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\documentclass[10pt, a4paper]{exam}
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\printanswers % Comment this line to hide the answers
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[ngerman]{babel}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{pgfplots}
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\usepackage{bussproofs}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{automata, arrows.meta, positioning}
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\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Antwort}: }
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\SolutionEmphasis{\small}
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\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm}
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\pdfinfo{
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/Title (Grundlagen und diskrete Strukturen - Prüfungsvorbereitung)
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/Creator (TeX)
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/Producer (pdfTeX 1.40.0)
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/Author (Robert Jeutter)
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/Subject ()
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}
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\title{Grundlagen und diskrete Strukturen - Prüfungsvorbereitung}
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\author{}
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\date{}
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\setcounter{secnumdepth}{0}
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\newtcolorbox{myboxii}[1][]{
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breakable,
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freelance,
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title=#1,
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colback=white,
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colbacktitle=white,
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coltitle=black,
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fonttitle=\bfseries,
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bottomrule=0pt,
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boxrule=0pt,
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colframe=white,
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overlay unbroken and first={
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\draw[red!75!black,line width=3pt]
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([xshift=5pt]frame.north west) --
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(frame.north west) --
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(frame.south west);
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\draw[red!75!black,line width=3pt]
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([xshift=-5pt]frame.north east) --
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(frame.north east) --
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(frame.south east);
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},
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overlay unbroken app={
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\draw[red!75!black,line width=3pt,line cap=rect]
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(frame.south west) --
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([xshift=5pt]frame.south west);
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\draw[red!75!black,line width=3pt,line cap=rect]
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(frame.south east) --
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([xshift=-5pt]frame.south east);
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},
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overlay middle and last={
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\draw[red!75!black,line width=3pt]
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(frame.north west) --
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(frame.south west);
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\draw[red!75!black,line width=3pt]
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(frame.north east) --
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(frame.south east);
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},
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overlay last app={
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\draw[red!75!black,line width=3pt,line cap=rect]
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(frame.south west) --
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([xshift=5pt]frame.south west);
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\draw[red!75!black,line width=3pt,line cap=rect]
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(frame.south east) --
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([xshift=-5pt]frame.south east);
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},
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}
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\begin{document}
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\begin{myboxii}[Disclaimer]
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Aufgaben aus dieser Vorlage stammen aus der Vorlesung \textit{Grundlagen und diskrete Strukturen} und wurden zu Übungszwecken verändert oder anders formuliert! Für die Korrektheit der Lösungen wird keine Gewähr gegeben.
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\end{myboxii}
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Erlaubte Hilfsmittel: eine math. Formelsammlung/Nachschlagwerk, ein handbeschriebenes A4-Blatt mit Formeln und Ergebnissen aus der Vorlesung.
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%##########################################
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\begin{questions}
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\question
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\begin{parts}
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\part Untersuche, welche der folgenden aussagenlogischen Ausdrücke logisch äquivalent sind. Begründe die Entscheidung.\\\begin{center}
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$\varphi=p\rightarrow (q\wedge\overline{r})$, $\psi=(p\rightarrow q)\wedge(r\rightarrow\overline{p})$, $y=(\overline{p}\vee q)\leftrightarrow r$ \end{center}
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Negiere die Aussage: $\forall S\in\mathbb{R}\exists m\in\mathbb{N} \forall n\in\mathbb{N}: n>m\Rightarrow a_n>S$
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Negiere die Aussage: ,,In jeder GudS-Klausur gibt es mindestens eine Aufgabe, die von niemandem richtig gelöst wird''
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Es seien $f,g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ zwei Funktionen. Auf der Menge $\mathbb{N}$ der natürlichen Zahlen wird wie folgt eine Relation definiert: $a \sim b \leftrightarrow f(a)-f(b)=g(a)-g(b)$. Weise nach, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist. Für den konkreten Fall $f(x)=x^2+1$ und $g(x)=2x$ bestimme man die Äquivalenzklasse $[2]_{\backslash\sim}$
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\question
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\begin{parts}
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\part Bestimme mit Hilfe des euklidischen Algorithmus ganze Zahlen $a,b$, für die gilt $1=a*100+b*23$
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Untersuche, ob es ein multiplikativ inverses Element zu $\overline{23}$ in $\mathbb{Z}_{100}$ gibt und bestimme dieses gegebenfalls. Gebe außerdem ein nicht invertierbares Element außer $\overline{0}$ in $\mathbb{Z}_{100}$ an.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Gegeben sei die Menge $G=\{ \begin{pmatrix} 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1 \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^{(3,3)}\mid a,b,c\in\mathbb{R}\}$. Zeige, dass $G$ eine Gruppe bezüglich der Matrizenmultiplikation ist. Rechengesetze der Matrizenmultiplikation dürfen vorausgesetzt werden. Ist die Gruppe kommutativ? (ohne Beweis)
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\question Markus ist politikinteressiert und möchte gerne Bundeskanzler werden. Er überlegt aber noch welcher Partei er beitritt. Er hat zwei Parteien $A$ und $B$, die ihm gefallen, könnte aber auch eine eigene Partei $C$ gründen. Die Chancen bei den nächsten Wahlen als Spitzenkandidat aufgestellt zu werden schätzt er auf $10\%$ bei Partei $A$, auf $20\%$ bei Partei $B$ und $100\%$ bei Partei $C$. Die Chance, dass die jeweilige Partei mit ihm an der Spitze die Wahl gewinnt liegt bei $60\%$, $45\%$ bzw. $2\%$.
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\begin{parts}
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\part Für welche Partei sollte er sich entscheiden, um mit maximaler Wahrscheinlichkeit Bundeskanzler zu werden?
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Markus lässt die Würfel entscheiden. Bei $1$ tritt er Partei $A$ bei, bei $2$ oder $3$ Partei $B$ und bei $4,5$ oder $6$ gründet er Partei $C$. Markus wird tatsächlich Bundeskanzler. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er dann Partei $C$ gegründet.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Gegeben sei folgender Graph:
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto]
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\node (A) [state] {A};
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\node (B) [state, left = of A] {B};
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\node (C) [state, above left = of A] {C};
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\node (D) [state, above right = of A] {D};
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\node (E) [state, below left = of A] {E};
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\node (F) [state, above = of A] {F};
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\node (G) [state, below right = of A] {G};
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\node (H) [state, right = of A] {H};
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\node (I) [state, below = of A] {I};
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\path [thick]
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(A) edge (F)
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(A) edge (D)
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(A) edge (H)
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(A) edge (G)
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(A) edge (C)
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(B) edge (C)
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(B) edge (E)
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(C) edge (F)
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(C) edge (E)
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(D) edge (H)
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(E) edge (I)
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(G) edge (I)
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;
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{parts}
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\part Gebe einen Tiefensuchbaum mit Startecke $A$ für den Graphen an.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Gebe einen Breitensuchbaum mit Startecke $A$ für den Graphen an.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Zeige, dass für jede natürliche Zahl $k\leq 1$ gilt: Jeder Baum, der eine Ecke vom Grad $k$ enthält, hat mindestens $k$ Blätter.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document} |