\documentclass[a4paper]{article} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{multicol} \usepackage{calc} \usepackage{ifthen} \usepackage[landscape,left=1cm,top=1cm,right=1cm,nohead,nofoot]{geometry} \usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb} \usepackage{color,graphicx,overpic} \usepackage{listings} \usepackage[compact]{titlesec} %less space for headers \usepackage{mdwlist} %less space for lists \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{tikz} \usepackage{pdflscape} \usepackage{verbatim} \usetikzlibrary{mindmap, arrows,shapes,positioning,shadows,trees} \tikzstyle{every node}=[draw=black,thin,anchor=west, minimum height=2em] \usepackage[hidelinks,pdfencoding=auto]{hyperref} \pdfinfo{ /Title (Automaten, Sprachen \& Komplexität - Cheatsheet) /Creator (TeX) /Producer (pdfTeX 1.40.0) /Author (Robert Jeutter) /Subject () } % Information boxes \newcommand*{\info}[4][16.3]{ \node [ annotation, #3, scale=0.65, text width = #1em, inner sep = 2mm ] at (#2) { \list{$\bullet$}{\topsep=0pt\itemsep=0pt\parsep=0pt \parskip=0pt\labelwidth=8pt\leftmargin=8pt \itemindent=0pt\labelsep=2pt} #4 \endlist }; } % This sets page margins to .5 inch if using letter paper, and to 1cm % if using A4 paper. (This probably isn't strictly necessary.) % If using another size paper, use default 1cm margins. \ifthenelse{\lengthtest { \paperwidth = 11in}} { \geometry{top=.5in,left=.5in,right=.5in,bottom=.5in} } {\ifthenelse{ \lengthtest{ \paperwidth = 297mm}} {\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} } {\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} } } % Redefine section commands to use less space \makeatletter \renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0mm}% {-1ex plus -.5ex minus -.2ex}% {0.5ex plus .2ex}%x {\normalfont\large\bfseries}} \renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{2}{0mm}% {-1explus -.5ex minus -.2ex}% {0.5ex plus .2ex}% {\normalfont\normalsize\bfseries}} \renewcommand{\subsubsection}{\@startsection{subsubsection}{3}{0mm}% {-1ex plus -.5ex minus -.2ex}% {1ex plus .2ex}% {\normalfont\small\bfseries}} \makeatother % Define BibTeX command \def\BibTeX{{\rm B\kern-.05em{\sc i\kern-.025em b}\kern-.08em T\kern-.1667em\lower.7ex\hbox{E}\kern-.125emX}} % Don't print section numbers \setcounter{secnumdepth}{0} \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt plus 0.5ex} % compress space \setlength\abovedisplayskip{0pt} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\parsep}{0pt} \setlength{\topskip}{0pt} \setlength{\topsep}{0pt} \setlength{\partopsep}{0pt} \linespread{0.5} \titlespacing{\section}{0pt}{*0}{*0} \titlespacing{\subsection}{0pt}{*0}{*0} \titlespacing{\subsubsection}{0pt}{*0}{*0} %My Environments \newtheorem{example}[section]{Example} %Tikz global setting \tikzset{ topic/.style={ text centered, text width=5cm, level distance=1mm, sibling distance=5mm, rounded corners=2pt }, subtopic/.style={ yshift=1.5cm, text centered, text width=3cm, rounded corners=2pt, fill=gray!10 }, theme/.style={ grow=down, xshift=-0.6cm, text centered, text width=3cm, edge from parent path={(\tikzparentnode.205) |- (\tikzchildnode.west)} }, description/.style={ grow=down, xshift=-0.5cm, right, text centered, edge from parent path={(\tikzparentnode.200) |- (\tikzchildnode.west)} }, level1/.style ={level distance=1cm}, level2/.style ={level distance=2cm}, level3/.style ={level distance=3cm}, level4/.style ={level distance=4cm}, level5/.style ={level distance=5cm}, level6/.style ={level distance=6cm}, level7/.style ={level distance=7cm}, level8/.style ={level distance=8cm}, level9/.style ={level distance=9cm}, level 1/.style={sibling distance=5.5cm}, level 1/.append style={level distance=2.5cm}, } % Turn off header and footer \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{tikzpicture} \node[topic]{Automaten, Sprachen \& Komplexität} child{node [subtopic]{Sprache} child [theme, level1] { node {Chomsky Hierachie} child[description, level distance=1cm] { node {Typ 0: Allgemein \\ jede Grammatik ist vom Typ 0}} child[description, level distance=2cm] { node {Typ 1: Kontextsensitiv \\ wenn es Wörter $u,v,w\in(V\cup\sum)^*,|v|>0$ und ein Nichtterminal $A\in V$ gibt mit $l=uAw$ und $r=uvw$}} child[description, level distance=3cm] { node {Typ 2: Kontextfrei \\ wenn $l\in V$ und $r\in (V\cup \sum)^*$ gilt}} child[description, level distance=4cm] { node {Typ 3: Regulär \\ wenn $l\in V$ und $r\in \sum V\cup {\epsilon}$ gilt}} } } child{node [subtopic]{Wort} child[description, level distance=1cm] { node { y Präfix von w, wenn es $z\in\sum^*$ gibt mit $yz=w$}} child[description, level distance=2cm] { node { y Infix/Faktor von w, wenn es $x,z\in\sum^*$ gibt mit $xyz = w$}} child[description, level distance=3cm] { node { y Suffix von w, wenn es $x\in\sum^*$ gibt mit $xy=w$}} } child{node [subtopic]{Grammatik} child[theme, level distance=1cm] { node {Symbole} child[description, level distance=1cm] { node {Nicht-Terminale (oder Variablen), aus denen noch weitere Wortbestandteile abgeleitet werden sollen}} child[description, level distance=2cm] { node {Terminale (die "eigentlichen" Symbole)}} } child[theme, level distance=4cm]{ node {4-Tupel $G=(V,\sum, P, S)$} child[description, level distance=1cm] { node {V ist eine endliche Menge von Nicht-Terminalen oder Variablen}} child[description, level distance=2cm] { node {$\sum$ ist ein Alphabet (Menge der Terminale)}} child[description, level distance=3cm] { node {$P$ ist eine endliche Menge von Regeln oder Produktionen}} child[description, level distance=4cm] { node {$S\in V$ ist das Startsymbol oder das Axiom}} } child[theme, level distance=8cm]{ node {Konventionen} child[description, level distance=1cm] { node {Variablen sind Großbuchstaben (Elemente aus V)}} child[description, level distance=2cm] { node {Terminale sind Kleinbuchstaben (Elemente aus $\sum$)}} } }; \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[ subtopic/.style={ yshift=1.5cm, text centered, text width=3cm, rounded corners=2pt, fill=gray!10 }, level 1/.style={sibling distance=5.5cm}, level 1/.append style={level distance=2.5cm}, ] % Topic \node[topic]{Automaten, Sprachen \& Komplexität} child{node [subtopic] {intuitiv berechenbar} child[theme, level distance=1cm]{node{$\mu$ rekurisv}} child[theme, level distance=2cm]{node{while berechnenbar}} child[theme, level distance=3cm]{node{Turing berechenbar}} child[theme, level distance=4cm]{node{goto berechnenbar}} }; \end{tikzpicture} Definition: Sei L eine Sprache. Dann ist $L*=\bigcup_{n\geq 0} L^n$ der Kleene-Abschluss oder die Kleene-Iteration von L. Weiter ist $L+ = \bigcup_{n\geq 0} L^n$ \begin{tikzpicture} \node[topic]{Rechtslineare Sprachen} child{node [subtopic] {endliche Automaten (Maschinen)} child[theme, level distance=1cm]{node{deterministischer endlicher Automat M} child[description, level distance=1cm]{node{5-Tupel $M=(Z, \sum, z_0, \delta, E)$}} child[description, level distance=1cm]{node{$Z$ eine endliche Menge von Zuständen}} child[description, level distance=1cm]{node{$\sum$ das Eingabealphabet (mit $Z\cap\sum = \emptyset$)}} child[description, level distance=1cm]{node{$z_0\in Z$ der Startzustand}} child[description, level distance=1cm]{node{$\delta: Z \times \sum \rightarrow Z$ die Übergangsfunktion}} child[description, level distance=1cm]{node{$E\subseteq Z$ die Menge der Endzustände}} child[description, level distance=1cm]{node{kurz: DFA (deterministic finite automaton)}} child[description, level distance=1cm]{node{von einem DFA akzeptierte Sprache ist: $L(M)={w\in\sum^* | \hat{\delta}(z_0,w)\in E}$}} child[description, level distance=1cm]{node{Eine Sprache $L \supseteq \sum^*$ ist regulär, wenn es einen DFA mit $L(M)=L$ gibt}} %Jede reguläre Sprache ist rechtslinear } child[theme, level distance=1cm]{node{nicht-deterministischer endlicher Automat M} %Jede von einem NFA akzeptierte Sprache ist regulär child[description, level distance=1cm]{node{kurz NFA}} } %Satz: Wenn $L_1$ und $L_2$ reguläre Sprachen sind, dann ist auch $L_1 \cup L_2$ regulär. %Satz: Wenn $L_1$ und $L_2$ reguläre Sprachen sind, dann ist auch $L_1 \cap L_2$ regulär. %Satz: Wenn $L_1$ und $L_2$ reguläre Sprachen sind, dann ist auch $L_1L_2$ regulär %Satz: Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann ist auch $L^+/L^*$ regulär } child{description, level distance}{node{Reguläre Ausdrücke % Definition: Die Menge $Reg(\sum)$ der **regulären Ausdrücke über dem Alphabet $\sum$** ist die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften: % - $\varnothing \in Reg(\sum), \lambda \in Reg(\sum), \sum \subseteq Reg(\sum)$ % - Wenn $\alpha, \beta \in Reg(\sum)$, dann auch $(\alpha * \beta), (\alpha + \beta), (\alpha^*)\in Reg(\sum)$ %- für $\alpha * \beta$ schreibt man oft $\alpha\beta$ % für $\alpha + \beta$ schreibt man auch $\alpha|\beta$ %Für einen regulären Ausdruck $\alpha \in Reg(\sum)$ ist die Sprache $L(\alpha)\subseteq \sum^*$ induktiv definiert %zu jedem regulären Ausdruck $\gamma$ gibt es einen NFA M mit $L(\gamma)=L(M)$ %zu jedem DFA M gibt es einen regulären Ausdruck $\gamma$ mit $L(M)=L(\gamma)$ }} %- Rechtslineare Grammatiken % - Verbindung zur Chomsky Hierarchie % - erzeugen Sprachen % - nicht geeignet, um zu entscheiden, ob ein gegebenes Wort zur Sprache gehört %- NFA % - erlauben kleine Kompakte Darstellung % - intuitive graphische Notation % - nicht geeignet, um zu entscheiden, ob ein gegebenes Wort zur Sprache gehört %- DFA % - für effiziente Beantwortung der Frage, ob ein Wort zur Sprache gehört % - sind uU exponentiell größer als NFA %- Reguläre Ausdrücke % - erlauben kompakte Darstellung in Textform child{node [subtopic] {Nicht-Reguläre Sprachen} % Für jedes Alphabet $\sum$ existiert eine Sprache L über $\sum$, die von keiner Grammatik G erzeugt wird. child[theme, level distance=2cm]{node{ Pumping Lemma} %Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann gibt es $n\leq 1$ derart, dass für alle $x\in L$ mit $|x|\geq n$ gilt: es gibt Wörter $u,v,w \in \sum^*$ mit: %1. $x=uvw$ %2. $|uv|\leq n$ %3. $|v|\geq 1$ %4. $uv^i w\in L$ für alle $i\geq 0$ %Dieses Lemma spricht nicht über Automaten, sondern nur über die Eigenschaften der Sprache. Es ist geeignet, Aussagen über Nicht-Regularität zu machen. Dabei ist es aber nur eine notwendige Bedingung. Es kann nicht genutzt werden, um die Regularität einer Sprache L zu zeigen. } child[theme, level distance=3cm]{node{ Myhill-Nerode Äquivalenz} %Für eine Sprache $L\subseteq \sum^*$ definieren wir eine binäre Relation $R_L \subseteq \sum^* \times \sum^*$ wie folgt: Für alle $x,y\in \sum^*$ setze $(x,y)\in R_L$ genau dann, wenn $\forall z \in \sum^* :(xy\in L \leftrightarrow yz \in L)$ gilt. Wir schreiben hierfür auch $x R_L y$. % Definition: Für eine Sprache L und ein Wort $x\in \sum^*$ ist $[x]_L=\{y\in\sum^* | x R_L y \}$ die Äquivalenzklasse von x. Ist L klar, so schreiben wir einfacher $[x]$. %Satz von Myhill-Nerode: Sei L eine Sprache. L ist regulär $\leftrightarrow index(R_L)< \infty$ (d.h. nur wenn die Myhill-Nerode-Äquivalenz endliche Klassen hat) } } child{node [subtopic] {Minimalautomat} %Ein DFA M heißt reduziert, wenn es für jeden Zustand $z \in Z$ ein Wort $x_z\in \sum^*$ gibt mit $\hat{\sigma}(l, x_z)=z$ } child{node [subtopic] {Entscheidbarkeit} child[theme, level distance=1cm]{node{Wortproblem}} child[theme, level distance=1cm]{node{Leerheitsproblem}} child[theme, level distance=1cm]{node{Endlichkeitsproblem}} child[theme, level distance=1cm]{node{Schnittproblem}} child[theme, level distance=1cm]{node{Inklusionsproblem}} child[theme, level distance=1cm]{node{Äquivalenzproblem}} }; \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture} \node[topic]{Kontextfreie Sprachen} child{node [subtopic] { Ableitungsbäume}} child{node [subtopic] {Linksableitung}} child{node [subtopic] {Chomsky Normalform}} child{node [subtopic] {Der Cocke-Younger-Kasami- oder CYK-Algorithmus}} child{node [subtopic] {Kellerautomaten}} child{node [subtopic] {die Greibach-Normalform}} child{node [subtopic] {PDAs mit Endzuständen}} child{node [subtopic] {Deterministisch kontextfreie Sprachen}} child{node [subtopic] {das Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen}} child{node [subtopic] {das Lemma von Ogden (William Ogden)}} ; \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture} \node[topic]{Berechenbarkeit} child{node [subtopic] {Loop-Berechenbarkeit}} child{node [subtopic] {While Programme} child[theme, level distance=1cm]{node{Gödels Vermutung}} } child{node [subtopic] {GoTo Programme} child[theme, level distance=1cm]{node{Kleenesche Normalform}} } child{node [subtopic] {Turing Berechenbarkeit}} ; \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture} \node[topic]{Entscheidbarkeit} child{node [subtopic] {Halteproble}} child{node [subtopic] {Reduktion}} child{node [subtopic] {Rechnen mit Kodierungen}} child{node [subtopic] {Satz von Rice}} child{node [subtopic] {Semi Entscheidbarkeit}} child{node [subtopic] {Universelle Turing Maschine}} child{node [subtopic] {Totale berechenbare Funktionen}} child{node [subtopic] {Einige unentscheidbare Probleme}} ; \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture} \node[topic]{Komplexitätstheorie} child{node [subtopic] {Berechenbarkeitstheorie}} child{node [subtopic] {Frage der Komplexitätstheorie}} child{node [subtopic] {Komplexitätsklassen} child[theme, level distance=1cm]{node{Deterministische Zeitklassen}} child[theme, level distance=1cm]{node{Deterministische Platzklassen}} child[theme, level distance=1cm]{node{Nichtdeterministische Zeitklassen}} child[theme, level distance=1cm]{node{Nichtdeterministische Platzklassen}} } child{node [subtopic] {Polynomialzeit-Reduktionen}} child{node [subtopic] {NP-Vollständigkeit}} child{node [subtopic] {Weitere NP-vollständige Probleme} child[theme, level distance=1cm]{node{3-SAT ist NP-vollständig}} child[theme, level distance=1cm]{node{3C ist NP-vollständig}} child[theme, level distance=1cm]{node{DHC ist NP-vollständig}} child[theme, level distance=1cm]{node{HC ist NP-vollständig}} child[theme, level distance=1cm]{node{TSP ist NP-vollständige}} }; \end{tikzpicture} \end{document}