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TeX
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\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[ngerman]{babel}
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\usepackage{multicol}
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\usepackage{calc}
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\usepackage{ifthen}
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\usepackage[landscape,left=1cm,top=1cm,right=1cm,nohead,nofoot]{geometry}
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\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb}
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\usepackage{color,graphicx,overpic}
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|
\usepackage{listings}
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\usepackage[compact]{titlesec} %less space for headers
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\usepackage{mdwlist} %less space for lists
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{pdflscape}
|
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\usepackage{verbatim}
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\usetikzlibrary{mindmap, arrows,shapes,positioning,shadows,trees}
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\tikzstyle{every node}=[draw=black,thin,anchor=west, minimum height=2em]
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\usepackage[hidelinks,pdfencoding=auto]{hyperref}
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\pdfinfo{
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/Title (Automaten, Sprachen \& Komplexität - Cheatsheet)
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/Creator (TeX)
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/Producer (pdfTeX 1.40.0)
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/Author (Robert Jeutter)
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/Subject ()
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}
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% Information boxes
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\newcommand*{\info}[4][16.3]{
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\node [ annotation, #3, scale=0.65, text width = #1em, inner sep = 2mm ] at (#2) {
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|
\list{$\bullet$}{\topsep=0pt\itemsep=0pt\parsep=0pt
|
|
\parskip=0pt\labelwidth=8pt\leftmargin=8pt
|
|
\itemindent=0pt\labelsep=2pt}
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#4
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\endlist
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};
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}
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% This sets page margins to .5 inch if using letter paper, and to 1cm
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% if using A4 paper. (This probably isn't strictly necessary.)
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% If using another size paper, use default 1cm margins.
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\ifthenelse{\lengthtest { \paperwidth = 11in}}
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|
{ \geometry{top=.5in,left=.5in,right=.5in,bottom=.5in} }
|
|
{\ifthenelse{ \lengthtest{ \paperwidth = 297mm}}
|
|
{\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} }
|
|
{\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} }
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|
}
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|
% Redefine section commands to use less space
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\makeatletter
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\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0mm}%
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{-1ex plus -.5ex minus -.2ex}%
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{0.5ex plus .2ex}%x
|
|
{\normalfont\large\bfseries}}
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|
\renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{2}{0mm}%
|
|
{-1explus -.5ex minus -.2ex}%
|
|
{0.5ex plus .2ex}%
|
|
{\normalfont\normalsize\bfseries}}
|
|
\renewcommand{\subsubsection}{\@startsection{subsubsection}{3}{0mm}%
|
|
{-1ex plus -.5ex minus -.2ex}%
|
|
{1ex plus .2ex}%
|
|
{\normalfont\small\bfseries}}
|
|
\makeatother
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|
% Define BibTeX command
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\def\BibTeX{{\rm B\kern-.05em{\sc i\kern-.025em b}\kern-.08em
|
|
T\kern-.1667em\lower.7ex\hbox{E}\kern-.125emX}}
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% Don't print section numbers
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\setcounter{secnumdepth}{0}
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\setlength{\parindent}{0pt}
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\setlength{\parskip}{0pt plus 0.5ex}
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|
% compress space
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\setlength\abovedisplayskip{0pt}
|
|
\setlength{\parskip}{0pt}
|
|
\setlength{\parsep}{0pt}
|
|
\setlength{\topskip}{0pt}
|
|
\setlength{\topsep}{0pt}
|
|
\setlength{\partopsep}{0pt}
|
|
\linespread{0.5}
|
|
\titlespacing{\section}{0pt}{*0}{*0}
|
|
\titlespacing{\subsection}{0pt}{*0}{*0}
|
|
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{*0}{*0}
|
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%My Environments
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\newtheorem{example}[section]{Example}
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%Tikz global setting
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\tikzset{
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topic/.style={
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text centered,
|
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text width=5cm,
|
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level distance=1mm,
|
|
sibling distance=5mm,
|
|
rounded corners=2pt
|
|
},
|
|
subtopic/.style={
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|
yshift=1.5cm,
|
|
text centered,
|
|
text width=3cm,
|
|
rounded corners=2pt,
|
|
fill=gray!10
|
|
},
|
|
theme/.style={
|
|
grow=down,
|
|
xshift=-0.6cm,
|
|
text centered,
|
|
text width=3cm,
|
|
edge from parent path={(\tikzparentnode.205) |- (\tikzchildnode.west)}
|
|
},
|
|
description/.style={
|
|
grow=down,
|
|
xshift=-0.5cm,
|
|
right,
|
|
text centered,
|
|
edge from parent path={(\tikzparentnode.200) |- (\tikzchildnode.west)}
|
|
},
|
|
level1/.style ={level distance=1cm},
|
|
level2/.style ={level distance=2cm},
|
|
level3/.style ={level distance=3cm},
|
|
level4/.style ={level distance=4cm},
|
|
level5/.style ={level distance=5cm},
|
|
level6/.style ={level distance=6cm},
|
|
level7/.style ={level distance=7cm},
|
|
level8/.style ={level distance=8cm},
|
|
level9/.style ={level distance=9cm},
|
|
level 1/.style={sibling distance=5.5cm},
|
|
level 1/.append style={level distance=2.5cm},
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|
}
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% Turn off header and footer
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\pagestyle{empty}
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|
\begin{document}
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|
\begin{tikzpicture}
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\node[topic]{Automaten, Sprachen \& Komplexität}
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child{node [subtopic]{Sprache}
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child [theme, level1] { node {Chomsky Hierachie}
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child[description, level distance=1cm] { node {Typ 0: Allgemein \\ jede Grammatik ist vom Typ 0}}
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child[description, level distance=2cm] { node {Typ 1: Kontextsensitiv \\ wenn es Wörter $u,v,w\in(V\cup\sum)^*,|v|>0$ und ein Nichtterminal $A\in V$ gibt mit $l=uAw$ und $r=uvw$}}
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|
child[description, level distance=3cm] { node {Typ 2: Kontextfrei \\ wenn $l\in V$ und $r\in (V\cup \sum)^*$ gilt}}
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child[description, level distance=4cm] { node {Typ 3: Regulär \\ wenn $l\in V$ und $r\in \sum V\cup {\epsilon}$ gilt}}
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}
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}
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child{node [subtopic]{Wort}
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child[description, level distance=1cm] { node { y Präfix von w, wenn es $z\in\sum^*$ gibt mit $yz=w$}}
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child[description, level distance=2cm] { node { y Infix/Faktor von w, wenn es $x,z\in\sum^*$ gibt mit $xyz = w$}}
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|
child[description, level distance=3cm] { node { y Suffix von w, wenn es $x\in\sum^*$ gibt mit $xy=w$}}
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|
}
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child{node [subtopic]{Grammatik}
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child[theme, level distance=1cm] { node {Symbole}
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child[description, level distance=1cm] { node {Nicht-Terminale (oder Variablen), aus denen noch weitere Wortbestandteile abgeleitet werden sollen}}
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child[description, level distance=2cm] { node {Terminale (die "eigentlichen" Symbole)}}
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}
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|
child[theme, level distance=4cm]{ node {4-Tupel $G=(V,\sum, P, S)$}
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child[description, level distance=1cm] { node {V ist eine endliche Menge von Nicht-Terminalen oder Variablen}}
|
|
child[description, level distance=2cm] { node {$\sum$ ist ein Alphabet (Menge der Terminale)}}
|
|
child[description, level distance=3cm] { node {$P$ ist eine endliche Menge von Regeln oder Produktionen}}
|
|
child[description, level distance=4cm] { node {$S\in V$ ist das Startsymbol oder das Axiom}}
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|
}
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|
child[theme, level distance=8cm]{ node {Konventionen}
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|
child[description, level distance=1cm] { node {Variablen sind Großbuchstaben (Elemente aus V)}}
|
|
child[description, level distance=2cm] { node {Terminale sind Kleinbuchstaben (Elemente aus $\sum$)}}
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|
}
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|
};
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|
\end{tikzpicture}
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|
\begin{tikzpicture}[
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subtopic/.style={
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yshift=1.5cm,
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|
text centered,
|
|
text width=3cm,
|
|
rounded corners=2pt,
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|
fill=gray!10
|
|
},
|
|
level 1/.style={sibling distance=5.5cm},
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|
level 1/.append style={level distance=2.5cm},
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|
]
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|
% Topic
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\node[topic]{Automaten, Sprachen \& Komplexität}
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child{node [subtopic] {intuitiv berechenbar}
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child[theme, level distance=1cm]{node{$\mu$ rekurisv}}
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|
child[theme, level distance=2cm]{node{while berechnenbar}}
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|
child[theme, level distance=3cm]{node{Turing berechenbar}}
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|
child[theme, level distance=4cm]{node{goto berechnenbar}}
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};
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|
\end{tikzpicture}
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|
Definition: Sei L eine Sprache. Dann ist $L*=\bigcup_{n\geq 0} L^n$ der Kleene-Abschluss oder die Kleene-Iteration von L. Weiter ist $L+ = \bigcup_{n\geq 0} L^n$
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|
\begin{tikzpicture}
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\node[topic]{Rechtslineare Sprachen}
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child{node [subtopic] {endliche Automaten (Maschinen)}
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child[theme, level distance=1cm]{node{deterministischer endlicher Automat M}
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child[description, level distance=1cm]{node{5-Tupel $M=(Z, \sum, z_0, \delta, E)$}}
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|
child[description, level distance=1cm]{node{$Z$ eine endliche Menge von Zuständen}}
|
|
child[description, level distance=1cm]{node{$\sum$ das Eingabealphabet (mit $Z\cap\sum = \emptyset$)}}
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child[description, level distance=1cm]{node{$z_0\in Z$ der Startzustand}}
|
|
child[description, level distance=1cm]{node{$\delta: Z \times \sum \rightarrow Z$ die Übergangsfunktion}}
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|
child[description, level distance=1cm]{node{$E\subseteq Z$ die Menge der Endzustände}}
|
|
child[description, level distance=1cm]{node{kurz: DFA (deterministic finite automaton)}}
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|
child[description, level distance=1cm]{node{von einem DFA akzeptierte Sprache ist: $L(M)={w\in\sum^* | \hat{\delta}(z_0,w)\in E}$}}
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child[description, level distance=1cm]{node{Eine Sprache $L \supseteq \sum^*$ ist regulär, wenn es einen DFA mit $L(M)=L$ gibt}}
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|
%Jede reguläre Sprache ist rechtslinear
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}
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child[theme, level distance=1cm]{node{nicht-deterministischer endlicher Automat M}
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|
%Jede von einem NFA akzeptierte Sprache ist regulär
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child[description, level distance=1cm]{node{kurz NFA}}
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}
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%Satz: Wenn $L_1$ und $L_2$ reguläre Sprachen sind, dann ist auch $L_1 \cup L_2$ regulär.
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|
%Satz: Wenn $L_1$ und $L_2$ reguläre Sprachen sind, dann ist auch $L_1 \cap L_2$ regulär.
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|
%Satz: Wenn $L_1$ und $L_2$ reguläre Sprachen sind, dann ist auch $L_1L_2$ regulär
|
|
%Satz: Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann ist auch $L^+/L^*$ regulär
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|
}
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child{description, level distance}{node{Reguläre Ausdrücke
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|
% Definition: Die Menge $Reg(\sum)$ der **regulären Ausdrücke über dem Alphabet $\sum$** ist die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften:
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% - $\varnothing \in Reg(\sum), \lambda \in Reg(\sum), \sum \subseteq Reg(\sum)$
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|
% - Wenn $\alpha, \beta \in Reg(\sum)$, dann auch $(\alpha * \beta), (\alpha + \beta), (\alpha^*)\in Reg(\sum)$
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|
%- für $\alpha * \beta$ schreibt man oft $\alpha\beta$
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|
% für $\alpha + \beta$ schreibt man auch $\alpha|\beta$
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|
%Für einen regulären Ausdruck $\alpha \in Reg(\sum)$ ist die Sprache $L(\alpha)\subseteq \sum^*$ induktiv definiert
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|
%zu jedem regulären Ausdruck $\gamma$ gibt es einen NFA M mit $L(\gamma)=L(M)$
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%zu jedem DFA M gibt es einen regulären Ausdruck $\gamma$ mit $L(M)=L(\gamma)$
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}}
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%- Rechtslineare Grammatiken
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% - Verbindung zur Chomsky Hierarchie
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% - erzeugen Sprachen
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% - nicht geeignet, um zu entscheiden, ob ein gegebenes Wort zur Sprache gehört
|
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%- NFA
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% - erlauben kleine Kompakte Darstellung
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% - intuitive graphische Notation
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|
% - nicht geeignet, um zu entscheiden, ob ein gegebenes Wort zur Sprache gehört
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%- DFA
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% - für effiziente Beantwortung der Frage, ob ein Wort zur Sprache gehört
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% - sind uU exponentiell größer als NFA
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%- Reguläre Ausdrücke
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% - erlauben kompakte Darstellung in Textform
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child{node [subtopic] {Nicht-Reguläre Sprachen}
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% Für jedes Alphabet $\sum$ existiert eine Sprache L über $\sum$, die von keiner Grammatik G erzeugt wird.
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child[theme, level distance=2cm]{node{ Pumping Lemma}
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%Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann gibt es $n\leq 1$ derart, dass für alle $x\in L$ mit $|x|\geq n$ gilt: es gibt Wörter $u,v,w \in \sum^*$ mit:
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%1. $x=uvw$
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%2. $|uv|\leq n$
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%3. $|v|\geq 1$
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|
%4. $uv^i w\in L$ für alle $i\geq 0$
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|
%Dieses Lemma spricht nicht über Automaten, sondern nur über die Eigenschaften der Sprache. Es ist geeignet, Aussagen über Nicht-Regularität zu machen. Dabei ist es aber nur eine notwendige Bedingung. Es kann nicht genutzt werden, um die Regularität einer Sprache L zu zeigen.
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}
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child[theme, level distance=3cm]{node{ Myhill-Nerode Äquivalenz}
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|
%Für eine Sprache $L\subseteq \sum^*$ definieren wir eine binäre Relation $R_L \subseteq \sum^* \times \sum^*$ wie folgt: Für alle $x,y\in \sum^*$ setze $(x,y)\in R_L$ genau dann, wenn $\forall z \in \sum^* :(xy\in L \leftrightarrow yz \in L)$ gilt. Wir schreiben hierfür auch $x R_L y$.
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|
% Definition: Für eine Sprache L und ein Wort $x\in \sum^*$ ist $[x]_L=\{y\in\sum^* | x R_L y \}$ die Äquivalenzklasse von x. Ist L klar, so schreiben wir einfacher $[x]$.
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|
%Satz von Myhill-Nerode: Sei L eine Sprache. L ist regulär $\leftrightarrow index(R_L)< \infty$ (d.h. nur wenn die Myhill-Nerode-Äquivalenz endliche Klassen hat)
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}
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}
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child{node [subtopic] {Minimalautomat}
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%Ein DFA M heißt reduziert, wenn es für jeden Zustand $z \in Z$ ein Wort $x_z\in \sum^*$ gibt mit $\hat{\sigma}(l, x_z)=z$
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}
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child{node [subtopic] {Entscheidbarkeit}
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child[theme, level distance=1cm]{node{Wortproblem}}
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child[theme, level distance=1cm]{node{Leerheitsproblem}}
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|
child[theme, level distance=1cm]{node{Endlichkeitsproblem}}
|
|
child[theme, level distance=1cm]{node{Schnittproblem}}
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|
child[theme, level distance=1cm]{node{Inklusionsproblem}}
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|
child[theme, level distance=1cm]{node{Äquivalenzproblem}}
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};
|
|
\end{tikzpicture}
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|
\begin{tikzpicture}
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|
\node[topic]{Kontextfreie Sprachen}
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|
child{node [subtopic] { Ableitungsbäume}}
|
|
child{node [subtopic] {Linksableitung}}
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|
child{node [subtopic] {Chomsky Normalform}}
|
|
child{node [subtopic] {Der Cocke-Younger-Kasami- oder CYK-Algorithmus}}
|
|
child{node [subtopic] {Kellerautomaten}}
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|
child{node [subtopic] {die Greibach-Normalform}}
|
|
child{node [subtopic] {PDAs mit Endzuständen}}
|
|
child{node [subtopic] {Deterministisch kontextfreie Sprachen}}
|
|
child{node [subtopic] {das Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen}}
|
|
child{node [subtopic] {das Lemma von Ogden (William Ogden)}}
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|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node[topic]{Berechenbarkeit}
|
|
child{node [subtopic] {Loop-Berechenbarkeit}}
|
|
child{node [subtopic] {While Programme}
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|
child[theme, level distance=1cm]{node{Gödels Vermutung}}
|
|
}
|
|
child{node [subtopic] {GoTo Programme}
|
|
child[theme, level distance=1cm]{node{Kleenesche Normalform}}
|
|
}
|
|
child{node [subtopic] {Turing Berechenbarkeit}}
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node[topic]{Entscheidbarkeit}
|
|
child{node [subtopic] {Halteproble}}
|
|
child{node [subtopic] {Reduktion}}
|
|
child{node [subtopic] {Rechnen mit Kodierungen}}
|
|
child{node [subtopic] {Satz von Rice}}
|
|
child{node [subtopic] {Semi Entscheidbarkeit}}
|
|
child{node [subtopic] {Universelle Turing Maschine}}
|
|
child{node [subtopic] {Totale berechenbare Funktionen}}
|
|
child{node [subtopic] {Einige unentscheidbare Probleme}}
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node[topic]{Komplexitätstheorie}
|
|
child{node [subtopic] {Berechenbarkeitstheorie}}
|
|
child{node [subtopic] {Frage der Komplexitätstheorie}}
|
|
child{node [subtopic] {Komplexitätsklassen}
|
|
child[theme, level distance=1cm]{node{Deterministische Zeitklassen}}
|
|
child[theme, level distance=1cm]{node{Deterministische Platzklassen}}
|
|
child[theme, level distance=1cm]{node{Nichtdeterministische Zeitklassen}}
|
|
child[theme, level distance=1cm]{node{Nichtdeterministische Platzklassen}}
|
|
}
|
|
child{node [subtopic] {Polynomialzeit-Reduktionen}}
|
|
child{node [subtopic] {NP-Vollständigkeit}}
|
|
child{node [subtopic] {Weitere NP-vollständige Probleme}
|
|
child[theme, level distance=1cm]{node{3-SAT ist NP-vollständig}}
|
|
child[theme, level distance=1cm]{node{3C ist NP-vollständig}}
|
|
child[theme, level distance=1cm]{node{DHC ist NP-vollständig}}
|
|
child[theme, level distance=1cm]{node{HC ist NP-vollständig}}
|
|
child[theme, level distance=1cm]{node{TSP ist NP-vollständige}}
|
|
};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
\end{document}
|