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Logik

Die Logik

• versucht, gültige Argumentationen von ungültigen zu unterscheiden,
• hat Anwendungen in der Informatik,
• formalisiert die zu untersuchenden Aussagen und
• beschränkt sich auf einen wohldefinierten Teil der möglichen Aussagen => es gibt verschiedene "Logiken", z.B. "Aussagen-" und "Prädikatenlogik"
  • daneben:
    • temporale Logiken (Mastervorlesung "Verifikation")
    • modale Logiken
    • epistemische Logiken
    • ...

Syllogismen

Aristoteles (384-322 v.Chr.) untersuchte das Wesen der Argumentation und des logischen Schließens mit dem Ziel, korrekte von inkorrekten Argumenten zu unterscheiden. Verschiedene Werke, u.a. Analytica priora, Analytica posteriora.

Aristoteles nennt die logischen Schlußfolgerungen Syllogismen (griechisch: "Zusammenrechnung").

Ein Syllogismus ist eine Aussage, in der bestimmte Dinge [die Prämissen] behauptet werden und in der etwas anderes [die Konsequenz], unumgänglich aus dem Behaupteten folgt. Mit dem letzten Satz meine ich, dass die Prämissen die Konsequenz zum Resultat haben, und damit meine ich, dass keine weitere Prämisse erforderlich ist, um die Konsequenz unumgänglich zu machen.

Beispiele

Wenn alle Menschen sterblich sind und
Sokrates ein Mensch ist,
dann ist Sokrates sterblich.

Wenn eine Zahl gerade und größer als zwei ist,
dann ist sie keine Primzahl.

Wenn die Leitzinsen hoch sind,
dann sind die Börsianer unzufrieden.

Aristoteles identifizierte einige zulässige Syllogismen, die Scholastiker fügten weitere hinzu:

(Barbara)

Alle Dackel sind Hunde                  Alle P sind M
Alle Hunde sind Tiere                   Alle M sind S
Dann sind alle Dackel Tiere             Alle P sind S

(Cesare)

Keine Blume ist ein Tier                Kein P ist M
Alle Hunde sind Tiere                   Alle S sind M
Dann ist keine Blume ein Hund           Kein P ist S

(Darapti)

Alle Delfine leben im Meer              Alle M sind P
Alle Delfine sind Säugetiere            Alle M sind S
Dann leben einige Säugetiere im Meer    Einige S sind P

Kalküle

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) wollte korrekte von inkorrekten Argumentationsketten unterscheiden. Hierzu sollte ein Kalkül entwickelt werden, in dem alle korrekten Argumentationsketten ermöglicht sind (und keine inkorrekten).

David Hilbert (1862-1943) entwickelte solche Kalküle. Diese "Hilbertkalküle" sind sehr verschieden von üblichen Argumentationsmustern.

Gerhard Gentzen (1909-1945) entwickelte Kalküle des "natürlichen Schließens", die übliche Argumentationsmuster formalisieren.

Die Aussagenlogik

George Boole (1815 - 1864) entwickelte einen Kalkül zum Rechnen mit atomare Aussagen, die entweder wahr oder falsch sein können.

Verknüpfung durch Operatoren(und, oder, nicht, wenn-dann... ).

Die Prädikatenlogik (Ende des 19. Jahrhunderts)

Gottlob Frege (1848-1925), Giuseppe Peano (1858-1932) und Bertrand Russell (1872-1970)entwickelten die Logik zur Grundlage der Mathematik, als formale Basis für die Vermeidung von Widersprüchen. Entwicklung der Prädikatenlogik, die erlaubt:

• Beziehungen zwischen "Objekten" zu beschreiben
• existentielle Aussagen zu treffen: "es gibt ein x, so dass... "
• universelle Aussage zu treffen: "für jedes x gilt, dass... "

Logik in der Informatik

Claude Shannon (1916 - 2001) benutzt die Aussagenlogik 1937, um elektromechanische Schaltkreise zu beschreiben und zu optimieren.

Allen Newell (1927-1992), Herbert Simon (1916-2001) und Alan Robinson (1930-2016) entwickelten 1950-1960 die ersten Systeme für die Automatisierung des logischen Schließens als Werkzeug der Künstlichen Intelligenz.

• Schaltkreisentwurf: Schaltkreise lassen sich durch logische Formeln darstellen -> Entwurf und Optimierung von Schaltungen
• Modellierung und Spezifikation: Eindeutige Beschreibung von komplexen Systemen
• Verifikation: Beweisen, dass ein Programm das gewünschte Verhalten zeigt
• Datenbanken: Formulierung von Anfragen an Datenbanken -> Abfragesprache SQL (Structured Query Language)
• (klassische) Künstliche Intelligenz:
  • Planung
  • Mensch-Maschine Kommunikation
  • Theorembeweiser: Der Computer beweist mathematische Sätze -> automatischer Beweis von wichtigen Sätzen im Bereich der Booleschen Algebren
• Logische Programmiersprachen

Außerdem: Logik ist ein Paradebeispiel für Syntax und formale Semantik

Edsger W. Dijkstra (1920-2002): Informatik = VLSAL (Very large scale application of logics)

Die Logik

• versucht, gültige Argumentationen von ungültigen zu unterscheiden,
• hat Anwendungen in der Informatik,
• formalisiert die zu untersuchenden Aussagen

Probleme mit natürlicher Sprache

1. Problem: Zuordnung von Wahrheitswerten zu natürlichsprachigen Aussagen ist problematisch.
   • Beispiele:
     • Ich habe nur ein bißchen getrunken.
     • Sie hat sich in Rauch aufgelöst.
     • Das gibt es doch nicht!
     • Rache ist süß.
2. Problem: Natürliche Sprache ist oft schwer verständlich.
   • Beispiel: Auszug aus der "Analytica Priora" von Aristoteles
   • Die Aussage: Wenn der Mittelbegriff sich universell auf Ober- oder Untersatz bezieht, muss ein bestimmter negativer Syllogismus resultieren, immer wenn der Mittelbegriff sich universell auf den Obersatz bezieht, sei es positiv oder negativ, und besonders wenn er sich auf den Untersatz bezieht und umgekehrt zur universellen Aussage.
   • Der Beweis: Denn wenn M zu keinem N gehört, aber zu einem O, ist es notwendig, dass N zu einem O nicht gehört. Denn da die negative Aussage umsetzbar ist, wird N zu keinem M gehören: Aber es war erlaubt, dass M zu einem O gehört: Deshalb wird N zu einem O nicht gehören: Denn das Ergebnis wird durch die erste Figur erreicht. Noch einmal: Wenn M zu allen N gehört, aber nicht zu einem O, ist es notwendig, dass N nichtzu einem O gehört: Denn wenn N zu allen O gehört und M auch alle N-Eigenschaften zugeschrieben werden, muss M zu allen O gehören: Aber wir haben angenommen, dass M zu einem O nicht gehört. Und wenn M zu allen N gehört, aber nicht zu allen O, können wir folgern, dass N nicht zu allen O gehört: Der Beweis ist der gleiche wie der obige. Aber wenn M alle O-Eigenschaften zugeschrieben werden, aber nicht alle N-Eigenschaften, wird es keinen Syllogismus geben.
3. Problem:Natürliche Sprache ist mehrdeutig.
   • Beispiel: "Ich sah den Mann auf dem Berg mit dem Fernrohr."
     • (((Ich sah den Mann) auf dem Berg) mit dem Fernrohr)
     • ((Ich sah (den Mann auf dem Berg)) mit dem Fernrohr)
     • ((Ich sah den Mann) (auf dem Berg mit dem Fernrohr))
     • (Ich sah ((den Mann auf dem Berg) mit dem Fernrohr))
     • (Ich sah (den Mann (auf dem Berg mit dem Fernrohr)))
4. Problem:Natürliche Sprache hängt von Kontext ab.

Die Beatles sind Musiker
Paul McCartney ist ein Beatle
Paul McCartney ist ein Musiker

Die Beatles sind vier
Paul McCartney ist ein Beatle
Paul McCartney ist vier

Kapitel 1: Aussagenlogik

Beispiel

Ein Gerät besteht aus einem Bauteil A, einem Bauteil B und einem roten Licht. Folgendes ist bekannt:

1. Bauteil A oder Bauteil B (oder beide) sind kaputt.
2. Wenn Bauteil A kaputt ist, dann ist auch Bauteil B kaputt.
3. Wenn Bauteil B kaputt ist und das rote Licht leuchtet, dann ist Bauteil A nicht kaputt.
4. Das rote Licht leuchtet.

Zur Formalisierung verwenden wir folgende Abkürzungen:

• RL (rotes Licht leuchtet),
• AK (Bauteil A kaputt),
• BK (Bauteil B kaputt),
• \vee (oder),
• \rightarrow (wenn, dann),
• \wedge (und) und
• \lnot (nicht).

Damit können wir unser Wissen kompakter hinschreiben:

1. AK \vee BK
2. AK \rightarrow BK
3. (BK \wedge RL)\rightarrow \lnot AK
4. RL

Aus den vier Aussagen lassen sich weitere Aussagen neue Aussagen bilden 5. Falls AK gilt, so folgt aus AK\rightarrow BK, dass BK gilt. 6. Falls BK gilt, so gilt natürlich BK. 7. Da AK \vee BK gilt, folgt aus (5) und (6), dass BK in jedem Fall gilt. 8. Es gilt auch RL. 9. Also gilt BK\wedge RL (aus (7) und (8)). 10. Es gilt auch (BK \wedge RL)\rightarrow\lnot AK. 11. Also gilt \lnot AK (aus (9) und (10)).

Damit sind wir überzeugt, dass das Bauteil A heil ist.

Den Beweis, dass das Teil A heil ist, werden wir als "Beweisbaum" formalisieren:

In der Aussagenlogik gehen wir von "Aussagen" aus, denen wir (zumindest prinzipiell) Wahrheitswerte zuordnen können.

Beispiele

• Die Summe von 3 und 4 ist 7.
• Jana reagierte aggressiv auf Martins Behauptungen.
• Jede gerade natürliche Zahl>2 ist Summe zweier Primzahlen.
• Alle Marsmenschen mögen Pizza mit Pepperoni.
• Albert Camus était un écrivain français.
• In theory, practically everything is possible.

Für diese Aussagen verwenden wir dieatomaren Formeln p,q,r bzw. p_0,p_1,...

Die Aussagen werden durch "Operatoren" verbunden. Beispiele

• ... und...
• ... oder...
• nicht...
• wenn... dann...
• entweder... oder... , aber nicht beide.
• mehr als die Hälfte der Aussagen ... gilt.

Für solche zusammengesetzten Aussagen verwenden wir \varphi,\psi usw.

Durch die Wahl der erlaubten Operatoren erhält man unterschiedliche "Logiken".

Da der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage nur vom Wahrheitswert der Teilaussagen abhängen soll, sind Operatoren wie "weil" oder "obwohl" nicht zulässig.

Syntax der Aussagenlogik

Eine atomare Formel hat die Form p_i (wobei i\in\mathbb{N}=\{0,1,...\}). Formeln werden durch folgenden induktiven Prozess definiert:

1. Alle atomaren Formeln und \bot sind Formeln.
2. Falls \varphi und \psi Formeln sind, sind auch $(\varphi\wedge\psi),(\varphi\wedge\psi)$(\varphi \rightarrow\psi)und $\lnot\varphi$Formeln.
3. Nichts ist Formel, was sich nicht mittels der obigen Regeln erzeugen läßt.

Beispielformel: \lnot((\lnot p_4 \vee p_1)\wedge\bot)

Bezeichnungen:

• Falsum: \bot
• Konjunktion: \wedge
• Disjunktion: \vee
• Implikation: \rightarrow
• Negation: \lnot

Abkürzungen p,q,r... statt p_0,p_1,p_2...

(\bigvee_{i=1}^n \varphi_i statt (...((\varphi_1\vee\varphi_2)\vee\varphi_3)\vee...\vee\varphi_n)

(\bigwedge_{i=1}^n \varphi_i) statt (...((\varphi_1\wedge\varphi_2)\wedge\varphi_3)\wedge...\wedge\varphi_n)

(\varphi \leftrightarrow \psi) statt ((\varphi\rightarrow\psi)\wedge(\psi\rightarrow\varphi))

Präzedenz der Operatoren:

• \leftrightarrow bindet am schwächsten
• \rightarrow...
• \vee...
• \wedge...
• \lnot bindet am stärksten

Es gilt also z.B.: (\alpha\leftrightarrow\beta\vee\lnot\gamma\rightarrow\sigma\wedge\lnot\eta) = (\alpha\leftrightarrow ((\beta\vee\lnot\gamma)\rightarrow(\sigma\wedge\lnot\eta)))

Dennoch: Zu viele Klammern schaden i.A. nicht.

Natürliches Schließen

Ein (mathematischer) Beweis zeigt, wie die Behauptung aus den Voraussetzungen folgt.
Analog zeigt ein "Beweisbaum" (= "Herleitung" = "Deduktion"), wie eine Formel der Aussagenlogik aus Voraussetzungen (ebenfalls Formeln der Aussagenlogik) folgt.
Diese "Deduktionen" sind Bäume, deren Knoten mit Formeln beschriftet sind:

• an der Wurzel steht die Behauptung (= Konklusion \varphi)
• an den Blättern stehen Voraussetzungen (= Hypothesen oder Annahmen aus \Gamma)
• an den inneren Knoten stehen "Teilergebnisse" und "Begründungen"

Konstruktion von Deduktionen

Aus der Annahme der Aussage \varphi folgt \varphi unmittelbar: eine triviale Deduktion

\varphi mit Hypothesen \{\varphi\} und Konklusion \varphi.

Folgend werden wir

• überlegen, wie aus "einfachen mathematischen Beweisen" umfangreichere entstehen können und
• parallel dazudefinieren, wie aus einfachen Deduktionen umfangreichere konstruiert werden können.

Konjunktion

Konjunktionseinführung in math. Beweisen

Ein mathematischer Beweis einer Aussage "\varphi und $\psi$" sieht üblicherweise so aus:

• "Zunächst zeige ich \varphi: ... (hier steckt die eigentliche Arbeit)
• Jetzt zeige ich \psi: ... (nochmehr eigentliche Arbeit)
• Also haben wir "\varphi und $\psi$" gezeigt. qed"

Konjunktionseinführung (ausführlich)

Ist D eine Deduktion von \varphi mit Hypothesen aus \Gamma und ist E eine Deduktion von \psi mit Hypothesen aus \Gamma, so ergibt sich die folgende Deduktion von \varphi\wedge\psi mit Hypothesen aus \Gamma:

Kurzform: \frac{\varphi\quad\psi}{\varphi\wedge\psi} (\wedge I)

Konjunktionselimination (ausführlich)

Ist D eine Deduktion von \varphi\wedge\psi mit Hypothesen aus \Gamma, so ergeben sich die folgenden Deduktionen von \varphi bzw. von \psi mit Hypothesen aus \Gamma:

Kurzform: \frac{\varphi\wedge\psi}{\varphi} (\wedge E_1) \quad\quad \frac{\varphi\wedge\psi}{\psi} (\wedge E_2)

Beispiel

Wir zeigen \varphi\wedge\psi unter der Hypothese \psi\wedge\varphi:...

Dies ist eine Deduktion mit Konklusion \varphi\wedge\psi und Hypothese \psi\wedge\varphi (zweimal verwendet).

Implikation

Implikationseinführung in math. Beweisen

Ein mathematischer Beweis einer Aussage "Aus \varphi folgt $\psi$" sieht üblicherweise so aus:

• "Angenommen, \varphi gilt.
• Dann ... (hier steckt die eigentliche Arbeit).
• Damit gilt \psi.
• Also haben wir gezeigt, dass \psi aus \varphi folgt. qed"

Die Aussage \varphi ist also eine "temporäre Hypothese".

Implikationseinführung (ausführlich)

Ist D eine Deduktion von \psi mit Hypothesen aus \Gamma\cup\{\varphi\}, so ergibt sich die folgende Deduktion von \varphi\rightarrow\psi mit Hypothesen aus \Gamma:

Kurzform

[\varphi]

\vdots

\frac{\psi}{\varphi\rightarrow\psi} (\rightarrow I)

Beispiel: ... Dies ist eine Deduktion von \varphi\rightarrow\varphi ohne Hypothesen.

Implikationselimination in math. Beweisen

Ein mathematischer Beweis einer Aussage "\psi gilt" über eine Hilfsaussage sieht so aus:

• "Zunächst zeigen wir, dass \varphi gilt: ...
• Dann beweisen wir, dass \psi aus \varphi folgt: ...
• Also haben wir \psi gezeigt. qed"

Implikationselimination oder modus ponens (ausführlich)

Ist D eine Deduktion von \varphi mit Hypothesen aus \Gamma und ist E eine Deduktion von \varphi\rightarrow\psi mit Hypothesen aus \Gamma, so ergibt sich die folgende Deduktion von \psi mit Hypothesen aus \Gamma:

Kurzform: \frac{\varphi\quad \varphi\rightarrow\psi}{\psi} (\rightarrow E)

Beispiel

Bemerkung: die Indizes 1, 2 und 3 machen deutlich, welche Hypothese bei welcher Regelanwendung gestrichen wurde. Deduktionen können recht groß werden.

Diese Deduktion hat keine Hypothesen!

Disjunktion

Disjunktionselimination oder Fallunterscheidung in math. Beweisen

Ein mathematischer Beweis einer Aussage "\sigma gilt" mittels Fallunterscheidung sieht üblicherweise so aus:

• "Zunächst zeigen wir, dass \varphi\vee\psi gilt: ...
• Gilt \varphi, so gilt \sigma, denn ...
• Gilt \psi, so gilt ebenfalls \sigma, denn ...
• Also haben wir gezeigt, dass \sigma gilt. qed"

Die Aussagen \varphi und \psi sind also wieder "temporäre Hypothesen".

Disjunktionselimination oder Fallunterscheidung (ausführlich)

Ist D eine Deduktion von \varphi\vee\psi mit Hypothesen aus \Gamma, ist E eine Deduktion von \sigma mit Hypothesen aus $\Gamma\cup{\varphi}$und ist F eine Deduktion von \sigma mit Hypothesen aus \Gamma\cup\{\psi\}, so ergibt sich die folgende Deduktion von \sigma mit Hypothesen aus \Gamma:

Disjunktionselimination Kurzform:

\quad [\psi] \quad[\varphi]

\quad \vdots \quad\vdots

\frac{\varphi\vee\psi \quad\sigma \quad\sigma}{\sigma} (\vee E)

Disjunktionseinführung (Kurzform)

\frac{\varphi}{\varphi\vee\psi} (\vee I_1) \quad \frac{\psi}{\varphi\vee\psi} (\vee I_2)

Negation

Negationseinführung in math. Beweisen

Ein mathematischer Beweis einer Aussage "\varphi gilt nicht" sieht so aus:

• "Angenommen,$\varphi$gilt.
• Dann folgt 0=1, denn .... Mit anderen Worten, dies führt zu einem Widerspruch.
• Also haben wir gezeigt, dass \varphi nicht gilt. qed"

Die Aussage \varphi ist also wieder eine "temporäre Hypothese".

Negationseinführung (ausführlich)

Ist D eine Deduktion von \bot mit Hypothesen aus \Gamma\cup\{\varphi\}, so ergibt sich die folgende Deduktion von \lnot\varphi mit Hypothesen aus \Gamma:

Kurzform:

[\varphi]

\vdots

\frac{\bot}{\lnot\varphi} (\lnot I)

Negationselimination (ausführlich)

Ist D eine Deduktion von \lnot\varphi mit Hypothesen aus \Gamma und ist E eine Deduktion von \varphi mit Hypothesen aus \gamma, so ergibt sich die folgende Deduktion von \bot mit Hypothesen aus \Gamma:

Kurzform: \frac{\lnot\varphi \quad \varphi}{\bot} (\lnot E)

Falsum

Hat man "$0=1$" bewiesen, so ist man bereit, alles zu glauben: ex falso sequitur quodlibet

ausführlich: Ist D eine Deduktion von \bot mit Hypothesen aus \Gamma, so ergibt sich die folgende Deduktion von \varphi mit Hypothesen aus \Gamma:

Kurzform: \frac{\bot}{\varphi} (\bot)

math. Widerspruchsbeweis

Ein indirekter Beweis einer Aussage "\varphi gilt" sieht üblicherweise so aus:

• "Angenommen, \varphi gilt nicht, d.h. \lnot\varphi gilt.
• Dann folgt 0=1, d.h. ein Widerspruch.
• Also haben wir gezeigt, dass \varphi gilt. qed"

Die Aussage \lnot\varphi ist also wieder eine "temporäre Hypothese".

reductio ad absurdum (ausführlich)

Ist D eine Deduktion von \bot mit Hypothesen aus \Gamma\cup\{\lnot\varphi\}, so ergibt sich die folgende Deduktion von \varphi mit Hypothesen aus \Gamma:

Kurzform:

[\lnot\varphi]

\vdots

\frac{\bot}{\varphi} (raa)

Regeln des natürlichen Schließens

Definition

Für eine Formelmenge \Gamma und eine Formel \varphi schreiben wir \Gamma\Vdash\varphi wenn es eine Deduktion gibt mit Hypothesen aus \Gamma und Konklusion \varphi. Wir sagen "\varphi ist eine syntaktische Folgerung von $\Gamma$".

Eine Formel \varphi ist ein Theorem, wenn \varnothing\Vdash\varphi gilt.

Bemerkung

\Gamma\Vdash\varphi sagt (zunächst) nichts über den Inhalt der Formeln in \Gamma\cup\{\varphi\} aus, sondern nur über die Tatsache, dass \varphi mithilfe des natürlichen Schließens aus den Formeln aus \Gamma hergeleitet werden kann.

Ebenso sagt "\varphi ist Theorem" nur, dass \varphi abgeleitet werden kann, über "Wahrheit" sagt dieser Begriff (zunächst) nichts aus.

Satz

Für alle Formeln \varphi und \psi gilt \{\lnot(\varphi\vee\psi)\}\Vdash\lnot\varphi\wedge\lnot\psi.

Beweis: Wir geben eine Deduktion an...

• ${\lnot\varphi\wedge\lnot\psi}\Vdash\lnot(\varphi\vee\psi)$
• ${\lnot\varphi\vee\lnot\psi}\Vdash\lnot(\varphi\wedge\psi)$
• ${\varphi\vee\psi} \Vdash \psi\vee\varphi$

Satz

Für jede Formel \varphi ist \lnot\lnot\varphi\rightarrow\varphi ein Theorem.

Beweis: Wir geben eine Deduktion mit Konklusion \lnot\lnot\varphi\rightarrow\varphi ohne Hypothesen an...

Satz

Für jede Formel \varphi ist \varphi\vee\lnot\varphi ein Theorem.

Beweis: Wir geben eine Deduktion mit Konklusion \varphi\vee\lnot\varphi ohne Hypothesen an...

Bemerkung: Man kann beweisen, dass jede Deduktion der letzten beiden Theoreme die Regel (raa) verwendet, sie also nicht "intuitionistisch" gelten.

Satz

\{\lnot(\varphi\wedge\psi)\}\Vdash\lnot\varphi\vee\lnot\psi

Semantik

Formeln sollen Verknüpfungen von Aussagen widerspiegeln, wir haben dies zur Motivation der einzelnen Regeln des natürlichen Schließens genutzt. Aber die Begriffe „syntaktische Folgerung“ und „Theorem“ sind rein syntaktisch definiert.

Erst die jetzt zu definierende „Semantik“ gibt den Formeln „Bedeutung“.

Idee der Semantik: wenn man jeder atomaren Formel p_i einen Wahrheitswertzuordnet, so kann man den Wahrheitswert jeder Formel berechnen.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Wahrheitswerte zu definieren:

• zweiwertige oder Boolesche Logik B=\{0,1\}: Wahrheitswerte „wahr“=1 und „falsch“= 0
• dreiwertige Kleene-Logik K_3=\{0,\frac{1}{2},1\}: zusätzlicher Wahrheitswert „unbekannt“=\frac{1}{2}
• Fuzzy-Logik F=[0,1]: Wahrheitswerte sind „Grad der Überzeugtheit“
• unendliche Boolesche Algebra $B_R$= Menge der Teilmengen von \mathbb{R}; A\subseteq\mathbb{R} ist „Menge der Menschen, die Aussage für wahr halten“
• Heyting-Algebra $H_R$= Menge der offenen Teilmengen von \mathbb{R}
  • Erinnerung: A\subseteq\mathbb{R} offen, wenn \forall a\in A\exists\epsilon >0:(a-\epsilon,a+\epsilon)\subseteq A, d.h., wenn A abzählbare Vereinigung von offenen Intervallen (x,y) ist.

Beispiele:

• offen: (0,1), \mathbb{R}_{>0}, \mathbb{R}\backslash\{0\}, \mathbb{R}\backslash\mathbb{N}
• nicht offen: [1,2), \mathbb{R}_{\geq 0}, \mathbb{Q}, \mathbb{N}, \{\frac{1}{n} | n\in\mathbb{N}\}, \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}

Sei W eine Menge von Wahrheitswerten.\ Eine W-Belegung ist eine Abbildung B:V\rightarrow W, wobei V\subseteq\{p_0 ,p_1 ,...\} eine Menge atomarer Formeln ist.

Die W-Belegung B:V\rightarrow W paßt zur Formel \phi, falls alle atomaren Formeln aus \phi zu V gehören.

Sei nun B eine W-Belegung. Was ist der Wahrheitswert der Formel p_0\vee p_1 unter der Belegung B?

Zur Beantwortung dieser Frage benötigen wir eine Funktion \vee_W :W\times W\rightarrow W (analog für \wedge,\rightarrow,\lnot).

Wahrheitswertebereiche

Definition: Sei W eine Menge und R\subseteq W\times W eine binäre Relation.

• R ist reflexiv, wenn (a,a)\in R für alle a\in W gilt.
• R ist antisymmetrisch, wenn (a,b),(b,a)\in R impliziert, dass a=b gilt (für alle a,b\in W).
• R ist transitive, wenn (a,b),(b,c)\in R impliziert, dass (a,c)\in R gilt (für alle a,b,c\in W).
• R ist eine Ordnungsrelation, wenn R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. In diesem Fall heißt das Paar (W,R) eine partiell geordnete Menge.

Beispiel

1. Sei \leq übliche Ordnung auf $\mathbb{R}$und W\subseteq\mathbb{R}. Dann ist (W,\leq) partiell geordnete Menge.
2. Sei X eine Menge und W\subseteq P(X). Dann ist (W,\subseteq) partiell geordnete Menge.
3. Sei W=P(\sum ∗) und \leq_p die Relation „es gibt Polynomialzeitreduktion“ (vgl. „Automaten, Sprachen und Komplexität“). Diese Relation ist reflexiv, transitiv, aber nicht antisymmetrisch (denn 3-SAT\leq_p HC und HC\leq_p_3-SAT).

Definition: Sei (W,\leq) partiell geordnete Menge, M\subseteq W und a\in W.

• a ist obere Schranke von M, wenn m\leq a für alle m\in M gilt.
• a ist kleinste obere Schranke oder Supremum von M, wenn a obere Schranke von M ist und wenn a\leq b für alle oberen Schranken b von M gilt. Wir schreiben in diesem Fall a=sup \ M.
• a ist untere Schranke von M, wenn a\leq m für alle m\in M gilt.
• a ist größte untere Schranke oder Infimum von M, wenn a untere Schranke von M ist und wenn b\leq a für alle unteren Schranken b von M gilt. Wir schreiben in diesem Fall a=inf\ M.

Beispiel

1. betrachte (W,\leq) mit W=\mathbb{R} und \leq übliche Ordnung auf \mathbb{R}.
   • Dann gelten sup[0,1] = sup(0,1) =1.
   • sup\ W existiert nicht (denn W hat keine obere Schranke).
2. betrachte (W,\subseteq) mit X Menge und W =P(X).
   • sup\ M=\bigcup_{A\in M} A für alle M\subseteq W
3. betrachte (W,\subseteq) mit W=\{\{0\},\{1\},\{0,1,2\},\{0,1,3\}\}.
   • sup\{\{0\},\{0,1,2\}\}=\{0,1,2\}
   • \{0,1,2\} und \{0,1,3\} sind die oberen Schranken von M=\{\{0\},\{1\}\}, aber M hat kein Supremum

Definition: Ein (vollständiger) Verband ist eine partiell geordnete Menge (W,\leq), in der jede Menge M\subseteq W ein Supremum sup\ M und ein Infimum inf\ M hat. In einem Verband (W,\leq) definieren wir:

• 0_W = inf\ W und 1_W= sup\ W
• a\wedge_W b= inf\{a,b\} und a\vee_W b= sup\{a,b\} für a,b\in W

Bemerkung: In jedem Verband (W,\leq) gelten 0_W= sup\ \varnothing und 1_W= inf\ \varnothing (denn jedes Element von W ist obere und untere Schranke von \varnothing).

Definition: Ein Wahrheitswertebereich ist ein Tupel (W,\leq,\rightarrow W,\lnot W), wobei (W,\leq) ein Verband und \rightarrow W:W^2 \rightarrow W und \lnot W:W\rightarrow W Funktionen sind.

Beispiel

• Der Boolesche Wahrheitswertebereich B ist definiert durch die Grundmenge B=\{0,1\}, die natürliche Ordnung \leq und die Funktionen \lnot_B (a) = 1-a, \rightarrow_B(a,b) = max(b, 1 -a). Hier gelten:
  • 0_B=0, 1_B= 1,
  • a\wedge_B b= min(a,b), a\vee_B b= max(a,b)
• Der Kleenesche Wahrheitswertebereich K_3 ist definiert durch die Grundmenge K_3=\{0,\frac{1}{2},1\} mit der natürlichen Ordnung \leq und durch die Funktionen \lnot_{K_3} (a) = 1 -a , \rightarrow_{K_3} (a,b) = max(b, 1-a). Hier gelten:
  • \lnot_{K_3} = 0, 1_{K_3} = 1
  • a\wedge_{K_3} b= min(a,b), a\vee_{K_3} b= max(a,b)
• Der Wahrheitswertebereich F der Fuzzy-Logik ist definiert durch die Grundmenge F=[0,1]\subseteq\mathbb{R} mit der natürlichen Ordnung \leq und durch die Funktionen \lnot_F (a) = 1-a, \rightarrow_F (a,b) = max(b, 1-a). Hier gelten:
  • 0_F= 0, 1_F= 1
  • a\wedge_F b= min(a,b), a\vee_F b= max(a,b)
• Der Boolesche Wahrheitswertebereich B_R ist definiert durch die Grundmenge B_R=\{A|A\subseteq \mathbb{R}\} mit der Ordnung \subseteq und durch die Funktionen \lnot_{B_R} (A) =\mathbb{R}\backslash A, \rightarrow_{B_R} (A,B) = B\cup\mathbb{R}\backslash A. Hier gelten:
  • 0_{B_R}=\varnothing, 1_{B_R}=\mathbb{R}
  • A\wedge_{B_R} B=A\cap B, A\vee_{B_R} B=A\cup B
• Der Heytingsche Wahrheitswertebereich H_R ist definiert durch die Grundmenge H_{mathbb{R}} =\{A\subseteq\mathbb{R} | \text{A ist offen}\}, die Ordnung \subseteq und durch die Funktionen \lnot_{H_R} (A) = Inneres(\mathbb{R}\backslash A), \rightarrow_{H_R} (A,B) =Inneres(B\cup \mathbb{R}\backslash A). Hier gelten:
  • 0_{H_R}=\varnothing, 1_{H_R}=\mathbb{R}
  • A\wedge_{H_R} B= A\cap B, A\vee_{H_R} B=A\cup B
  • Erinnerung: Inneres(A) =\{a\in A|\exists \epsilon > 0 : (a-\epsilon,a+\epsilon)\subseteq A\}
  • Beispiele: Inneres((0,1))=(0,1)=Inneres([0,1]),Inneres(N)=\varnothing,Inneres(\mathbb{R}_{\geq 0}) = \mathbb{R}_{> 0}

Sei W ein Wahrheitswertebereich und B eine W-Belegung. Induktiv über den Formelaufbau definieren wir den Wahrheitswert \hat{B}(\phi)\in W jeder zu B passenden Formel \phi:

• \hat{B}(\bot) = 0_W
• \hat{B}(p) = B(p) falls p eine atomare Formel ist
• \hat{B}((\phi\wedge \psi )) = \hat{B}(\phi)\wedge_W \hat{B}(\psi )
• \hat{B}((\phi\vee \psi )) = \hat{B}(\phi)\vee_W \hat{B}(\psi )
• \hat{B}((\phi\rightarrow \psi )) = \rightarrow W(\hat{B}(\phi),\hat{B}(\psi ))
• \hat{B}(\lnot\phi) = \lnot W(\hat{B}(\phi))

Wir schreiben im folgenden B(\phi) anstatt \hat{B}(\phi).

Beispiel: Betrachte die Formel \phi= ((p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)).

• Für eine beliebige B-Belegung B:\{p,q\}\rightarrow B gilt B((p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)) = max(B(q\wedge p), 1 -B(p\wedge q)) = max(min(B(q),B(p)), 1 -min(B(p),B(q))) = 1 = 1_B
• Für die $K_3$-Belegung B:\{p,q\}\rightarrow K_3 mit $B(p) =B(q) = \frac{1}{2}$} gilt B((p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)) = max(B(q\wedge p), 1 -B(p\wedge q))= max(min(B(q),B(p)), 1 -min(B(p),B(q))) = \frac{1}{2} \not= 1_{K_3}
• analog gibt es eine F-Belegung B:\{p,q\}\rightarrow F, so dass B((p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)) \not = 1_F gilt.
• Für eine beliebige $H_{mathbb{R}}$-Belegung B:\{p,q\}\rightarrow H_R gilt B((p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)) = Inneres(B(q\wedge p)\cup \mathbb{R}\backslash B(p\wedge q)) = Inneres((B(q)\cap B(p))\cup \mathbb{R}\backslash (B(p)\cap B(q))) = Inneres(\mathbb{R}) = \mathbb{R} = 1_{H_R}

Folgerung und Tautologie

Sei W ein Wahrheitswertebereich. Eine Formel \phi heißt eine W-Folgerung der Formelmenge \Gamma, falls für jede W-Belegung B, die zu allen Formeln aus \Gamma \cup\{\phi\} paßt, gilt: inf\{B(\gamma )|\gamma \in \Gamma \}\leq B(\phi)

Wir schreiben \Gamma \Vdash W\phi, falls \phi eine W-Folgerung von \Gamma ist.

Bemerkung: Im Gegensatz zur Beziehung \Gamma \vdash \phi, d.h. zur syntaktischen Folgerung, ist \Gamma \Vdash W \phi eine semantische Beziehung.

Eine W-Tautologie ist eine Formel \phi mit \varnothing \Vdash W\phi, d.h. B(\phi) = 1_W für alle passenden W-Belegungen B (denn inf\{\hat{B}(\gamma )|\gamma \in \varnothing \}= inf \varnothing = 1_W).

Wahrheitstafel für den Booleschen Wahrheitswertebereich B:

RL	AK	BK	AK\vee BK	AK\rightarrow BK	(BK\wedge RL)\rightarrow\lnot AK	RL	\lnot AK
0	0	0	0	1	1	0	1
0	0	1	1	1	1	0	1
0	1	0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	1	1	0	0
1	0	0	0	1	1	1	1
1	0	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	0	1	1	0
1	1	1	1	1	0	1	0

Wir erhalten also ${(AK\vee BK),(AK\rightarrow BK), ((BK\wedge RL)\rightarrow \lnot AK),RL} \Vdash_B \lnot AK$ und können damit sagen:

„Wenn die Aussagen „Bauteil A oder Bauteil B ist kaputt“ und „daraus, dass Bauteil A kaputt ist, folgt, dass Bauteil B kaputt ist“ und... wahr sind, ... dann kann man die Folgerung ziehen: die Aussage „das Bauteil A ist heil“ ist wahr.“

Erinnerung aus der ersten Vorlesung: \{(AK\vee BK),(AK\rightarrow BK), ((BK\wedge RL)\rightarrow \lnot AK),RL\} \vdash \lnot AK

Beispiel Sei \phi beliebige Formel mit atomaren Formeln in V.

• Sei B:V\rightarrow B eine B-Belegung. Dann gilt

  B(\lnot\lnot\phi\rightarrow\phi) = \rightarrow B(\lnot B\lnot B(B(\phi)),B(\phi)) = max(B(\phi), 1 -( 1 -( 1 -B(\phi)))) = max(B(\phi), 1 -B(\phi)) = 1 = 1_B.

  Also ist \lnot\lnot\phi\rightarrow\phi eine B-Tautologie (gilt ebenso für den Wahrheitswertebereich B_R).

• Sei B:V\rightarrow H_R eine $H_R$-Belegung mit B(\phi) =R\backslash\{0\}. Dann gelten

  • B(\lnot\phi) = Inneres(\mathbb{R}\backslash B(\phi)) = Inneres(\{0\}) =\varnothing
  • B(\lnot\lnot\phi) = Inneres(\mathbb{R}\backslash B(\lnot\phi)) = Inneres(\mathbb{R}) = \mathbb{R}
  • B(\lnot\lnot\phi\rightarrow\phi) = \rightarrow_{H_R} (B(\lnot\lnot\phi),B(\phi)) = \rightarrow_{H_R} (\mathbb{R},\mathbb{R}\backslash \{0\}) = Inneres(\mathbb{R}\backslash\{0\}\cup\mathbb{R}\backslash\mathbb{R}) = \mathbb{R}\backslash\{0\}\not =\mathbb{R}= 1_{H_R}

  Also ist \lnot\lnot\phi\rightarrow\phi keine $H_R$-Tautologie (gilt ebenso für die Wahrheitswertebereiche K_3 und F).

• Sei B:V\rightarrow B eine B-Belegung. Dann gilt

  B(\phi\vee\lnot\phi) = max(B(\phi), 1 -B(\phi)) = 1 = 1_B.

  Also ist \phi\vee\lnot\phi eine B-Tautologie (gilt ebenso für den Wahrheitswertebereich B_R).

• Sei B:V\rightarrow H_R eine $H_R$-Belegung mit B(\phi)=\mathbb{R}\backslash\{0\}. Dann gilt B(\phi\vee\lnot\phi) = B(\phi)\cup B(\lnot\phi) = \mathbb{R}\backslash\{0\}\cup \varnothing \not= 1_{H_R}.

  Also ist \phi\vee\lnot\phi keine $H_R$-Tautologie (gilt ebenso für die Wahrheitswertebereiche K_3 und F).

• Sei B:V\rightarrow B eine B-Belegung. Dann gilt

  B(\lnot\phi\rightarrow\bot) = \rightarrow_B(B(\lnot\phi),B(\bot)) = max(0,1-B(\lnot \phi)) = 1 -( 1 -B(\phi)) =B(\phi)$.

  Also haben wir \{\lnot\phi\rightarrow\bot\}\Vdash B\phi und \{\phi\}\Vdash B\lnot \phi\rightarrow\bot.

  • Ebenso erhält man:
    • \{\lnot\phi\rightarrow\bot\}\Vdash_{K_3} \phi
    • \{\phi\}\Vdash_{K_3} \lnot\phi\rightarrow\bot
    • \{\lnot\phi\rightarrow\bot\}\Vdash_F\phi
    • \{\phi\}\Vdash F\lnot\phi\rightarrow\bot

• Sei B:D\rightarrow H_R eine $H_R$-Belegung mit B(\phi) =\mathbb{R}\backslash\{0\}. Dann gilt B(\lnot\phi\rightarrow\bot) = Inneres(B(\bot )\cup \mathbb{R}\backslash B(\lnot\phi))= Inneres(\varnothing \cup \mathbb{R}\backslash\varnothing)= \mathbb{R} \not\supseteq B(\phi).

  also \{\lnot\phi\rightarrow\bot\}\not\Vdash_{H_R} \phi.

  Es gilt aber \{\phi\}\Vdash_{H_R}\lnot \phi\rightarrow\bot.

Zusammenfassung der Beispiele

	B	B_R	K_3	F	H_R
\varnothing\Vdash_W\lnot\lnot\phi\rightarrow\phi	√	√	–	–	–	\varnothing\vdash \lnot\lnot\phi\rightarrow\phi
\varnothing\Vdash_W\phi\vee\lnot\phi	√	√	–	–	–	\varnothing\vdash\phi\vee\lnot\phi
\{\lnot\phi\rightarrow\bot\}\Vdash_W\phi	√	√	√	√	–	\{\lnot\phi\rightarrow\bot\}\vdash\phi
\{\phi\}\Vdash_W\lnot\phi\rightarrow\bot	√	√	√	√	√	\{\phi\}\vdash\lnot\phi\rightarrow\bot

• √ in Spalte W:W-Folgerung gilt
• - in Spalte W:W-Folgerung gilt nicht

Überblick: Wir haben definiert

• \Gamma\vdash\phi syntaktische Folgerung
  • Theorem („hypothesenlos ableitbar“)
• \Gamma\Vdash_W \phi (semantische) W-Folgerung
  • W-Tautologie („wird immer zu 1_W ausgewertet“)

Frage: Was ist die Beziehung zwischen diesen Begriffen, insbes. zwischen „Theorem“ und „W-Tautologie“? Da z.B. B-Folgerung $\not =K_3$-Folgerung, hängt die Anwort von W ab.

Korrektheit

Können wir durch mathematische Beweise zu falschen Aussagenkommen?

Können wir durch das natürliche Schließen zu falschen Aussagen kommen?

Existiert eine Menge \Gamma von Formeln und eine Formel \varphi mit \Gamma\vdash\varphi und \Gamma\not\Vdash_W \varphi? Für welche Wahrheitswertebereiche W?

Frage für diese Vorlesung: Für welche Wahrheitswertebereiche W gilt

\Gamma\vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash_W \varphi

bzw. \varphi ist Theorem \Rightarrow\varphi ist W-Tautologie?

Beispiel: Betrachte den Kleeneschen Wahrheitswertebereich K_3.

• Sei p atomare Formel. $\frac{[p]^4}{p\rightarrow p}$ Also gilt \varnothing\vdash p\rightarrow p, d.h. p\rightarrow p ist Theorem.
• Sei B $K_3$-Belegung mit B(p)=\frac{1}{2}. Dann gilt B(p\rightarrow p) = max(B(p), 1-B(p)) =\frac{1}{2}, also inf\{B(\gamma)|\gamma\in\varnothing\}= 1 >\frac{1}{2} = B(p\rightarrow p). Damit haben wir gezeigt \varnothing\not\Vdash_{K_3} p\rightarrow p.

Die Implikation \Gamma\vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash_W \varphi gilt also NICHT für den Kleeneschen Wahrheitswertebereich W=K_3 und damit auch NICHT für den Wahrheitswertebereich der Fuzzy-Logik F.

Korrektheitslemma für nat. Schließen & Wahrheitswertebereich B

Sei D eine Deduktion mit Hypothesen in der Menge \Gamma und Konklusion \varphi. Dann gilt \Gamma\vdash_B \varphi, d.h. inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\varphi) für alle passenden B-Belegungen B.

Beweis: Induktion über die Größe der Deduktion D (d.h. Anzahl der Regelanwendungen).

• I.A.: die kleinste Deduktion D hat die Form \varphi mit Hypothese \varphi und Konklusion \varphi. Sei B passendeB-Belegung. Hypothesen von D in \Gamma\Rightarrow\varphi\in\Gamma\Rightarrow inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\varphi)\Rightarrow\Gamma\vdash_B \varphi
• I.V.: Behauptung gelte für alle Deduktionen, die kleiner sind als D.
• I.S.: Wir unterscheiden verschiedene Fälle, je nachdem, welche Regel als letzte angewandt wurde.
  • (\wedge I) Die Deduktion hat die Form $\frac{\alpha\quad\beta}{\alpha\wedge\beta}$ mit \varphi=\alpha\wedge\beta. Sei B passende B-Belegung. Nach IV gelten inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\alpha) und $inf{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma}\leq B(\beta)$ und damit inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\alpha)\wedge_B B(\beta)=B(\alpha\wedge\beta) =B(\varphi). Da B beliebig war, haben wir \Gamma\vdash_B \varphi gezeigt.
  • (\vee E) Die Deduktion D hat die Form $\frac{\alpha\vee\beta\quad\phi\quad\phi}{\phi}$ Also gibt es Deduktion E mit Hypothesen in \Gamma und Konklusion \alpha\vee\beta und Deduktionen F und G mit Hypothesen in \Gamma\cup\{\alpha\} bzw. \Gamma\cup\{\beta\} und Konklusion \varphi. Sei B passende B-Belegung. Nach IV gelten inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\alpha\vee\beta) (1) inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup\{\alpha\}\}\leq B(\varphi) (2) inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup\{\beta\}\}\leq B(\varphi) (3) Wir unterscheiden zwei Fälle:
    • B(\alpha)\leq B(\beta): inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\alpha\vee\beta) =B(\alpha)\vee_B B(\beta) =B(\beta) impliziert inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}= inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup\{\beta\}\}\leq B(\varphi)
    • B(\alpha)>B(\beta): analog Da B beliebig war, haben wir \Gamma\vdash_B \varphi gezeigt.
  • (\rightarrow I) Die DeduktionDhat die Form $\frac{\beta}{\alpha\rightarrow\beta}$ mit \varphi=\alpha\rightarrow\beta. Sei B eine passende B-Belegung. Nach IV gilt $inf{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup{\alpha}}\leq B(\beta)$ Wir unterscheiden wieder zwei Fälle:
    • B(\alpha)=0:inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq 1 =\rightarrow_B(B(\alpha),B(\beta)) = B(\alpha\rightarrow\beta) =B(\varphi)
    • $B(\alpha)=1:inf{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma}=inf{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup{\alpha}}\leq B(\beta) =\rightarrow_B (B(\alpha),B(\beta)) = B(\alpha\rightarrow\beta) =B(\varphi)$ Da B beliebig war, habe wir \Gamma\vdash_B \varphi gezeigt.
  • (raa) Die DeduktionDhat die Form $\frac{\bot}{\phi}$ Sei B eine passende B-Belegung. Nach IV gilt inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}\}\leq B(\bot) = 0. Wir unterscheiden wieder zwei Fälle:
    • inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}=0: dann gilt inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\varphi).
    • inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}=1: Wegen inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}\}=0 folgt 0 =B(\lnot\varphi)=\lnot_B (B(\varphi)) und daher B(\varphi)=1\geq inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}. Da B beliebig war, haben wir \Gamma\vdash_B \varphi gezeigt.

Ist die letzte Schlußregel in der Deduktion D von der Form (\wedge I), (\vee E), (\rightarrow I) oder (raa), so haben wir die Behauptung des Lemmas gezeigt. Analog kann dies für die verbleibenden Regeln getan werden.

Korrektheitssatz für natürliches Schließen & Wahrheitswertebereich B

Für jede Menge von Formeln \Gamma und jede Formel \varphi gilt \Gamma\vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash_B\varphi.

Beweis: Wegen \Gamma\vdash\varphi existiert eine Deduktion D mit Hypothesen in \Gamma und Konklusion \varphi. Nach dem Korrektheitslemma folgt \Gamma\vdash_B \varphi.

Korollar: Jedes Theorem ist eine B-Tautologie.

Korrektheitssatz für natürliches Schließen & Wahrheitswertebereich B

Für jede Menge von Formeln \Gamma und jede Formel \varphi gilt \Gamma\vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash_{B_\mathbb{R}}\varphi.

Beweis:

1. Variante: verallgemeinere den Beweis von Korrektheitslemma und Korrektheitssatz für B auf B_\mathbb{R} (Problem: wir haben mehrfach ausgenutzt, dass B=\{0,1\} mit 0<1)
2. Variante: Folgerung aus Korrektheitssatz für B.

Korollar: Jedes Theorem ist eine $B_\mathbb{R}$-Tautologie.

Korrektheitslemma für nat. Schließen & Wahrheitswertebereich H_{mathbb{R}}

Sei D eine Deduktion mit Hypothesen in der Menge \Gamma und Konklusion \varphi, die die Regel (raa) nicht verwendet. Dann gilt \Gamma\vdash_{H_\mathbb{R}}\varphi.

Beweis: ähnlich zum Beweis des Korrektheitslemmas für den Wahrheitswertebereich B. Nur die Behandlung der Regel (raa) kann nicht übertragen werden.

Beispiel: Sei p eine atomare Formel. Also gilt \{\lnot\lnot p\}\vdash p, d.h. p ist syntaktische Folgerung von \lnot\lnot p.

• Sei B $H_{mathbb{R}}$-Belegung mit B(p)=\mathbb{R}\backslash\{0\}.
• \Rightarrow B(\lnot\lnot p) =\mathbb{R}\not\subseteq \mathbb{R}\backslash\{0\}=B(p)
• \Rightarrow\lnot\lnot p\not\Vdash_{H_{mathbb{R}}} p, d.h. p ist keine H_{mathbb{R}} -Folgerung von \lnot\lnot p.

Korrektheitssatz für nat. Schließen & Wahrheitswertebereich H_{mathbb{R}}

Für jede Menge von Formeln \Gamma und jede Formel \varphi gilt \Gamma\vdash\varphi ohne (raa) \Rightarrow\Gamma\vdash_{H_{mathbb{R}}}\varphi.

Korollar: Jedes $(raa)$-frei herleitbare Theorem ist eine $H_{mathbb{R}}$-Tautologie.

Folgerung: Jede Deduktion der Theoreme \lnot\lnot\varphi\rightarrow\varphi und \varphi\vee\lnot\varphi ohne Hypothesen verwendet (raa).

Vollständigkeit

Können wir durch mathematische Beweise zu allen korrekten Aussagen kommen?

Können wir durch das natürliche Schließen zu allen korrekten Aussagen kommen?

Existiert eine Menge \Gamma von Formeln und eine Formel \varphi mit \Gamma\vdash_W\varphi und \Gamma\not\vdash\varphi? Für welche Wahrheitswertebereiche W?

Frage für diese Vorlesung: Für welche Wahrheitswertebereiche W gilt \Gamma\vdash_W \varphi\Rightarrow\Gamma\vdash\varphi bzw. \varphi ist $W$-Tautologie \Rightarrow\varphi ist Theorem?

Plan

• Sei W einer der Wahrheitswertebereiche B,K_3 ,F ,B_\mathbb{R}, H_{mathbb{R}}.
• z.z. ist \Gamma\vdash_W\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash\varphi.
• dies ist äquivalent zu \Gamma\not\vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\not\Vdash_W \varphi.
• hierzu gehen wir folgendermaßen vor:
  • \Gamma \not\Vdash_W\varphi
  • \Leftrightarrow \Gamma\cup\{\lnot\varphi\} konsistent
  • \Rightarrow \exists\Delta\subseteq\Gamma\cup\{\lnot\varphi\} maximal konsistent
  • \Rightarrow \Delta erfüllbar
  • \Rightarrow \Gamma\cup\{\lnot\varphi\} erfüllbar
  • \Leftrightarrow \Gamma\not\Vdash_B \varphi
  • \Rightarrow \Gamma\not\Vdash\varphi

Konsistente Mengen

Definition

Sei \Gamma eine Menge von Formeln. \Gamma heißt inkonsistent, wenn \Gamma\vdash\bot gilt. Sonst heißt \Gamma konsistent.

Lemma

Sei \Gamma eine Menge von Formeln und \varphi eine Formel. Dann gilt \Gamma\not\vdash\varphi \Leftrightarrow \Gamma\cup\{\lnot\varphi\} konsistent.

Beweis: Wir zeigen „\Gamma\vdash\varphi\Leftrightarrow \Gamma\cup\{\lnot\varphi\} inkonsistent“:

• Richtung „$\Rightarrow$“, gelte also \Gamma \vdash \varphi.
  • \Rightarrow es gibt Deduktion D mit Hypothesen in \Gamma und Konklusion \varphi
  • \Rightarrow Wir erhalten die folgende Deduktion mit Hypothesen in \Gamma\cup\{\lnot\varphi\} und Konklusion \bot: \frac{\lnot\varphi\quad\varphi}{\bot}
  • \Rightarrow\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}\vdash\bot, d.h.$\Gamma\cup{\lnot\varphi}$ ist inkonsistent.
• Richtung „$\Leftarrow$“, sei also \Gamma\cup\{\lnot\varphi\} inkonsistent.
  • \Rightarrow Es gibt Deduktion D mit Hypothesen in \Gamma\cup\{\lnot\varphi\} und Konklusion \bot.
  • \Rightarrow Wir erhalten die folgende Deduktion mit Hypothesen in \Gamma und Konklusion \varphi: \frac{\bot}{\varphi}
  • \Gamma\vdash\varphi

Maximal konsistente Mengen

Definition

Eine Formelmenge \Delta ist maximal konsistent, wenn sie konsistent ist und wenn gilt „\sum\supseteq\Delta konsistent $\Rightarrow\sum = \Delta$“.

Satz

Jede konsistente Formelmenge \Gamma ist in einer maximal konsistenten Formelmenge \Delta enthalten.

Beweis: Sei \varphi_1,\varphi_2,... eine Liste aller Formeln (da wir abzählbar viele atomare Formeln haben, gibt es nur abzählbar viele Formeln)

Wir definieren induktiv konsistente Mengen \Gamma_n:

• Setze \Gamma_1 = \Gamma
• Setze \Gamma_{n+1}= \begin{cases} \Gamma_n\cup\{\varphi_n\}\quad\text{ falls diese Menge konsistent} \\ \Gamma_n \quad\text{sonst}\end{cases}

Setze nun \Delta =\bigcup_{n\geq 1} \Gamma_n.

1. Wir zeigen indirekt, dass \Delta konsistent ist: Angenommen, \Delta\vdash\bot.
   • \Rightarrow Es gibt Deduktion D mit Konklusion \bot und endlicher Menge von Hypothesen \Delta'\subseteq\Delta.
   • \Rightarrow Es gibt n\geq 1 mit \Delta'\subseteq\Gamma_n
   • \Rightarrow \Gamma_n\vdash\bot, zu \Gamma_n konsistent. Also ist \Delta konsistent.
2. Wir zeigen indirekt, dass \Delta maximal konsistent ist. Sei also \sum\supseteq\Delta konsistent. Angenommen, \sum\not=\Delta.
   • \Rightarrow es gibt n\in N mit \varphi_n\in\sum\backslash\Delta
   • \Rightarrow \Gamma_n\cup\{\varphi_n\}\subseteq\Delta\cup\sum= \sum konsistent.
   • \Rightarrow \varphi_n \in\Gamma_{n+1}\subseteq \Delta, ein Widerspruch, d.h. \Delta ist max. konsistent.

Lemma 1

Sei \Delta maximal konsistent und gelte \Delta\vdash\varphi. Dann gilt \varphi\in\Delta.

Beweis:

1. Zunächst zeigen wir indirekt, dass \Delta\cup\{\varphi\} konsistent ist:

   • Angenommen, \Delta\cup\{\varphi\}\vdash\bot.
   • \Rightarrow \exists Deduktion D mit Hypothesen in \Delta\cup\{\varphi\} und Konklusion \bot.
   • \Delta\vdash \varphi \Rightarrow \exists Deduktion E mit Hypothesen in \Delta und Konklusion \varphi.
   • \Rightarrow Wir erhalten die folgende Deduktion: \frac{\Delta \frac{\Delta}{\varphi}}{\bot}

   Also \Delta\vdash\bot, ein Widerspruch zur Konsistenz von \Delta. Also ist \Delta\cup\{\varphi\} konsistent.

2. Da \Delta\cup\{\varphi\}\supseteq\Delta konsistent und \Delta maximal konsistent ist, folgt \Delta=\Delta\cup\{\varphi\}, d.h. \varphi\in\Delta.

Lemma 2

Sei \Delta maximal konsistent und \varphi Formel. Dann gilt \varphi\not\in\Delta\Leftrightarrow\lnot\varphi\in\Delta.

Beweis:

• Zunächst gelte \lnot\varphi\in\Delta. Angenommen, \varphi\in\Delta. Dann haben wir die Deduktion \frac{\lnot\varphi\quad\varphi}{\bot} und damit \Delta\vdash\bot, was der Konsistenz von \Delta widerspricht.
• Gelte nun \varphi\not\in\Delta.
  • \Rightarrow \Delta(\Delta\cup\{\varphi\}\Rightarrow\Delta\cup\{\varphi\} inkonsistent (da \Delta max. konsistent)
  • \Rightarrow Es gibt Deduktion D mit Hypothesen in \Delta\cup\{\varphi\} &Konklusion \bot.
  • \Rightarrow Wir erhalten die folgende Deduktion: \frac{\bot}{\lnot\varphi}
  • \Rightarrow \Delta\vdash\lnot\varphi\Rightarrow\lnot\varphi\in\Delta (nach Lemma 1)

Erfüllbare Mengen

Definition

Sei \Gamma eine Menge von Formeln. \Gamma heißt erfüllbar, wenn es eine passende B-Belegung B gibt mit B(\gamma) = 1_B für alle \gamma\in\Gamma.

Bemerkung

• Die Erfüllbarkeit einer endlichen Menge \Gamma ist entscheidbar:
  • Berechne Menge V von in \Gamma vorkommenden atomaren Formeln
  • Probiere alle B-Belegungen B:V\rightarrow B durch
• Die Erfüllbarkeit einer endlichen Menge \Gamma ist NP-vollständig (Satz von Cook)

Satz Sei \Delta eine maximal konsistente Menge von Formeln. Dann ist \Delta erfüllbar.

Beweis: Definiere eine B-Belegung B mittels $B(p_i) = \begin{cases} 1_B \quad\text{ falls } p_i\in\Delta \ 0_B \quad\text{ sonst. } \end{cases}$ Wir zeigen für alle Formeln \varphi: B(\varphi) = 1_B \Leftarrow\Rightarrow\varphi\in\Delta (*)

Der Beweis erfolgt per Induktion über die Länge von \varphi.

1. I.A.: hat \varphi die Länge 1, so ist \varphi atomare Formel. Hier gilt (*) nach Konstruktion von B.

2. I.V.: Gelte (*) für alle Formeln der Länge <n.

3. I.S.: Sei \varphi Formel der Längen$>1$. \Rightarrow Es gibt Formeln \alpha und \beta der Länge$<n$ mit \varphi\in\{\lnot\alpha,\alpha\wedge\beta,\alpha\vee\beta,\alpha\rightarrow\beta\}.

   • Wir zeigen (*) für diese vier Fälle einzeln auf den folgenden Folien.
   • Zur Erinnerung: \Delta max. konsistent, \varphi Formel
     • Lemma 1: \Delta\vdash\varphi\Rightarrow\varphi\in\Delta
     • Lemma 2: \varphi\not\in\Delta\Leftarrow\Rightarrow\lnot\varphi\in\Delta

4. \varphi =\lnot\alpha. B(\varphi) = 1_B \Leftarrow\Rightarrow B(\alpha) = 0_B \Leftarrow\Rightarrow \alpha\not\in\Delta\Leftarrow\Rightarrow \Delta \owns\lnot\alpha =\varphi

5. \varphi =\alpha\wedge\beta.

• B(\varphi) = 1_B \Rightarrow B(\alpha) =B(\beta) = 1_B \Rightarrow\alpha,\beta\in\Delta\Rightarrow\Delta\vdash\varphi denn \frac{\alpha\quad\beta}{\alpha\wedge\beta} ist Deduktion \Rightarrow\varphi\in\Delta.
• \varphi \in \Delta \Rightarrow\Delta\vdash\alpha und \Delta\vdash\beta denn \frac{\varphi}{\alpha} und \frac{\varphi}{\beta} sind Deduktionen. \Rightarrow\alpha,\beta\in\Delta\Rightarrow B(\alpha),B(\beta) = 1_B=\Rightarrow B(\varphi) = 1_B

3. \varphi =\alpha\vee\beta.

• B(\varphi) = 1_B \Rightarrow B(\alpha) = 1_B oder B(\beta) = 1_B
  • angenommen, B(\alpha) = 1_B \Rightarrow\alpha\in\Delta\Rightarrow\Delta\vdash\varphi denn \frac{\alpha}{\varphi} ist Deduktion \Rightarrow\varphi\in\Delta
  • angenommen, B(\alpha) = 0_B \Rightarrow B(\beta) = 1_B. weiter analog.
• \varphi\in\Delta. Dann gilt \Delta\cup\{\lnot\alpha ,\lnot\beta\}\vdash \bot aufgrund der Deduktion Da \Delta konsistent ist, folgt \Delta\not=\Delta\cup\{\lnot\alpha,\lnot\beta\} und damit \lnot\alpha\in\Delta oder \lnot\beta\in\Delta. \Rightarrow\alpha\in\Delta oder \beta\in\Delta nach Lemma 2 \Rightarrow B(\alpha) = 1_B oder $B(\beta) =1_B$ \Rightarrow B(\varphi) = 1_B.

4. \varphi = \alpha\rightarrow\beta.

• B(\varphi) = 1_B \Rightarrow B(\alpha) = 0_B oder B(\beta) = 1_B \Rightarrow\lnot\alpha\in\Delta oder $\beta\in\Delta$ Aufgrund nebenstehender Deduktionen gilt in beiden Fällen $\Delta\vdash\alpha\rightarrow\beta\Rightarrow\varphi\in\Delta$
• \varphi\in\Delta. Angenommen, B(\varphi) = 0_B = \Rightarrow B(\alpha) = 1_B, B(\beta) = 0_B $\Rightarrow\alpha\in\Delta, \beta\not\in\Delta \Rightarrow \lnot\beta\in\Delta$ Aufgrund der nebenstehenden Deduktion gilt \Delta\vdash\bot, d.h. \Delta ist inkonsistent, im Widerspruch zur Annahme. $\Rightarrow B(\varphi) = 1_B$

Lemma

Sei \Gamma eine Menge von Formeln und \varphi eine Formel. Dann gilt \Gamma\not\Vdash_B\varphi\Leftarrow\Rightarrow\Gamma\cup\{\lnot \varphi\} erfüllbar.

Beweis: \Gamma\not\Vdash_B\varphi \Leftarrow\Rightarrow es gibt passende B-Belegung B mit $inf{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma} \not\leq_B B(\varphi)$ \Leftarrow\Rightarrow es gibt passende B-Belegung B mit inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}= 1_B und $B(\varphi)=0_B$ \Leftarrow\Rightarrow es gibt passende B-Belegung B mit B(\gamma) = 1_B für alle \gamma\in\Gamma und $B(\lnot\varphi) = 1_B$ \Leftarrow\Rightarrow \Gamma\cup\{\lnot\varphi\} erfüllbar

Beobachtung: Sei W einer der Wahrheitswertebereiche B, K_3, F, H_R und B_R,\Gamma eine Menge von Formeln und \varphi eine Formel. Dann gilt \Gamma\Vdash W\varphi\Rightarrow\Gamma\Vdash B\varphi.

Beweis: Sei B beliebige B-Belegung, die zu jeder Formel in \Gamma\cup\{\varphi\} paßt. definiere W-Belegung B_W durch B_W(pi) = \begin{cases} 1_W \quad\text{ falls } B(p_i) = 1_B \\ 0_W \quad\text{ sonst} \end{cases}. per Induktion über die Formelgröße kann man für alle Formeln \psi, zu denen B paßt, zeigen: B_W(\psi) = \begin{cases} 1_W \quad\text{ falls } B(\psi) = 1_B \\ 0_W \quad\text{ sonst.} \end{cases} (*)

Wir unterscheiden zwei Fälle:

• inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}= 1_B \Rightarrow inf\{B_W(\gamma)|\gamma\in\Gamma\} = 1_W (wegen ()) \Rightarrow 1_W = B_W(\varphi) (wegen \Gamma\Vdash_W\varphi) \Rightarrow 1_B = B(\varphi) (wegen ()) \Rightarrow inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\} = 1_B \leq B(\varphi) und
• $inf{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma} \not= 1_B \Rightarrow inf{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma}= 0_B$ \Rightarrow inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}= 0_B \leq B(\varphi).

Da B beliebig war, gilt \Gamma\Vdash_B \varphi.

Satz (Vollständigkeitssatz)

Sei \Gamma eine Menge von Formeln, \varphi eine Formel und W einer der Wahrheitswertebereiche B,K_3 , F, B_R und H_R. Dann gilt \Gamma\Vdash_W\varphi \Rightarrow \Gamma\vdash\varphi. Insbesondere ist jede W-Tautologie ein Theorem.

Beweis: indirekt

• \Gamma\not\Vdash
• \Gamma\cup\{\lnot\varphi\} konsistent
• \exists\Delta\supseteq\Gamma\cup\{\lnot\varphi\} maximal konsistent
• \Rightarrow\Delta erfüllbar
• \Gamma\cup\{\lnot\varphi\} erfüllbar
• \Gamma\not\Vdash_B \varphi
• \Gamma\not\Vdash_W \varphi

Vollständigkeit und Korrektheit

Satz

Seien \Gamma eine Menge von Formeln und \varphi eine Formel. Dann gilt \Gamma\vdash\varphi\Leftarrow\Rightarrow\Gamma\Vdash_B \varphi. Insbesondere ist eine Formel genau dann eine B-Tautologie, wenn sie ein Theorem ist.

Beweis: Folgt unmittelbar aus Korrektheitssatz und Vollständigkeitssatz.

Bemerkung:

• gilt für jede „Boolesche Algebra“, z.B. B_R
• \Gamma\vdash\varphi ohne (raa) \Leftarrow\Rightarrow\Gamma\Vdash_{H_R} \varphi (Tarksi 1938)

Folgerung 1: Entscheidbarkeit

Satz: die Menge der Theoreme ist entscheidbar.

Beweis: Sei \varphi Formel und V die Menge der vorkommenden atomaren Formeln. Dann gilt \varphi Theorem

• \Leftarrow\Rightarrow\varphi B-Tautologie
• \Leftarrow\Rightarrow für alle Abbildungen B:V\rightarrow\{0_B, 1_B\} gilt B(\varphi) = 1_B

Da es nur endlich viele solche Abbildungen gibt und B(\varphi) berechnet werden kann, ist dies eine entscheidbare Aussage.

Folgerung 2: Äquivalenzen und Theoreme

Definition

Zwei Formeln \alpha und \beta heißen äquivalent (\alpha\equiv\beta), wenn für alle passenden B-Belegungen B gilt: B(\alpha) =B(\beta).

Satz: Es gelten die folgenden Äquivalenzen:

1. p_1 \vee p_2 \equiv p_2 \vee p_1
2. (p_1 \vee p_2 )\vee p_3 \equiv p_1 \vee (p_2 \vee p_3 )
3. p_1 \vee (p_2 \wedge p_3 )\equiv (p_1 \vee p_2 )\wedge (p_1 \vee p_3 )
4. \lnot(p_1 \vee p_2 )\equiv\lnot p_1 \wedge\lnot p_2
5. p_1 \vee p_1 \equiv p_1
6. (p_1 \wedge \lnot p_1 )\vee p_2 \equiv p_2
7. \lnot\lnot p_1\equiv p_1
8. p_1 \wedge\lnot p_1 \equiv\bot
9. p_1 \vee\lnot p_1 \equiv\lnot\bot
10. p_1 \rightarrow p_2 \equiv \lnot p_1 \vee p_2

Beweis: Wir zeigen nur die Äquivalenz (3): Sei B beliebige B-Belegung, die wenigstens auf \{p_1, p_2, p_3\} definiert ist. Dazu betrachten wir die Wertetabelle:

B(p_1)	B(p_2)	B(p_3)	B(p_1\vee(p_2\wedge p_3))	B((p_1\vee p_2)\wedge(p_1 \vee p_3 ))
0_B	0_B	0_B	0_B	0_B
0_B	0_B	1_B	0_B	0_B
0_B	1_B	0_B	0_B	0_B
0_B	1_B	1_B	1_B	1_B
1_B	0_B	0_B	1_B	1_B
1_B	0_B	1_B	1_B	1_B
1_B	1_B	0_B	1_B	1_B
1_B	1_B	1_B	1_B	1_B

Die anderen Äquivalenzen werden analog bewiesen.

Aus dieser Liste von Äquivalenzen können weitere hergeleitet werden:

Beispiel: Für alle Formeln \alpha und \beta gilt \lnot(\alpha\wedge\beta)\equiv\lnot\alpha\vee\lnot\beta.

Beweis: \lnot(\alpha\wedge\beta) \equiv \lnot(\lnot\lnot\alpha\wedge\lnot\lnot\beta) \equiv \lnot\lnot(\lnot\alpha\vee\lnot\beta) \equiv \lnot\alpha\vee\lnot\beta

Bemerkung Mit den üblichen Rechenregeln für Gleichungen können aus dieser Liste alle gültigen Äquivalenzen hergeleitet werden.

Zusammenhang zw. Theoremen und Äquivalenzen

Satz

Seien \alpha und \beta zwei Formeln. Dann gilt \alpha\equiv\beta\Leftarrow\Rightarrow(\alpha\leftrightarrow\beta) ist Theorem.

Beweis: \alpha\equiv\beta

• \Leftarrow\Rightarrow für alle passenden B-Belegungen B gilt B(\alpha)=B(\beta)
• \Leftarrow\Rightarrow \{\alpha\}\Vdash_B\beta und \{\beta\}\Vdash_B \alpha
• \Leftarrow\Rightarrow \{\alpha\}\vdash\beta und \{\beta\}\vdash\alpha (nach Korrektheits- und Vollständigkeitssatz)

es bleibt z.z., dass dies äquivalent zu \varnothing\vdash(\alpha\leftrightarrow\beta) ist.

• \Rightarrow: Wir haben also Deduktionen mit Hypothesen in \{\alpha\} bzw. in \{\beta\} und Konklusionen \beta bzw.$\alpha$. Es ergibt sich eine hypothesenlose Deduktion von \alpha\leftrightarrow\beta:
• \Leftarrow: Wir haben also eine hypothesenlose Deduktion von \alpha\leftrightarrow\beta. Es ergeben sich die folgenden Deduktionen mit Hypothesen \beta bzw. \alpha und Konklusionen \alpha bzw. \beta:

Satz

Sei \alpha eine Formel. Dann gilt \alpha ist Theorem \Leftarrow\Rightarrow\alpha\equiv\lnot\bot.

Beweis: \alpha ist Theorem

• \Leftarrow\Rightarrow\alpha ist B-Tautologie (Korrektheits- und Vollständigkeitssatz)
• \Leftarrow\Rightarrow für alle passenden B-Belegungen B gilt B(\alpha) = 1_B
• \Leftarrow\Rightarrow für alle passenden B-Belegungen B gilt B(\alpha) =B(\lnot\bot)
• \Leftarrow\Rightarrow\alpha\equiv\lnot\bot

Folgerung 3: Kompaktheit

Satz

Sei \Gamma eine u.U. unendliche Menge von Formeln und \varphi eine Formel mit \Gamma\Vdash_B\varphi. Dann existiert \Gamma′\subseteq\Gamma endlich mit \Gamma′\Vdash_B \varphi.

Beweis: \Gamma\Vdash_B\varphi

• \Rightarrow\Gamma\vdash\varphi (nach dem Vollständigkeitssatz)
• \Rightarrow es gibt Deduktion von \varphi mit Hypothesen \gamma_1,...,\gamma_n\in\Gamma
• \Rightarrow\Gamma′=\{\gamma_1,...,\gamma_n\}\subseteq\Gamma endlich mit \Gamma′\vdash\varphi
• \Rightarrow\Gamma′\Vdash_B\varphi (nach dem Korrektheitssatz).

Folgerung (Kompaktheits- oder Endlichkeitssatz)

Sei \Gamma eine u.U. unendliche Menge von Formeln. Dann gilt \Gamma unerfüllbar \Leftarrow\Rightarrow\exists\Gamma′\subseteq\Gamma endlich: \Gamma′ unerfüllbar

Beweis: \Gamma unerfüllbar

• \Leftarrow\Rightarrow\Gamma\cup\{\lnot\bot\} unerfüllbar
• \Leftarrow\Rightarrow\Gamma\Vdash_B\bot
• \Leftarrow\Rightarrow es gibt \Gamma′\subseteq\Gamma endlich: \Gamma′\Vdash_B\bot
• \Leftarrow\Rightarrow es gibt \Gamma′\subseteq\Gamma endlich: \Gamma′\cup\{\lnot\bot\} unerfüllbar
• \Leftarrow\Rightarrow es gibt \Gamma′\subseteq\Gamma endlich: \Gamma′ unerfüllbar

1. Anwendung des Kompaktheitsatzes: Färbbarkeit

Definition

Ein Graph ist ein Paar G=(V,E) mit einer Menge V und $E\subseteq\binom{V}{2} ={X\subseteq V:|V$\Vdash$ 2 }$. Für W\subseteq V sei G\upharpoonright_W= (W,E\cap\binom{W}{2}) der von W induzierte Teilgraph. Der Graph G ist 3-färbbar, wenn es eine Abbildung f:V\rightarrow\{1,2,3\} mit f(v)\not=f(w) für alle \{v,w\}\in E.

Bemerkung: Die 3-Färbbarkeit eines endlichen Graphen ist NP-vollständig

Satz Sei G= (N,E) ein Graph. Dann sind äquivalent

1. G ist 3-färbbar.
2. Für jede endliche Menge W\subseteq N ist G\upharpoonright_W 3-färbbar.

Beweis:

• 1.\Rightarrow 2. trivial
• 2.\Rightarrow 1. Sei nun, für alle endlichen Menge W\subseteq N, der induzierte Teilgraph G\upharpoonright_W 3-färbbar.

Wir beschreiben zunächst mit einer unendlichen Menge \Gamma von Formeln, dass eine 3-Färbung existiert:

• atomare Formeln p_{n,c} für n\in N und c\in\{1,2,3\} (Idee: der Knoten n hat die Farbe c)
• \Gamma enthält die folgenden Formeln:
  • für alle n\in N:p_{n, 1} \vee p_{n, 2} \vee p_{n, 3} (der Knoten n ist gefärbt)
  • für alle n\in N:\bigwedge_{1\leq c< d \leq 3} \lnot(p_{n,c} \wedge p_{n,d}) (der Knoten n ist nur mit einer Farbe gefärbt)
  • für alle \{m,n\}\in E: \bigwedge_{1\leq c\leq 3} \lnot(p_{m,c} \wedge p_{n,c}) (verbundene Knoten m und n sind verschieden gefärbt)

Behauptung: Jede endliche Menge \Delta\subseteq\Gamma ist erfüllbar.

Begründung:

• Da \Delta endlich ist, existiert endliche Menge W\subseteq N, so dass jede atomare Formel in \Delta die Form p_{n,c} für ein n\in W und ein c\in\{1,2,3\} hat.
• Nach Annahme existiert f_W:W\rightarrow\{1,2,3\} mit f_W(m) \not=f(n) f.a. \{m,n\}\in E\cap\binom{W}{2}.
• Definiere B:\{p_{n,c}|n\in W, 1 \leq c\leq 3\}\rightarrow\{0,1\} durch B(p_{n,c}) = \begin{cases} 1 \quad\text{ falls } f_W(n) = c \\ 0 \quad\text{ sonst.} \end{cases}
• Diese Belegung erfüllt \Delta, d.h. \Delta ist erfüllbar, womit die Behauptung gezeigt ist.

Nach dem Kompaktheitssatz ist also \Gamma erfüllbar. Sei B erfüllende Belegung. Für n\in N existiert genau ein c\in\{1,2,3\} mit B(p_{n,c}) =1. Setze f(n) =c. Dann ist f eine gültige Färbung des Graphen G.

2. Anwendung des Kompaktheitsatzes: Parkettierungen

Idee: Gegeben ist eine Menge von quadratischen Kacheln mit gefärbten Kanten. Ist es möglich, mit diesen Kacheln die gesamte Ebene zu füllen,so dass aneinanderstoßende Kanten gleichfarbig sind?

Berühmtes Beispiel: Mit diesen 11 Kacheln kann die Ebene gefüllt werden, aber dies ist nicht periodisch möglich.

Definition

Ein Kachelsystem besteht aus einer endlichen Menge C von „Farben“ und einer Menge K von Abbildungen \{N,O,S,W\}\rightarrow C von „Kacheln“. Eine Kachelung von G\subseteq Z\times Z ist eine Abbildung f:G\rightarrow K mit

• f(i,j)(N) =f(i,j+ 1 )(S) für alle (i,j),(i,j+ 1 )\in G
• f(i,j)(O) =f(i+ 1 ,j)(W) für alle (i,j),(i+ 1 ,j)\in G

Satz

Sei K ein Kachelsystem. Es existiert genau dann eine Kachelung von Z\times Z, wenn für jedes n\in N eine Kachelung von \{(i,j) :|i|,|j| \leq n\} existiert.

Beweis:

• \Rightarrow: trivial
• \Leftarrow: Wir beschreiben zunächst mit einer unendlichen Menge \Gamma von Formeln, dass eine Kachelung existiert: atomare Formeln p_{k,i,j} für k\in K und i,j\in Z (Idee: an der Stelle (i,j) liegt die Kachel k, d.h. f(i,j) =k) Für alle (i,j)\in Z enthält \Gamma die folgenden Formeln:
  • eine der Kacheln aus K liegt an der Stelle (i,j):\bigvee_{k\in K} p_{k,i,j}
  • es liegen nicht zwei verschiedene Kacheln an der Stelle (i,j): \bigwedge_{k,k′\in K,k\not=k′} \lnot(p_{k,i,j}\wedge p_{k′,i,j})
  • Kacheln an Stellen (i,j) und (i,j+1) „passen übereinander“: \bigvee_{k,k′\in K,k(N)=k′(S)} (p_{k,i,j}\wedge p_{k′,i,j+1})
  • Kacheln an Stellen (i,j) und (i+1,j) „passen nebeneinander“: \bigvee_{k,k′\in K,k(W)=k′(O)} (p_{k,i,j}\wedge p_{k′,i+1,j})

Sei nun \Delta\subseteq\Gamma endlich.

• \Rightarrow es gibt n\in N, so dass \Delta nur atomare Formeln der Form p_{k,i,j} mit |i|,|j|\leq n enthält.
• Voraussetzung \Rightarrow es gibt Kachelung g:\{(i,j) :|i|,|j| \leq n\}\rightarrow K für k\in K und |i|,|j|\leq n definiere B(p_{k,i,j}) = \begin{cases} 1_B \quad\text{ falls } g(i,j) =k \\ 0_B \quad\text{ sonst} \end{cases}
• \Rightarrow B(\sigma) = 1_B für alle \sigma\in\Delta (da g Kachelung)
• Also haben wir gezeigt, dass jede endliche Teilmenge von \Gamma erfüllbar ist.
• Kompaktheitssatz \Rightarrow es gibt B-Belegung B mit B(\gamma) = 1_B für alle \gamma\in\Gamma
• \Rightarrow es gibt Abbildung f:Z\times Z\rightarrow K mit f(i,j) =k \Leftarrow\Rightarrow B(p_{k,i,j}) = 1_B.
• Wegen B\Vdash\Gamma ist dies eine Kachelung.

Weitere Anwendungen des Kompaktheitsatzes

• abz. partielle Ordnungen sind linearisierbar
• abz. Gleichungssystem über \mathbb{Z}_2 lösbar \Leftarrow\Rightarrow jedes endliche Teilsystem lösbar
• Heiratsproblem
• Kőnigs Lemma (Übung)
• ...

Bemerkung: Der Kompaktheitssatz gilt auch, wenn die Menge der atomaren Formeln nicht abzählbar ist. Damit gelten die obigen Aussagen allgemeiner:

• 3-Färbbarkeit: beliebige Graphen
• Linearisierbarkeit: beliebige partielle Ordnungen
• Lösbarkeit: beliebig große Gleichungssysteme über \mathbb{Z}_2
• ...

Erfüllbarkeit

Erfüllbarkeitsproblem

Eingabe: Formel \Gamma

Frage: existiert eine B-Belegung B mit B(\Gamma) = 1_B.

• offensichtlicher Algorithmus: probiere alle Belegungen durch (d.h. stelle Wahrheitswertetabelle auf)\rightarrow exponentielle Zeit
• „Automaten, Sprachen und Komplexität“: das Problem ist NP-vollständig
• nächstes Ziel:spezielle Algorithmen für syntaktisch eingeschränkte Formeln \Gamma
• Spätere Verallgemeinerung dieser Algorithmen (letzte Vorlesung des Logik-Teils von „Logik und Logikprogrammierung“) bildet Grundlage der logischen Programmierung.

Hornformeln (Alfred Horn, 1918–2001)

Definition

Eine Hornklausel hat die Form (\lnot\bot\wedge p_1\wedge p_2\wedge ... \wedge p_n)\rightarrow q für n\geq 0, atomare Formeln p_1 ,p_2 ,... ,p_n und q atomare Formel oder q=\bot. Eine Hornformel ist eine Konjunktion von Hornklauseln.

Schreib- und Sprechweise

• \{p_1,p_2 ,... ,p_n\}\rightarrow q für Hornklausel $(\lnot\bot\wedge p_1 \wedge p_2 \wedge ...\wedge p_n)\rightarrow q$ insbes. \varnothing\rightarrow q für \lnot\bot\rightarrow q
• \{(M_i\rightarrow q_i)| 1 \leq i\leq n\} für Hornformel \bigwedge_{1 \leq i \leq n} (M_i\rightarrow q_i)

Bemerkung, in der Literatur auch:

• \{\lnot p_1,\lnot p_2 ,... ,\lnot p_n,q\} für \{p_1 ,... ,p_n\}\rightarrow q mit q atomare Formel
• \{\lnot p_1,\lnot p_2 ,... ,\lnot p_n\} für \{p_1 ,... ,p_n\}\rightarrow\bot
• \Box für \varnothing\rightarrow\bot, die „leere Hornklausel“

Markierungsalgorithmus

• Eingabe: eine endliche Menge \Gamma von Hornklauseln.

1. while es gibt in \Gamma eine Hornklausel M\rightarrow q, so dass alle p\in M markiert sind und q unmarkierte atomare Formel ist: do markiere q (in allen Hornklauseln in \Gamma)
2. if \Gamma enthält eine Hornklausel der Form M\rightarrow\bot, in der alle p\in M markiert sind then return „unerfüllbar“ else return „erfüllbar“

Beweis einer Folgerung: Beispiel

• Ziel ist es, die folgende Folgerung zu zeigen: \{(AK\vee BK),(AK\rightarrow BK),(BK\wedge RL\rightarrow\lnot AK),RL\}\Vdash\lnot AK
• Lemma: man muß Unerfüllbarkeit der folgenden Menge zeigen: \{(AK\vee BK),(AK\rightarrow BK),(BK\wedge RL\rightarrow \lnot AK),RL,\lnot\lnot AK\}
• Dies ist keine Menge von Hornklauseln!
• Idee: ersetze BK durch \lnot BH in allen Formeln.
• Ergebnis:
  • Aus AK\vee BK wird \lnot BH\vee AK\equiv BH\rightarrow AK\equiv\{BH\}\rightarrow AK.
  • Aus AK\rightarrow BK wird AK\rightarrow\lnot BH\equiv\lnot AK\vee\lnot BH\equiv AK\wedge BH\rightarrow\bot\equiv\{AK,BH\} \rightarrow\bot.
  • Aus BK\wedge RL\rightarrow\lnot AK wird \lnot BH\wedge RL\rightarrow\lnot AK\equiv BH\vee\lnot RL\vee\lnot AK\equiv RL\wedge AK\rightarrow BH\equiv\{RL,AK\}\rightarrow BH
  • RL\equiv (\varnothing\rightarrow RL)
  • \lnot\lnot AK\equiv (\varnothing\rightarrow AK)
• Wir müssen also zeigen, dass die folgende Menge von Hornklauseln unerfüllbar ist: \{\{BH\}\rightarrow AK,\{AK,BH\}\rightarrow\bot,\{RL,AK\}\rightarrow BH,\varnothing\rightarrow RL,\varnothing\rightarrow AK\}

Der Markierungsalgorithmus geht wie folgt vor:

1. Runde: markiere RL aufgrund der Hornklausel \varnothing\rightarrow RL
2. Runde: markiere AK aufgrund der Hornklausel \varnothing\rightarrow AK
3. Runde: markiere BH aufgrund der Hornklausel \{RL,AK\}\rightarrow BH

dann sind keine weiteren Markierungen möglich.

In der Hornklausel \{AK,BH\}\rightarrow\bot sind alle atomaren Formeln aus \{AK,BH\} markiert. Also gibt der Algorithmus aus, dass die Menge von Hornklauseln nicht erfüllbar ist.

Nach unserer Herleitung folgern wir, dass das Teil A heil ist.

1. Der Algorithmus terminiert: in jedem Durchlauf der while-Schleife wird wenigstens eine atomare Formel markiert. Nach endlich vielen Schritten terminiert die Schleife also.
2. Wenn der Algorithmus eine atomare Formelqmarkiert und wenn B eine B-Belegung ist, die \Gamma erfüllt, dann gilt B(q) = 1_B. Beweis: wir zeigen induktiv über n: Wenn q in einem der ersten n Schleifendurchläufe markiert wird, dann gilt B(q) = 1_B.

• I.A. Die Aussage gilt offensichtlich für n=0.
• I.S. werde die atomare Formel q in einem der ersten n Schleifendurchläufe markiert. Dann gibt es eine Hornklausel \{p_1,p_2 ,... ,p_k\}\rightarrow q, so dass p_1 ,... ,p_k in den ersten n-1 Schleifendurchläufen markiert wurden. Also gilt B(p_1)=...=B(p_k) = 1_B nach IV. Da B alle Hornformeln aus \Gamma erfüllt, gilt insbesondere B(\{p_1 ,p_2 ,... ,p_k\}\rightarrow q) = 1_B und damit B(q) = 1_B.

3. Wenn der Algorithmus „unerfüllbar“ ausgibt, dann ist \Gamma unerfüllbar. Beweis: indirekt, wir nehmen also an, dass der Algorithmus „unerfüllbar“ ausgibt, B aber eine B-Belegung ist, die \Gamma erfüllt. Sei \{p_1 ,... ,p_k\}\rightarrow\bot die Hornklausel aus \Gamma, die die Ausgabe „unerfüllbar“ verursacht (d.h. die atomaren Formeln p_1 ,... ,p_k sind markiert). Nach 2. gilt B(p_1) =...=B(p_k) = 1_B, also B(\{p_1 ,p_2 ,... ,p_k\}\rightarrow\bot) = 0_B im Widerspruch zur Annahme, dass B alle Hornklauseln aus \Gamma erfüllt. Also kann es keine erfüllende B-Belegung von \Gamma geben.
4. Wenn der Algorithmus „erfüllbar“ ausgibt, dann erfüllt die folgende B-Belegung alle Formeln aus \Gamma: $B(p_i)=\begin{cases} 1_B \quad\text{ der Algorithmus markiert } p_i \ 0_B \quad\text{ sonst} \end{cases}$ Beweis:
   • Sei M\rightarrow q eine beliebige Hornklausel aus \Gamma.
   • Ist ein p\in M nicht markiert, so gilt B(\bigwedge_{p\in M} p) = 0_B und damit B(M\rightarrow q) = 1_B.
   • Sind alle p\in M markiert, so wird auch q markiert, also B(q) = 1_B und damit B(M\rightarrow q) = 1_B.
   • Gilt q=\bot, so existiert unmarkiertes p\in M (da der Algorithmus sonst „unerfüllbar“ ausgegeben hätte), also B(M\rightarrow\bot) = 1_B wie im ersten Fall. Also gilt B(M\rightarrow q) = 1_B für alle Hornklauseln aus \Gamma, d.h. \Gamma ist erfüllbar.

Satz

Sei \Gamma endliche Menge von Hornklauseln. Dann terminiert der Markierungsalgorithmus mit dem korrekten Ergebnis.

Beweis: Die Aussagen 1.-4. beweisen diesen Satz.

Bemerkungen:

• Mit einer geeigneten Implementierung läuft der Algorithmusin linearer Zeit.
• Wir haben sogar gezeigt, dass bei Ausgabe von „erfüllbar“ eine erfüllende B-Belegung berechnet werden kann.

SLD-Resolution

Definition

Sei \Gamma eine Menge von Hornklauseln. Eine SLD-Resolution aus \Gamma ist eine Folge (M_0\rightarrow\bot,M_1\rightarrow\bot,... ,M_m\rightarrow\bot) von Hornklauseln mit

• (M_0\rightarrow\bot)\in\Gamma
• für alle 0\leq n<m existiert (N\rightarrow q)\in\Gamma mit q\in M_n und M_{n+1} = M_n\backslash\{q\}\cup N

Beispiel:

• \Gamma =\{\{BH\}\rightarrow AK,\{AK,BH\}\rightarrow\bot,\{RL,AK\}\rightarrow BH,\varnothing\rightarrow RL,\varnothing\rightarrow AK\}
• M_0 =\{AK,BH\}
• M_1 =M_0 \backslash\{BH\}\cup\{RL,AK\}=\{RL,AK\}
• M_2 =M_1 \backslash\{RL\}\cup\varnothing =\{AK\}
• M_3 =M_2 \backslash\{AK\}\cup\varnothing =\varnothing

Lemma A

Sei \Gamma eine (u.U. unendliche) Menge von Hornklauseln und (M_0\rightarrow\bot, M_1\rightarrow\bot,... , M_m\rightarrow\bot) eine SLD-Resolution aus \Gamma mit M_m=\varnothing. Dann ist \Gamma nicht erfüllbar.

Beweis:

• indirekt: angenommen, es gibt B-Belegung B mit B(N\rightarrow q) = 1_B für alle (N\rightarrow q)\in\Gamma.
• Wir zeigen für alle 0\leq n\leq m per Induktion über n: es gibt p\in M_n mit B(p) = 0_B (4)
• I.A.: n=0:(M_0 \rightarrow\bot,...) SLD-Resolution \Rightarrow(M_0\rightarrow\bot)\in\Gamma
  • \Rightarrow B(M_0\rightarrow\bot) = 1_B
  • \Rightarrow es gibt p\in M_0 mit B(p) = 0_B
• I.V.: sei n<m und p\in M_n mit B(p) = 0_B
• I.S.: (... ,M_n\rightarrow\bot,M_{n+ 1}\rightarrow\bot,...) SLD-Resolution \Rightarrow es gibt (N\rightarrow q)\in\Gamma mit M_{n+1} =M_n\backslash\{q\}\cup N und q\in M_n. Zwei Fälle werden unterschieden:
  1. p\not=q: dann gilt p\in M_{n+1} mit B(p) = 0_B
  2. p=q:(N\rightarrow q)\in\Gamma\Rightarrow B(N\rightarrow q) = 1_B es gibt p′\in N\subseteq M_{n+1} mit $B(p′)=0_B$ in jedem der zwei Fälle gilt also (4) für n+1.
• Damit ist der induktive Beweis von (4) abgeschlossen.
• Mit m=n haben wir insbesondere "es gibt p\in M_m mit $B(p) = 0_B$" im Widerspruch zu M_m=\varnothing. Damit ist der indirekte Beweis abgeschlossen.

Lemma B

Sei \Gamma eine (u.U. unendliche) unerfüllbare Menge von Hornklauseln. Dann existiert eine SLD-Resolution (M_0\rightarrow\bot,...,M_m\rightarrow\bot) aus \Gamma mit M_m=\varnothing.

Beweis: Endlichkeitssatz: es gibt \Delta\subseteq\Gamma endlich und unerfüllbar. Bei Eingabe von$\Delta$ terminiert Markierungsalgorithmus mit „unerfüllbar“

• r\geq 0... Anzahl der Runden
• q_i... Atomformel, die in i Runde markiert wird (1\leq i\leq r)

Behauptung: Es gibt m\leq r und SLD-Resolution (M_0\rightarrow\bot,...,M_m\rightarrow\bot) aus \Delta mit M_m=\varnothing und M_n\subseteq\{q_1,q_2,... ,q_{r-n}\} f.a. 0\leq n\leq m. (5)

Beweis der Behauptung: Wir konstruieren die Hornklauseln M_i\rightarrow\bot induktiv:

• I.A.: Da der Markierungsalgorithmus mit „unerfüllbar“ terminiert, existiert eine Hornklausel (M_0\rightarrow\bot)\in\Gamma mit M_0\subseteq\{q_1,... ,q_{r- 0}\}. (M_0\rightarrow\bot) ist SLD-Resolution aus \Delta, die (5) erfüllt.
• I.V.: Sei n\leq r und (M_0\rightarrow\bot,... ,M_n\rightarrow\bot) SLD-Resolution, so dass (5) gilt.
• I.S.: wir betrachten drei Fälle:
  1. Fall M_n=\varnothing: mit m:=n ist Beweis der Beh. abgeschlossen.
  2. Fall n=r: Nach (5) gilt M_n\subseteq\{q_1,...,q_{r-n}\}=\varnothing. Mit m:=n ist der Beweis der Beh. abgeschlossen.
  3. Fall n<r und M_n \not=\varnothing. Sei k maximal mit q_k\in M_n\subseteq\{q_1,q_2,... ,q_{r-n}\}. Also existiert (N\rightarrow q_k)\in\Delta, so dass N\subseteq\{q_1,... ,q_{k-1}\}. Setze M_{n+1}=M_n\backslash\{q_k\}\cup N\subseteq\{q_1,... ,q_{k-1}\}\subseteq\{q_1,...,q_{r-(n+1)}\}.

Damit ist der induktive Beweis der Beh. abgeschlossen, woraus das Lemma unmittelbar folgt.

Satz

Sei \Gamma eine (u.U. unendliche) Menge von Hornklauseln. Dann sind äquivalent:

1. \Gamma ist nicht erfüllbar.
2. Es gibt eine SLD-Resolution (M_0\rightarrow\bot,M_1\rightarrow\bot,... ,M_m\rightarrow\bot) aus \Gamma mit M_m=\varnothing.

Beweis: Folgt unmittelbar aus Lemmata A und B.

Beispiel: \Gamma=\{\{a,b\}\rightarrow\bot,\{a\}\rightarrow c, \{b\}\rightarrow c,\{c\}\rightarrow a,\varnothing\rightarrow b; alle SLD-Resolutionen aus$\Gamma$ kann man durch einen Baum beschreiben:

Die Suche nach einer SLD-Resolution mit M_m=\varnothing kann grundsätzlich auf zwei Arten erfolgen:

• Breitensuche:
  • findet SLD-Resolution mit M_m=\varnothing (falls sie existiert), da Baum endlich verzweigend ist (d.h. die Niveaus sind endlich)
  • hoher Platzbedarf, da ganze Niveaus abgespeichert werden müssen (in einem Binärbaum der Tiefe n kann es Niveaus der Größe 2^n geben)
• Tiefensuche:
  • geringerer Platzbedarf (in einem Binärbaum der Tiefe n hat jeder Ast die Länge \leq n)
  • findet existierende SLD-Resolution mit M_m=\varnothing nicht immer (siehe Beispiel)

Zusammenfassung Aussagenlogik

• Das natürliche Schließen formalisiert die „üblichen“ Argumente in mathematischen Beweisen.
• Unterschiedliche Wahrheitswertebereiche formalisieren unterschiedliche Vorstellungen von „Wahrheit“.
• Das natürliche Schließen ist vollständig und korrekt für den Booleschen Wahrheitswertebereich.
• Der Markierungsalgorithmus und die SLD-Resolution sind praktikable Verfahren, um die Erfüllbarkeit von Hornformeln zu bestimmen.

Kapitel 2: Prädikatenlogik

Beispiel: Graphen Um über diesen Graphen Aussagen in der Aussagenlogik zu machen, verwenden wir Formeln \varphi_{i,j} für 1\leq i,j\leq 9 mit \varphi_{i,j}=\begin{cases} \lnot\bot\quad\text{ falls} (v_i,v_j) Kante\\ \bot\quad\text{ sonst}\end{cases}

• Die aussagenlogische Formel \bigvee_{1\leq i,j\leq 9} \varphi_{i,j} sagt aus, dass der Graph eine Kante enthält.
• Die aussagenlogische Formel \bigwedge_{1\leq i\leq 9} \bigvee_{1\leq j\leq 9} \varphi_{i,j} sagt aus, dass jeder Knoten einen Nachbarn hat
• Die aussagenlogische Formel \bigvee_{1\leq i,j,k\leq 9 verschieden} \varphi_{i,j}\wedge\varphi_{j,k}\wedge\varphi_{k,i} sagt aus, dass der Graph ein Dreieck enthält. Man kann so vorgehen, wenn der Graph bekannt und endlich ist. Sollen analoge Aussagen für einen anderen Graphen gemacht werden, so ist die Kodierungsarbeit zu wiederholen.

Beispiel: Datenbanken

• Im folgenden reden wir über die Studenten und die Lehrenden in Veranstaltungen zur Theoretischen Informatik in diesem Semester. Betrachte die folgenden Aussagen:
  • Jeder ist Student oder wissenschaftlicher Mitarbeiter oder Professor.
  • Dietrich Kuske ist Professor.
  • Kein Student ist Professor.
  • Jeder Student ist jünger als jeder Professor.
  • Es gibt eine Person, die an den Veranstaltungen „Logik und Logikprogrammierung“ und „Algorithmen und Datenstrukturen“ teilnimmt.
  • Es gibt eine Person, die kein wissenschaftlicher Mitarbeiter ist und nicht an beiden Veranstaltungen teilnimmt.
  • Jeder Student ist jünger als die Person, mit der er am besten über Informatik reden kann.
• Um sie in der Aussagenlogik machen zu können, müssen wir atomare Aussagen für „Hans ist Student“, „Otto ist jünger als Ottilie“ usw. einführen. Dies ist nur möglich, wenn
  1. alle involvierten Personen bekannt sind und fest stehen und
  2. es nur endlich viele involvierte Personen gibt.
• Sollen analoge Aussagen für das vorige oder das kommende Jahr gemacht werden, so ist die gesamte Kodierungsarbeit neu zu machen.

Kodierung in einer „Struktur“

• Grundmenge: Die Studenten und die Lehrenden in Veranstaltungen zur Theoretischen Informatik in diesem Sommersemester
• Teilmengen:
  • S(x) „x ist Student“
  • LuLP(x) „x nimmt an der Veranstaltung LuLP teil“
  • AuD(x) „x nimmt an der Veranstaltung AuD teil“
  • Pr(x) „x ist Professor“
  • WM(x) „x ist wissenschaftlicher Mitarbeiter“
• Relationen:
  • J(x,y) „x ist jünger als y“
• Funktion:
  • f(x) ist diejenige Person (aus dem genannten Kreis), mit der x am besten über Informatik reden kann.
• Konstante:
  • dk Dietrich Kuske

Die in der Aussagenlogik nur schwer formulierbaren Aussagen werden nun

• Für alle x gilt S(x)\vee WM(x)\vee Pr(x)
• Pr(dk)
• Für alle x gilt S(x)\rightarrow\lnot Pr(x)
• Für alle x und y gilt (S(x)\wedge Pr(y))\rightarrow J(x,y)
• Es gibt ein x mit LuLP(x)\wedge AuD(x)
• Es gibt ein x mit ((\lnot LuLP(x)\vee\lnot AuD(x))\wedge\lnot WM(x))
• Für alle x gilt S(x)\rightarrow J(x,f(x))

Bemerkung: Diese Formulierungen sind auch brauchbar, wenn die Grundmenge unendlich ist. Sie sind auch unabhängig vom Jahr (im nächsten Jahr können diese Folien wieder verwendet werden).

Ziel

• Wir wollen in der Lage sein, über Sachverhalte in „Strukturen“ (Graphen, Datenbanken, relle Zahlen, Gruppen... ) zu reden.
• Dabei soll es „Relationen“ geben, durch die das Enthaltensein in einer Teilmenge oder Beziehungen zwischen Objekten ausgedrückt werden können (z.B. S(x),J(x,y),... )
• Weiter soll es „Funktionen“ geben, durch die Objekte (oder Tupel von Objekten) auf andere Objekte abgebildet werden (z.B. f)
• Nullstellige Funktionen (ohne Argumente): Konstante (z.B. dk)

Fragen

• Nach welchen Regeln bildet man korrekte Formeln?
• Was ist eine Struktur?
• Wann hat eine Aussage in einer Struktur eine Bedeutung (ist „sinnvoll“)?
• Wann „gilt“ eine Aussage in einer Struktur?
• Gibt es Formeln, die in allen Strukturen gelten?
• Kann man solche Formeln algorithmisch identifizieren? Gibt es einen Beweiskalkül wie das natürliche Schließen oder die SLD-Resolution?
• .........

Syntax der Prädikatenlogik

Formeln machen Aussagen über Strukturen. Dabei hat es keinen Sinn zu fragen, ob eine Formel, die über Studenten etc. redet, im Graphen G gilt.

Definition

Eine Signatur ist ein Tripel \sum=(\Omega, Rel,ar), wobei \Omega und Rel disjunkte Mengen von Funktions- und Relationsnamen sind und ar:\Omega\cup Rel\rightarrow\mathbb{N} eine Abbildung ist.

Beispiel: \Omega=\{f,dk\} mit ar(f) =1,ar(dk)=0 und Rel=\{S,LuLP,AuD,Pr,WM,J\} mit ar(S) =ar(LuLP) =ar(AuD) =ar(Pr) =ar(WM) =1 undar(J) = 2 bilden die Signatur der Datenbank von vorhin.

• typische Funktionsnamen: f, g, a, b... mit ar(f),ar(g) > 0 und ar(a) =ar(b) = 0
• typische Relationsnamen: R,S,...

Definition

Die Menge der Variablen ist Var=\{x_0,x_1 ,...\}.

Definition

Sei \sum eine Signatur. Die Menge T_{\sum} der $\sum$-Terme ist induktiv definiert:

1. Jede Variable ist ein Term, d.h. Var\subseteq T_{\sum}
2. ist f\in\Omega mit ar(f)=k und sind t_1,...,t_k\in T_{\sum}, so gilt f(t_1,...,t_k)\in T_{\sum}
3. Nichts ist $\sum$-Term, was sich nicht mittels der obigen Regeln erzeugen läßt.

Beispiel:In der Signatur der Datenbank von vorhin haben wir u.a. die folgenden Terme:

• x_1 und x_8
• f(x_0) und f(f(x_3))
• dk() und f(dk()) - hierfür schreiben wir kürzer dk bzw. f(dk)

Definition

Sei \sum Signatur. Die atomaren $\sum$-Formeln sind die Zeichenketten der Form

• R(t_1,t_2,...,t_k) falls t_1,t_2,...,t_k\in T_{\sum} und R\in Rel mit ar(R)=k oder
• t_1=t_2 falls t_1,t_2\in T_{\sum} oder
• \bot.

Beispiel: In der Signatur der Datenbank von vorhin haben wir u.a. die folgenden atomaren Formeln:

• S(x_1) und LuLP(f(x4))
• S(dk) und AuD(f(dk))

Definition

Sei \sum Signatur. $\sum$-Formeln werden durch folgenden induktiven Prozeß definiert:

1. Alle atomaren $\sum$-Formeln sind $\sum$-Formeln.
2. Falls \varphi und \Psi $\sum$-Formeln sind, sind auch (\varphi\wedge\Psi),$(\varphi\vee\Psi)$ und (\varphi\rightarrow\Psi) $\sum$-Formeln.
3. Falls \varphi eine $\sum$-Formel ist, ist auch \lnot\varphi eine $\sum$-Formel.
4. Falls \varphi eine $\sum$-Formel und x\in Var, so sind auch \forall x\varphi und \exists x\varphi $\sum$-Formeln.
5. Nichts ist $\sum$-Formel, was sich nicht mittels der obigen Regeln erzeugen läßt.

Ist die Signatur \sum aus dem Kontext klar, so sprechen wir einfach von Termen, atomaren Formeln bzw.Formeln.

Beispiel:In der Signatur der Datenbank von vorhin haben wir u.a. die folgenden Formeln:

• \forall x_0 (S(x_0)\vee WM(x_0)\vee Pr(x_0))
• Pr(dk)
• \forall x_3 (S(x_3)\rightarrow\lnot Pr(x_3))
• \forall x_0 \forall x_2 ((S(x_0)\wedge Pr(x_2))\rightarrow J(x_0,x_2))
• \exists x_1 (LuLP(x_1)\wedge AuD(x_1))
• \exists x_2 ((\lnot LuLP(x_2)\vee\lnot AuD(x_2))\wedge\lnot WM(x_2))
• \forall x_1 (S(x_1)\rightarrow J(x_1,f(x_1)))

Wir verwenden die aus der Aussagenlogik bekannten Abkürzungen, z.B. steht \varphi\leftrightarrow\Psi für (\varphi\rightarrow\Psi)\wedge(\Psi\rightarrow\varphi).

Zur verbesserten Lesbarkeit fügen wir mitunter hinter quantifizierten Variablen einen Doppelpunkt ein, z.B. steht \exists x\forall y:\varphi für \exists x\forall y\varphi

Ebenso verwenden wir Variablennamen x,$y$,$z$ u.ä.

Präzedenzen: \lnot,\forall x,\exists x binden am stärksten

Beispiel: (\lnot\forall x:R(x,y)\wedge\exists z:R(x,z))\rightarrow P(x,y,z) steht für ((\lnot(\forall x:R(x,y))\wedge\exists z:R(x,z))\rightarrow P(x,y,z))

Aufgabe

Im folgenden seien

• P ein-stelliges, Q und R zwei-stellige Relationssymbole,
• a null-stelliges und f ein-stelliges Funktionssymbol und
• x,y und z Variable.

Welche der folgenden Zeichenketten sind Formeln?

\forall x P(a)
\forall x\exists y(Q(x,y)\vee R(x))
\forall x Q(x,x)\rightarrow\exists x Q(x,y)
\forall x P(f(x))\vee\forall x Q(x,x)$
\forall x(P(y)\wedge\forall y P(x))
P(x) \rightarrow\exists x Q(x,P(x))
\forall f\exists x P(f(x))

Definition

Sei \sum eine Signatur. Die Menge FV(\varphi) der freien Variablen einer $\sum$-Formel \varphi ist induktiv definiert:

• Ist \varphi atomare $\sum$-Formel, so ist FV(\varphi) die Menge der in \varphi vorkommenden Variablen.
• FV(\varphi\Box\Psi) =FV(\varphi)\cup FV(\Psi) für \Box\in\{\wedge,\vee,\rightarrow\}
• FV(\lnot\varphi) =FV(\varphi)
• FV(\exists x\varphi) =FV(\forall x\varphi) =FV(\varphi)\backslash\{x\}. Eine $\sum$-Formel \varphi ist geschlossen oder ein $\sum$-Satz, wenn FV(\varphi)=\varnothing gilt.

Was sind die freien Variablen der folgenden Formeln? Welche Formeln sind Sätze?

	Formel?	Satz?
\forall x P(a)
\forall x Q(x,x)\rightarrow\exists x Q(x,y)
\forall x P(x)\vee\forall x Q(x,x)
\forall x(P(y)\wedge\forall y P(x))
\forall x(\lnot\forall y Q(x,y)\wedge R(x,y))
\exists z(Q(z,x)\vee R(y,z))\rightarrow\exists y(R(x,y)\wedge Q(x,z))
\exists x(\lnot P(x)\vee P(f(a)))
P(x)\rightarrow\exists x P(x)
\exists x\forall y((P(y)\rightarrow Q(x,y))\vee\lnot P(x))
\exists x\forall x Q(x,x)

Semantik der Prädikatenlogik

• Erinnerung: Die Frage „Ist die aussagenlogische Formel \varphi wahr oder falsch?“ war sinnlos, denn wir wissen i.a. nicht, ob die atomaren Aussagen wahr oder falsch sind.
• Analog: Die Frage „Ist die prädikatenlogische Formel \varphi wahr oder falsch?“ ist sinnlos, denn wir wissen bisher nicht, über welche Objekte, über welche „Struktur“ \varphi spricht.

Definition

Sei \sum eine Signatur. Eine $\sum$-Struktur ist ein Tupel A=(U_A,(f^A)_{f\in\Omega},(R^A)_{R\in Rel}), wobei

• U_A eine nichtleere Menge, das Universum,
• R^A\supseteq U_A^{ar(R)} eine Relation der Stelligkeit ar(R) für R\in Rel und
• f^A:U_A^{ar(f)}\rightarrow U_A eine Funktion der Stelligkeit ar(f) für f\in\Omega ist.

Bemerkung: U_A^0=\{()\}.

• Also ist a^A:U_A^0\rightarrow U_A für a\in\Omega mit ar(a)=0 vollständig gegeben durch a^A(())\in U_A. Wir behandeln 0-stellige Funktionen daher als Konstanten.
• Weiterhin gilt R^A=\varnothing oder R^A=\{()\} für R\in Rel mit ar(R)=0.

Beispiel: Graph

• Sei \sum=(\Omega ,Rel,ar) mit \Omega=\varnothing ,Rel=\{E\} und ar(E)=2 die Signatur der Graphen.
• Um den Graphen als $\sum$-Struktur A=(UA,EA) zu betrachten, setzen wir
  • UA=\{v_1,v_2,...,v_9\} und
  • EA=\{(v_i,v_j)|(v_i,v_j) ist Kante\}

Im folgenden sei \sum eine Signatur, A eine $\sum$-Struktur und ρ:Var\rightarrow U_A eine Abbildung (eine Variableninterpretation). Wir definieren eine Abbildung ρ′:T\sum\rightarrow U_A induktiv für t\in T_{\sum}:

• ist t\in Var, so setze ρ′(t) =ρ(t)
• ansonsten existieren f\in\Omega mit ar(f)=k und t_1,...,t_k\in T_{\sum} mit t=f(t_1,...,t_k). Dann setze ρ′(t) =f^A(ρ′(t_1),...,ρ′(t_k)). Die Abbildung ρ′ ist die übliche „Auswertungsabbildung“. Zur Vereinfachung schreiben wir auch ρ(t) an Stelle von ρ′(t).

Beispiel:

• Seien A=(R,f^A,a^A) mit f^A die Subtraktion und a nullstelliges Funktionssymbol mit a^A=10. Seien weiter x,y\in Var mit ρ(x)=7 und ρ(y)=-2. Dann gilt ρ(f(a,f(x,y))) =ρ(a)-(ρ(x)-ρ(y)) =a^A-(ρ(x)-ρ(y)) = 1
• Seien A= (Z,f^A,a^A) mit f^A die Maximumbildung, a nullstelliges Funktionssymbol mit a^A=10. Seien weiter x,y\in Var mit ρ(x)=7 und ρ(y)=-2. In diesem Fall gilt ρ(f(a,f(x,y))) = max(ρ(a),max(ρ(x),ρ(y)) = max(a^A,max(ρ(x),ρ(y))) = 10

Bemerkung: Wir müssten also eigentlich noch vermerken, in welcher Struktur ρ(t) gebildet wird – dies wird aber aus dem Kontext immer klar sein.

Für eine $\sum$-Formel \varphi definieren wir die Gültigkeit in einer $\sum$-Struktur A unter der Variableninterpretation ρ (in Zeichen: A\Vdash_ρ\varphi) induktiv:

• A\Vdash_ρ\bot gilt nicht.
• A\Vdash_ρ R(t_1,...,t_k) falls (ρ(t_1),...,ρ(t_k))\in R^A für R\in Rel mit ar(R)=k und t_1,...,t_k\in T_{\sum}.
• A\Vdash_ρ t_1 =t_2 falls ρ(t_1) =ρ(t_2) für t_1,t_2\in T_{\sum}.

Für $\sum$-Formeln \varphi und \Psi und x\in Var:

• A\Vdash_p \varphi\wedge\Psi falls A\Vdash_p\varphi und A\Vdash_p \Psi.
• A\Vdash_p \varphi\vee\Psi falls A\Vdash_p\varphi oder A\Vdash_p\Psi .
• A\Vdash_p \varphi\rightarrow\Psi falls nicht A\Vdash_p\varphi oder A\Vdash_p\Psi .
• A\Vdash_p \lnot\varphi falls A\Vdash_p \varphi nicht gilt.
• A\Vdash_p \exists x\varphi falls ???
• A\Vdash_p \forall x\varphi falls ???

Für x\in Var und a\in U_A sei ρ[x\rightarrow a]:Var\rightarrow U_A die Variableninterpretation, für die gilt (ρ[x\rightarrow a])(y) = \begin{cases} ρ(y) \quad\text{ falls } x\not=y \\ a \quad\text{ sonst } \end{cases}

• A\Vdash_p \exists x\varphi falls es a\in U_A gibt mit A\Vdash_{p[x\rightarrow a]}\varphi.
• A\Vdash_p \forall x\varphi falls A\Vdash_{p[x\rightarrow a]}\varphi für alle a\in U_A.

Definition

Sei \sum eine Signatur, \varphi eine $\sum$-Formel, \Delta eine Menge von $\sum$-Formeln und A eine $\sum$-Struktur.

• A\Vdash\varphi (A ist Modell von \varphi) falls A\Vdash_p\varphi für alle Variableninterpretationen ρ gilt.
• A\Vdash\Delta falls A\Vdash\Psi für alle \Psi\in\Delta.

Aufgaben

• Sei A die Struktur, die dem vorherigen Graphen entspricht
• Welche der folgenden Formeln \varphi gelten in A, d.h. für welche Formeln gilt A\Vdash_p\varphi für alle Variableninterpretationen ρ?
  1. \exists x\exists y:E(x,y)
  2. \forall x\exists y:E(x,y)
  3. \exists x\forall y:(x\not=y\rightarrow E(x,y))
  4. \forall x\forall y:(x\not=y\rightarrow E(x,y))
  5. \exists x\exists y\exists z:(E(x,y)\wedge E(y,z)\wedge E(z,x))
• In der Prädikatenlogik ist es also möglich, die Eigenschaften vom Anfang des Kapitels auszudrücken, ohne den Graphen direkt in die Formel zu kodieren.

Definition

Sei \sum eine Signatur, \varphi eine $\sum$-Formel, \Delta eine Menge von $\sum$-Formeln und A eine $\sum$-Struktur.

• \Delta ist erfüllbar, wenn es $\sum$-Struktur B und Variableninterpretation ρ:Var\rightarrow U_B gibt mit B\Vdash_ρ\Psi für alle \Psi\in\Delta.
• \varphi ist semantische Folgerung von \Delta(\Delta\Vdash\varphi) falls für alle $\sum$-Strukturen B und alle Variableninterpretationen ρ:Var\rightarrow U_B gilt: Gilt B\Vdash_ρ\Psi für alle \Psi\in\Delta, so gilt auch B\Vdash_ρ \varphi.
• \varphi ist allgemeingültig, falls B\Vdash ρ\varphi für alle $\sum$-Strukturen B und alle Variableninterpretationen ρ gilt.

Bemerkung: \varphi allgemeingültig gdw. \varnothing\Vdash\varphi gdw. \{\lnot\varphi\} nicht erfüllbar. Hierfür schreiben wir auch \Vdash\varphi.

Beispiel: Der Satz \varphi=(\forall x:R(x)\rightarrow\forall x:R(f(x))) ist allgemeingültig.

Beweis: Sei \sum Signatur, so dass \varphi $\sum$-Satz ist. Sei A $\sum$-Struktur und ρ Variableninterpretation. Wir betrachten zwei Fälle:

1. Falls A\not\Vdash_ρ\forall x R(x), so gilt A\Vdash_p\varphi.
2. Wir nehmen nun A\Vdash_p\forall x R(x) an. Sei a\in U_A beliebig und b=f^A(a). A\Vdash_p\forall x R(x) \Rightarrow A\Vdash_{p[x\rightarrow b]} R(x) \Rightarrow RA\owns (p[x\rightarrow b])(x) = b = f^A(a) = (ρ[x\rightarrow a])(f(x)) \Rightarrow A\Vdash_{p[x\rightarrow a]}R(f(x)). Da a\in U_A beliebig war, haben wir also A\Vdash_p\forall x:R(f(x)). Also gilt auch in diesem Fall A\Vdash_p\varphi. Da A und ρ beliebig waren, ist \varphi somit allgemeingültig.

Beispiel:

• Der Satz \varphi =\exists x(R(x)\rightarrow R(f(x))) ist allgemeingültig.
• Beweis: Sei \sum Signatur, so dass \varphi $\sum$-Satz ist. Sei A $\sum$-Struktur und ρ Variableninterpretation. Wir betrachten wieder zwei Fälle:
  1. Angenommen, R^A=U_A. Sei a\in U_A beliebig.
     • \Rightarrow f^A(a)\in R^A
     • \Rightarrow A\Vdash_{p[x\rightarrow a]} R(f(x))
     • \Rightarrow A\Vdash_{p[x\rightarrow a]} R(x)\rightarrow R(f(x))
     • \Rightarrow A\Vdash_p\varphi.
  2. Ansonsten existiert a\in U_A\backslash R^A.
     • \Rightarrow A\not\Vdash_{p[x\rightarrow a]} R(x)
     • \Rightarrow A\Vdash_{p[x\rightarrow a]} R(x)\rightarrow R(f(x))
     • \Rightarrow A\Vdash_p \varphi. Da A und ρ beliebig waren, ist \varphi somit allgemeingültig.

Aufgabe

	a: allgemeingültig	e: erfüllbar	u: unerfüllbar
P(a)
\exists x:(\lnot P(x)\vee P(a))
P(a)\rightarrow\exists x:P(x)
P(x)\rightarrow\exists x:P(x)
\forall x:P(x)\rightarrow\exists x:P(x)
\forall x:P(x)\wedge\lnot\forall y:P(y)
\forall x:(P(x,x)\rightarrow\exists x\forall y:P(x,y))
\forall x\forall y:(x=y\rightarrow f(x) =f(y))
\forall x\forall y:(f(x) =f(y)\rightarrow x=y)
\exists x\exists y\exists z:(f(x) =y\wedge f(x) =z\wedge y \not=z)
\exists x\forall x:Q(x,x)

Substitutionen

Definition

Eine Substitution besteht aus einer Variable x\in Var und einem Term t\in T_{\sum}, geschrieben [x:=t].

Die Formel \varphi[x:=t] ist die Anwendung der Substitution [x:=t] auf die Formel \varphi. Sie entsteht aus \varphi, indem alle freien Vorkommen von x durch t ersetzt werden. Sie soll das über t aussagen, was \varphi über x ausgesagt hat. Dazu definieren wir zunächst induktiv, was es heißt, die freien Vorkommen von x im Term s\in T_{\sum} zu ersetzen:

• x[x:=t] =t
• y[x:=t] =y für y\in Var\backslash\{x\}
• (f(t_1 ,...,t_k))[x:=t] =f(t_1 [x:=t],...t_k[x:=t]) für f\in\Omega mit ar(f) =k und t_1,...,t_k\in T_{\sum}

Lemma

Seien \sum Signatur, A $\sum$-Struktur, ρ:Var\rightarrow U_A Variableninterpretation, x\in Var und s,t\in T_{\sum}. Dann gilt ρ(s[x:=t])=ρ[x\rightarrow ρ(t)](s).

Beweis: Induktion über den Aufbau des Terms s (mit ρ′=ρ[x\rightarrow ρ(t)] ):

• s=x:ρ(s[x:=t])=ρ(t) =ρ′(x) =ρ′(s)
• s\in Var\backslash\{x\}:ρ(s[x:=t])=ρ(s) =ρ′(s)
• s=f(t_1 ,...,t_k):ρ((f(t_1 ,...,t_k))[x:=t])= ρ(f(t_1[x:=t],...,t_k[x:=t]))= f^A(ρ(t_1[x:=t]),...,ρ(t_k[x:=t])) = f^A(ρ′(t_1),...,ρ′(t_k))= ρ′(f(t_1 ,...,t_k))=ρ′(s)

Die Definition von s[x:=t] kann induktiv auf $\sum$-Formeln fortgesetzt werden:

• (t_1 =t_2 )[x:=t] = (t_1 [x:=t] =t_2 [x:=t]) für t_1 ,t_2 \in T_{\sum}
• (R(t_1 ,...,t_k))[x:=t] =R(t_1 [x:=t],...,t_k[x:=t]) für R\in Rel mit ar(R) =k und t_1 ,...,t_k\in T_{\sum}
• \bot[x:=t] =\bot

Für \sum -Formeln \varphi und \Psi und y\in Var:

• (\varphi\Box\Psi)[x:=t]=\varphi [x:=t]\Box\Psi[x:=t] für \Box\in\{\wedge,\vee,\rightarrow\}
• (\lnot\varphi)[x:=t] = \lnot(\varphi[x:=t])
• (Qy\varphi)[x:=t] = \begin{cases} Qy\varphi[x:=t] \quad\text{ falls } x\not=y \\ Qy\varphi \quad\text{ falls } x=y \end{cases} \text{ für } Q\in\{\exists,\forall\}.

Beispiel: (\exists x P(x,f(y))\vee\lnot\forall yQ(y,g(a,h(z))))[y:=f(u)] = (\exists x P(x,f(f(u)))\vee\lnot\forall yQ(y,g(a,h(z))))

\varphi [x:=t] „soll das über t aussagen, was \varphi über x ausgesagt hat.“

Gegenbeispiel: Aus \exists y Mutter(x) =y mit Substitution [x:=Mutter(y)] wird \exists y Mutter$(Mutter(y)) =y$.

Definition

Sei [x:=t] Substitution und \varphi $\sum$-Formel. Die Substitution [x:=t] heißt für \varphi zulässig, wenn für alle y\in Var gilt: y Variable in t\Rightarrow\varphi enthält weder \exists y noch \forall y

Lemma

Sei \sum Signatur, A $\sum$-Struktur, ρ:Var\rightarrow U_A Variableninterpretation, x\in Var und t\in T_{\sum}. Ist die Substitution [x:=t] für die $\sum$-Formel \varphi zulässig, so gilt A\Vdash_p\varphi [x:=t]\Leftrightarrow A\Vdash_{p[x\rightarrow ρ(t)]}\varphi.

Beweis: Induktion über den Aufbau der Formel \varphi (mit ρ'=ρ[x\rightarrow ρ(t)]):

• \varphi = (s_1 =s_2):
  • A\Vdash_p(s_1 =s_2)[x:=t] \Leftrightarrow A\Vdash_p s_1[x:=t] =s_2[x:=t]
  • \Leftrightarrow ρ(s_1[x:=t]) =ρ(s_2[x:=t])\Leftrightarrow ρ'(s_1) =ρ'(s_2)
  • \Leftrightarrow A\Vdash_{p′} s_1 =s_2
  • andere atomare Formeln analog
• \varphi =\varphi_1\wedge\varphi_2:
  • A\Vdash_p(\varphi_1\wedge\varphi_2)[x:=t] \Leftrightarrow A\Vdash_p\varphi_1 [x:=t]\wedge\varphi_2[x:=t]
  • \Leftrightarrow A\Vdash_p\varphi_1[x:=t] und A\Vdash_p\varphi_2[x:=t]
  • \Leftrightarrow A\Vdash_{p′}\varphi_1 und A\Vdash_{p′}\varphi_2
  • \Leftrightarrow A\Vdash_{p′}\varphi_1\wedge\varphi_2
  • \varphi=\varphi_1\vee\varphi_2,\varphi =\varphi_1\rightarrow\varphi_2 und \varphi=\lnot\psi analog
• \varphi=\forall y\psi:
  • Wir betrachten zunächst den Fall x=y:
    • A\Vdash_p(\forall x\psi)[x:=t]\Leftrightarrow A\Vdash_p\forall x\psi \Leftrightarrow A\Vdash_{p′}\forall x\psi (denn x\not\in FV(\forall x\psi) )
  • Jetzt der Fall x\not=y:
    • Für a\in U_A setze ρ_a=ρ[y\rightarrow a]. Da [x:=t] für \varphi zulässig ist, kommt y in t nicht vor. Zunächst erhalten wir
    • ρ_a[x\rightarrow ρ_a(t)] = ρ_a[x\rightarrow ρ(t)] da y nicht in t vorkommt
    • =ρ[y\rightarrow a][x\rightarrow ρ(t)] = ρ[x\rightarrow ρ(t)][y\rightarrow a] da x\not=y
    • Es ergibt sich A\Vdash_p(\forall y\psi)[x:=t]\Leftrightarrow A\Vdash_p\forall y(\psi[x:=t]) (wegen x\not=y)
    • \Leftrightarrow A\Vdash_{pa}\psi[x:=t] für alle a\in U_A
    • \Leftrightarrow A\Vdash_{pa[x\rightarrow ρ_a(t)]}\psi für alle a\in U_A
    • \Leftrightarrow A\Vdash_{p[x\rightarrow ρ(t)][y\rightarrow a]}\psi für alle a\in U_A
    • \Leftrightarrow A\Vdash_{p[x\rightarrow ρ(t)]}\forall y\psi
• \varphi=\exists y\psi : analog

Natürliches Schließen

Wir haben Regeln des natürlichen Schließens für aussagenlogische Formeln untersucht und für gut befunden. Man kann sie natürlich auch für prädikatenlogische Formeln anwenden.

Beispiel: Für alle $\sum$-Formel \varphi und \psi gibt es eine Deduktion mit Hypothesen in \{\lnot\varphi\wedge\lnot\psi\} und Konklusion \lnot(\varphi\vee\psi):

Korrektheit

Können wir durch mathematische Beweise zu falschen Aussagen kommen? Können wir durch das natürliche Schließen zu falschen Aussagen kommen? Existiert eine Menge \Gamma von $\sum$-Formeln und eine $\sum$-Formel \varphi mit \Gamma\vdash\varphi und \Gamma\not\Vdash\varphi?

Frage: Gilt \Gamma\vdash\varphi\Rightarrow \Gamma\Vdash\varphi bzw. \varphi ist Theorem \Rightarrow\varphi ist allgemeingültig?

Der Beweis des Korrektheitslemmas für das natürliche Schließen kann ohne große Schwierigkeiten erweitert werden. Man erhält

Lemma V0

Sei \sum eine Signatur, \Gamma eine Menge von $\sum$-Formeln und \varphi eine $\sum$-Formel. Sei weiter D eine Deduktion mit Hypothesen in \Gamma und Konklusion \varphi, die die Regeln des natürlichen Schließens der Aussagenlogik verwendet. Dann gilt \Gamma\Vdash\varphi.

Umgekehrt ist nicht zu erwarten, dass aus \Gamma\Vdash\varphi folgt, dass es eine Deduktion mit Hypothesen in \Gamma und Konklusion \varphi gibt, denn die bisher untersuchten Regeln erlauben keine Behandlung von =,\forall bzw. \exists. Solche Regeln werden wir jetzt einführen.

Zunächst kümmern wir uns um Atomformeln der Form t_1 =t_2. Hierfür gibt es die zwei Regeln (R) und (GfG):

Reflexivität (ausführlich)

Für jeden Termt ist \frac{}{t=t} eine hypothesenlose Deduktion mit Konklusion t=t.

Gleiches-für-Gleiches in mathematischen Beweisen

,,Zunächst zeige ich, dass s die Eigenschaft \varphi hat:... Jetzt zeige ich s=t:... Also haben wir gezeigt, dass t die Eigenschaft \varphi hat. qed''

Gleiches-für-Gleiches (ausführlich) Seien s und t Terme und \varphi Formel, so dass die Substitutionen [x:=s] und [x:=t] für \varphi zulässig sind. Sind D und E Deduktionen mit Hypothesen in \Gamma und Konklusionen \varphi[x:=s] bzw. s=t, so ist das folgende eine Deduktion mit Hypothesen in \Gamma und Konklusion \varphi[x:=t]:

Gleiches-für-Gleiches (Kurzform) Bedingung: über keine Variable aus s oder t wird in \varphi quantifiziert

Die folgenden Beispiele zeigen, dass wir bereits jetzt die üblichen Eigenschaften der Gleichheit (Symmetrie, Transitivität, Einsetzen) folgern können.

Beispiel: Seien x Variable, s Term ohne x und \varphi=(x=s).

• Da \varphi quantorenfrei ist, sind die Substitutionen [x:=s] und [x:=t] für \varphi zulässig.
• Außerdem gelten \varphi[x:=s] = (s=s) und \varphi[x:=t] = (t=s).
• Also ist das folgende eine Deduktion:
• Für alle Termesundthaben wir also \{s=t\}\vdash t=s.

Beispiel: Seien x Variable, r,s und t Terme ohne x und \varphi=(r=x).

• Da \varphi quantorenfrei ist, sind die Substitutionen [x:=s] und [x:=t] für \varphi zulässig.
• Außerdem gelten \varphi[x:=s]=(r=s) und \varphi[x:=t]=(r=t).
• Also ist das folgende eine Deduktion:
• Für alle Terme r,s und t haben wir also \{r=s,s=t\}\vdash r=t.

Beispiel: Seien x Variable, s und t Terme ohne x,$f$ einstelliges Funktionssymbol und \varphi=(f(s)=f(x)).

• Da \varphi quatorenfrei ist, sind die Substitutionen [x:=s] und [x:=t] für \varphi zulässig.
• Außerdem gelten \varphi[x:=s]=(f(s)=f(s)) und \varphi[x:=t]=(f(s)=f(t)).
• Also ist das folgende eine Deduktion:

Lemma V1

Sei \sum eine Signatur, \Gamma eine Menge von $\sum$-Formeln und \varphi eine $\sum$-Formel. Sei weiter D eine Deduktion mit Hypothesen in \Gamma und Konklusion \varphi, die die Regeln des natürlichen Schließens der Aussagenlogik, (R) und (GfG) verwendet. Dann gilt \Gamma\Vdash\varphi.

Beweis: Wir erweitern den Beweis des Korrektheitslemmas bzw. des Lemmas V0, der Induktion über die Größe der Deduktion D verwendete.

• Wir betrachten nur den Fall, dass D die folgende Form hat:
• Da dies Deduktion ist, sind die Substitutionen [x:=s] und [x:=t] für \varphi zulässig, d.h. in \varphi wird über keine Variable aus s oder t quantifiziert.
• E und F kleinere Deduktionen \Rightarrow\Gamma\Vdash\varphi[x:=s] und \Gamma\Vdash s=t
• Seien A $\sum$-Struktur und ρ Variableninterpretation mit A\Vdash_p\gamma für alle \gamma\in\Gamma.
  • \Rightarrow A\Vdash_p\varphi[x:=s] und A\Vdash_p s=t
  • \Rightarrow A\Vdash_{p[x\rightarrow ρ(s)]}\varphi und ρ(s) =ρ(t)
  • \Rightarrow A\Vdash_{p[x\rightarrow ρ(t)]}\varphi
  • \Rightarrow A\Vdash_p \varphi[x:=t]
• Da A und ρ beliebig waren mit A\Vdash_p\gamma für alle \gamma\in\Gamma haben wir \Gamma\Vdash\varphi[x:=t] gezeigt.