 ohen eindeutige Primfaktorzerlegung (PFZ)\rightarrow es gibt ein kleinstes n>0 ohne eindeutige PFZ. Kommt eine Primzahl p in beiden Zerlegungen vor, so hat auch \frac{n}{p} zwei versch. PFZen. Man erhält die PFZ von n'=(1_1-p_1)*b aus den PFZen von q_1-p_1 und b.. -> Eindeutig bestimmbar.

Arithmetik im Restklassenring in `\Z`

Sei m>1 gegeben, a\equiv b mod m \leftrightarrow m|a-b def. Relation auf \Z. Die Äquivalenzklasse zu a wird mit \bar{a} bezeichnet, d.h. \bar{a}=[a]_{/mod m}={x\in \Z: x\equiv a mod m}, \Z_m={\bar{a}:a\in\Z}. Sei dazu \bar{a}\in\Z_m beliebig.

Division mit Rest \rightarrow es gibt eindeutig bestimmt q,r mit a?q*m+r und 0\leq r < m \rightarrow a-r=q*m \rightarrow m| a-r \rightarrow a\equiv r mod m \rightarrow \bar{a}=\bar{r}. Also tritt \bar{a} in der Liste \bar{0},\bar{1},...,\bar{m-1} auf. Aus 0\leq i < j \leq m-1 folgt \bar{i}\not=\bar{j}. In der Liste \bar{0},\bar{1},...,\bar{m-1} gibt es daher keine Wiederholungen \rightarrow |\Z_M|=m.

Wir definieren Operationen +,* auf \Z_m durch \bar{a}+\bar{b}:= \bar{a+b} und \bar{a}*\bar{b}:=\bar{a*b} für a,b\in\Z. Wohldefiniert: aus \bar{a}=\bar{a'} und \bar{b}=\bar{b'} folgt \bar{a+b}=\bar{a'+b'}. Analog für Multiplikation.

Eigenschaften von \Z mit +,* werden auf \Z mit +,* "vererbt", z.B. Distributivgesetz.

Satz: Sei m\geq 2 dann ist \Z_m mit +,* ein kommutativer Ring mit \bar{1}\not=\bar{0}. Genau dann ist \Z_m sogar ein Körper, wenn m eine Primzahl ist.

Satz: Genau dann gibt es einen Körper mit n ELementen, wenn n eine Primzahl ist. D.h.. wenn n=p^a ist für eine Primzahl p und a\geq 1.

Konstruktion von `\mathbb{Q}` aus `\Z`

Sei M=\Z x(\Z /{0} die Menge von Brüchen. Durch (a,b)\sim (c,d)\leftrightarrow ad=bc wird Äquivalenzrelation auf M durchgefühert. Schreibweise für die Äquivalenzklassen \frac{a}{b} Die Elemente von \mathbb{Q} :{\frac{a}{b}:a,b\in\Z, b\not=0} heißten rationale Zahlen. Definiere Operationen +,* auf \mathbb{Q} wie folgt:

\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{b*d} (wohldefiniert)
\frac{a}{b}*\frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}

Satz: \mathbb{Q} mit +,* ist ein Körper. Durch \frac{a}{b}\leq\frac{c}{d} wird eine totale Ordnung auf \mathbb{Q} definiert. Konstruktion von \R aus \mathbb{Q} mit Dedchin-Schnitten.

Ring der formalen Potenzreihe

Sei k ein Körper (oder nur ein Ring mit 1+0). Eine Folge (a_0, a_1,...,a:n)\in K^{\N} mit Einträgen aus K heißt formale Potenzreihe. Die Folge (0,1,0,0,...) wird mit x bezeichnet. Statt K^{\N} schreibt man K[[x]]. (0_0,a_1,a_2,...) heißt Polynom in x, falls es ein d\in\N gibt mit a_j=0 f.a. j<n. Die Menge aller Polynome wird mit K[x] bezeichnet.

Satz: K[[x]] wird mit +,* wie folgt zu einem kommutativen Ring mit 1\not=0

+: (a_0,a_1,...) + (b_0,b_1,...) = (a_o+b_0, a_1+b_1, ...)
: (a_0,a_1,...) + (b_0,b_1,...) = (c_0, c_1,...) mit $c_K=\sum_{j=a}^{k} a_jb_{k-j}$ Die formale Potenzreihe (a,0,0,0,...) wird ebenfalls mit a bezeichnet.

Die bzgl \leq minimalen Elemente von B /\perp heißen Atom von B. Satz: Sei b\in B /\perp und a_1,...,a_k dijenigen Atome a mit a\leq b, dann ist b= a_1 \vee a_2 \vee ... \vee a_k.

B mit \vee, \wedge, \bar{ } und \dot{B} mit \dot{\vee}, \dot{\wedge}, \dot{\bar{}} seien boolsche Algebren. Sie heißen isomorph, falls es einen Isomorphismus von B nach \dot{B} gibt, d.h. eine Bijektion \phi: B \rightarrow \dot{B} mit:

\phi(a\vee b) =\phi(a)\dot{\vee}\phi(b) f.a. a,b \in B
\phi(a\wedge b)=\phi(a)\dot{\wedge}\phi(b) f.a. a,b\in B
\phi(\bar{a}) = \dot{\bar{\phi(a)}} f.a. a\in B

Satz (Stone): Ist B mit \vee, \wedge, \bar{} eine boolsche Algebra, B endlich und A die Menge ihrer Atome, so ist B isomorph zur boolschen Algebra \wp(A) mit \cap,\cup,\dot{\bar{}}, wobei \dot{\bar{X}}=A\\X. Also ist in jeder Teilmenge X von A Bild eines Elements von B unter \phi.

Satz: \perp, T sind durch die Bedingung 3 eindeutig bestimmt.

Satz: \bar{a} ist durch die Bedingung 1,2,4 eindeutig bestimmt.

Lemma: Sei B mit \vee, \wedge, \bar{} eine boolsche Algebra, dann gilt:

Dominanz
- a\vee T = T f.a. a\in B
- a\wedge \perp = \perp f.a. a\in B
Absorption
- a\vee(a\wedge b)= a f.a. a,b\in B
- a\wedge(a\vee b)= a f.a. a,b\in B
Streichungsregel
- a\wedge x = b\wedge x \rightarrow a=b f.a. a,b,c \in B
- a\wedge \bar{x} = b\wedge\bar{x} \rightarrow a=b f.a. a,b,x \in B
Assoziativität
- a\vee(b\vee c)=(a\vee b)\vee c f.a. a,b,c\in B
- a\wedge(b\wedge c)=(a\wedge b)\wedge c f.a. a,b,c \in B
De Moorgansche Regel
- \bar{a\vee b} = \bar{a}\wedge \bar{b} f.a. a,b\in B
- \bar{a\wedge b} = \bar{a}\vee \bar{b} f.a. a,b\in B

Satz: Durch a\leq b:\leftrightarrow a\vee b=b wird eine Ordnung auf der boolschen Algebra B mit \vee, \wedge, \bar{} definiert

a\vee b = sup{a,b}
$a\wedge b = inf{a,b}$ Es gilt a\vee b= b \rightarrow a\wedge b = a\wedge(a\vee b)= a
a\vee b ist obere Schranke von {a,b}, d.h. a\leq a\vee b, dann a\vee(a\vee b)=a\vee b
a\vee b ist kleinste obere Schranke, d.h. a\leq z und b\leq z folgt a\vee b \leq z

Sind B, \dot{B} isomorph, so schreibe B \cong \dot{B}. Daraus folgt \dot{B} \cong B und aus B \cong \dot{B} und \dot{B} \cong \ddot{B} folgt B \cong \ddot{B}. Weiterhin besitzt jede boolsche Algebra mit genau n Atomen genau 2^n viele Elemente (denn sie ist isomorph zur boolschen Algebra).

Beispiel: Sei X eine endliche Menge von Variablen. Eine aussagenlogische Formel F in X ist:

atomar: ""x" mit x\in X oder "f" oder "w" oder
zusammengesetzt: (P\vee Q), (P \wedge Q), (\neg P) aus den Formeln P,Q Der Wahrheitswert von F unter der Belegung \beta: X\rightarrow {f,w} ergibt sich wie in Kapitel 1. Bezeichnung für den Wahrheitswert von F unter \beta: W_F(\beta). Es gibt 2^{|x|} Belegungen. Der Wahrheitswerteverlauf ist die so definierte Funktion W_F:{f,w}^X\rightarrow{f,w}. Folglich gibt es 2^ {2^{|x|}} verscheidene Wahrheitswertverläufe für logische Formeln. Formeln F, F' heißen äquivalent, falls W_F=W_{F'} \rightarrow es gibt 2^ {2^{|x|}} verschiedene Äquivalenzklassen aussagenlogischer Formeln in X. Die Äquivalenzklassen werden mit [F]_{/\equiv} bezeichnet.

Sei B:={[F]_{/\equiv}}: F aussagenlogische Formel in X } die Menge aller Äquivalenzklassen aussagenlogischer Formeln in X.

[P]_{/\equiv} \vee [Q]_{/\equiv} = [(P\vee Q)]_{/\equiv}
[P]_{/\equiv} \wedge [Q]_{/\equiv} = [(P\wedge Q)]_{/\equiv}
$\bar{[P]{/\equiv}} = [-(P)]{/\equiv}$ liefert die boolsche Algebra auf B
\perp = [f]_{/\equiv} = Menge der Kontradiktionen von X
T = [w]_{/\equiv} = Menge der Tautologien von X

Ordnung \leq auf B: [P]_{/\equiv} \leq [Q]_{/\equiv} \leftrightarrow [P]_{/\equiv} \wedge [Q]_{/\equiv} \rightarrow Die Atome von B sind genau die Klassen zu Formel P mit W_p^{-1}({w})=1. Kanonische Repräsentaten für diese Atome sind die Min-Terme. Zu jeder aussagenlogischen Formel f kann man die Atome [P]_{/\equiv} mit [P]_{/\equiv} \leq [F]_{/\equiv} betrachten, wobei P Min-Terme sind.

Satz Jede Formel ist äquivalent zu einer Formel in DNF (disjunkte normal Form)

Coatome der boolschen Algebra B mit \vee, \wedge, \bar{} := Atome der dualen boolschen Algebra B mit \vee, \wedge, \bar{}

Ist b\in B und a_1,...,a_k die Coatome a mit b\leq a so gibt b=a_1 \wedge ... \wedge a_k. Max-Terme sind "$x_1\vee ... \vee x_k$" und alle j die durch Ersetzung einiger x_j durch \neg x_j daraus hervorgehen und sind die kanonische Repräsentation der Coatome von B.

Satz: Jede aussagenlogische Formel ist äquivalent zu einer Formel in konjunktiver Normalform (KNF), d.h. zu einer Formel P_1\wedge ... \wedge P_n, worin die P_j Max-Terme sind.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

Ein (endlicher, diskreter) Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar (\Omega, p) bestehnd aus einer endlichen Menge \Omega und einer Funktion p:\Omega \rightarrow [0,1]\in \R mit \sum_{\omega \in \Omega} p(\omega)=1. Jeder derartige p heißt (Wahrscheinlichtkeits-) Verteilung auf \Omega. Die Elemente aus \Omega heißen Elementarereignis, eine Teilmenge A von \Omega heißt ein Ereignis; seine Wahrscheinlichkeit ist definiert durch p(A):=\sum_{\omega in A} p(\omega). A=\emptyset und jede andere Menge A\subseteq \Omega mit p(A)=0 heißt unmöglich (unmögliches Ereignis). A=\Omega und jede andere Menge A\subseteq \Omega mit p(A)=1 heißt sicher (sicheres Ereignis). Es gilt für Ereignisse A,B,A_1,...,A_k:

A\subseteq B \rightarrow p(A)\leq p(B) denn p(A)=\sum p(\omega) \leq \sum p(\omega) = p(B)
p(A\cup B) \rightarrow p(A)+p(B)-p(A\cap B)
Sind A_1,...,A_k paarweise disjunkt (d.h. A_i \cap A_J=\emptyset für i\not =j) so gilt p(A_1 \cup ... cup A_k)= p(A_1)+...+p(A_k)
p(\Omega \\ A):= Gegenereigns von A=1-p(A)
p(A_1,...,A_k) \leq p(A_1)+...+p(A_k)

Beispiel: Würfelwurf

ungezinkt:
- \Omega = {1,2,3,4,5,6}
- p=(\frac{1}{6},\frac{1}{6},\frac{1}{6},\frac{1}{6},\frac{1}{6},\frac{1}{6})
- d.h. p(\omega)=\frac{1}{6} f.a. \omega \in \Omega
gezinkt:
- \Omega = {1,2,3,4,5,6}
- p=(\frac{1}{4}, \frac{1}{10}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{10}, \frac{1}{10})=(25%, 10%, 20%, 25%, 10%, 10%)
- p({\omega \in \Omega: \omega gerade})=p({2,4,6})=p(2)+p(4)+p(6)= \frac{1}{10}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{10} = \frac{9}{20}

Satz: Sind (\Omega, p_1),...,(\Omega, p_m) Wahrscheinlichkeitsräume so ist durch p((\omega_1,...,\omega_m))=\prod p_i(\omega_i) eine Verteilung auf \Omega = \Omega_1 x ... x \Omega_m = {(\omega_1,...,\omega_m): \omega \in \Omega, f.a. i\in{1,...,m}}. Für A_1\subseteq \Omega_1, A_2\subseteq \Omega_2,...,A_m\subseteq \Omega_m gilt p(A_1x...xA_m)=\prod p_i(A_i). (\Omega, p) heißt Produktraum von (\Omega_1, p_1),....

(\Omega, p) Wahrscheinlichkeitsraum; A,B\in \Omega heißen (stochastisch) unabhängig, falls p(A\cap B) = p(A)*p(B). Bespiel: p(A\cap B) = p({i,j}) =p_1{i}*p_2{j} = p(A)*p(B) für das Ereignis "der 1. Würfel zeigt i, der 2. Würfel zeigt j"

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

(\Omega, p) Wahrscheinlichkeitsraum, B\subseteq \Omega ("bedingtes Ereignis") mit p(B)>0, dann ist p_B:B\rightarrow [0,1]; p_B(\omega)=\frac{p(\omega)}{p(B)} eine Verteilung auf B, denn \sum p_b(\omega)=\sum \frac{p(\omega)}{p(B)}=\frac{1}{p(B)} \sum p(\omega)= \frac{1}{p(B)} p(B)= 1. p_B ist die durch B bedingte Verteilung. Für A\subseteq \Omega gilt p_B(A\cap B)=\sum p_B(\omega)=\sum\frac{p(\omega)}{p(B)}= \frac{p(A\cap B)}{p(B)}:= p(A|B) ("p von A unter B") bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B.

Satz (Bayer): p(A|B)=\frac{p(B|A)*p(A)}{p(B)} wobei p_A, p_B \geq 0

Satz (Totale Wahrscheinlichkeit): Seien A_1, ...,A_k paarweise disjunkt, \bigcup A_j=\Omega, p(A_i)>0, B\subseteq \Omega, dann gilt p(B)=\sum p(B|A_i)*p(A_i).

Satz (Bayer, erweitert): A_1,...,A_k,B wie eben, p(B)>0. Für i\in {1,...,k} gilt p(A_i|B)=\frac{p(B|A_i)*p(A_i)}{\sum p(B|A_j)*p(A_j)}

Bespiel: In einem Hut liegen drei beidseitig gefärbte Karten. Jemand zieht ("zufällig") eine Karte und leg sie mit einer ("zufälligen") Seite auf den Tisch. Karten rot/rot, rot/blau und blau/blau. Gegeben er sieht rot, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die andere Seite auch rot ist? p(unten rot | oben rot) = p(unten rot und oben rot)/p(oben rot) = \frac{p\binom{r}{r}}{p(\binom{r}{r}\binom{r}{b})}=\frac{\frac{2}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{2}{3}

Eine Funktion X:\Omega \rightarrow \R heißt (reellwertige) Zufallsvariable. Weil \Omega endlich ist, ist auch X(\Omega)={X(\omega): \omega \in \Omega}\subseteq \R endlich. Durch p_x(x):=p(X=x):=p({\omega \in \Omega: X(\omega)=x}) wird ein Wahrscheinlichkeitsraum (X(\Omega),p_x) definiert; denn \sum p_x(x)=p(\Omega)=1. p_x heißt die von X induzierte Verteilung. X(\Omega) ist meist erheblich kleiner als \Omega. Beispiel: Augensumme beim Doppelwurf: X:\Omega\rightarrow \R, X((i,j))=i+j \rightarrow X(\Omega)={2,3,4,...,12}

Satz: Seien (\Omega_1, p_1),(\Omega_2, p_2) Wahrscheinlichkeitsräume und (\Omega, p) ihr Produktraum. Sei X:\Omega_1\rightarrow\R,Y:\Omega_2\rightarrow \R, fasse X,Y als ZVA in \Omega zusammen X((\omega_1,\omega_2))=X(\omega_1) und Y((\omega_1,\omega_2))=Y(\omega_2); d.h. X,Y werden auf \Omega "fortgesetzt". Dann sind X,Y stochastisch unabhängig in (\Omega, p) (und p(X=x)=p_1(X=x), p(Y=y)=p_2(Y=y)).

Erwartungswert, Varianz, Covarianz

Sei X:\Omega\rightarrow \R ZVA im Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega, p). E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)}x p(X=x)=\sum_{\omega in Omega} X(\omega)p(\omega) "E verhält sich wie Integral"; E(x) heißt Erwartungswert von x.

Linearität des Erwartungswertes: E(x+y)=E(x)+E(y) und E(\alpha x)=\alpha E(x). Ist X:\Omega\rightarrow \R konstant gleich c, so ist E(x)=\sum x*p(X=x)=c*p(X=x)=c*1=c.

Die Varianz von X: Var(X)=E((X-E(X))^2) heißt Varianz von X (um E(X)). Die Covarianz: Cov(X,Y)=E((X-E(X))*(Y-E(Y))) heißt Covarianz von X und Y. Der Verschiebungssatz: $Cov(X,Y)=E(X*Y)-E(X)*E(Y)$ Var(X)=Cov(X,X)=E(X*X)-E(X)E(X)=E(X^2)-(E(X))^2

Seien X,Y stochastisch unabhängig (\leftrightarrow p(X=x \wedge Y=y)=p(X=x)*p(Y=y)) $E(X)E(Y)=\sum_{x\in X(\Omega)} xp(X=x)* \sum_{y\in Y(\Omega)} yp(Y=y)=\sum_{x\in X(\Omega)} \sum_{y\in Y(\Omega)} xyp(X=x)p(Y=y)=\sum_{Z\in\R} zp(XY=Z) = E(X*Y)$ Sind X,Y stochastisch unanhängig ZVA, so ist E(X)*E(Y)=E(X*Y); folglich Cov(X,Y)=0

Satz: Seien X,Y ZVA, dann gilt Var(X+Y)=Var(x)+Var(Y)+2*Cov(X,Y). Sind insbesondere X,Y unabhängig gilt: Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y).

Sei (\Omega, p) Wahrscheinlichkeitsraum, X:\Omega\rightarrow \R Zufallsvariable heißt Bernoulliverteilt im Parameter p falls p(X=1)=p und p(X=0)=1-p, p\in [0,1]. $E(X)=\sum xp(X=x)= 1p(X=1)=p$ Für X:\Omega\rightarrow {0,1} ist X^2=X: Var(X)=E(X^2)-E(X)^2 = p-p^2 = p(1-p)=p*q

Binominalkoeffizienten

Sei N eine Menge, dann ist \binom{N}{k} := (x \subseteq N: \text{x hat genau k Elemente } (|x|=k) ) für k\in \N. Für n\in \N sei \binom{n}{k}:=|(\binom{1,...,k}{k}).

Satz: \binom{n}{0}={n}{n}=1 f.a. n\geq 0 \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} f.a. n\geq 0,k\geq 1, k\geq n-1

Jede n-elementige Menge N ist \binom{N}{0}=(\emptyset), \binom{N}{n}={N}\rightarrow \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1. Den zweiten Teil der Behauptung zeigt man induktiv über n.

Binominalsatz

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n a^k b^{n-k} für $a,b\in \R$ Für n\in \N sei n!=n(n-1)(n-2)...*3*2*1=\prod i; für n\in\N und k\geq 0 sei [\binom{n}{k}]=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Satz: \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1 für jedes n\in\N, \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1} für k\geq 1 und k\leq n-1. Zweiter Teil: [\binom{n-1}{k}]+[\binom{n-1}{k-1}]=\frac{n!}{k!(n-k)!} = [\binom{n}{k}]. Also stimmen die Rekursionsgleichungen von \binom{n}{k} und [\binom{n}{k}] überein sowie \binom{n}{k}=[\binom{n}{k}]. Folglich ist die Anzahl k-elementiger Teilmengen eine n-elementige Menge gleich $\frac{n!}{k!(n-k)!}.

Seien X_1,...,X_n unabhängige ZVAen, alle X_i seien Bernoulli-Verteilt im Parameter p[0,1], d.h. p(X_1=1)=p, p(X_i=0)=(1-p). Dann ist X_i=X_1+X_2+...+X_n ebenfalls reelwertige ZVA. Im Fall X_i:\Omega\rightarrow {0,1} ist X:\Omega\rightarrow {0,1,...,n}. Die Verteilung von X ergibt sich wie folgt, für k\in {0,1,...,n}: p(X=k)=\binom{n}{k}*p^k(1-p)^{n-k}

Eine ZVA heißt binominalverteilt in den Parametern n und p falls gilt: p(X=k)=\binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k} für k\in{0,1,...,n}; schreibe X\sim L(n,p). Sonst ist X Bernoulliverteilt (genau dann wenn X\sim L(1,p)).

Erwartungswert und Varianz

Sei X\sim L(n,p) OBdA X=X_1,+...+X_n wobei X_i unabhängig und Bernoulliverteilt.

E(X)=n*p, E(X_i)=p

Var(X)=nÜp*(1-p), Var(X_i)=p*(1-p)

Multinominalverteilung

\binom{N}{k_1,...,k_n} sei Menge der Abbildungen f:N\rightarrow {1,...,r} mit k1,...,k_r\geq 0, k_1+...+k_r=|\N| und f^{-1}[{j}]=k_j \binom{n}{k_1,...,k_r} = |\binom{N}{k_1,...,k_r}.

Hypergeometrische Verteilung

Beispiel: Urne mit zwei Sorten Kugeln; N Gesamtzahl der Kugeln, M Gesamtzahl Kugeln Sorte 1, N-M Gesamtzahl Kugeln Sorte 2, n\leq N Anzahl Elemente einer Stichprobe. X Anzahl der Kugeln Sorte 1 in einer zufälligen n-elementigen Stichprobe. $p(X=k)=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} Eine ZVA X:\Omega\rightarrow \R heißt hypergeometrisch Verteilt in den Parametern M,N,n falls p(X=k) für alle k\geq 0, k\geq M gilt.

E(X)=\sum_{x=0}^M \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}=...=n*\frac{M}{N}

Var(X)=E(X^2)-E(X)^2 =...= n*\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})(\binom{N-n}{N-1})

Elementare Graphentheorie

G=(V,E) heißt Graph mit Eckenmenge V(G)=V und Kantenmenge E(G)=E\subseteq {{x,y}:x\not=y \in V}. Veranschaulichung als Punkte in der Ebene (V) mit "Verknüpfungslinien" von x nach y. Bsp G=({1,2,3,4},{12,13,14,15,16}).

P=x_0,...,x_e Folge pw verschiedener Ecken mit x_{i-1},...,x_i \in E(k) für i\in{1,...,l} heißt ein Weg von x_0 nach x_e der Länge l. Für (a,b)\in V(G) heißt d_G(a,b)=min{l: es_gibt_einen_a,b-Weg_der_Länge_l} Abstand von a nach b. Falls es keinen a,b-Weg gibt, definiere d_G(a,b)=+\infty.

a\sim b \leftrightarrow es gibt einen a,b-Weg in G wird eine Äquivalenzrelation auf V(G) definiert. DIe Äquivalenzklassen heißen (Zusammenhangs-) Komponenten von G.

G heißt zusammenhängend, wenn G höchstens eine Komponente besitzt. d_G: V(G) x V(G) \leftrightarrow \R_{\geq 0} ist eine Matrix

d_G(x,y)=0 \leftrightarrow x=y f.a. x,y \in V(G)
d_G(x,y)=d_G(y,x) f.a. x,y\in V(F)
d_G(x,z)\leq d_G(x,y) + d_G(y,z)) f.a. x,y,z \in V(G)

Für A\subseteq V(G) sei G[A]:= (A, {x,y\in E(G):x,y\in A}). Für F\subseteq E(G) sei G[F]:=(V(G), F). G[A] bzw G[F] heißt von A bzw F induzierte Teilgraph. Ein Graph H mit V(H)\subseteq V(G) und E(H)\subseteq E(G) heißt Teilgraph von G, schreibweise H\leq G. \leq ist Ordnung, denn:

G\leq G
H\leq G \wedge G\leq H \rightarrow H=G
H\leq G \wedge G=L \rightarrow H\leq L

Ist P=x_0,...,x_p Weg, so heißt auch der Teilgraph ein Weg von x_0 nach x_e. Graphen G, H heißen isomorph, falls es einen Isomorphismus von V(G) nach V(H) gibt. Das heißt eine Bijektion. V(G)\rightarrow V(H) mit f(x)f(y)\in E(H)\leftrightarrow x,y \in E(G). Es gilt:

G\cong G
G\cong H \rightarrow H \cong G
G\cong H \wedge H\cong L \rightarrow G\cong L

Eine Folge C=x_0,x_1,...,x_{l-1} von Ecken mit x_i,x_{i+1}\in E(G) für i\in {0,...,l-2} und x_{l-1}x_0 \in E(G) heißt Kreis in G der Länge l, falls x_0,...,x_{l-1} pw versceiden sind. Bsp: Kreis der Länge 5.

EIn Teilgraph H des Graphen G (also H\leq G) heißt aufspannend, falls V(H)=V(G). Für eine Ecke x\in V(G) sei d_G(x)=|{x,y\in E(G), y\in V(G)}| die Anzahl der mit x indizierten Kanten, der sogenannte Grad von x in G.

Weiter N_G(x):={x\in V(G): xy \in E(G)} die Menge der nachbarn von x in G. Hier gilt: |N_G(x)=d_G(x)|.

In jedem Graph G gilt \sum_{x\in V(G)} d_G(x)=2|E(G)|. Der Durchschnittsgrad von G ist somit \bar{d(G)}=\frac{1}{|V(G)|}\sum d_G(x)=\frac{2|E(G)|}{|V(G)|}.

Ein Graph ist ein Baum wenn G zusammenhängend und G-e nicht zusammenhängend für jedes e\in E(G) "G ist minimal zusammenhängend" Graph G ist ein Baum wenn G kreisfrei und Graph G+xy nicht kreisfrei für jedes $xy \not\in E(G)$ G ist Baum, wenn

G ist kreisfrei und zusammenhängend
G kreisfrei und |E(G)|=|V(G)|-1
G zusammenhängend und |E(G)|=|V(G)|-1

Jeder Baum mit wenigstens einer Ecke besitzt eine Ecke vom Grad \leq 1, ein sog. Blatt ("jeder Baum besitzt ein Blatt"). \rightarrow E(G)=|V(G)|-1 für jeden Baum also d(G)=\frac{2|V(G)| -2}{|V(G)|}<2.

G Wald \leftrightarrow die Komponenten von G sind Bäume

G Baum \leftrightarrow G ist zusammenhängender Wald

Ein Teilgraph H von G heißt Teilbaum von G, falls H ein Baum ist. Ein aufspannender Teilbaum von G heißt Spannbaum von G. G zusammenhängend \leftrightarrow G Spannbaum.

Ein Spannbaum T von G heißt Breitensuchbaum von G bei x\in V(G) falls d_F(z,x)=d_G(z,x) f.a. z\in V(G).

Ein Spannbaum T von G heißt Tiefensuchbaum von G bei x\in V(G) falls für jede Kante zy gilt: z liegt auf dem y,x-Weg in T oder y liegt auf dem z,t-Weg in T.

Satz: Sei G zusammenhängender Graph x\in V(G). (X) sind x_0,...,x_{e-1} schon gewählt und gibt es ein + \in {0,..., e-1} so, dass x_+ einen Nachbarn y in V(G){$x_0,...,x_{e-1}$}, so setze x_e=y und f(e):=t; iteriere mit e+1 statt e. Dann ist T:=({x_0,...,x_e},{x_j*x_{f(j)}: j\in {1,...,e}}) ein Spannbaum

(X) wird in + stets kleinstmöglich gewählt, so ist T ein Breitensuchbaum
wird in (X) + stets größtmöglich gewählt, so ist T ein Tiefensuchbaum

Spannbäume minimaler Gewichte

G Graph, F \subseteq E(G) heißt kreisfrei, falls G(F) kreisfrei ist.

Lemma (Austauschlemma für Graphen): Seien F, F' zwei kreisfreie Kantenmengen in Graph G und |F|<|F'|, dann gibt es ein e \in F'/F so, dass F\vee {e} kreisfrei ist.

G, \omega:E(G)\rightarrow \R (Gewichtsfunktion an den Kanten). Für F\subseteq E(G) sei \omega (F)=\sum \omega (e), speziell \omega (\emptyset)=0.

Für einen Teilgraphen H von G sei \omega (G)=\omega (E(G)). Ein Spannbaum minimalen Gewichts ist ein Spannbaum T von G mit \omega (T)\leq \omega (S) für jeden Spannbaum S von G.

Satz (Kruskal): Sei G zuständiger Graph, \omega:E(G)\rightarrow \R; Setze F=\emptyset. Solange es eine Kante e\in E(G)\\F gibt so, dass F \vee {e} kreisfrei ist, wähle e mit minimalem Gewicht \omega(e), setzte F=F\vee {e}, iterieren. Das Verfahren endet mit einem Spannbaum T=G(F) minimalen Gewichts.

Beweis: Weil G endlich ist endet das Verfahren mit einem maximal kreisfreien Graphen T. Seien e_1,...,e_n die Kanten von T in der Reihenfolge ihres Erscheinens, sei S Spannbaum minimalen Gewichts und f_1,...,f_m die Kanten in Reihenfolge aufsteigenden Gewichts. Angenommen (redactio ad absurdum) \omega(T)>\omega(S). Dann gibt es ein i\in{1,...,m} mit \omega(e_i)>\omega(f_i). Wähle i kleinstmöglich, dann ist F={e_1,...,e_{i-1}} und F'={f_1,...,f_i} kreisfrei. Nach Austaschlemma gibt es ein f\in F'/F so, dass F\vee {f} kreisfrei ist. Also ist f ein Kandidat bei der Auswahl von e_i gewesen, also \omega(e_i)\leq \omega(f) (Fehler!). Folglich ist \omega(T)\leq \omega(S) \Rightarrow \omega(T)=\omega(S) also T und S Spannbaum mit minimalen Gewichten.

Das Traveling Salesman Problem

G sei Graph (vollständig) auf n Ecken, d.h. xy\in E(G) \forall x\not =y aus V(G) und \omega*E(G)\rightarrow \R. Finde aufspannenden Kreis C von G minimalen Gewichts. Zusatzannahme (metrische TSP) \omega(xz)\leq \omega(xy)+\omega(yz). Finde einen aufspannenden Kreis C, der um einen Faktor von höchstens zwei von einem aufspannenden Kreis D minimalen Gewichts abweicht (\omega(C)\leq 2 \omega(D)) sog. Approximationsalgorithmus mit Gütefaktor \leq.

Konstruiere eine Folge$x_0,...,x_m$ mit der Eigenschaft, dass jede Kante von T genau zweimal zum Übergang benutzt wird, d.h. zu e\in E(T) existieren i\not = j mit e=x_i x_{i+1} und e=x_j x_{j+1} und zu jedem k existieren e\in E(T) mit e=x_k x_{k+1}. Das Gewicht dieser Folge sei \sum \omega(x_i x_{i+1})= 2\omega(T).

Eliminiere Mehrfachnennungen in der Folge. Gibt es i\not= j mit x_j=x_i so streiche x aus der Folge. Das Gewicht der neuen Folge ist maximal so groß wie das Gewicht der alten. Durch iteration erhält man einen aufspannenden Kreis mit \omega(X) \leq 2 \omega(T). Sei e Kante von D \rightarrow D-e=S ist aufspanndender Weg \rightarrow \omega(T) \leq w(D-e) \leq \omega (D).

G Graph, k\geq 0. Eine Funktion f:V(G)\rightarrow C mit |C|\leq k heißt k-Färbung, falls f(x)\not = f(y) für xy\in E(G). G heißt k-färbbar, falls G eine k-Färbung besitzt. Das kleinste k\geq 0 für das G k-färbbar ist heißt dramatische Zahl von G, Bezeichnung X(G).

Satz (Tuga): Sei k\geq 2 und G ein Graph ohne Kreise eine Lösung l\equiv 1 mod k, dann ist G k-faltbar. G 2-färbbar \leftrightarrow G hat keine Kreise ungerader Länge. Ein Graph heißt bipartit mit den Klassen A,B falls (x\in A \wedge y\in B)\vee (x\in B \wedge y\in A) für alle xy \in E(G) gilt. Genau dann ist G bipoartit mit gewissen Klassen A,B wenn G 2-färbbar ist.

Satz (Hall) "Heiratssatz": Sei G bipartit mit Klassen A,B. Dann gilt G hat ein Matching von A \leftrightarrow |N_G(X)|\leq |X| für alle X\subseteq A.

Satz: "$\rightarrow$" sei M Matching von A in G \rightarrow |N_G(X)| \leq N_{G[M]}(X)=|X|. "$\leftarrow$" Induktiv über |V(G)|. Ein schneller Zeuge für die Existenz eines Matchings von A im bipartiten Graphen G mit Klassen A,B ist das Matching selbst. Ein schneller Zeuge für die nicht-existenz eines Matchings ist ein X\subseteq A mit |N_G(X)| < |X|.

Das Entscheidungsproblem "hat ein bipartiter Graph ein Matching?" ist im NP und zugleich in co-NP. Also ist auch Problem "ist ein Graph 2-färbbar?" in NP und co-NP. Das Problem "ist ein Graph 3-färbbar" ist in NP. Es ist sogar NP-vollständig, d.h. jedes Problem in NP (jedes Entscheidungsproblem mit schnellen Zeugen für Ja) lässt sich in Polynomalzeit in dieses Färbungsproblem überführen.

Ein weiteres Problem in NP ist: aussagenlogische Formel gegeben F=C_1 \wedge C_2 \wedge ... \wedge C_m, jedes C_b ist von der Form P\vee Q \vee R mit P=x_i; Q=x_j; R=x_2 oder P=\neg x_i; Q=\neg x_j; R=\neg x_2. Auch dieses Problem ist NP-vollständig.

SAT ist die "Mutter aller Probleme in NP"
Färbbarkeit lässt sich darauf zurückführen und umgekehrt

50 KiB Raw Blame History