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# Einführung - Übersicht Bildverarbeitungsprozess
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## Bildverarbeitung
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Bildverarbeitung / Bildanalyse
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- Wissenschaft von der algorithmischen Verarbeitung von Informationen in Bildern
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- Ziel: Ableitung relevanter (nützlicher) Parameter
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- Anwendung in nahezu allen Bereichen von Wissenschaft und Technik, Medizin und Alltag
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Vorlesung BVM
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- Grundlagen der Digitalen Bildverarbeitung
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- Anwendungsfokus: Medizinische Bildverarbeitung
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Anwendungsfelder digitaler Bildverarbeitung
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- Medizinische Diagnostik und Therapie
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- Röntgen, CT, DSA, PET, SPECT, Ultraschall, MRI, fMRI, OCT
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- Biolog. Bildgebung
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- Histologie, Mikroskopie, Zählung, Klassifikation u. Morphologie von Zellen, Bewegungsanalyse, Wachstum
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- Forensik / Rechtsmedizin
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- Fingerabdruck, Gesichtserkennung
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- Mensch-Maschine-Kommunikation / Robotik
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- Gestenerkennung, Zeichensprache, Orientierung im Raum
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- Dokumentenverarbeitung
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- Automatische Texterkennung (OCR), Scannen, Archivieren, Fotografie
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- Industrie / Materialforschung
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- Qualitätssicherung, automatisches Zählen, Komponentenerkennung
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- Remote Sensing
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- Ernte, Wetter, Vermessung, Militär, Astronomie
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Medizinische Bildverarbeitung
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- Anwendungsfelder
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- Diagnose
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- Screening
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- OP-Planung
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- Bestrahlungsplanung
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- Ausbildung
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- Eigenschaften
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- Große Komplexität / multimodal (verschiedene bildgebende Verfahren)
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- Variabilität der Objekte /individuelle Unterschiede
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- Große Bedeutung feinster Strukturen
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- Dreidimensionale / dynamische Bilddaten
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- Vergleichbarkeit mit Standardfällen
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- Hohe Robustheit notwendig
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Modellgestützte Interpretation
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- Bildinformationen
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- Modell- bzw. anwendungsspezifische Interpretation des Bildes
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- Bild nur unter Erwartungshaltung bzw. mit Hilfe eines Modells interpretierbar
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- Können verfälscht oder widersprüchlich sein
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- Bildrestauration
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- ''Pin Cushion'' Verzerrung, ''Barrel'' Verzerrung
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- Verzerrung durch Bewegung (Restauration durch inverse Filterung)
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- Fokussierungsunschärfe
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- Verrauschtes Bild -> Gauß-Filter
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- ,,Salz und Pfeffer'' Rauschen -> Medianfilter
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- Kontraständerung
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- Bildregistrierung
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- Segmentierung
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- Schwellwertsegmentierung
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- Erkennung von Kreisen (Hough-Transformation)
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- Merkmale und Klassifikation
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## Vorlesungsinhalt
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0. Einführung
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- Bildverarbeitungsprozess
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1. Bildrepräsentation und Bildeigenschaften
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- Ortsbereich
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- Spektralbereich
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- Diskrete 2D-Faltung
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2. Bildvorverarbeitung
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- Bildrestauration
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- Bildregistrierung
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- Bildverbesserung
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3. Segmentierung
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- Pixel- bzw. histogrammbasierteSegmentierung
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- Regionen-basierte Segmentierung
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- Kantenbasierte Segmentierung
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- Wasserscheidentransformation
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- Modellbasierte Segmentierung
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4. Morphologische Operationen
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- Morphologische Basisoperationen
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- Entfernen von Segmentierungsfehlern
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- Bestimmung von Formmerkmalen
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5. Merkmalsextraktion und Klassifikation
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- RegionenbasierteMerkmale
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- Formbasierte Merkmale
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- Einführung in die Klassifikation
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# Bildrepräsentation und Bildeigenschaften im Ortsbereich
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## Ortsbereich
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### Kontinuierliche Bilder
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#### Wiederholung: Kontinuierliche Signale
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##### Das kontinuierliche Signal
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Definition: $x(t)\in\mathbb{R}$ eindimensionale Funktion
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- kontinuierliche Zeitvariable $t\in\mathbb{R}$
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- Funktionswert x = kontinuierlicher Signalwert (Spannung, Strom, ...)
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##### Dirac Stoß
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- Definition: $\inf_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt=1$, $\delta(t)=\begin{cases}\rightarrow\infty\quad \text{ für } t=0\\ 0\quad\text{ für } t\not= 0\end{cases}$
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- Approximation (Definition): $\delta(t)=lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon}* rect(\frac{t}{\epsilon})$
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- Symmetrie $\delta(-t)=\delta(t)$
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- Stoßgewicht $\inf_{-\infty}^{\infty} a\delta(t)dt = a$
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- Ausblendeigenschaft (Siebeigenschaft) $u(t)*\delta(t-\tau)=u(\tau)*\delta(t-\tau)$
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- Faltung $\inf_{-\infty}^{\infty} u(t)*\delta(t-\tau)d\tau = u(t)*\delta(t)=u(t)$
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- Verschiebung $u(t)*\delta(t-\tau)=u(t-\tau)$
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- Fourier Transformierte $\delta(t) \laplace 1$, $1\Laplace \delta(f)$
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##### 1D Faltung
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- Definition: $u_1(t)*u_2(t)=\inf_{-\infty}{\infty} u_1(\tau) * u_2(t-\tau) d\tau$
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- Kommutativgesetz: $u_1(t)*u_2(t)=u_2(t)*u_1(t)$
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- Assoziativgesetz: $[u_1(t)*u_2(t)]*u_3(t)=u_1(t)*[u_2(t)*u_3(t)]$
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- Distributivgesetz: $u_1(t)*[u_2(t)+u_3(t)]= u_1(t)*u_2(t) + u_1(t)*u_3(t)$
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- Neutrales Element: (Einheitselement) $u(t)*\delta(t)=\inf_{-\infty}^{\infty} u(\tau)*\delta(t-\tau)d\tau = u(t)$
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- 
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##### LTI (Linear Time-Invariant) Systeme
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- $x(t)\rightarrow LTI System g(t) \rightarrow y(t)$
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- Eingang/Ausgang: $y(t)=x(t)*g(t) \fourier Y(f)=X(f)*G(f)$
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- Kausalität $g(t)=0$ gilt falls $t<0$
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- BIBO Stabilität $\inf_{-\infty}^{\infty} |g(t)|dt < \infty$
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- Sprungantwort / Stoßantwort
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- $h(t)=\inf_{-\infty}^t g(\tau)d\tau$
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- $g(t)=\frac{d}{dt} h(t)$
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#### Kontinuierliche Bilder
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Das kontinuierliche Bild: Definition als 2D-Grauwertfunktion
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Definition: $g(x, y) \in\mathbb{R} \rightarrow$ zweidimensionale Funktion
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- g: Funktionswert = kontinuierlicher Grauwert (Lichtstärke oder Schwächung von Röntgenstrahlung)
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- kontinuierliche Ortsvariablen $x$ und $y$: $x,y\in\mathbb{R}$
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Alternativ: $g(\underline{r})\in\mathbb{R}$ mit $\underline{r}=\binom{x}{y}\in\mathbb{R}^2$ mit Ortsvektor $\underline{r}$
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Bild als 2D Grauwertfunktion: 
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Beispiel 2D Rechteck
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- $g(x,y)=rect(x,y)=\begin{cases} 1\quad\text{ für } |x,y|\leq 0,5\\ 0 \quad\text{ sonst}\end{cases}$
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- $g(x,y)=rect(x,y)=rect(x)*rect(y)=g_1(x)*g_2(y)$
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- ...ist eine separierbare Funktion, d.h. $g(x,y)=g_1(x)*g_2(y)$
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Beispiel: 2D Rechteck skaliert
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- $g(x,y)=rect(\frac{x}{\epsilon_x}, \frac{y}{\epsilon_y})=\begin{cases} 1\quad\text{ für } |\frac{x}{\epsilon_x},\frac{y}{\epsilon_y}\leq 0,5 \\ 0\quad\text{ sonst } \end{cases}$
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- $g(x,y)=rect(\frac{x}{\epsilon_x}= rect(\frac{x}{\epsilon_x}) * rect(\frac{y}{\epsilon_y})$
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- ... ist eine separierbare Funktion, d.h.: $g(x,y)=g_1(x)*g_2(y)$
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Beispiel: Approximation des 2D Dirac-Stoßes
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- $\delta(x,y)=lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon^1} * rect(\frac{x}{\epsilon},\frac{y}{\epsilon})$
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- ... ist ebenso separierbar, d.h.: $\delta(x,y)=\delta(x)*\delta(y)$
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2D-Dirac-Stoß
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- Definition: $\delta(x,y)=\begin{cases} \rightarrow\infty \quad\text{ für } x,y=0 \\ 0 \quad\text{ für } x,y\not=0\end{cases}$
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- $\inf_{-\infty}^{\infty} \inf_{-\infty}^{\infty} \delta(x,y)dx dy=1$
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- Verschobener Dirac-Stoß: $\delta(x-v, y-\eta)$
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- Abtasteigenschaft (Ausblendeigenschaft)
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- weil $\inf_{-\infty}^{\infty} \inf_{-\infty}^{\infty} \delta(x,y)dx dy=1$
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- $g(v,\eta)=\inf_{-\infty}^{\infty} \inf_{-\infty}^{\infty} g(x,y) * \delta(x-v, y-\eta) dx dy$
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- Mit Hilfe eines um $v, \eta$ verschobenen 2D-Dirac-Stoßes lässt sich $g(x,y)$ an den Ortskoordinaten $v,\eta$ abtasten $\rightarrow g(v,\eta)$
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- 2D-Faltung mit Dirac Stoß: $g(x,y)=\inf_{-\infty}^{\infty} \inf_{-\infty}^{\infty} g(x,y) * \delta(x-v, y-\eta) dv d\eta = g(x,y) ** \delta(x,y)$
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- Die Faltung eines Bildes $g(x,y)$ mit dem 2D-Dirac-Stoß ergibt wieder das Bild $g(x,y)$.
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- $\delta(x,y)=$ Einheitselement (neutrales Element) der 2D Faltung
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#### Lineare kontinuierliche Operatoren / Point Spread Function
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Eigenschaft: $g_2(x,y)=U\{g_1(x,y)\}$
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Linearität: $O\{a_1g_{11} (x,y) +a_2g_{22}(x,y)\}=a_1*O\{g_{11}(x,y)\} + a_2*O\{g_{22}(x,y)\}$
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Ein- / Ausgangsbeziehung: $g_2(x,y) = Ο\{g_1(x,y)\}= \inf_{-\infty}^{\infty}\inf_{-\infty}^{\infty} g_1(v,\eta)*O\{\delta(x-v,y-\eta)\} dv dn$
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Impulsantwort (Point Spread Function) $g_2(x,y)=\inf_{-\infty}^{\infty}\inf_{-\infty}^{\infty} g_1(v,\eta)*h(x,y,v,\eta)dv d\eta$
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Für räumlich invariante (verschiebungsinvariante) Operatoren gilt: $h(x,y,v,\eta)=O\{\delta(x-v,y-\eta)\}=h(x-v,y-\eta)$
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2D-Faltung mit der Impulsantwort des linearen Operators (Point SpreadFunction): $g_2(x,y)=\inf_{-\infty}^{\infty}\inf_{-\infty}^{\infty} g_1(v,\eta)*h(x-v,y-\eta)dv dn = g_1(x,y) * * h(x,y)$
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##### Point Spread Function (PSF)
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Beispiel Fokussierungsunschärfe
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Beispiel Bewegung
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### Digitale Bilder
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#### Diskretisierung und Quantisierung
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##### Digitalisierung: Diskretisierung der Ortsvariablen
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Abtastfunktion: $s(x,y)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(x-m*\Delta x, y-n*\Delta y)$
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Abtastung: $g_A(x,y)=s(x,y)*g(x,y)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \sum_{m=-\infty}^{\infty} g(m*\Delta x, n*\Delta y)* \delta(x-m*\Delta x, y-n*\Delta y)= A_{\Delta x, \Delta y}\{g(x,y)\}$
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Repräsentation des ortsdiskreten Bildes unabhängig von $\Delta x, \Delta y$: $\rightarrow g_A(m,n)$ (,,2D-Zahlenfolge'')
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##### Digitalisierung: Quantisierung der Grauwerte
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$q(g)=[\frac{g-g_{min}}{g_{max}-g_{min}} * (q_{max}-q_{min}) +q_{min}]_{mathbb{N}}$ (Runden auf nächste natürliche Zahl)
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häufig wird $q_{min}=0$ gewählt: $q(g)=[\frac{g-g_{min}}{g_{max}-g_{min}}*q_{max}]_{mathbb{N}}$
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$q_{max}=2^N -1$, $N$ Auflösung des AD-Wandlers
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##### Digitale Bildrepräsentation
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Pixel 
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Grauwertbild 
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Falschfarbendarstellung 
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#### Nachbarschaft, Pfad, Zusammenhang und Distanzmaße
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Nachbarschaften
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- 4er-Nachbarschaft
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- Nachbarpixel: gemeinsame Kante
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- 8er-Nachbarschaft
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- Nachbarpixel: gemeinsame Kante oder Ecke
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- Regelmäßige 2D-Gitter
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- Dreieckgitter
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- 3-Nachbarschaft
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- 12-Nachbarschaft
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- Quadratisches Gitter
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- 4-Nachbarschaft
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- 8-Nachbarschaft
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- Hexagonales Gitter
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- 6-Nachbarschaft
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**Pfad:**
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- Zwei Pixel $P_A(m_A,n_A)$ und $P_B(m_B,n_B)$ sind durch einen Pfad verbunden, falls es eine Folge von benachbarten Pixeln $(P_A, P_1, ..., P_B)$ gibt, für die eine Homogenitätsbedingung (z.B. alle Pixel haben gleichen Grauwert, d.h. $g(P_A)=g(P_1)=...=g(P_B))$ gilt.
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- Offener Pfad: $P_A \not= P_B$
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- Geschlossener Pfad: $P_A = P_B$
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- Pfade sind an Nachbarschaftsdefinitionen gebunden!
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**Zusammenhang:** Eine Menge von Pixeln ist zusammenhängend, wenn zwischen zwei beliebigen Pixeln ein Pfad existiert.
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Zusammenhang: Definition gemäß Nachbarschaftsbeziehung
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- Zusammenhang gemäß 4-Nachbarschaft
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- Die beiden grauen Regionen sind unter 4-Nachbarschaft nicht zusammenhängend (kein verbindender Pfad vorhanden).
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- Der Hintergrund ist unter Annahme der komplementären8-Nachbarschaft zusammenhängend.
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- Zusammenhang gemäß 8-Nachbarschaft
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- Die beiden grauen Regionen sind unter 8-Nachbarschaft zusammenhängend (verbindender Pfad vorhanden).
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- Der Hintergrund ist unter Annahme der komplementären4-Nachbarschaft nicht zusammenhängend.
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- Die Nachbarschaftsdefinitionen in Vorder-und Hintergrund sollten komplementär sein!
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**Rand:**
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- Der Rand einer zusammenhängenden Pixelmenge $M$ ist eine Folge von Pixeln in $M$, die mindestens einen Nachbarn haben, der nicht zu $M$ gehört.
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- Die Randpixel gehören somit zu $M$ dazu.
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- Der Rand ist ein zusammenhängender Pfad und deshalb auch an eine Nachbarschaftsdefinition gebunden.
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Rand: Definition gemäß Nachbarschaftsbeziehung
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- Rand in 4 - Nachbarschaft zum Hintergrund
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- Jedes Randpixel hat mind. einen Nachbarn in 4-Nachbarschaft, der nicht zu M gehört.
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- Rand = zusammenhängender Pfad gemäß 8-Nachbarschaft
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- Rand in 8 - Nachbarschaft zum Hintergrund
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- Jedes Randpixel hat mind. einen Nachbarn in 8-Nachbarschaft, der nicht zu M gehört.
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- Rand = zusammenhängender Pfad gemäß 4-Nachbarschaft
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##### Distanzmaße zwischen zwei Pixeln
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Euklidische Distanz
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- Länge der direkten Verbindung
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- $D_E= ||P_1-P_2||_2=\sqrt{(m_1-,_2)^2 + (n_1-n_2)^2}$
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- Euklidische Norm $N=2$, $p=2$
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Manhattan-Distanz (City-Block)
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- Länge des kürzesten Pfades unter 4er-Nachbarschaft
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- $D_4=||P_1-P_2||_1=|m_1 - m_2|+|n_1-n_2|$
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- Summennorm $N=2$, $p=1$
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Schachbrett-Distanz
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- Länge des kürzesten Pfades unter 8er-Nachbarschaft
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- $D_8 = ||P_1-P_2||_{\infty} = max\{|m_1-m_2|, |n_1 -n_2|\}$
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- Maximalnorm $N=2$, $p=\infty$
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Normangabe der Distanzmaße
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- p-Norm: $||x||_p = (\sum_{i=1}^N |x_i|^p )^{\frac{1}{p}}$ mit $x_1=m_1-m_2$ und $x_2=n_1-n_2$
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- Euklidische Norm: $N=2, p=2$, $D_E=(\sum_{i=1}^2 |x_i|^2)^{frac{1}{2}}=\sqrt{x_1^2 + x_2^2}$
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- Summennorm: $N=2, p=1$, $D_4=(\sum_{i=1}^2 |x_i|)= x_1+x_2$
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- Maximalnorm: $N=2, p=\infty$, $D_8=lim_{p\rightarrow\infty}(x^p_{max} + (ax_{max})^p)^{\frac{1}{p}} = lim_{p\rightarrow\infty} (x_{max}^p (1+a^p))^{\frac{1}{p}} = x_{max}$ mit $a<1$ weil $lim_{p\rightarrow\infty}(a^p)=0$
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- $D_8\leq D_E \leq D_4$
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- 
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- 
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- 
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- Schachbrett Distanz $\leq$ Euklidische Distanz $\leq$ Manhatten Distanz
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## Spektralbereich
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### Kontinuierliche 2D-Fouriertransformation
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Wiederholung 1D-Fouriertransformation
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- $U(f)=\inf_{-\infty}^{\infty} u(t)e^{-j2\pi ft}dt$
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- $z=e^{j2\pi ft}=cos(2\pi ft)+ j*sin(2\pi ft)$
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- 
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- 
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Kern der 2D-Fouriertransformation
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- $z=e^{j2\pi [f_x*x +f_y*y]}$
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- $f=\sqrt{f_x^2 + f_y^2}$
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- Fourierkern = ebene Welle in Richtung $\underline{f}=\binom{f_x}{f_y}$ mit Wellenlänge $\lambda=\frac{1}{f}$
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Eigenschaften
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- Definition
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- $G(f_x,f_y)=\inf_{-\infty}^{\infty} g(x,y)e^{-j2\pi [f_x x+ f_y y]} dxdy$
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- $g(x,y)=\inf_{-\infty}^{infty} \inf_{-\infty}^{\infty} G(f_x, f_y) e^{j2\pi [f_x x+ f_y y]} df_x df_y$
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- Linearität $c_1 g_1(x,y)+ c_2 g_2(x,y) \Fourier c_1 G_1(f_x,f_y) + c_2G_2(f_x,f_y)$
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- Verschiebung $g(x-x_0, y-y_0) \Fourier G(f_x,f_y)*e^{-j2\pi [f_x x_0+ f_y y_0]}$
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- Differentiation
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- $\frac{\delta}{\delta x} g(x,y) \Fourier G(x,y)*j2\pi f_x$
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- $\frac{\delta}{\delta x} g(x,y) \Fourier G(x,y)*j2\pi f_y$
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- Faltung $g_1(x,y)**g_2(x,y) \Fourier G_1(f_x,f_y)*G_2(f_x,f_y)$
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- Gleichanteile $G(0,0)=\inf_{-\infty}^{\infty} g(x,y)dxdy$
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Beispiel 1 
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Beispiel 2 
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2D Fouriertransformationfür separierbare Funktionen
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- 2D-Fouriertrafo, Multiplikation im Zeitbereich: $g(x,y)=g_1(x,y)*g_2(x,y) \Fourier G_1(f_x,f_y)**G_2(f_x,f_y)$
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- 2D-Fouriertrafo, separierbareFunktionen: $g(x,y)=g_1(x,y)*g_2(x,y) \Fourier G_1(f_x) *G_2(f_y) =G(f_x,f_y)$
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- 1D Korrespondenzen:
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- $g_1(x)\Fourier G_1(f_x)$
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- $g_2(x)\Fourier G_2(f_y)$
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- 2D Korrespondenzen:
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- $g(x,y)\Fourier G(f_x,f_y)$
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- $g_1(x,y)\Fourier G_1(x,y)$
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- $g_2(x,y)\Fourier G_2(x,y)$
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###### 2D-Fouriertransformation
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Bildverarbeitung in der Medizin 1
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###### 2D-Fouriertransformation
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**Spektrum - 2D-Rechteck**
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( ) ( )
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( ) ( )
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_g x y_ ,, _rect x y_
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_rect x rect y_
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=
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||
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= ⋅
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||
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( ) ( ) ( )
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||
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, = ⋅
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||
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```
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xy x y
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||
```
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_G f f si_ ππ _f si f_
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||
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```
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xy ,
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||
x
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```
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```
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||
y
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```
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||
```
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Bildverarbeitung in der Medizin 1
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```
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###### 2D-Fouriertransformation
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**Spektrum – 2D-Gauss**
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( )
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( )
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||
```
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22
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||
```
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```
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||
22
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||
```
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||
,
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||
```
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xy
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||
```
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```
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||
xy
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||
```
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_g xy e_
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_ee_
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```
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||
π
|
||
```
|
||
```
|
||
ππ
|
||
```
|
||
```
|
||
−+
|
||
```
|
||
```
|
||
−−
|
||
```
|
||
=
|
||
|
||
= ⋅
|
||
|
||
( )
|
||
|
||
```
|
||
2
|
||
2
|
||
```
|
||
,
|
||
|
||
```
|
||
−
|
||
−
|
||
```
|
||
= ⋅
|
||
|
||
```
|
||
y
|
||
x
|
||
```
|
||
```
|
||
f
|
||
f
|
||
```
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
_Gf f e e_
|
||
|
||
```
|
||
π
|
||
π
|
||
```
|
||
```
|
||
xy ,
|
||
x
|
||
```
|
||
```
|
||
y
|
||
```
|
||
|
||
```
|
||
Bildverarbeitung in der Medizin 1
|
||
```
|
||
# 1. BILDREPRÄSENTATION UND
|
||
|
||
# BILDEIGENSCHAFTEN
|
||
|
||
## 1.2 Frequenzbereich
|
||
|
||
## 1.2.2 Diskrete 2D-Fouriertransformation
|
||
|
||
|
||
```
|
||
Bildverarbeitung in der Medizin 1
|
||
```
|
||
###### 1D-DFT
|
||
|
||
**Abtastung und Periodifizierung(1)**
|
||
|
||
**Wiederholung**
|
||
|
||
|
||
```
|
||
Bildverarbeitung in der Medizin 1
|
||
```
|
||
###### 1D-DFT
|
||
|
||
**Abtastung und Periodifizierung(2)**
|
||
|
||
**Wiederholung**
|
||
|
||
|
||
```
|
||
Bildverarbeitung in der Medizin 1
|
||
```
|
||
###### 1D-DFT
|
||
|
||
**Abtastung und Periodifizierung(3)**
|
||
|
||
**Wiederholung**
|
||
|
||
|
||
```
|
||
Bildverarbeitung in der Medizin 1
|
||
```
|
||
###### 1D-DFT
|
||
|
||
**Abtastung und Periodifizierung(4)**
|
||
|
||
**Wiederholung**
|
||
|
||
|
||
```
|
||
Bildverarbeitung in der Medizin 1
|
||
```
|
||
###### 1D-DFT
|
||
|
||
**Abtastung und Periodifizierung(5)**
|
||
|
||
**Wiederholung**
|
||
|
||
|
||
```
|
||
Bildverarbeitung in der Medizin 1
|
||
```
|
||
###### 2D-DFT
|
||
|
||
**Diskretisierung im Ortsbereich**
|
||
|
||
**Diskretisierungim Ortsbereich**
|
||
|
||
Abtastfunktion im Ortsbereich
|
||
|
||
( ) ( )
|
||
|
||
```
|
||
mn
|
||
```
|
||
s x,y x m· x, y n· y
|
||
|
||
```
|
||
∞∞
|
||
```
|
||
```
|
||
=−∞ =−∞
|
||
```
|
||
= δ − ∆ −∆
|
||
|
||
∑∑
|
||
|
||
∆∆ _xy_ ,
|
||
Diskretisierungsintervalleim Ortsbereich
|
||
|
||
```
|
||
11
|
||
```
|
||
```
|
||
,
|
||
```
|
||
```
|
||
∆∆ xy
|
||
```
|
||
2D-Fouriertransformaion der Abtastfunktion
|
||
|
||
```
|
||
( )
|
||
xy x y
|
||
```
|
||
```
|
||
mn
|
||
```
|
||
1 mn
|
||
|
||
S f ,f f ,f
|
||
|
||
x· y x y
|
||
|
||
```
|
||
∞∞
|
||
```
|
||
```
|
||
=−∞ =−∞
|
||
```
|
||
|
||
|
||
= δ− −
|
||
|
||
|
||
|
||
∆∆ ∆ ∆
|
||
|
||
|
||
|
||
∑∑
|
||
|
||
Periodisierungsintervalle im Ortsfrequenzbereich
|
||
|
||
|
||
```
|
||
Bildverarbeitung in der Medizin 1
|
||
```
|
||
###### 2D-DFT
|
||
|
||
**Diskretisierung im Ortsbereich**
|
||
|
||
**Diskretisierungim Ortsbereich**
|
||
|
||
( ) ( )
|
||
|
||
```
|
||
mn
|
||
```
|
||
s x,y x m· x, y n· y
|
||
|
||
```
|
||
∞∞
|
||
```
|
||
```
|
||
=−∞ =−∞
|
||
```
|
||
= δ − ∆ −∆
|
||
|
||
```
|
||
∑∑ ( )
|
||
xy x y
|
||
```
|
||
```
|
||
mn
|
||
```
|
||
1 mn
|
||
|
||
S f ,f f ,f
|
||
|
||
x· y x y
|
||
|
||
```
|
||
∞∞
|
||
```
|
||
```
|
||
=−∞ =−∞
|
||
```
|
||
|
||
|
||
= δ− −
|
||
|
||
|
||
|
||
∆∆ ∆ ∆
|
||
|
||
|
||
|
||
∑∑
|
||
|
||
Abtastung = Multiplikation des kontinuierlichen
|
||
|
||
Bildes mit der Abtastfunktion
|
||
|
||
```
|
||
( )
|
||
{ }
|
||
x, y
|
||
```
|
||
A g x,y
|
||
|
||
```
|
||
∆∆
|
||
```
|
||
###### ( )
|
||
|
||
### { }
|
||
|
||
```
|
||
11 x y
|
||
```
|
||
```
|
||
,
|
||
```
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
1
|
||
|
||
P G f ,f
|
||
|
||
x· y
|
||
|
||
```
|
||
∆∆
|
||
```
|
||
⋅
|
||
|
||
∆∆
|
||
|
||
Faltung der 2D-FT des Bildes mit der
|
||
|
||
2D-FT der Abtastfunktion
|
||
|
||
**Periodifizierungim Ortsfrequenzbereich**
|
||
|
||
Periodifizierungmit den Intervallen
|
||
|
||
bzw.
|
||
|
||
```
|
||
1
|
||
```
|
||
```
|
||
∆ x
|
||
```
|
||
```
|
||
1
|
||
```
|
||
```
|
||
∆ y
|
||
```
|
||
∆∆ _xy_ ,
|
||
Diskretisierungsintervalleim Ortsbereich
|
||
|
||
```
|
||
11
|
||
```
|
||
```
|
||
,
|
||
```
|
||
```
|
||
∆∆ xy
|
||
```
|
||
Periodisierungsintervalle im Ortsfrequenzbereich
|
||
|
||
|
||
```
|
||
Bildverarbeitung in der Medizin 1
|
||
```
|
||
###### 2D-DFT
|
||
|
||
**Diskretisierung im Ortsbereich**
|
||
|
||
```
|
||
= Höhenlinien von
|
||
```
|
||
```
|
||
( )
|
||
{ }
|
||
11 x y
|
||
```
|
||
```
|
||
,
|
||
```
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
```
|
||
1
|
||
```
|
||
```
|
||
P G f ,f
|
||
```
|
||
```
|
||
x· y
|
||
∆∆
|
||
```
|
||
```
|
||
⋅
|
||
```
|
||
```
|
||
∆∆
|
||
```
|
||
**Diskretisierungim Ortsbereich** **Periodifizierungim Ortsfrequenzbereich**
|
||
|
||
|
||
```
|
||
Bildverarbeitung in der Medizin 1
|
||
```
|
||
###### 2D-DFT
|
||
|
||
**Aliasing**
|
||
|
||
Hohe Abtastrate Niedrige Abtastrate
|
||
|
||
|
||
```
|
||
Bildverarbeitung in der Medizin 1
|
||
```
|
||
###### 2D-DFT
|
||
|
||
**Diskretisierungim Ortsfrequenzbereich**
|
||
|
||
```
|
||
( ) ( )
|
||
xy x x y y
|
||
```
|
||
```
|
||
uv
|
||
```
|
||
Sf,f f u·f,f v·f
|
||
|
||
```
|
||
∞∞
|
||
```
|
||
```
|
||
=−∞ =−∞
|
||
```
|
||
= δ −∆ −∆
|
||
|
||
∑∑
|
||
|
||
Abtastfunktion im Ortsfrequenzbereich
|
||
|
||
**Diskretisierungim Ortsfrequenzbereich**
|
||
|
||
( )
|
||
|
||
```
|
||
uv
|
||
xy x y
|
||
```
|
||
1 uv
|
||
|
||
s x,y x , y
|
||
|
||
f·f f f
|
||
|
||
```
|
||
∞∞
|
||
```
|
||
```
|
||
=−∞ =−∞
|
||
```
|
||
|
||
|
||
```
|
||
= δ− −
|
||
|
||
```
|
||
|
||
|
||
∆∆ ∆ ∆
|
||
|
||
|
||
|
||
∑∑
|
||
|
||
2D-IFT der Abtastfunktion
|
||
|
||
```
|
||
Periodisierungsintervalle im Ortsbereich Diskretisierungsintervalleim Ortsfrequenzbereich
|
||
,
|
||
```
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
∆∆ _ff_
|
||
|
||
11
|
||
|
||
,
|
||
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
∆∆ _ff_
|
||
|
||
|
||
```
|
||
Bildverarbeitung in der Medizin 1
|
||
```
|
||
###### 2D-DFT
|
||
|
||
**Diskretisierungim Ortsfrequenzbereich**
|
||
|
||
```
|
||
( ) ( )
|
||
xy x x y y
|
||
```
|
||
```
|
||
uv
|
||
```
|
||
Sf,f f u·f,f v·f
|
||
|
||
```
|
||
∞∞
|
||
```
|
||
```
|
||
=−∞ =−∞
|
||
```
|
||
= δ −∆ −∆
|
||
|
||
∑∑
|
||
|
||
( )
|
||
|
||
```
|
||
uv
|
||
xy x y
|
||
```
|
||
1 uv
|
||
|
||
s x,y x , y
|
||
|
||
f·f f f
|
||
|
||
```
|
||
∞∞
|
||
```
|
||
```
|
||
=−∞ =−∞
|
||
```
|
||
|
||
|
||
```
|
||
= δ− −
|
||
|
||
```
|
||
|
||
|
||
∆∆ ∆ ∆
|
||
|
||
|
||
|
||
∑∑
|
||
|
||
Abtastung = Multiplikation des kontinuierlichen
|
||
|
||
Bildspektrums mit der Abtastfunktion
|
||
|
||
Faltung des Bildes mit der 2D-IFT der
|
||
|
||
Abtastfunktion
|
||
|
||
**Diskretisierungim Ortsfrequenzbereich**
|
||
|
||
{ ( )}
|
||
|
||
##### { }
|
||
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
```
|
||
1 1 x, y
|
||
```
|
||
```
|
||
,
|
||
```
|
||
```
|
||
xy
|
||
ff
|
||
```
|
||
1
|
||
|
||
P A g x,y
|
||
|
||
f·f
|
||
|
||
```
|
||
∆∆
|
||
```
|
||
```
|
||
∆∆
|
||
```
|
||
⋅
|
||
|
||
∆∆
|
||
|
||
###### ( )
|
||
|
||
### { }
|
||
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
```
|
||
f,f 1 1 x y
|
||
```
|
||
```
|
||
,
|
||
```
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
1
|
||
|
||
A P G f ,f
|
||
|
||
x· y
|
||
|
||
```
|
||
∆∆
|
||
```
|
||
```
|
||
∆∆
|
||
```
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
⋅
|
||
|
||
|
||
|
||
∆∆
|
||
|
||
```
|
||
|
||
|
||
```
|
||
Periodifizierungmit den Intervallen
|
||
|
||
bzw.
|
||
|
||
```
|
||
1
|
||
```
|
||
```
|
||
x
|
||
```
|
||
```
|
||
∆ f
|
||
```
|
||
```
|
||
1
|
||
```
|
||
```
|
||
y
|
||
```
|
||
```
|
||
∆ f
|
||
```
|
||
**Periodifizierungim Ortsbereich**
|
||
|
||
Periodisierungsintervalle im Ortsbereich Diskretisierungsintervalleim Ortsfrequenzbereich
|
||
|
||
11
|
||
|
||
,
|
||
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
∆∆ _ff_ ,
|
||
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
∆∆ _ff_
|
||
|
||
|
||
```
|
||
Bildverarbeitung in der Medizin 1
|
||
```
|
||
###### 2D-DFT
|
||
|
||
**Diskretisierungim Ortsfrequenzbereich**
|
||
|
||
**Diskretisierungim Ortsfrequenzbereich
|
||
Periodifizierungim Ortsbereich**
|
||
|
||
|
||
```
|
||
Bildverarbeitung in der Medizin 1
|
||
```
|
||
###### 2D-DFT
|
||
|
||
**Diskretisierung und Periodifizierung-Zusammenfassung**
|
||
|
||
```
|
||
{ ( )}
|
||
x, y
|
||
```
|
||
A g x,y
|
||
|
||
```
|
||
∆∆
|
||
```
|
||
###### ( )
|
||
|
||
### { }
|
||
|
||
```
|
||
11 x y
|
||
```
|
||
```
|
||
,
|
||
```
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
1
|
||
|
||
P G f ,f
|
||
|
||
x· y
|
||
|
||
```
|
||
∆∆
|
||
```
|
||
⋅
|
||
|
||
∆∆
|
||
|
||
```
|
||
( )
|
||
{ }
|
||
```
|
||
##### { }
|
||
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
```
|
||
1 1 x, y
|
||
```
|
||
```
|
||
,
|
||
```
|
||
```
|
||
xy
|
||
ff
|
||
```
|
||
1
|
||
|
||
P A g x,y
|
||
|
||
f·f
|
||
|
||
```
|
||
∆∆
|
||
```
|
||
```
|
||
∆∆
|
||
```
|
||
⋅
|
||
|
||
∆∆
|
||
|
||
###### ( )
|
||
|
||
### { }
|
||
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
```
|
||
f,f 1 1 x y
|
||
```
|
||
```
|
||
,
|
||
```
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
1
|
||
|
||
A P G f ,f
|
||
|
||
x· y
|
||
|
||
```
|
||
∆∆
|
||
```
|
||
```
|
||
∆∆
|
||
```
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
```
|
||
⋅
|
||
|
||
```
|
||
∆∆
|
||
|
||
```
|
||
|
||
|
||
```
|
||
**Diskretisierungim Ortsbereich** **Periodifizierungim Ortsfrequenzbereich**
|
||
|
||
**Periodifizierungim Ortsbereich** **Diskretisierungim Ortsfrequenzbereich**
|
||
|
||
```
|
||
∆∆ xy ,
|
||
Diskretisierungsintervalleim Ortsbereich
|
||
```
|
||
```
|
||
11
|
||
```
|
||
```
|
||
,
|
||
```
|
||
```
|
||
∆∆ xy
|
||
```
|
||
Periodisierungsintervalle im Ortsfrequenzbereich
|
||
|
||
```
|
||
x
|
||
```
|
||
1
|
||
|
||
f
|
||
|
||
Mx
|
||
|
||
∆=
|
||
|
||
⋅∆
|
||
|
||
**Spektrale Auflösung**
|
||
|
||
```
|
||
y
|
||
```
|
||
1
|
||
|
||
f
|
||
|
||
Ny
|
||
|
||
∆=
|
||
|
||
⋅∆
|
||
|
||
und
|
||
|
||
```
|
||
Periodisierungsintervalle im Ortsbereich Diskretisierungsintervalleim Ortsfrequenzbereich
|
||
,
|
||
```
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
∆∆ _ff_
|
||
|
||
11
|
||
|
||
,
|
||
|
||
```
|
||
xy
|
||
```
|
||
∆∆ _ff_
|
||
|
||
Anzahl Abtastwerte
|
||
|
||
in x- bzw. y-Richtung
|
||
|
||
M,N :
|
||
|
||
|
||
```
|
||
Bildverarbeitung in der Medizin 1
|
||
```
|
||
###### 2D-DFT
|
||
|
||
**Nichtzentrierte Darstellung -** fft2
|
||
|
||
```
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= Höhenlinien von G(u,v)
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```
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xx
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f uf= ⋅∆
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yy
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f vf= ⋅∆
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```
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Bildverarbeitung in der Medizin 1
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```
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###### 2D-DFT
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**Zentrierte Darstellung** – fftshift(fft2)
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xx
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```
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M
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fu f
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2
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```
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```
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= − ⋅∆
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```
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```
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```
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```
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```
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yy
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```
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N
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fv f
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2
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```
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```
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= − ⋅∆
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```
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```
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```
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```
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```
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= Höhenlinien von G(u,v)
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```
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Bildverarbeitung in der Medizin 1
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###### 2D-Fouriertransformation
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**Beispiel 3**
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Im Folgenden ist das Spektrum einer abgetasteten 2D-Gaußfunktion skizziert.
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In welchem Abstand wurde sie im Ortsbereich abgetastet?
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Bildverarbeitung in der Medizin 1
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```
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###### 2D-Fouriertransformation
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**Beispiel 4**
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Gegeben sind die Höhenlinien einer kontinuierlichen 2D-Gaußfunktion im
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Ortsbereich. Skizzieren Sie das 2D-Fourierspektrum dieser Funktion.
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x
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y
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f
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x
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f
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```
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y
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```
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```
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1
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∆ x
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1
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∆ _y_
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# Literaturempfehlungen
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- Wilhelm Burger and MarkJ. Burge, ,,Digitale Bildverarbeitung – eine algorithmische Einführung mit Java'', Springer, 3. Auflage, 2015
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||
- Klaus D. Tönnies, ,,Grundlagen der Bildverarbeitung'', Pearson Studium, 1. Auflage, 2005
|
||
- Heinz Handels, ,,Medizinische Bildverarbeitung'', Vieweg+Teubner, 2. Auflage, 2009
|
||
- Bernd Jähne, ,,Digitale Bildverarbeitung'', Springer, 6. Auflage, 2005
|
||
- Angelika Erhardt, ,,Einführung in die Digitale Bildverarbeitung'', Vieweg+Teubner, 1.Auflage, 2008
|
||
- Rafael C. Gonzales and Richard E. Woods, ,,Digital Image Processing'', Pearson International, 3. Edition,2008
|
||
- Geoff Dougherty, ,,Digital Image Processing for Medical Applications'', Cambridge University Press, 1. Edition, 2009
|
||
- William K. Pratt, ,,DigitalImageProcessing'', Wiley, 4. Edition, 2007
|
||
- John L. Semmlow, ,,Biosignal and Medical Image Processing'', CRCPress, 2. Edition, 2009 |