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2021-12-01 11:17:11 +01:00

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Einleitung
Grundlagen der Kryptographie
Symmetrische Kryptographie
Asymmetrische Kryptographie
Modifikationsprüfwerte
Zufallszahlengenerierung
Kryptographische Protokolle
Sichere Gruppenkommunikation
Zugriffskontrolle
Integration von Sicherheitsdiensten in Kommunikationsarchitekturen
Sicherheitsprotokolle der Datenübertragungsschicht
Die IPsec-Architektur für das Internet-Protokoll
Security protocols of the transport layer
Sicherheitsaspekte der mobilen Kommunikation
Sicherheit von drahtlosen lokalen Netzen
Sicherheit von GSM- und UMTS-Netzen
References

Einleitung

Was ist eine Bedrohung in einem Kommunikationsnetz?

Abstrakte Definition
- Eine Bedrohung in einem Kommunikationsnetz ist ein mögliches Ereignis oder eine Folge von Aktionen, die zu einer Verletzung eines oder mehrerer Sicherheitsziele führen können.
- Die tatsächliche Realisierung einer Bedrohung wird als Angriff bezeichnet.
Beispiele
- Ein Hacker bricht in einen Firmencomputer ein
- Offenlegung von E-Mails während der Übertragung
- Jemand ändert Finanzbuchhaltungsdaten
- Ein Hacker, der eine Website vorübergehend außer Betrieb setzt
- Jemand, der Dienstleistungen in Anspruch nimmt oder Waren im Namen anderer bestellt
Was sind Sicherheitsziele?
- Sicherheitsziele können definiert werden
- in Abhängigkeit von der Anwendungsumgebung oder
- auf eine allgemeinere, technische Weise

Sicherheitsziele in Abhängigkeit von der Anwendungsumgebung

Bankwesen
- Schutz vor betrügerischen oder versehentlichen Änderungen von Transaktionen
- Identifizierung von Kunden bei Privatkundentransaktionen
- Schutz von PINs vor Offenlegung
- Sicherstellung der Privatsphäre der Kunden
Elektronischer Handel
- Sicherstellung der Herkunft und Integrität von Transaktionen
- Schutz der Privatsphäre von Unternehmen
- Rechtsverbindliche elektronische Signaturen für Transaktionen bereitstellen
Regierung
- Schutz vor Offenlegung sensibler Informationen
- Bereitstellung elektronischer Signaturen für Regierungsdokumente
Öffentliche Telekommunikationsanbieter
- Beschränken Sie den Zugang zu Verwaltungsfunktionen auf autorisiertes Personal
- Schutz vor Dienstunterbrechungen
- Schutz der Privatsphäre der Teilnehmer
Firmen-/Privatnetzwerke
- Schutz der Privatsphäre von Unternehmen/Personen
- Sicherstellung der Authentizität von Nachrichten
Alle Netzwerke
- Verhinderung des Eindringens von außen (wer will schon Hacker?)
Manchmal werden Sicherheitsziele auch als Sicherheitsvorgaben bezeichnet

Sicherheitsziele technisch definiert

Vertraulichkeit (Confidentiality)
- Übertragene oder gespeicherte Daten sollten nur einem bestimmten Personenkreis zugänglich gemacht werden.
- Die Vertraulichkeit von Entitäten wird auch als Anonymität bezeichnet.
Integrität der Daten (Data Integrity)
- Es sollte möglich sein, jede Veränderung von Daten zu erkennen.
- Dies setzt voraus, dass der Ersteller bestimmter Daten identifiziert werden kann.
Rechenschaftspflicht (Accountability)
- Es sollte möglich sein, die für ein Kommunikationsereignis verantwortliche Stelle zu identifizieren.
Verfügbarkeit (Availability)
- Die Dienste sollten verfügbar sein und korrekt funktionieren.
Kontrollierter Zugang (Controlled Access)
- Nur autorisierte Stellen sollten auf bestimmte Dienste oder Informationen zugreifen können.

Technisch definierte Bedrohungen

Maskerade (oder Man-in-the-Middle-Angriff, Masquerade)
- Eine Entität gibt sich als eine andere Entität aus
Lauschangriff (Eavesdropping)
- Eine Entität liest Informationen, die sie nicht lesen soll
Verletzung der Berechtigung (Authorization Violation)
- Eine Entität nutzt einen Dienst oder Ressourcen, für die sie nicht vorgesehen ist
Verlust oder Veränderung von (übertragenen) Informationen (Loss or Modification of (transmitted) Information)
- Daten werden verändert oder zerstört
Verweigerung von Kommunikationsakten (Denial of Communication Acts, Repudiation)
- Ein Unternehmen leugnet fälschlicherweise seine Teilnahme an einer Kommunikationshandlung
Fälschung von Informationen (Forgery of Information)
- Ein Unternehmen erstellt neue Informationen im Namen eines anderen Unternehmens
Sabotage (oder Denial-of-Service-Angriffe)
- Jede Aktion, die darauf abzielt, die Verfügbarkeit und/oder das ordnungsgemäße Funktionieren von Diensten oder Systemen zu beeinträchtigen.

Bedrohungen und technische Sicherheitsziele

Diese Bedrohungen werden oft kombiniert, um einen Angriff durchzuführen!

Technische Sicherheitsziele	Maskerade	Abhören	Autorisierungsverletzung	Verlust oder Modifikation von (übertragenen) Informationen	Denial of Communication-Aktionen	Fälschung von Informationen	Sabotage (z.B. durch Überlastung)
Vertraulichkeit	x	x	x
Datenintegrität	x		x	x	x	x
Rechenschaftspflicht	x		x		x	x
Verfügbarkeit	x		x	x			x
Kontrollierter Zugriff	x		x			x

Analyse der Netzwerksicherheit

Um geeignete Gegenmaßnahmen gegen Bedrohungen ergreifen zu können, müssen diese für eine gegebene Netzkonfiguration angemessen bewertet werden.
Daher ist eine detaillierte Netzsicherheitsanalyse erforderlich, die
- das Risikopotenzial der allgemeinen Bedrohungen für die ein Netz nutzenden Einheiten bewertet und
- den Aufwand (Ressourcen, Zeit usw.) abschätzt, der zur Durchführung bekannter Angriffe erforderlich ist.
- Achtung! Es ist im Allgemeinen unmöglich, unbekannte Angriffe zu bewerten!
Eine detaillierte Sicherheitsanalyse einer bestimmten Netzkonfiguration / spezifischen Protokollarchitektur
- kann auch erforderlich sein, um die Finanzkontrolleure eines Unternehmens davon zu überzeugen, Mittel für Sicherheitsverbesserungen bereitzustellen, und
- kann besser nach den feinkörnigeren Angriffen auf der Nachrichtenebene strukturiert werden.

Angriffe auf die Kommunikation auf der Nachrichtenebene

Passive Angriffe
- Lauschangriff
Aktive Angriffe
- Verzögerung von PDUs (Protocol Data Units)
- Wiederholung von PDUs
- Löschung von PDUs
- Modifikation von PDUs
- Einfügung von PDUs
Die erfolgreiche Durchführung eines der oben genannten Angriffe erfordert
- Es gibt keine erkennbaren Nebeneffekte auf andere Kommunikationen (Verbindungen/verbindungslose Übertragungen)
- Es gibt keine Nebenwirkungen auf andere PDUs der gleichen Verbindung/verbindungslosen Datenübertragung zwischen den gleichen Entitäten
Eine Sicherheitsanalyse einer Protokollarchitektur muss diese Angriffe entsprechend den Schichten der Architektur analysieren

Schutzmaßnahmen gegen Bedrohungen der Informationssicherheit

Physische Sicherheit
- Schlösser oder andere physische Zugangskontrollen
- Manipulationssicherung empfindlicher Geräte
- Umweltkontrollen
Personelle Sicherheit
- Identifizierung von sensiblen Positionen
- Verfahren zur Überprüfung der Mitarbeiter
- Sicherheitsschulung und -bewusstsein
Administrative Sicherheit
- Kontrolle des Imports von Fremdsoftware
- Verfahren zur Untersuchung von Sicherheitsverstößen
- Überprüfung von Prüfpfaden
- Überprüfung von Kontrollen der Rechenschaftspflicht
Strahlungssicherheit
- Kontrolle von Funkfrequenzen und anderen elektromagnetischen Abstrahlungen
- Bezeichnet als TEMPEST-Schutz
Mediensicherheit
- Absicherung der Speicherung von Informationen
- Kontrolle der Kennzeichnung, Vervielfältigung und Vernichtung von sensiblen Informationen
- Sicherstellen, dass Medien mit sensiblen Informationen sicher vernichtet werden
- Scannen von Medien auf Viren
Lebenszyklus-Kontrollen
- Vertrauenswürdiger Systementwurf, -implementierung, -bewertung und -übernahme
- Programmierstandards und -kontrollen
- Kontrollen der Dokumentation
Computer-Sicherheit
- Schutz von Informationen während der Speicherung/Verarbeitung in einem Computersystem
- Schutz der Datenverarbeitungsgeräte selbst
Sicherheit der Kommunikation
- Schutz von Informationen während des Transports von einem System zu einem anderen
- Schutz der Kommunikationsinfrastruktur selbst

Kommunikationssicherheit: Einige Terminologie

Sicherheitsdienst
- Ein abstrakter Dienst, der eine bestimmte Sicherheitseigenschaft gewährleisten soll.
- Ein Sicherheitsdienst kann sowohl mit Hilfe von kryptografischen Algorithmen und Protokollen als auch mit herkömmlichen Mitteln realisiert werden
  - Man kann ein elektronisches Dokument auf einem USB-Stick vertraulich halten, indem man es in einem verschlüsselten Format auf dem Datenträger speichert und den Datenträger in einem Tresor wegschließt.
  - In der Regel ist eine Kombination aus kryptografischen und anderen Mitteln am effektivsten
Kryptographischer Algorithmus
- Eine mathematische Umwandlung von Eingabedaten (z. B. Daten, Schlüssel) in Ausgabedaten
- Kryptografische Algorithmen werden in kryptografischen Protokollen verwendet.
Kryptografisches Protokoll
- Eine Reihe von Schritten und der Austausch von Nachrichten zwischen mehreren Einheiten, um ein bestimmtes Sicherheitsziel zu erreichen

Sicherheitsdienste - Überblick

Authentifizierung (Authentication)
- Der grundlegendste Sicherheitsdienst, der sicherstellt, dass eine Entität tatsächlich die Identität besitzt, die sie vorgibt zu haben
Integrität (Integrity)
- In gewisser Weise der "kleine Bruder" des Authentifizierungsdienstes, da er sicherstellt, dass Daten, die von bestimmten Entitäten erstellt wurden, nicht unentdeckt verändert werden können
Vertraulichkeit (Confidentiality)
- Der beliebteste Sicherheitsdienst, der die Geheimhaltung der geschützten Daten gewährleistet
Zugriffskontrolle (Access Control)
- Kontrolliert, dass jede Identität nur auf die Dienste und Informationen zugreift, zu denen sie berechtigt ist
Nicht-Abstreitbarkeit (Non Repudiation)
- Schützt davor, dass an einem Kommunikationsaustausch beteiligte Entitäten später fälschlicherweise abstreiten können, dass der Austausch stattgefunden hat

Sicherheitsunterstützende Mechanismen

Allgemeine Mechanismen
- Schlüsselverwaltung: Alle Aspekte des Lebenszyklus von kryptografischen Schlüsseln
- Zufallszahlengenerierung: Generierung von kryptographisch sicheren Zufallszahlen
- Ereigniserkennung / Sicherheitsprüfpfad: Erkennung und Aufzeichnung von Ereignissen, die zur Erkennung von Angriffen oder Bedingungen, die von Angriffen ausgenutzt werden könnten, verwendet werden können
- Erkennung von Eindringlingen: Analyse der aufgezeichneten Sicherheitsdaten, um erfolgreiche Einbrüche oder Angriffe zu erkennen
- Beglaubigung: Registrierung von Daten durch eine vertrauenswürdige dritte Partei, die später bestimmte Eigenschaften (Inhalt, Ersteller, Erstellungszeitpunkt) der Daten bestätigen kann
Kommunikationsspezifische Mechanismen
- Traffic Padding & Cover Traffic: Erzeugung von gefälschtem Verkehr, um die Analyse des Verkehrsflusses zu verhindern
- Routing-Kontrolle: Beeinflussung des Routings von PDUs in einem Netzwerk

Kryptologie - Definition und Terminologie

Kryptologie
- Wissenschaft, die sich mit sicherer und meist geheimer Kommunikation beschäftigt
- Der Begriff leitet sich von den griechischen Wörtern kryptós (verborgen) und lógos (Wort) ab.
- Kryptologie umfasst
  - Kryptographie ( gráphein = schreiben): die Lehre von den Prinzipien und Techniken, mit denen Informationen in verschlüsseltem Text verborgen und später von legitimen Nutzern mit Hilfe eines geheimen Schlüssels offengelegt werden können
  - Kryptoanalyse ( analýein = lýsen, losbinden): die Wissenschaft (und Kunst) der Wiedergewinnung von Informationen aus Chiffren ohne Kenntnis des Schlýssels
Chiffre (Quelle Encyclopaedia Britannica)
- Methode zur Umwandlung einer Nachricht (Klartext), um ihre Bedeutung zu verschleiern
- Wird auch als Synonym für den verborgenen Chiffretext verwendet.
- Chiffren sind eine Klasse von kryptografischen Algorithmen
- Die Umwandlung erfolgt in der Regel mit der Nachricht und einem (geheimen) Schlüssel als Eingabe

Kryptologie - einige historische Anmerkungen

400 v. Chr.: Die Spartaner verwenden ein Chiffriergerät namens Scytale für die Kommunikation zwischen militärischen Befehlshabern.
- Die Scytale bestand aus einem spitz zulaufenden Stab, um den spiralförmig ein Streifen Pergament oder Leder gewickelt war, auf den die Nachricht geschrieben wurde
- Beim Aufwickeln wurden die Buchstaben der Reihe nach durcheinander gewürfelt und bildeten die Chiffre.
- Wurde der Streifen um einen anderen Stab mit den gleichen Proportionen wie das Original gewickelt, kam der Klartext wieder zum Vorschein
Im 4. Jahrhundert v. Chr:
- Aeneas Tacticus (Grieche) schreibt "Über die Verteidigung von Festungen", wobei ein Kapitel der Kryptographie gewidmet ist
- Polybius (Grieche) erfindet eine Methode zur Kodierung von Buchstaben in Symbolpaaren mit Hilfe eines Geräts namens Polybius-Schachbrett, das eine bi-literale Substitution ermöglicht und viele Elemente späterer Kryptosysteme vorwegnimmt
Die Römer verwendeten eine monoalphabetische Substitution mit einfacher zyklischer Verschiebung des Alphabets:
- Julius Caesar verwendete eine Verschiebung von drei Buchstaben (A ergibt D, ..., Z ergibt C)
- Augustus Caesar verwendete eine einzige Verschiebung (A ergibt B, ...)
Die Araber waren die ersten, die die Prinzipien der Kryptographie verstanden und die Anfänge der Kryptoanalyse entdeckten:
- Entwurf und Verwendung von Substitutions- und Transpositions-Chiffren
- Entdeckung der Verwendung von Buchstabenhäufigkeitsverteilungen und wahrscheinlichen Klartexten in der Kryptoanalyse
- Bis 1412 n. Chr. enthält Al-Kalka-Shandi in seiner Enzyklopädie Subh al-a'sha eine elementare und respektable Behandlung mehrerer kryptographischer Systeme und ihrer Kryptoanalyse
Europäische Kryptographie:
- Die Entwicklung begann im Kirchenstaat und in den italienischen Stadtstaaten im Mittelalter
- Die ersten Chiffren verwendeten nur Vokalsubstitutionen
- 1397: Gabriele de Lavinde von Parma verfasst das erste europäische Handbuch zur Kryptographie, das eine Zusammenstellung von Chiffren sowie eine Reihe von Schlüsseln für 24 Korrespondenten enthält und Symbole für Buchstaben, Zahlen und mehrere zweistellige Codeäquivalente für Wörter und Namen umfasst
- Code-Vokabulare, Nomenklatoren genannt, wurden für mehrere Jahrhunderte zur Hauptstütze der diplomatischen Kommunikation der meisten europäischen Regierungen
- 1470: Leon Battista Alberti veröffentlicht Trattati In Cifra, in denen er die erste Chiffrierscheibe beschreibt und bereits vorschreibt, die Scheibe regelmäßig neu einzustellen, wobei er den Begriff der Polyalphabetizität entwickelt
- 1563: Giambattista della Porta liefert eine abgewandelte Form einer quadratischen Tabelle und das früheste Beispiel einer digraphischen Chiffre (2-Buchstaben-Substitution)
- 1586: Blaise de Vigenère veröffentlicht Traicté des chiffres, das die ihm zugeschriebene quadratische Tabelle enthält
- Bis 1860 wurden große Codes für die diplomatische Kommunikation verwendet, und Chiffren wurden nur in der militärischen Kommunikation eingesetzt (außer auf hoher Kommandoebene), da es schwierig war, Codebücher im Feld zu schützen.
Entwicklungen während der Weltkriege 1 und 2:
- Während des 1. Weltkriegs: Chiffriersysteme wurden hauptsächlich für die taktische Kommunikation verwendet und die Kommunikation auf hoher Ebene wurde durch Codes geschützt.
- 1920: Die Kommunikationsbedürfnisse der Telekommunikation und die Weiterentwicklung der elektromechanischen Technik führen zu einer wahren Revolution bei den Verschlüsselungsgeräten - der Entwicklung von Rotor-Chiffriermaschinen:
  - Das Rotorprinzip wird unabhängig voneinander von E. E. Hebern (USA), H. A. Koch (Niederlande) und A. Scherbius (Deutschland) entdeckt
  - Rotor-Chiffriermaschinen kaskadieren eine Sammlung von Chiffrierscheiben, um eine polyalphabetische Substitution von hoher Komplexität zu realisieren
  - Die Kryptoanalyse der taktischen Kommunikation spielt während des Zweiten Weltkriegs eine sehr wichtige Rolle. Die größten Erfolge sind die britische und polnische Lösung der deutschen Enigma- und der beiden Fernschreiber-Chiffren sowie die amerikanische Kryptoanalyse der japanischen Chiffren.
Entwicklungen nach dem 2. Weltkrieg:
- Die moderne Elektronik ermöglicht noch komplexere Chiffren, die zunächst den Rotorprinzipien folgen (und deren Schwächen einbeziehen)
- Die meisten Informationen über elektronische Chiffriermaschinen, die von verschiedenen nationalen Kryptodiensten verwendet wurden, sind nicht öffentlich zugänglich.
- Ende der 1960er Jahre war die kommerziell verfügbare Kryptographie kaum bekannt, und starke Kryptographie war den nationalen Behörden vorbehalten
- 1973-1977: Entwicklung des Data Encryption Standard (DES)
- 1976-1978: Entdeckung der Public-Key-Kryptografie
- 1976: W. Diffie und M. Hellman veröffentlichen "New Directions in Cryptography" (Neue Wege in der Kryptographie), in dem sie die Konzepte der Public-Key-Kryptographie einführen und ein Verfahren zum Austausch von Schlüsseln über unsichere Kanäle beschreiben.
- R. Merkle entdeckt unabhängig das Prinzip des öffentlichen Schlüssels, seine ersten Veröffentlichungen erscheinen jedoch erst 1978, da der Veröffentlichungsprozess langsam ist
- 1978: R. L. Rivest, A. Shamir und A. M. Adleman veröffentlichen "A Method for Obtaining Digital Signatures and Public Key Cryptosystems", das den ersten funktionierenden und sicheren Public-Key-Algorithmus RSA enthält

Grundlagen der Kryptographie

Überblick über kryptografische Algorithmen
Angriffe auf die Kryptographie
Eigenschaften von Verschlüsselungsalgorithmen
Klassifizierung von Verschlüsselungsalgorithmen

Kryptographische Algorithmen: Überblick

In diesem Kurs stehen zwei Hauptanwendungen kryptographischer Algorithmen im Mittelpunkt des Interesses
- Verschlüsselung von Daten: Umwandlung von Klartextdaten in Chiffretext, um deren Bedeutung zu verbergen
- Signierung von Daten: Berechnung eines Prüfwerts oder einer digitalen Signatur für einen gegebenen Klartext oder Geheimtext, der von einigen oder allen Stellen, die auf die signierten Daten zugreifen können, überprüft werden kann
Einige kryptografische Algorithmen können für beide Zwecke verwendet werden, andere sind nur für einen der beiden Zwecke sicher und/oder effizient.
Hauptkategorien von kryptografischen Algorithmen
- Symmetrische Kryptografie, die 1 Schlüssel für die Ver-/Entschlüsselung oder die Signierung/Prüfung verwendet
- Asymmetrische Kryptografie mit 2 verschiedenen Schlüsseln für die Ver-/Entschlüsselung oder die Unterzeichnung/Prüfung
- Kryptografische Hash-Funktionen mit 0 Schlüsseln (der "Schlüssel" ist keine separate Eingabe, sondern wird an die Daten "angehängt" oder mit ihnen "vermischt").

Angriff auf die Kryptographie

Kryptoanalyse

Kryptoanalyse ist der Versuch, den Klartext und/oder den Schlüssel herauszufinden.
Arten der Kryptoanalyse
- Nur Chiffretext: bestimmte Muster des Klartextes können im Chiffretext erhalten bleiben (Häufigkeit von Buchstaben, Digraphen usw.)
- Bekannte Chiffretext-Klartext-Paare
- Gewählter Klartext oder gewählter Chiffretext
- Differentielle Kryptoanalyse und lineare Kryptoanalyse
- Neuere Entwicklung: verwandte Schlüsselanalyse
Kryptoanalyse der Public-Key-Kryptographie
- Die Tatsache, dass ein Schlüssel öffentlich zugänglich ist, kann ausgenutzt werden
- Die Kryptoanalyse öffentlicher Schlüssel zielt eher darauf ab, das Kryptosystem selbst zu knacken und ist näher an der reinen mathematischen Forschung als an der klassischen Kryptoanalyse.
- Wichtige Richtungen
  - Berechnung von diskreten Logarithmen
  - Faktorisierung von großen ganzen Zahlen

Brute-Force-Angriff

Der Brute-Force-Angriff probiert alle möglichen Schlüssel aus, bis er einen verständlichen Klartext findet
- Jeder kryptographische Algorithmus kann theoretisch mit Brute Force angegriffen werden
- Im Durchschnitt muss die Hälfte aller möglichen Schlüssel ausprobiert werden

Durchschnittlich benötigte Zeit für erschöpfende Schlüsselsuche

Schlüsselgröße [bit]	Anzahl der Schlüssel	Benötigte Zeit bei 1 $Verschlüsselung/\mu$s	Zeitbedarf bei 10^6 Verschlüsselung /$\mu$s
56	`2^{56} = 7,2\times 10^{16}`	`2^{55}\mu s = 1142` Jahre	`10,01` Stunden
128	`2^{128} = 3,4 x 10^{38}`	`2^{127}\mu s = 5,4 x 10^{24}` Jahre	`5,4 x 10^{18}` Jahre
256	$2^{256} = 1.2 x 10^{77}	`2^{255}\mu s = 3,7 x 10^{63}` Jahre	`3,7 x 10^{57}` Jahre

Wie groß ist groß?

Referenzzahlen zum Vergleich relativer Größenordnungen

Referenz	Größe
Sekunden in einem Jahr	ca. `3 x 10^7`
Sekunden seit der Entstehung des Sonnensystems	ca. `2 x 10^{17}`
Taktzyklen pro Jahr (50 MHz Computer)	ca. `1,6 x 10^{15}`
Binäre Zeichenketten der Länge 64	`2^{64}` ca. `1,8 x 10^{19}`
Binäre Zeichenfolgen der Länge 128	`2^{128}` ca. `3,4 x 10^{38}`
Binäre Zeichenfolgen der Länge 256	`2^{256}` ca. `1,2 x 10^{77}`
Anzahl der 75-stelligen Primzahlen	`5,2 x 10^{72}`
Elektronen im Universum	`8,37 x 10^{77}`

Wichtige Eigenschaften von Verschlüsselungsalgorithmen

Nehmen wir an, ein Absender verschlüsselt Klartextnachrichten P_1, P_2, ... zu Chiffretextnachrichten C_1, C_2, ...

Dann sind die folgenden Eigenschaften des Verschlüsselungsalgorithmus von besonderem Interesse

Die Fehlerfortpflanzung charakterisiert die Auswirkungen von Bit-Fehlern bei der Übertragung von Chiffretext zu rekonstruiertem Klartext P_1', P_2', ...
- Je nach Verschlüsselungsalgorithmus können pro fehlerhaftem Chiffretext-Bit ein oder mehrere fehlerhafte Bits im rekonstruierten Klartext vorhanden sein
Die Synchronisierung charakterisiert die Auswirkungen verlorener Chiffretext-Dateneinheiten auf den rekonstruierten Klartext
- Einige Verschlüsselungsalgorithmen können sich nicht von verlorenem Chiffretext erholen und benötigen daher eine explizite Neusynchronisierung im Falle verlorener Nachrichten
- Andere Algorithmen führen eine automatische Neusynchronisierung nach 0 bis n (n je nach Algorithmus) Chiffretextbits durch.

Klassifizierung von Verschlüsselungsalgorithmen: Drei Dimensionen

Die Art der Operationen, die zur Umwandlung von Klartext in Chiffretext verwendet werden
- Substitution, die jedes Element des Klartextes (Bit, Buchstabe, Gruppe von Bits oder Buchstaben) in ein anderes Element umwandelt
- Transposition, die die Elemente des Klartextes neu anordnet
Die Anzahl der verwendeten Schlüssel
- Symmetrische Chiffren, die denselben Schlüssel für die Ver- und Entschlüsselung verwenden
- Asymmetrische Chiffren, bei denen unterschiedliche Schlüssel für die Ver- und Entschlüsselung verwendet werden
Die Art und Weise, in der der Klartext verarbeitet wird
- Stromchiffren arbeiten mit Bitströmen und verschlüsseln ein Bit nach dem anderen
  - Viele Stromchiffren basieren auf der Idee der linearen rückgekoppelten Schieberegister, und bei vielen Algorithmen dieser Klasse wurden Schwachstellen entdeckt, da es eine tiefgreifende mathematische Theorie zu diesem Thema gibt.
  - Die meisten Stromchiffren verbreiten keine Fehler, sind aber anfällig für den Verlust der Synchronisation.
- Blockchiffren arbeiten mit Blöcken der Breite b, wobei b vom jeweiligen Algorithmus abhängt.

Kryptographische Algorithmen - Überblick

Kryptografische Algorithmen

Überblick
- Eigenschaften
- Kryptoanalyse
Symmetrische Ver-/Entschlüsselung
- Funktionsweisen
- DES
- AES
- RC4
- KASUMI
Asymmetrische Ver-/Entschlüsselung
- Hintergrund
- RSA
- Diffie-Hellman
- ElGamal
- ECC
Kryptographische Hash-Funktionen
- MDCs/MACs
- MD
- SHA-1/2/
- CBC-MAC
- GCM-MAC

Symmetrische Kryptographie

Modi der Verschlüsselung
Datenverschlüsselungsstandard (DES)
Erweiterter Verschlüsselungsstandard (AES)
Die Blockchiffre RC
KASUMI

Symmetrische Verschlüsselung

Allgemeine Beschreibung
- Derselbe Schlüssel KA,B wird für die Verschlüsselung und Entschlüsselung von Nachrichten verwendet
Schreibweise
- Wenn P die Klartextnachricht bezeichnet, bezeichnet E(K_{A,B}, P) den Chiffretext und es gilt D(K_{A,B}, E(K_{A,B}, P)) = P
- Alternativ schreibt man manchmal \{P\}_{K_{A,B}} oder E_{K_{A,B}}(P) für E(K_{A,B}, P)
Beispiele: DES, 3DES, AES, ...

Symmetrische Blockchiffren - Verschlüsselungsarten

Allgemeine Bemerkungen & Notation

Ein Klartext P wird in Blöcke P_1, P_2, ... der Länge b bzw. j zerlegt, wobei b die Blockgröße des Verschlüsselungsalgorithmus bezeichnet und j < b
Der Chiffretext C ist die Kombination von C_1, C_2, ..., wobei c_i das Ergebnis der Verschlüsselung des i-ten Blocks der Klartextnachricht bezeichnet
Die Stellen, die eine Nachricht verschlüsseln und entschlüsseln, haben sich auf einen Schlüssel K geeinigt.

Elektronischer Codebuch-Modus (Electronic Code Book Mode: ECB)

Jeder Block Pi der Länge b wird unabhängig verschlüsselt: C_i = E(K, p_i)
Ein Bitfehler in einem Chiffretextblock C_i führt zu einem völlig falsch wiederhergestellten Klartextblock P_i'
Der Verlust der Synchronisation hat keine Auswirkungen, wenn ganzzahlige Vielfache der Blockgröße b verloren gehen. Geht eine andere Anzahl von Bits verloren, ist eine explizite Neusynchronisation erforderlich.
Nachteil: identische Klartextblöcke werden zu identischem Chiffretext verschlüsselt!

Cipher Block Chaining Modus (Cipher Block Chaining Mode: CBC)

Vor der Verschlüsselung eines Klartextblocks pi wird dieser mit dem vorangegangenen Chiffretextblock C_{i-1} XOR-verknüpft ()
- C_i = E(K, C_{i-1} \oplus p_i)
- P_{i'} = C_{i-1} \oplus D(K, C_i)
- Um C_1 zu berechnen, einigen sich beide Parteien auf einen Anfangswert (IV) für C_0
Eigenschaften
- Fehlerfortpflanzung: Ein verfälschter Chiffretextblock führt zu zwei verfälschten Klartextblöcken, da P_i' mit C_{i-1} und C_i berechnet wird
- Synchronisation: Wenn die Anzahl der verlorenen Bits ein ganzzahliges Vielfaches von b ist, wird ein zusätzlicher Block P_{i+1} verzerrt, bevor die Synchronisation wiederhergestellt wird. Wenn eine andere Anzahl von Bits verloren geht, ist eine explizite Neusynchronisation erforderlich.
- Vorteil: identische Klartextblöcke werden zu nicht-identischem Chiffretext verschlüsselt.

Chiffretext-Feedback-Modus (Ciphertext Feedback Mode: CFB)

Ein Blockverschlüsselungsalgorithmus, der mit Blöcken der Größe b arbeitet, kann in einen Algorithmus umgewandelt werden, der mit Blöcken der Größe j (j<b) arbeitet.
- S(j, x) bezeichnen die j höherwertigen Bits von x
- P_i, C_i den $i$-ten Block von Klartext und Geheimtext der Länge j bezeichnen
- IV ist ein Anfangswert, auf den sich beide Parteien geeinigt haben
- R_1 = IV
- R_n = (R_{n-1}*2^j\ mod\ 2^b)\oplus C_{n-1}
- C_n = S(j,E_K(R_n))\oplus P_n
- S(j,E_K(R_n))\oplus C_n = S(j,E_K(R_n))\oplus S(j,E_K(R_n))\oplus P_n
- S(j,E_K(R_n))\oplus C_n = P_n
Ein gängiger Wert für j ist 8 für die Verschlüsselung von einem Zeichen pro Schritt
Eigenschaften von CFB
- Fehlerfortpflanzung: Da die Chiffretextblöcke schrittweise durch das Register geschoben werden, verfälscht ein fehlerhafter Block C_i den wiederhergestellten Klartextblock P_i' sowie die folgenden $\lceil b / j\rceil$-Blöcke
- Synchronisation: Wenn die Anzahl der verlorenen Bits ein ganzzahliges Vielfaches von j ist, werden \lceil b / j\rceil zusätzliche Blöcke verfälscht, bevor die Synchronisation wiederhergestellt ist. Wenn eine beliebige andere Anzahl von Bits verloren geht, ist eine explizite Neusynchronisierung erforderlich.
- Nachteil: Die Verschlüsselungsfunktion E muss häufiger berechnet werden, da eine Verschlüsselung von b Bit durchgeführt werden muss, um j Bit des Klartextes zu verbergen. Beispiel: Bei Verwendung von DES mit Verschlüsselung von jeweils einem Zeichen \Rightarrow muss die Verschlüsselung 8-mal häufiger durchgeführt werden

Output-Feedback-Modus (OFB)

Der Blockverschlüsselungsalgorithmus wird zur Erzeugung einer Pseudozufallsfolge R_i verwendet, die nur von K und IV abhängt.
- S(j, x) bezeichnen die j höherwertigen Bits von x
- P_i, C_i bezeichnen den $i$-ten Block von Klartext und Chiffretext der Länge j
- IV sei ein Anfangswert, auf den sich beide Parteien geeinigt haben
- R_1 = IV
- R_n = (R_{n-1}* 2^j\ mod\ 2^b )\oplus S(j,E_K(R_{n-1})) // j-bit Linksverschiebung + verschlüsselter alter Wert
- C_n = S(j,E_K(R_n))\oplus P_n
- S(j,E_K(R_n))\oplus C_n = S(j,E_K(R_n))\oplus S(j,E_K(R_n))\oplus P_n
- S(j,E_K(R_n))\oplus C_n = P_n
Der Klartext wird mit der Pseudo-Zufallssequenz XOR-verknüpft, um den Chiffretext zu erhalten und umgekehrt
Eigenschaften von OFB
- Fehlerfortpflanzung: Einzelbitfehler führen nur zu Einzelbitfehlern \rightarrow keine Fehlermultiplikation
- Synchronisierung: Wenn einige Bits verloren gehen, ist eine explizite Re-Synchronisation erforderlich.
- Vorteil: Die Pseudo-Zufallsfolge kann vorberechnet werden, um die Auswirkungen der Verschlüsselung auf die Ende-zu-Ende-Verzögerung gering zu halten
- Nachteile
  - Wie bei CFB muss die Verschlüsselungsfunktion E häufiger berechnet werden, da eine Verschlüsselung von b Bit durchgeführt werden muss, um j Bit des Klartextes zu verbergen
  - Es ist für einen Angreifer möglich, bestimmte Bits des Klartextes zu manipulieren

Algorithmus-Übersicht

Datenverschlüsselungsstandard (DES)
- Alter amerikanischer Standard aus den 70er Jahren
- Unsicher wegen der Schlüssel- und Blocklänge
- Grundlegender Aufbau
- Dreifache Verschlüsselung mit einer Blockchiffre, z.B. Triple-DES
Erweiterter Verschlüsselungsstandard (AES)
- Offener Standardisierungsprozess mit internationaler Beteiligung
- Im Oktober 2000 wurde ein Algorithmus namens Rijndael für AES vorgeschlagen
- Ankündigung des AES-Standards im November 2001
- Siehe auch http://www.nist.gov/aes/
Andere populäre Algorithmen
- RC
- KASUMI

Der Datenverschlüsselungsstandard (DES)

Geschichte

1973 veröffentlichte das National Bureau of Standards (NBS, heute National Institute of Standards and Technology, NIST) eine Aufforderung zur Einreichung von Vorschlägen für einen nationalen Verschlüsselungsstandard und forderte von dem Algorithmus, dass er
- ein hohes Maß an Sicherheit bieten,
- vollständig spezifiziert und leicht zu verstehen sein,
- Sicherheit nur durch seinen Schlüssel und nicht durch seine eigene Geheimhaltung bieten,
- für alle Benutzer verfügbar sein,
- für den Einsatz in verschiedenen Anwendungen anpassbar sein,
- wirtschaftlich in elektronischen Geräten implementierbar sein,
- effizient in der Anwendung sein,
- validiert werden können und
- exportierbar sein.
Keine der Einreichungen auf diese erste Aufforderung erfüllte diese Kriterien auch nur annähernd.
Auf eine zweite Aufforderung hin reichte IBM seinen Algorithmus LUCIFER ein, eine symmetrische Blockchiffre, die mit Blöcken der Länge 128 Bit unter Verwendung von Schlüsseln der Länge 128 Bit arbeitet; dies war der einzige vielversprechende Kandidat.
Die NBS bat die National Security Agency (NSA) um Hilfe bei der Bewertung der Sicherheit des Algorithmus
- Die NSA reduzierte die Blockgröße auf 64 Bit, die Größe des Schlüssels auf 56 Bit und änderte Details in den Substitutionsfeldern des Algorithmus.
- Viele der Gründe der NSA für diese Änderungen wurden erst in den frühen 1990er Jahren deutlich, lösten aber in den späten 1970er Jahren große Besorgnis aus.
Trotz aller Kritik wurde der Algorithmus 1977 als ,,Data Encryption Standard'' in die Reihe der Federal Information Processing Standards (FIPS PUB 46) aufgenommen und für die Verwendung in der gesamten nicht klassifizierten Regierungskommunikation zugelassen.
DES hat sich in den folgenden Jahren weithin durchgesetzt

DES - Einzelne Iteration

Die rechten 32 Bit der zu verschlüsselnden Daten werden mit Hilfe einer Expansions-/Permutationstabelle auf 48 Bit erweitert.
Sowohl die linken als auch die rechten 28 Bit des Schlüssels (auch Subkeys genannt) werden zirkulär nach links verschoben und der resultierende Wert wird mit Hilfe einer Permutations-/Kontraktionstabelle auf 48 Bit verkürzt.
Die beiden oben genannten Werte werden XOR-verknüpft und in eine Auswahl- und Ersetzungsbox eingegeben
- Intern wird diese Operation durch 8 so genannte s-Boxen realisiert, von denen jede einen Sechs-Bit-Wert auf einen Vier-Bit-Wert gemäß einer boxspezifischen Tabelle abbildet, was insgesamt zu einem 32-Bit-Ausgang führt
- Das Design dieser s-boxes wurde von der NSA verstärkt, was in den 1970er Jahren zu intensiven Diskussionen führte und in den 1990er Jahren nach der Entdeckung der differentiellen Kryptoanalyse verstanden wurde
Der Ausgang des obigen Schritts wird erneut permutiert und mit den linken 32 Bit der Daten XOR-verknüpft, was zu den neuen rechten 32 Bit der Daten führt
Die neuen linken 32 Bit der Daten sind der rechte Wert der vorherigen Iteration

DES - Entschlüsselung

Unter Verwendung der Abkürzung f(R, K) kann der Verschlüsselungsprozess wie folgt geschrieben werden
- L_i = R_{i-1}
- R_i = L_{i-1}\oplus f(R_{i-1}, K_i)
- Dieses Konzept (Aufteilung der Daten in zwei Hälften und Organisation der Verschlüsselung gemäß den obigen Gleichungen) wird in vielen Blockchiffren verwendet und wird als Feistel-Netzwerk bezeichnet (nach seinem Erfinder H. Feistel)
Der DES-Entschlüsselungsprozess ist im Wesentlichen derselbe wie die Verschlüsselung. Er verwendet den Chiffretext als Eingabe für den Verschlüsselungsalgorithmus, wendet aber die Unterschlüssel in umgekehrter Reihenfolge an
Die Ausgangswerte sind also
- L_0' || R_0' = InitialPermutation (Chiffretext)
- chiffretext = InverseInitialPermutation (R_{16} || L_{16})
- L_0' || R_0' = InitialPermutation (InverseInitialPermutation (R_{16}||L_{16}))=R_{16}||L_{16}
Nach einem Schritt der Entschlüsselung
- L_1' = R_0' = L_{16} = R_{15}
- R_1' = L_0' \oplus f(R_0', K_{16})=R_{16}\oplus f(R_{15},K_{16})=[L_{15}\oplus f(R_{15},K_{16})]\oplus f(R_{15},K_{16}) =L_{15}
Diese Beziehung gilt für den gesamten Prozess als
- R_{i-1} = L_i
- L_{i-1} = R_i\oplus f(R_{i-1}, K_i) = R_i\oplus f(L_i, K_i)
Der Ausgang der letzten Runde ist schließlich
- L_{16}' || R_{16}' = R_0 || L_0
Nach der letzten Runde führt DES einen 32-Bit-Tausch und die inverse Anfangspermutation durch
- InverseInitialPermutation(L_0||R_0) = InverseInitialPermutation(InitialPermutation(Klartext)) = Klartext

DES - Sicherheit

Schwächen der Schlüssel
- Schwache Schlüssel: Vier Schlüssel sind schwach, da sie Unterschlüssel erzeugen, die entweder alle 0 oder alle 1 enthalten.
- Halbschwache Schlüssel: Es gibt sechs Schlüsselpaare, die Klartext zu identischem Chiffriertext verschlüsseln, da sie nur zwei verschiedene Unterschlüssel erzeugen
- Möglicherweise schwache Schlüssel: Es gibt 48 Schlüssel, die nur vier verschiedene Unterschlüssel erzeugen
- Insgesamt werden 64 Schlüssel von 72057594037927936 als schwach angesehen
Algebraische Struktur
- Wäre DES geschlossen, dann gäbe es für jedes K_1,K_2 ein K_3, so dass: E(K_2,E(K_1,M))=E(K_3,M), also wäre die doppelte Verschlüsselung nutzlos
- Wäre DES rein, dann gäbe es für jedes K_1,K_2,K_3 ein K_4, so dass E(K_3,E(K_2,E(K_1,M)))=E(K_4,M), also wäre die dreifache Verschlüsselung nutzlos
- DES ist weder geschlossen noch rein, daher kann ein Mehrfachverschlüsselungsschema verwendet werden, um die Schlüssellänge zu erhöhen
Differentielle Kryptoanalyse
- Im Jahr 1990 veröffentlichten E. Biham und A. Shamir diese Analysemethode
- Sie sucht gezielt nach Unterschieden in Chiffretexten, deren Klartexte bestimmte Unterschiede aufweisen, und versucht, daraus den richtigen Schlüssel zu erraten
- Der grundlegende Ansatz benötigt einen ausgewählten Klartext zusammen mit seinem Chiffretext
- DES mit 16 Runden ist gegen diesen Angriff immun, da der Angriff 2^{47} gewählte Klartexte oder (bei "Umwandlung" in einen Angriff mit bekannten Klartexten) 2^55 bekannte Klartexte benötigt.
- Die Entwickler von DES erklärten in den 1990er Jahren, dass sie in den 1970er Jahren über diese Art von Angriffen Bescheid wussten und dass die s-Boxen entsprechend entworfen wurden
Schlüssellänge
- Da ein 56-Bit-Schlüssel in 10,01 Stunden durchsucht werden kann, wenn man 10^6 Verschlüsselungen / \mu s durchführen kann (was heute möglich ist), kann DES nicht mehr als ausreichend sicher angesehen werden.

Erweiterung der Schlüssellänge von DES durch Mehrfachverschlüsselung

Doppelter DES: Da DES nicht geschlossen ist, führt die doppelte Verschlüsselung zu einer Chiffre, die 112-Bit-Schlüssel verwendet
- Leider kann sie mit einem Aufwand von 2^{56} angegriffen werden.
- Da C=E(K_2,E(K_1,P)) haben wir X:=E(K_1,P)=D(K_2,C)
- Wenn ein Angreifer ein bekanntes Klartext/Chiffretext-Paar erhalten kann, kann er zwei Tabellen erstellen (meet-in-the-middle-attack)
  - Tabelle 1 enthält die Werte von X, wenn P mit allen möglichen Werten von K verschlüsselt ist
  - Tabelle 2 enthält die Werte von X, wenn C mit allen möglichen Werten von K entschlüsselt wird
  - Sortiere die beiden Tabellen und konstruiere Schlüssel K_{T1}||K_{T2} für alle Kombinationen von Einträgen, die den gleichen Wert ergeben.
Da es für jeden beliebigen Klartext 2^64 mögliche Chiffretext-Werte gibt, die mit Double-DES erzeugt werden könnten, gibt es beim ersten bekannten Klartext/Chiffretext-Paar durchschnittlich 2^{112}/2^{64}=2^{48} Fehlalarme.
Jedes weitere Klartext/Chiffretext-Paar verringert die Chance, einen falschen Schlüssel zu erhalten, um den Faktor 1/2^{64}, so dass bei zwei bekannten Blöcken die Chance 2^{-16} beträgt.
Der Aufwand, der erforderlich ist, um Double DES zu knacken, liegt also in der Größenordnung von 2^{56}, was nur geringfügig besser ist als der Aufwand von 2^{55}, der erforderlich ist, um Single DES mit einem Angriff mit bekanntem Klartext zu knacken, und weit entfernt von den 2^{111}, die wir von einer Chiffre mit einer Schlüssellänge von 112 Bit erwarten würden!
Diese Art von Angriff kann durch die Verwendung eines dreifachen Verschlüsselungsschemas umgangen werden, wie es 1979 von W. Tuchman vorgeschlagen wurde
- C=E(K_3,D(K_2,E(K_1,P)))
- Die Verwendung der Entschlüsselungsfunktion D in der Mitte ermöglicht die Verwendung von Dreifachverschlüsselungsgeräten mit Gegenstellen, die nur Einfachverschlüsselungsgeräte besitzen, indem K_1=K_2=K_3 gesetzt wird.
- Dreifachverschlüsselung kann mit zwei (Einstellung K_1=K_3) oder drei verschiedenen Schlüsseln verwendet werden
- Bislang sind keine praktischen Angriffe gegen dieses Verfahren bekannt
- Nachteil: die Leistung beträgt nur 1/3 der einfachen Verschlüsselung, so dass es besser sein könnte, gleich eine andere Chiffre zu verwenden, die eine größere Schlüssellänge bietet

Der fortgeschrittene Verschlüsselungsstandard AES

Jan. 1997: Das National Institute of Standards and Technology (NIST) der USA kündigt die Entwicklung des AES an.
- Das übergeordnete Ziel ist die Entwicklung eines Federal Information Processing Standard (FIPS), der einen Verschlüsselungsalgorithmus spezifiziert, der in der Lage ist, sensible Regierungsinformationen bis weit ins nächste Jahrhundert hinein zu schützen.
Sep. 1997: Offizieller Aufruf zur Einreichung von Algorithmen, offen für jeden auf der Welt
- AES würde einen nicht klassifizierten, öffentlich zugänglichen Verschlüsselungsalgorithmus bzw. -algorithmen spezifizieren, der weltweit lizenzgebührenfrei erhältlich ist.
Aug. 1998: Erste AES-Kandidatenkonferenz
- NIST gibt die Auswahl von 15 Kandidatenalgorithmen bekannt
- Aufforderung zu öffentlichen Kommentaren
April 1999:
- Anhand der eingegangenen Analysen und Kommentare wählt das NIST fünf Algorithmen als Kandidaten für die Endauswahl aus: MARS, RC6, Rijndael, Serpent und Twofish
Oktober 2000: Rijndael wird als Vorschlag des NIST für AES bekannt gegeben
- 1. November 2001: offizielle Ankündigung des AES-Standards
Rundenbasierte symmetrische Chiffre
Keine Feistel-Struktur (unterschiedliche Verschlüsselungs- und Entschlüsselungsfunktionen)
Schlüssel- und Blocklängen
- Schlüssellänge: 128, 192, oder 256 Bit
- Blocklänge: 128, 192 oder 256 Bit (nur 128-Bit-Version standardisiert)
- Anzahl der Runden: 10, 12, 14

Standardisierte AES-Konfigurationen

Schlüsselgröße [bit]	Blocklänge [bit]	# Runden
128	128	10
192	128	12
256	128	14

Der Algorithmus arbeitet mit
- state[4, 4]: ein Byte-Array mit 4 Zeilen und 4 Spalten (für 128-Bit-Blockgröße)
- key[4, 4]: ein Array mit 4 Zeilen und 4 Spalten (für 128-Bit-Schlüsselgröße)
Verschlüsselung: (für eine Block- und Schlüsselgröße von 128 Bit) in den Runden 1-9 werden vier verschiedene Operationen verwendet
- ByteSub: eine nicht-lineare Byte-Substitution durch eine feste Tabelle (im Grunde eine s-Box)
- ShiftRow: die Zeilen des Zustands werden zyklisch um verschiedene Offsets verschoben
- MixColumn: die Spalten von state[] werden als Polynome über GF(2^8) betrachtet und modulo x^4+1 mit einer festen Matrix multipliziert: \begin{pmatrix} 02&03&01&01\\01&02&03&01\\\ 01&01&02&03\\\ 03&01&01&02\end{pmatrix}
- RoundKey: ein Round-Key wird mit dem Status XORiert
Round 10 macht keinen Gebrauch von der Operation MixColumn

Entschlüsselung
- Rundenschlüssel und Operationen werden in umgekehrter Reihenfolge angewendet
- Der MixColumn-Schritt kann nur durch Multiplikation mit der inversen Matrix (auch über GF(2^8)) invertiert werden
- \begin{pmatrix} 0e&0b&0d&09\\ 09&0e&0b&0d\\ 0d&09&0e&0b\\ 0b&0d&09&0e \end{pmatrix}
- Oft werden tabellarische vorberechnete Lösungen verwendet, die aber mehr Platz benötigen

AES - Sicherheit

Die einfache mathematische Struktur von AES ist der Hauptgrund für seine Geschwindigkeit, führte aber auch zu Kritik
Nur die ByteSub-Funktion ist wirklich nichtlinear und verhindert eine effektive Analyse
AES kann als eine große Matrix-Operation beschrieben werden
Bereits während der Standardisierung wurden Angriffe für reduzierte Versionen entwickelt
- Ein Angriff mit 2^{32} gewähltem Klartext gegen eine 7-Runden-Version von AES [GM00]
- Signifikante Reduktion der Komplexität auch für eine 9-Runden-Version von AES mit 256-Schlüsselgröße mit einem zugehörigen Schlüsselangriff
2011 wurde der erste Angriff gegen einen vollständigen AES bekannt [BKR11]
- Schlüsselwiederherstellung in 2^{126.1} für AES mit 128 Bit, 2^{189.7} für AES mit 192 Bit, 2^{254.4} für AES mit 256 Bit
- "Praktischer" Angriff (geht nicht von verwandten Schlüsseln aus), aber
- nur ein kleiner Kratzer in Anbetracht von 10 Jahren kryptographischer Forschung

Der Stromchiffre-Algorithmus RC4

RC4 ist eine Stromchiffre, die 1987 von Ron Rivest erfunden wurde.
Sie war bis 1994 urheberrechtlich geschützt, als jemand sie anonym in eine Mailingliste einstellte.
RC4 wird im Output-Feedback-Modus (OFB) betrieben
- Der Verschlüsselungsalgorithmus erzeugt eine Pseudozufallsfolge RC4(IV,K), die nur vom Schlüssel K und einem Initialisierungsvektor IV abhängt
- Der Klartext P_i wird dann mit der Pseudozufallssequenz XOR-verknüpft, um den Chiffretext zu erhalten und umgekehrt
  - C_1 = P_1\oplus RC4 (IV_1,K)
  - P_1 = C_1\oplus RC4 (IV_1,K)
- Die Pseudo-Zufallsfolge wird oft auch als Keystream bezeichnet
- Entscheidend für die Sicherheit ist, dass der Keystream niemals wiederverwendet wird!!!
  - Wenn der Keystream wiederverwendet wird (d.h. IV_1=IV_2 mit demselben K), dann kann das XOR zweier Klartexte erhalten werden: C_1\oplus C_2= P_1\oplus RC4(IV, K)\oplus P_2\oplus RC4(IV,K) = P_1\oplus P_2
RC4 verwendet einen Schlüssel variabler Länge bis zu 2048 Bit
- Eigentlich dient der Schlüssel als Seed für einen Pseudo-Zufallsgenerator

RC4 arbeitet mit zwei 256-Byte-Arrays: S[0,255], K[0,255]

Schritt 1: Initialisierung der Arrays

for (i = 0; i < 256; i++){
    S[i] = i; // Array S[] mit 0 bis 255 füllen
}
// Füllen des Arrays K[] mit dem Schlüssel und IV durch Wiederholung, bis K[] gefüllt ist
n = 0;
for (i =0; i < 256; i++) {
    n = (n + S[i] + K[i]) MOD 256; swap(S[i], S[n]); 
}

Schritt 2: Erzeugen des Schlüsselstroms (nach Initialisierung i = 0; n = 0;)

i = (i + 1) MOD 256; n = (n + S[i]) MOD 256;
swap(S[i], S[n]);
t = (S[i] + S[n]) MOD 256;
Z = S[t]; // Z enthält 8 Bit des durch eine Iteration erzeugten Schlüsselstroms

Schritt 3: XOR-Verknüpfung des Schlüsselstroms mit dem Klartext oder Chiffretext

Sicherheit von RC4
- Sicherheit gegen Brute-Force-Angriffe (Ausprobieren aller möglichen Schlüssel)
  - Die variable Schlüssellänge von bis zu 2048 Bit erlaubt es, sie unpraktisch zu machen (zumindest mit den in unserem Universum verfügbaren Ressourcen)
  - Allerdings kann RC4 durch Verringerung der Schlüssellänge auch beliebig unsicher gemacht werden!
- RSA Data Security, Inc. behauptet, RC4 sei immun gegen differentielle und lineare Kryptoanalyse, und es seien keine kleinen Zyklen bekannt
RC4 mit 40-Bit-Schlüsseln hatte einen besonderen Exportstatus, selbst als andere Chiffren nicht aus den USA exportiert werden durften
- Secure Socket Layer (SSL) verwendet RC4 mit 40-Bit-Schlüsseln als Standardalgorithmus
- Die Schlüssellänge von 40 Bit ist nicht immun gegen Brute-Force-Angriffe.
Je nach Schlüsselplanungsmethode kann RC4 jedoch stark verwundbar sein! [FMS01a, Riv01a, SIR01a]
Es wird empfohlen, mindestens die ersten 3072 Bytes des Schlüsselstroms zu verwerfen [Mir02, Kle08]
Sollte eigentlich nicht mehr verwendet werden, auch nicht bei längeren Schlüsseln

KASUMI

Verwendet zur Verschlüsselung von Anrufen in GSM und UMTS, implementiert f(8) und f(9) (auch A5/3, UEA1, UIA1 genannt)
Ursprünglich standardisiert durch 3GPP im Jahr 2000 [ETS12] und basierend auf MISTY1 von Mitsubishi
Entwickelt für Hardware-Implementierung
- Schnelle Implementierung möglich
- <10k Gatter
64-Bit-Blockgröße
128-Bit-Schlüssellänge
8 Runden Feistel-Netzwerk
Sicherheitsspanne nicht sehr groß

Die linken 32 Bit der zu verschlüsselnden Daten werden durch zwei nichtlineare Funktionen FO und FL verändert, die beide Schlüsselmaterial verwenden
Die Reihenfolge, in der FO und FL angewendet werden, hängt von der Rundenzahl ab
FL teilt die Daten in 16-Bit-Wörter auf, die mit Schlüsselmaterial kombiniert, permutiert und mit den Originalwerten XOR-verknüpft werden
FO ist ein 3-Runden-Feistel-Netzwerk mit einer Modifizierungsfunktion FI, die selbst ein Feistel-ähnliches Netzwerk ist, das zwei s-Boxen verwendet.
Der Ausgang des obigen Schritts wird mit den rechten 32 Bit der Daten XOR-verknüpft, was zu den neuen rechten 32 Bit der Daten führt
Das neue linke 32-Bit der Daten ist der rechte Wert der vorherigen Iteration

KASUMI - Sicherheitsdiskussion

Eine reduzierte Version von KASUMI (6 Runden) kann durch sogenannte unmögliche differentielle Kryptoanalyse angegriffen werden, bei der unmögliche Zustände der Chiffre aus Chiffretext/Klartext-Paaren abgeleitet werden
- Erste Veröffentlichung bereits ein Jahr nach der Standardisierung
- Zeitkomplexität von 2^{100} [Kue01]
Für eine Vollversion von KASUMI sind verwandte Schlüsselangriffe möglich
- Ausgewählter Klartextangriff, bei dem der Angreifer dieselben Daten mit mehreren "verwandten" Schlüsseln verschlüsseln kann
- Zeitkomplexität von 2^{76.1} [BDN05] und 2^{32} im besten Fall [DKS10]
- Allerdings sind die Bedingungen, unter denen Angreifer Zugang zu verwandten Schlüsseln in 3G-Netzen haben, sehr selten
- Interessanterweise ist MISTY von diesen Angriffen nicht betroffen!
ETSI hat jedoch SNOW 3G (UEA2 und UIA2) [ETS06] eingeführt, um auf eine vollständige Verletzung von KASUMI vorbereitet zu sein
- Stromchiffre basierend auf LFSR, kann in 7.500 ASIC-Gattern implementiert werden
- Aber auch anfällig für verwandte Schlüsselangriffe [KY11].

Asymmetrische Kryptographie

,,However, prior exposure to discrete mathematics will help the reader to appreciate the concepts presented here.'' E. Amoroso in another context [Amo94]

General idea:
- Use two different keys -K and +K for encryption and decryption
- Given a random ciphertext c=E(+K, m) and +K it should be infeasible to compute m = D(-K, c) = D(-K, E(+K, m))
  - This implies that it should be infeasible to compute -K when given +K
- The key -K is only known to one entity A and is called A’s private key -K_A
- The key +K can be publicly announced and is called A’s public key +K_A
Applications:
- Encryption:
  - If B encrypts a message with A’s public key +K_A, he can be sure that only A can decrypt it using -K_A
- Signing:
  - If A encrypts a message with his own private key -K_A, everyone can verify this signature by decrypting it with A’s public key +K_A
- Attention: It is crucial, that everyone can verify that he really knows A’s public key and not the key of an adversary!
Design of asymmetric cryptosystems:
- Difficulty: Find an algorithm and a method to construct two keys -K, +K such that it is not possible to decipher E(+K, m) with the knowledge of +K
- Constraints:
  - The key length should be ,,manageable''
  - Encrypted messages should not be arbitrarily longer than unencrypted messages (we would tolerate a small constant factor)
  - Encryption and decryption should not consume too much resources (time, memory)
- Basic idea: Take a problem in the area of mathematics / computer science, that is hard to solve when knowing only +K, but easy to solve when knowing -K
  - Knapsack problems: basis of first working algorithms, which were unfortunately almost all proven to be insecure
  - Factorization problem: basis of the RSA algorithm
  - Discrete logarithm problem: basis of Diffie-Hellman and ElGamal

Some Mathematical Background

Let \mathbb{Z} be the number of integers, and a,b,n\in\mathbb{Z}
We say a divides b(,,a|b'') if there exists an integer k\in\mathbb{Z} such that a\times k=b
We say a is prime if it is positive and the only divisors of a are 1 and a
We say r is the remainder of a divided by n if r=a-\lfloor a / n \rfloor\times n where \lfloor x\rfloor denotes the largest integer less than or equal to x
- Example: 4 is the remainder of 11 divided by 7 as 4=11-\lfloor 11/7\rfloor\times 7
- We can write this in another way: a=q\times n + r with q=\lfloor a/n\rfloor
For the remainder r of the division of a by n we write a\ MOD\ n
We say b is congruent a\ mod\ n if it has the same remainder like a when divided by n. So, n divides (a-b), and we write b\equiv a\ mod\ n
- Examples: 4\equiv 11\ mod\ 7, 25\equiv 11\ mod\ 7, 11\equiv 25\ mod\ 7, 11\equiv 4\ mod\ 7, -10\equiv 4\ mod\ 7
As the remainder r of division by n is always smaller than n , we sometimes represent the set \{x\ MOD\ n | x\in\mathbb{Z}\} by elements of the set \mathbb{Z}_n=\{0, 1, ..., n-1\}

Property	Expression
Commutative Laws	`(a + b)\ MOD\ n = (b + a)\ MOD\ n`
`(a \times b)\ MOD\ n = (b \times a)\ MOD\ n`
Associative Laws	`[(a + b) + c]\ MOD\ n = [a + (b + c)]\ MOD\ n`
`[(a \times b) \times c]\ MOD\ n = [a \times (b \times c)]\ MOD\ n`
Distributive Law	`[a \times (b + c)]\ MOD\ n = [(a \times b) + (a \times c)]\ MOD\ n`
Identities	`(0 + a)\ MOD\ n = a\ MOD\ n`
`(1 \times a)\ MOD\ n = a\ MOD\ n`
Inverses	`\forall a \in \mathbb{Z}n: \exists (-a) \in \mathbb{Z}n : a + (-a) \equiv 0\ mod\ n`
`p is prime \Rightarrow \forall a \in \mathbb{Z}p: \exists (a-1) \in \mathbb{Z}p: a \times (a-1) \equiv 1\ mod\ p`

Greatest common divisor

c = gcd(a, b) :\Leftrightarrow ( c | a) \wedge ( c | b) \wedge [\forall d: ( d | a ) \wedge ( d | b) \Rightarrow ( d | c )] and gcd(a, 0 ) : = | a |
The gcd recursion theorem :
- \forall a, b \in \mathbb{Z}^+: gcd(a, b) = gcd(b, a\ MOD\ b)
- Proof:
  - As gcd(a, b) divides both a and b it also divides any linear combination of them, especially (a- \lfloor a / b \rfloor \times b) = a\ MOD\ b, so gcd(a, b) | gcd(b, a\ MOD\ b)
  - As gcd(b, a\ MOD\ b) divides both b and a\ MOD\ b it also divides any linear combination of them, especially \lfloor a / b \rfloor \times b + (a\ MOD\ b) = a, so gcd(b, a\ MOD\ b) | gcd(a, b)

Euclidean Algorithm:

The algorithm Euclid given a, b computes gcd(a, b)

int Euclid(int a, b){
  if (b = 0) { return(a); }
  {return(Euclid(b, a\ MOD\ b);} 
}

Extended Euclidean Algorithm:
- The algorithm ExtendedEuclid given a, b computes d, m, n such that: d = gcd(a, b) = m \times a + n \times b
```
struct{int d, m, n} ExtendedEuclid(int a, b)
{ int d, d’, m, m’, n, n’;
  if (b = 0) {return(a, 1, 0); }
  (d’, m’, n’) = ExtendedEuclid(b, a MOD b);
  (d, m, n) = (d’, n’, m’ - \lfloor a / b \rfloor \times n’);
  return(d, m, n); }
```
- Proof: (by induction)
  - Basic case (a,0): gcd(a, 0) = a = 1 \times a + 0 \times 0
  - Induction from (b, a\ MOD\ b) to (a, b):
    - ExtendedEuclid computes d’, m’, n’ correctly (induction hypothesis)
    - d=d’=m’\times b+n’\times (a\ MOD\ b)=m’\times b+n’\times(a-\lfloor a/b\rfloor\times b)=n’\times a+(m’-\lfloor a/b\rfloor\times n’)\times b
- The run time of Euclid(a, b) and ExtendedEuclid(a, b) is of O(log\ b)
  - Proof: see [Cor90a], section 33.
- Lemma 1: Let a,b\in\mathbb{N} and d=gcd(a,b). Then there exists m,n\in\mathbb{N} such that: d=m\times a+n \times b
Theorem 1 (Euclid): If a prime divides the product of two integers, then it divides at least one of the integers: p|(a\times b)\Rightarrow (p|a) \vee (p|b)
- Proof: Let p|(a\times b)
  - If p|a then we are done.
  - If not then gcd(p,a) = 1 \Rightarrow\exists m, n\in\mathbb{N}:1=m\times p+n\times a \Leftrightarrow b=m\times p \times b + n \times a \times b
  - As p|(a\times b), p divides both summands of the equation and so it divides also the sum which is b
Theorem 2 (fundamental theorem of arithmetic): Factorization into primes is unique up to order.
- Proof:
  - We will show that every integer with a non-unique factorization has a proper divisor with a non-unique factorization which leads to a clear contradiction when we finally have reduced to a prime number.
  - Let’s assume that n is an integer with a non-unique factorization: n=p_1\times p_2\times ...\times p_r=q_1 \times q_2\times ... \times q_s. The primes are not necessarily distinct, but the second factorization is not simply a reordering of the first one. As p_1 divides n it also divides the product q_1\times q_2\times ... \times q_s. By repeated application of Theorem 1 we show that there is at least one q_i which is divisible by p_1. If necessary reorder the $q_i$’s so that it is q_1. As both p_1 and q_1 are prime they have to be equal. So we can divide by p_1 and we have that n/p_1 has a non-unique factorization.
- We will use Theorem 2 to prove the following Corollary 1
  - If gcd(c,m)=1 and (a\times c)\equiv(b\times c)mod\ m, then a\equiv b\ mod\ m
  - Proof: As (a\times c)\equiv(b\times c)mod\ m\Rightarrow\exists n\in\mathbb{N}:(a\times c)-(b\times c)=n\times m
  - \Leftrightarrow ( a - b ) \times c = n \times m
  - \Leftrightarrow p_1\times ...\times p_i\times q_1\times ...\times q_j=r_1\times ...\times r_k\times s_1\times ...\times s_l
  - Please note that the $p$’s, $q$’s, $r$’s and $s$’s are prime and do not need to be distinct, but as gcd(c,m)=1, there are no indices g, h such that q_g = s_h.
  - So we can continuously divide the equation by all q’s without ever ,,eliminating'' one s and will finally end up with something like \Leftrightarrow p_1\times ...\times p_i=r_1\times ...\times r_o\times s_1\times ...\times s_l (note that there will be fewer r’s)
  - \Leftrightarrow(a-b)=r_1\times ...\times r_o\times m\Rightarrow a \equiv b\ mod\ m
- Let \phi(n) denote the number of positive integers less than n and relatively prime to n
  - Examples: \phi(4) = 2, \phi(6)=2$, \phi(7)=6, \phi(15)=8
  - If p is prime \Rightarrow\phi(p)=p-1
Theorem 3 (Euler): Let n and b be positive and relatively prime integers, i.e. gcd(n, b) = 1 \Rightarrow b \phi(n) \equiv 1\ mod\ n
- Proof:
  - Let t=\phi(n) and a_1,...a_t be the positive integers less than n which are relatively prime to n. Define r_1,...,r_t to be the residues of b\times a_1\ mod\ n , ..., b\times a_t\ mod\ n that is to say: b\times a_i \equiv r_i\ mod\ n.
  - Note that i\not= j \Rightarrow r_i\not= r_j. If this would not hold, we would have b\times a_i\equiv b\times a_j\ mod\ n and as gcd(b,n)=1, Corollary 1 would imply a_i\equiv a_j\ mod\ n which can not be as a_i and a_j are by definition distinct integers between 0 and n
  - We also know that each r_i is relatively prime to n because any common divisor k of r_i and n , i.e. n=k\times m and r_i=p_i\times k, would also have to divide a_i,
  - as b\times a_i\equiv (p_i\times k)\ mod\ (k\times m)\Rightarrow\exists s\in\mathbb{N}:(b\times a_i)-(p_i\times k)=s\times k\times m \Leftrightarrow (b\times a_i)=s\times k\times m+(p_i\times k)
  - Because k divides each of the summands on the right-hand side and k does not divide b by assumption (n and b are relatively prime), it would also have to divide a_i which is supposed to be relatively prime to n
  - Thus r_1, ...,r_t is a set of \phi(n) distinct integers which are relatively prime to n. This means that they are exactly the same as a_1,...a_t, except that they are in a different order. In particular, we know that r_1\times...\times r_t=a_1\times...\times a_t
  - We now use the congruence $r_1\times...\times r_t\equiv b\times a_1\times...\times b\times a_t\ mod\ n$ $\Leftrightarrow r_1\times...\times r_t\equiv b_t\times a_1\times...\times a_t\ mod\ n$ \Leftrightarrow r_1\times...\times r_t\equiv b_t\times r_1\times...\times r_t\ mod\ n
  - As all r_i are relatively prime to n we can use Corollary 1 and divide by their product giving: 1\equiv b_t\ mod\ n \Leftrightarrow 1\equiv b\phi(n)\ mod n
Theorem 4 (Chinese Remainder Theorem):
- Let m_1,...,m_r be positive integers that are pairwise relatively prime,
- i.e. \forall i\not= j:gcd(m_i, m_j) = 1. Let a_1,...,a_r be arbitrary integers.
- Then there exists an integer a such that:
  - a\equiv a_1\ mod\ m_1
  - a\equiv a_2\ mod\ m_2
  - ...
  - a\equiv a_r\ mod\ m_r
- Furthermore, a is unique modulo M := m_1\times...\times m_r
- Proof:
  - For all i\in\{1,...,r\} we define M_i:=(M/m_i)\phi(m_i)
  - As M_i is by definition relatively prime to m_i we can apply Theorem 3 and know that M_i\equiv 1\ mod\ m_i
  - Since M_i is divisible by m_j for every j\not= i, we have \forall j\not= i:M_i\equiv 0\ mod\ m_j
  - We can now construct the solution by defining: a:= a_1\times M_1+a_2\times M_2+...+a_r\times M_r
  - The two arguments given above concerning the congruences of the M_i imply that a actually satisfies all of the congruences.
  - To see that a is unique modulo M, let b be any other integer satisfying the r congruences. As a\equiv c\ mod\ n and b\equiv c\ mod\ n \Rightarrow a \equiv b\ mod\ n we have \forall i\in\{1,...,r\}:a\equiv b\ mod\ m_i\Rightarrow\forall i\in\{1,...,r\}:m_i|(a-b) \Rightarrow M|(a-b) as the m_i are pairwise relatively prime \Leftrightarrow a\equiv b\ mod\ M
Lemma 2:
- If gcd(m,n)=1, then \phi(m\times n)=\phi(m)\times\phi(n)
- Proof:
  - Let a be a positive integer less than and relatively prime to m\times n. In other words, a is one of the integers counted by \phi(m\times n).
  - Consider the correspondence a\rightarrow(a\ MOD\ m, a\ MOD\ n). The integer a is relatively prime to m and relatively prime to n (if not it would divide m \times n). So, (a\ MOD\ m) is relatively prime to m and (a\ MOD\ n) is relatively prime to n as: a=\lfloor a/m\rfloor\times m + (a\ MOD\ m), so if there would be a common divisor of m and (a\ MOD\ m), this divisor would also divide a. Thus every number a counted by \phi(m\times n ) corresponds to a pair of two integers (a\ MOD\ m,a\ MOD\ n), the first one counted by \phi(m) and the second one counted by \phi(n).
  - Because of the second part of Theorem 4, the uniqueness of the solution a\ mod\ (m\times n) to the simultaneous congruences: $a \equiv(a\ MOD\ m)\ mod\ m$ $a \equiv(a\ MOD\ n)\ mod\ n$ we can deduce, that distinct integers counted by \phi(m\times n) correspond to distinct pairs:
    - Too see this, suppose that a\not=b counted by \phi(m\times n) does correspond to the same pair (a\ MOD\ m, a\ MOD\ n). This leads to a contradiction as b would also fulfill the congruences: $b\equiv (a\ MOD\ m)\ mod\ m$ $b\equiv (a\ MOD\ n)\ mod\ n$ but the solution to these congruences is unique modulo (m \times n)
    - Therefore, \phi(m\times n) is at most the number of such pairs: \phi(m\times n)\leq \phi(m)\times\phi(n)
  - Consider now a pair of integers (b,c), one counted by \phi(m) and the other one counted by \phi(n): Using the first part of Theorem 4 we can construct a unique positive integer a less than and relatively prime to m\times n: a\equiv b\ mod\ m and a\equiv c\ mod\ n. So, the number of such pairs is at most \phi(m\times n):\phi(m \times n)\leq\phi(m)\times\phi(n)

The RSA Public Key Algorithm

The RSA algorithm was invented in 1977 by R. Rivest, A. Shamir and L. Adleman [RSA78] and is based on Theorem 3.
Let p, q be distinct large primes and n=p\times q. Assume, we have also two integers e and d such that: d\times e \equiv 1\ mod\ \phi(n)
Let M be an integer that represents the message to be encrypted, with M positive, smaller than and relatively prime to n.
- Example: Encode with = 99, A = 10, B = 11, ..., Z = 35. So ,,HELLO'' would be encoded as 1714212124. If necessary, break M into blocks of smaller messages: 17142 12124
To encrypt, compute: E = M^e\ MOD\ n
- This can be done efficiently using the square-and-multiply algorithm
To decrypt, compute: M’=E^d\ MOD\ n
- As d\times e\equiv 1\ mod\ \phi(n)\Rightarrow\exists k\in\mathbb{Z}:(d\times e)-1=k\times\phi(n)\Leftrightarrow(d\times e)=k\times\phi(n)+1
- we have: M’\equiv E^d\equiv M^{e\times d}\equiv M^{k\times\phi(n)+1}\equiv 1^k\times M\equiv M\ mod\ n
As (d\times e)=(e\times d) the operation also works in the opposite direction, that means you can encrypt with d and decrypt with e
- This property allows to use the same keys d and e for:
- Receiving messages that have been encrypted with one’s public key
- Sending messages that have been signed with one’s private key
To set up a key pair for RSA:
- Randomly choose two primes p and q (of 100 to 200 digits each)
- Compute n=p\times q,\phi(n)=(p-1)\times (q-1) (Lemma 2)
- Randomly choose e, so that gcd(e,\phi(n))=1
- With the extended euclidean algorithm compute d and c, such that: e\times d+\phi(n)\times c = 1, note that this implies, that e\times d\equiv 1\ mod\ \phi(n)
- The public key is the pair (e, n)
- The private key is the pair (d, n)
The security of the scheme lies in the difficulty of factoring n=p\times q as it is easy to compute \phi(n) and then d, when p and q are known
This class will not teach why it is difficult to factor large n’s, as this would require to dive deep into mathematics
- If p and q fulfill certain properties, the best known algorithms are exponential in the number of digits of n
- Please be aware that if you choose p and q in an ,,unfortunate'' way, there might be algorithms that can factor more efficiently and your RSA encryption is not at all secure:
  - Therefore, p and q should be about the same bitlength and sufficiently large
  - (p-q) should not be too small
  - If you want to choose a small encryption exponent, e.g. 3, there might be additional constraints, e.g. gcd(p-1, 3) = 1 and gcd(q-1,3)=1
- The security of RSA also depends on the primes generated being truly random (like every key creation method for any algorithm)
- Moral: If you are to implement RSA by yourself, ask a mathematician or better a cryptographer to check your design

Some More Mathematical Background

Definition: finite groups
- A group ( S , \oplus) is a set S together with a binary operation \oplus for which the following properties hold:
  - Closure: For all a, b \in S , we have a \oplus b \in S
  - Identity: There is an element e \in S , such that e \oplus a = a \oplus e = a for all a \in S
  - Associativity: For all a, b, c \in S , we have ( a \oplus b ) \oplus c = a \oplus ( b \oplus c )
  - Inverses: For each a \in S , there exists a unique element b \in S , such that a \oplus b = b \oplus a = e
- If a group ( S , \oplus) satisfies the commutative law \forall a, b \in S : a \oplus b = b \oplus a then it is called an Abelian group
- If a group ( S , \oplus) has only a finite set of elements, i.e. |S| < \infty, then it is called a finite group
Examples:
- (\mathbb{Z}_n , +_n)
  - with \mathbb{Z}_n:=\{[0]_n,[1]_n,...,[n-1]_n\}
  - where [a]_n:=\{b \in \mathbb{Z} | b \equiv a mod n\} and
  - +_n is defined such that [a]_n+_n[b]_n=[a+b]_n
  - is a finite abelian group. For the proof see the table showing the properties of modular arithmetic
- (\mathbb{Z}^*_n , \times_n)
  - with \mathbb{Z}^*_n :=\{[a]_n\in \mathbb{Z}_n | gcd(a,n)=1\}, and
  - \times_n is defined such that [a]_n\times_n [b]_n=[a\times b]_n
  - is a finite Abelian group. Please note that \mathbb{Z}^*_n just contains those elements of \mathbb{Z}_n that have a multiplicative inverse modulo n. For the proof see the properties of modular arithmetic
  - Example: \mathbb{Z}^*_{15}=\{[1]_{15},[2]_{15},[4]_{15},[7]_{15},[8]_{15},[11]_{15},[13]_{15},[14]_{15}\}, as 1\times 1\equiv 1 mod 15, 2 \times 8 \equiv 1 mod 15, 4 \times 4 \equiv 1 mod 15, 7 \times 13 \equiv 1 mod 15, 11 \times 11 \equiv 1 mod 15, 14 \times 14 \equiv 1 mod 15
If it is clear that we are talking about (\mathbb{Z}_n, +_n) or (\mathbb{Z}^*_n, \times_n) we often represent equivalence classes [a]_n by their representative elements a and denote +_n and \times_n by + and \times, respectively.
- Definition: finite fields
  - A field (S,\oplus, \otimes) is a set S together with two operations \oplus, \otimes such that
    - (S,\oplus) and (S\backslash\{e_{\oplus}\},\otimes) are commutative groups, i.e. only the identity element concerning the operation \oplus does not need to have an inverse regarding the operation \otimes
    - For all a,b,c\in S, we have a \otimes(b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus(a\otimes c)
- If |S|<\infty then (S,\oplus,\otimes) is called a finite field
Example: (\mathbb{Z}_p, +_p, \times_p) is a finite field for each prime p
Definition: primitive root, generator
- Let (S,\circ) be a group, g\in S and g^a:=g\circ g\circ...\circ g (a times with a\in\mathbb{Z}^+)
- Then g is called a primitive root or generator of (S,\circ):\Leftrightarrow\{g^a|1\leq a\leq |S|\}=S
- Examples:
  - 1 is a primitive root of (\mathbb{Z}_n, +_n)
  - 3 is a primitive root of (\mathbb{Z}^*_7, \times_7)
- Not all groups do have primitive roots and those who have are called cyclic groups
Theorem 5:
- (\mathbb{Z}^*_n, \times_n) does have a primitive root \Leftrightarrow n\in\{2,4,p,2\times p^e\} where p is an odd prime and e\in\mathbb{Z}^+
Theorem 6:
- If (S,\circ) is a group and b\in S then (S’,\circ) with S’=\{b^a|a\in\mathbb{Z}^+\} is also a group.
- As S’\subseteq S,(S’,\circ) is called a subgroup of (S,\circ)
- If b is a primitive root of (S,\circ) then S’=S
Definition: order of a group and of an element
- Let (S,\circ) be a group, e\in S its identity element and b\in S any element of S:
  - Then |S| is called the order of (S,\circ)
  - Let c\in\mathbb{Z}^+ be the smallest element so that b^c=e (if such a c exists, if not set c=\infty). Then c is called the order of b.
Theorem 7 (Lagrange):
- If G is a finite group and H is a subgroup of G , then |H| divides |G|.
- Hence, if b\in G then the order of b divides |G|.
Theorem 8:
- If G is a cyclic finite group of order n and d divides n then G has exactly \phi(d) elements of order d. In particular, G has \phi(n) elements of order n.
Theorems 5, 7, and 8 are the basis of the following algorithm that finds a cyclic group \mathbb{Z}^*_p and a primitive root g of it:
- Choose a large prime q such that p=2q+1 is prime.
  - As p is prime, Theorem 5 states that \mathbb{Z}^*_p is cyclic.
  - The order of \mathbb{Z}^*_p is 2\times q and \phi(2\times q)=\phi(2)\times\phi(q)=q-1 as q is prime.
  - So, the odds of randomly choosing a primitive root are (q-1)/2q \approx 1/2
  - In order to efficiently test, if a randomly chosen g is a primitive root, we just have to test if g^2\equiv 1 mod p or g^q\equiv 1 mod p. If not, then its order has to be |\mathbb{Z}^*_p|, as Theorem 7 states that the order of g has to divide |\mathbb{Z}^*_p|
Definition: discrete logarithm
- Let p be prime, g be a primitive root of (\mathbb{Z}^*_p,\times_p) and c be any element of \mathbb{Z}^*_p. Then there exists z such that: g^z\equiv c mod p
- z is called the discrete logarithm of c modulo p to the base g
- Example 6 is the discrete logarithm of 1 modulo 7 to the base 3 as 3^6\equiv 1 mod 7
- The calculation of the discrete logarithm z when given g, c, and p is a computationally difficult problem and the asymptotical runtime of the best known algorithms for this problem is exponential in the bitlength of p

Diffie-Hellman Key Exchange

The Diffie-Hellman key exchange was first published in the landmark paper [DH76], which also introduced the fundamental idea of asymmetric cryptography
The DH exchange in its basic form enables two parties A and B to agree upon a shared secret using a public channel:
- Public channel means, that a potential attacker E (E stands for eavesdropper) can read all messages exchanged between A and B
- It is important, that A and B can be sure, that the attacker is not able to alter messages, as in this case he might launch a man-in-the-middle attack
- The mathematical basis for the DH exchange is the problem of finding discrete logarithms in finite fields
- The DH exchange is not an asymmetric encryption algorithm, but is nevertheless introduced here as it goes well with the mathematical flavor of this lecture...
If Alice (A) and Bob (B) want to agree on a shared secret s and their only means of communication is a public channel, they can proceed as follows:
- A chooses a prime p, a primitive root g of \mathbb{Z}^*_p, and a random number q:
  - A and B can agree upon the values p and g prior to any communication, or A can choose p and g and send them with his first message
  - A computes v=g^q\ MOD\ p and sends to B:\{p,g,v\}
- B chooses a random number r:
  - B computes w=g^r\ MOD\ p and sends to A:\{p,g,w\} (or just \{w\})
- Both sides compute the common secret:
  - A computes s=w^q\ MOD\ p
  - B computes s’=v^r\ MOD\ p
  - As g^{q\times r}\ MOD\ p = g^{r \times q}\ MOD\ p it holds: s=s’
- An attacker Eve who is listening to the public channel can only compute the secret s, if she is able to compute either q or r which are the discrete logarithms of v, w modulo p to the base g
If the attacker Eve is able to alter messages on the public channel, she can launch a man-in-the-middle attack:
- Eve generates to random numbers q’ and r’: Eve computes v’=g^{q’}\ MOD\ p and w’=g^{r’}\ MOD\ p
- When A sends \{p,g,v\} she intercepts the message and sends to B:\{p,g,v’\}
- When B sends \{p,g,w\} she intercepts the message and sends to A:\{p,g,w’\}
- When the supposed ,,shared secret'' is computed we get:
  - A computes s_1=w’^q\ MOD\ p = v^{r’}\ MOD\ p the latter computed by E
  - B computes s_2=v’^r\ MOD\ p = w^{q’}\ MOD\ p the latter computed by E
  - So, in fact A and E have agreed upon a shared secret s_1 as well as E and B have agreed upon a shared secret s_2
- If the ,,shared secret'' is now used by A and B to encrypt messages to be exchanged over the public channel, E can intercept all the messages and decrypt/re-encrypt them before forwarding them between A and B.
Two countermeasures against the man-in-the-middle attack:
- The shared secret is ,,authenticated'' after it has been agreed upon
  - We will treat this in the section on key management
- A and B use a so-called interlock protocol after agreeing on a shared secret:
  - For this they have to exchange messages that E has to relay before she can decrypt / re-encrypt them
  - The content of these messages has to be checkable by A and B
  - This forces E to invent messages and she can be detected
  - One technique to prevent E from decrypting the messages is to split them into two parts and to send the second part before the first one.
    - If the encryption algorithm used inhibits certain characteristics E can not encrypt the second part before she receives the first one.
    - As A will only send the first part after he received an answer (the second part of it) from B, E is forced to invent two messages, before she can get the first parts.
Remark: In practice the number g does not necessarily need to be a primitive root of p, it is sufficient if it generates a large subgroup of \mathbb{Z}^*_p

The ElGamal Algorithm

The ElGamal algorithm can be used for both, encryption and digital signatures (see also [ElG85a] )
Like the DH exchange it is based on the difficulty of computing discrete logarithms in finite fields
In order to set up a key pair:
- Choose a large prime p, a generator g of the multiplicative group \mathbb{Z}^*_p and a random number v such that 1\leq v\leq p - 2. Calculate: y=g^v mod p
- The public key is ( y, g, p )
- The private key is v
To sign a message m :
- Choose a random number k such that k is relatively prime to p-1.
- Compute r=g^k mod p
- With the Extended Euclidean Algorithm compute k^{-1}, the inverse of k mod (p - 1)
- Compute s=k^{-1} \times ( m - v \times r) mod ( p - 1)
- The signature over the message is ( r, s )
To verify a signature ( r , s ) over a message m:
- Confirm that y^r \times r^s\ MOD\ p = g^m\ MOD\ p
- Proof: We need the following
  - Lemma 3: Let p be prime and g be a generator of \mathbb{Z}^*_p. Then i \equiv j mod ( p -1) \Rightarrow g i \equiv g j mod p
  - Proof: i\equiv j mod (p-1) \Rightarrow there exists k\in \mathbb{Z}^+ such that (i-j)=(p-1)\times k
  - So, g^{(i-j)}=g^{(p-1)\times k} \equiv 1^k\equiv 1 mod p, because of Theorem 3 (Euler) \Rightarrow g^i \equiv g^j mod p
- So as s\equiv k^{-1}\times(m-v\times r) mod (p-1)
  - \Leftrightarrow k \times s\equiv m-v\times r mod (p-1)
  - \Leftrightarrow m \equiv v\times r+k\times s mod (p-1)
  - \Rightarrow g^m \equiv g^{(v\times r+ k\times s)} mod p with Lemma 3
  - \Leftrightarrow g^m \equiv g^{(v\times r)}\times g^{(k\times s)} mod p
  - \Leftrightarrow g^m \equiv y^r\times r^s mod p
Security of ElGamal signatures:
- As the private key v is needed to be able to compute s, an attacker would have to compute the discrete logarithm of y modulo p to the basis g in order to forge signatures
- It is crucial to the security, that a new random number k is chosen for every message, because an attacker can compute the secret v if he gets two messages together with their signatures based on the same k (see [Men97a], Note 11.66.ii)
- In order to prevent an attacker to be able to create a message M with a matching signature, it is necessary not to sign directly the message M as explained before, but to sign a cryptographic hash value m=h(M) of it (these will be treated soon, see also [Men97a], Note 11.66.iii)
To encrypt a message m using the public key (y,g,p):
- Choose a random k\in\mathbb{Z}^+ with k<p-1
- Compute r=g^k\ MOD\ p
- Compute s=m\times y^k\ MOD\ p
- The ciphertext is (r,s), which is twice as long as m
To decrypt the message (r,s) using v:
- Use the private key v to compute r^{(p-1-v)}\ MOD\ p=r^{(-v)}\ MOD\ p
- Recover m by computing m=r^{(-v)}\times s\ MOD\ p
- Proof: r^{(-v)}\times s\equiv r^{(-v)} \times m \times y^k\equiv g^{(-vk)}\times m \times y^k\equiv g^{(-v \times k)} \times m\times g^{(v \times k)} \equiv m mod p
Security:
- The only known means for an attacker to recover m is to compute the discrete logarithm v of y modulo p to the basis g
- For every message a new random k is needed ([Men97a], Note 8.23.ii)

Elliptic Curve Cryptography

The algorithms presented so far have been invented for the multiplicative group (\mathbb{Z}^*_p,\times p) and the field (\mathbb{Z}_p, +_p, \times_p), respectively
It has been found during the 1980’s that they can be generalized and be used with other groups and fields as well
The main motivation for this generalization is:
- A lot of mathematical research in the area of primality testing, factorization and computation of discrete logarithms has led to techniques that allow to solve these problems in a more efficient way, if certain properties are met:
  - When the RSA-129 challenge was given in 1977 it was expected that it will take some 40 quadrillion years to factor the 129-digit number (\approx 428 bit)
  - In 1994 it took 8 months to factor it by a group of computers networked over the Internet, calculating for about 5000 MIPS-years
  - Advances in factoring algorithms allowed 2009 to factor a 232-digit number (768 bit) in about 1500 AMD64-years [KAFL10]
  - \Rightarrow the key length has to be increased (currently about 2048 bit)
- Some of the more efficient techniques do rely on specific properties of the algebraic structures (\mathbb{Z}^*_p,\times p) and (\mathbb{Z}_p, +_p, \times_p)
- Different algebraic structures may therefore provide the same security with shorter key lengths
A very promising structure for cryptography can be obtained from the group of points on an elliptic curve over a finite field
- The mathematical operations in these groups can be efficiently implemented both in hardware and software
- The discrete logarithm problem is believed to be hard in the general class obtained from the group of points on an elliptic curve over a finite field

Foundations of ECC - Group Elements

Algebraic group consisting of
- Points on Weierstrass’ Equation: y^2 = x^3 + ax + b
- Additional point O in ,,infinity''
May be calculated over \mathbb{R}, but in cryptography \mathbb{Z}_p and GF(2^n) are used
- Already in \mathbb{R} arguments influence form significantly:
  - y^2 = x^3-3x+5
  - y^2 = x^3-40x+5

Foundations of ECC - Point Addition

Addition of elements = Addition of points on the curve
Geometric interpretation:
- Each point P:(x,y) has an inverse -P:(x,-y)
- A line through two points P and Q usually intersects with a third point R
- Generally, sum of two points P and Q equals -R
Addition (Special cases)
- The additional point O is the neutral element, i.e., P+O=P
- P + (-P):
  - If the inverse point is added to P, the line and curve intersect in ,,infinity''
  - By definition: P+(-P) = O
- P+P: The sum of two identical points P is the inverse of the intersecting point with the tangent through P:

Foundations of ECC - Algebraic Addition

If one of the summands is O, the sum is the other summand
If the summands are inverse to each other the sum is O
For the more general cases the slope of the line is: \alpha=\begin{cases} \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P} \quad\text{ for } P\not=-Q \wedge P\not=Q \\ \frac{3x^2_P +a}{2y_P} \quad\text{ for } P=Q \end{cases}
Result of point addition, where (x_r,y_r) is already the reflected point (-R)

Foundations of ECC - Multiplication

Multiplication of natural number n and point P performed by multiple repeated additions
Numbers are grouped into powers of 2 to achieve logarithmic runtime, e.g. 25P = P + 8P + 16P
This is possible if and only if the n is known!
If n is unknown for nP = Q, a logarithm has to be solved, which is possible if the coordinate values are chosen from \mathbb{R}
For \mathbb{Z}_p and GF(2^n) the discrete logarithm problem for elliptic curves has to be solved, which cannot be done efficiently!
Note: it is not defined how two points are multiplied, but only a natural number n and point P

Foundations of ECC - Curves over `\mathbb{Z}_p`

Over \mathbb{Z}_p the curve degrades to a set of points
For: y^2=x^3-3x+5\ mod\ 19
- Note: For some x values, there is no y value!

Foundations of ECC - Calculate the y-values in `\mathbb{Z}_p`

In general a little bit more problematic: determine the y-values for a given x (as its square value is calculated) by y^2\equiv f(x)\ mod\ p
Hence p is often chosen s.t. p\equiv 3\ mod\ 4
Then y is calculated by y_1\equiv f(x)^{\frac{p+1}{4}} and y_2\equiv -f(x)^{\frac{p+1}{4}} if and only if a solution exists at all
Short proof:
- From the Euler Theorem 3 we know that f(x)^{p-1}\equiv 1\ mod\ p
- Thus the square root must be 1 or -1 f(x)^{\frac{p-1}{2}}\equiv\pm 1\ mod\ p
Case 1: f(x)^{\frac{p-1}{2}}\equiv1\ mod\ p
- Multiply both sides by f(x): f(x)^{\frac{p-1}{2}}\equiv f(x)\equiv y^2\ mod\ p
- As p + 1 is divisible by 4 we can take the square root so that f(x)^{\frac{p-1}{2}}\equiv y\ mod\ p
Case 2: In this case no solution exists for the given x value (as shown by Euler)

Foundations of ECC - Addition and Multiplication in `\mathbb{Z}_p`

Due to the discrete structure point mathematical operations do not have a geometric interpretation any more, but
Algebraic addition similar to addition over \mathbb{R}
If the inverse point is added to P, the line and ,,curve'' still intersect in ,,infinity''
All x- and y-values are calculated mod p
Division is replaced by multiplication with the inverse element of the denominator
- Use the Extended Euclidean Algorithm with w and p to derive the inverse -w
Algebraic multiplication of a natural number n and a point P is also performed by repeated addition of summands of the power of 2
The discrete logarithm problem is to determine a natural number n in nP=Q for two known points P and Q

Foundations of ECC - Size of generated groups

Please note that the order of a group generated by a point on a curve over \mathbb{Z}_p is not p-1!
Determining the exact order is not easy, but can be done in logarithmic time by Schoofs algorithm [Sch85] (requires much more mathematical background than desired here)
But Hasse’s theorem on elliptic curves states that the group size n must lay between: p+1 - 2\sqrt{p}\leq n\leq p+1+2\sqrt{p}
As mentioned before: Generating rather large groups is sufficient

Foundations of ECC - ECDH

The Diffie-Hellman-Algorithm can easily be adapted to elliptic curves
If Alice (A) and Bob (B) want to agree on a shared secret s:
- A and B agree on a cryptographically secure elliptic curve and a point P on that curve
- A chooses a random number q:
  - A computes Q=qP and transmits Q to Bob
- B chooses a random number r:
  - B computes R=rP and transmits P to Alice
- Both sides compute the common secret:
  - A computes S=qR
  - B computes S’=rQ
  - As qrP=rqP the secret point S=S’
Attackers listening to the public channel can only compute S, if able to compute either q or r which are the discrete logarithms of Q and R for the point P

Foundations of ECC - EC version of ElGamal Algorithm

Adapting ElGamal for elliptic curves is rather straight forward for the encryption routine
To set up a key pair:
- Choose an elliptic curve over a finite field, a point G that generates a large group, and a random number v such that 1 < v < n, where n denotes to the size of the induced group, Calculate: Y = vG
- The public key is (Y,G,curve)
- The private key is v
To encrypt a message:
- Choose a random k\in\mathbb{Z}^+ with k<n-1, compute R=kG
- Compute S=M+kY, where M is a point derived by the message
  - Problem: Interpreting the message m as a x coordinate of M is not sufficient, as the y value does not have to exist
  - Solution from [Ko87]: Choose a constant c (e.g. 100) check if cm is the x coordinate of a valid point, if not try cm+1, then cm+2 and so on
  - To decode m: take the x value of M and do an integer division by c (receiver has to know c too)
- The ciphertext are the points (R,S)
- Twice as long as m, if stored in so-called compressed form , i.e. only x coordinates are stored and a single bit, indicating whether the larger or smaller corresponding y-coordinate shall be used
To decrypt a message:
- Derive M by calculating S-vR
- Proof: S-vR=M+kY-vR =M+kvG-vkG= M+O= M
To sign a message:
- Choose a random k\in\mathbb{Z}^+ with k<n-1, compute R = kG
- Compute s=k^{-1}(m+rv) mod\ n, where r is the x-value of R
- The signature are (r,s), again about as twice as long as n
To verify a signed message:
- Check if the point P=ms^{-1}G+rs^{-1}Y has the x-coordinate r
- Note: s^{-1} is calculated by the Extended Euclidian Algorithm with the input s and n (the order of the group)
- Proof: ms^{-1}G+rs^{-1}Y = ms^{-1}G+rs^{-1}vG = (m+rv)(s^{-1})G = (ks)(s^{-1})G = kG = R
Security discussion:
- As in the original version of ElGamal it is crucial to not use k twice
- Messages should not be signed directly
- Further checks may be required, i.e., G must not be O, a valid point on the curve etc. (see [NIST09] for further details)

Foundations of ECC - Security

The security heavily depends on the chosen curve and point:
The discriminant of the curve must not be zero, i.e., 4a^3+27b^2\not\equiv 0\ mod\ p otherwise the curve is degraded (a so called ,,singular curve'' )
Menezes et. al. have found a sub-exponential algorithm for so-called ,,supersingular elliptic curves'' but this does not work in the general case [Men93a]
The constructed algebraic groups should have as many elements a possible
This class will not go into more details of elliptic curve cryptography as this requires way more mathematics than desired for this course...
For non-cryptographers it is best to depend on predefined curves, e.g., [LM10] or [NIST99] and standards such as ECDSA
Many publications choose parameters a and b such that they are provably chosen by a random process (e.g. publish x for h(x)=a and y for h(y) = b); Shall ensure that the curves do not contain a cryptographic weakness that only the authors knows about
The security depends on the length of p
- Key lengths with comparable strengths according to [NIST12]:
  
  Symmetric Algorithms RSA ECC
  
  112 2048 224-255
  
  128 3072 256-383
  
  192 7680 384-511
  
  256 15360 > 512
The security also heavily depends on the implementation!
- The different cases (e.g. with O) in ECC calculation may be observable, i.e., power consumption and timing differences
- Attackers might deduct side-channel attacks, as in OpenSSL 0.9.8o [BT11]
  - Attacker may deduce the bit length of a value k in kP by measuring the time required for the square and multiply algorithm
  - Algorithm was aborted early in OpenSSL when no further bits where set to ,,1''
- Attackers might try to generate invalid points to derive facts about the used key as in OpenSSL 0.9.8g, leading to a recovery of a full 256-bit ECC key after only 633 queries [BBP12]
Lesson learned: Do not do it on your own, unless you have to and know what you are doing!

Symmetric Algorithms	RSA	ECC
112	2048	224-255
128	3072	256-383
192	7680	384-511
256	15360	> 512

Foundations of ECC - Further remarks

As mentioned earlier it is possible to construct cryptographic elliptic curves over G(2^n), which may be faster in hardware implementations
- We refrained from details as this would not have brought many different insights!
Elliptic curves and similar algebraic groups are an active field of research and allow other advanced applications e.g.:
- So-called Edwards Curves are currently discussed, as they seem more robust against side-channel attacks (e.g. [BLR08])
- Bilinear pairings allow
  - Programs to verify that they belong to the same group, without revealing their identity (Secret handshakes, e.g. [SM09])
  - Public keys to be structured, e.g. use ,,Alice'' as public key for Alice (Identity based encryption, foundations in [BF03])
Before deploying elliptic curve cryptography in a product, make sure to not violate patents, as there are still many valid ones in this field!

Conclusion

Asymmetric cryptography allows to use two different keys for:
- Encryption / Decryption
- Signing / Verifying
The most practical algorithms that are still considered to be secure are:
- RSA, based on the difficulty of factoring and solving discrete logarithms
- Diffie-Hellman (not an asymmetric algorithm, but a key agreement protocol)
- ElGamal, like DH based on the difficulty of computing discrete logarithms
As their security is entirely based on the difficulty of certain mathematical problems, algorithmic advances constitute their biggest threat
Practical considerations:
- Asymmetric cryptographic operations are about magnitudes slower than symmetric ones
- Therefore, they are often not used for encrypting / signing bulk data
- Symmetric techniques are used to encrypt / compute a cryptographic hash value and asymmetric cryptography is just used to encrypt a key / hash value

Modifikationsprüfwerte

Zufallszahlengenerierung

Kryptographische Protokolle

Sichere Gruppenkommunikation

Zugriffskontrolle

Integration von Sicherheitsdiensten in Kommunikationsarchitekturen

Sicherheitsprotokolle der Datenübertragungsschicht

Die IPsec-Architektur für das Internet-Protokoll

Security protocols of the transport layer

Sicherheitsaspekte der mobilen Kommunikation

Sicherheit von drahtlosen lokalen Netzen

Sicherheit von GSM- und UMTS-Netzen

References

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