Informatik/Stochastik.md

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Stochastik	Wintersemester 20/21	Wieerwill

• Wahrscheinlichkeiten
  • Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega , P)$
  • Ereignisalgebra
  • Rechengesetze
  • Vierfeldertafel
  • Absolute Häufigkeit
  • Relative Häufigkeit
  • Mehrstufige Zufallsexperimente
    • Baumdiagramm
  • Kombinatorik
  • Laplace Expriment
  • Stochastische Unabhängigkeit
  • Bedingte Wahrscheinlichkeiten
    • Multiplikationssatz
    • Totale Wahrscheinlichkeit
    • Satz von Bayes
  • Zufallsvariable
    • Diskrete Zufallsvariable
    • Stetige Zufallsvariable
  • Wahrscheinlichkeitsverteilung
    • Wahrscheinlichkeitsfunktion
    • Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Diskrete Verteilungsfunktionen
    • Stetige Verteilungsfunktion
  • Erwartungswert
  • Varianz
  • Standardabweichung
  • Diskrete & Stetige Verteilung
• Deskriptive Statistik
  • Merkmale
  • Lageparamter
  • Streuungsparameter
  • Skalenniveaus
• Schätzer
  • Schätzfunktionen und Schätzwert für den Mittelwert
  • Schätzfunktionen und Schätzwert für die Varianz
  • Schätzfunktionen und Schätzwert für den Anteilswert
  • Gütekriterien
  • Schätzverfahren

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Wahrscheinlichkeiten

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang.

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Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega , P)

• Ergebnis-/Grundraum \Omega, Menge aller möglichen Elementarereignisse (Bsp: \Omega={heil, kaputt}^x)
  • die Anzahl aller möglichen Ergebnisse heißt Mächtigkeit des Ergebnisraums |\Omega| (Bsp: |\Omega|=2)
  • Endlicher Ergebnisraum: die Elemente können abgezählt und eine Obergrenze angegeben werden
  • Abzählbar-unendlicher Ergebnisraum: die Elemente können abgezählt aber keine Obergrenze angegeben werden
  • Überabzählbar-unendlicher Ergebnisraum: die Elemente können nicht abgezählt werden
• Ergebnis/Ausgang \omega \in \Omega (Bsp: \omega=(heil, heil, heil, kaputt, heil...), \omega_1=(heil))
  • ein Ergebnis, das genau ein Element enthält, heißt ELementarergebnis
• Ereignis A \subseteq \Omega (Bsp: A={\omega: Anzahl kaputt = 2 })
  • das Ereignis, das kein Element enthält, heißt unmögliches Ereignis (Bsp "Augenzahl größer 6" beim Würfelwurf)
  • das Ereignis, das genau ein Element enthält, heißt Elementarereignis
  • Ein Ereignis, das mehr als ein Element enthält, heißt zusammengesetztes Ereignis.
  • das Ereignis, das alle Elemente von \Omega enthält, heißt sicheres Ereignis \Omega: P(\Omega)= 1
• Wahrscheinlichkeitsmaß/Ereignisraum, die Menge aller Ereignisse, P(\Omega)
  • setzt sich zusammen aus dem unmöglichen Ereignis, den Elementarereignissen, den mehrelementigen Teilmengen und dem sicheren Ereignis (Bsp P(\Omega)=\{\{\},\{heil\},\{kaputt\},\{heil, kaputt\} \})
  • die Anzahl der möglichen Ereignisse heißt Mächigkeit des Ereignisraums |P(\Omega)|
  • Der Ereignisraum besteht aus 2^{|\Omega|} Ereignissen
• Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt: \Omega \supseteq A \rightarrow P(A) \in [0,1]
• $\sigma$-Additivität: P(U_{k\in N} A_k)= \sum_{k\in N} P(A_k) für disjunkte A_k, k\in N

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Ereignisalgebra

• Vereinigung: A\cup B= \{\omega | \omega\in A \vee \omega\in B \}
  • Bsp: A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, A\cup B=\{1,2,3\}
• Durchschnitt: A\cap B = \{\omega | \omega\in A \wedge \omega\in B \}
  • Bsp: A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, A\wedge B=\{2\}
• Gegenereignis: \bar{A} = \{\omega | \omega\not\in A\}
  • Bsp: A=\{1,2\}, \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}, \bar{A}=\{3,4,5,6\}
• Differenz A \backslash B = A\cap\bar{B} = \{\omega| \omega\in A \wedge \omega\not\in B\}
  • Bsp: A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, A\backslash B=\{1\}
• Symmetrische Differenz (A\cap \bar{B})\cup(\bar{A}\cap B)
  • die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B, nicht aber zu beiden Ereignissen gehören
  • Bsp: A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, A\cup B=\{1,3\}
• disjunkte Ereignisse A\cap B = \varnothing
  • wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben (unvereinbar)

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Rechengesetze

• Kommutativ:
  • A\cup B = B\cup A
  • A\cap B = B\cap A
• Assoziativ:
  • (A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C)
  • (A\cap B)\cap C = A\cap(B\cap C)
• Distributiv:
  • A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)
  • A\cup(B\cap C)= (A\cup B)\cap (A\cup C)
• Absorption
  • A\cap(A\cup B)=A
  • A\cup(A\cap B)=A
• Idempotenz
  • A\cap A=A
  • A\cup A=A
• De-Morgan-Gesetz
  • \bar{A}\cap\bar{B}=\overline{A\cup B}
  • \bar{A}\cup\bar{B}=\overline{A\cap B}
• Neutrale Elemente
  • A\cap \Omega=A
  • A\cup \varnothing = A
• Dominante Elemente
  • A\cap \varnothing = \varnothing
  • A\cup \Omega = \Omega
• Komplemente
  • A\cap \bar{A} = \varnothing
  • A\cup \bar{A} = \Omega
  • \bar{\bar{A}} = A

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Vierfeldertafel

Alle vier Felder zusammen entsprechen dem Ergebnisraum \Omega

\Omega	B	\bar{B}
A	A\cap B	A\cap \bar{B}
\bar{A}	\bar{A}\cap B	\bar{A}\cap\bar{B}

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Absolute Häufigkeit

Die absolute Häufigkeit H_n(E) gibt an, wie oft das Ereignis E innerhalb eines Zufallsexperiments, welches n-mal ausgeführt wird, aufgetreten ist.

Die Summe der absoluten Häufigkeiten ergibt n.

Bsp: Münze wird 20 mal geworfen. Man erhält 8 mal Kopf und 12 mal Zahl:

• H_{20}(Kopf)=8
• H_{20}(Zahl)=12

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Relative Häufigkeit

Tritt ein Ereignis E bei n Versuchen $k$-mal ein, so heißt die Zahl h_n(E)=\frac{k}{n} relative Häufigkeit des Ereignisses E.

anders: h_n(E)=\frac{H_n(E)}{n}

Bsp: Münze wird 20 mal geworfen. Man erhält 8 mal Kopf und 12 mal Zahl:

• h_{20}(Kopf)=\frac{8}{20}=0,4

• h_{20}(Zahl)=\frac{12}{20}=0,6

• die Relative Häufigkeit nimmt Werte zwischen 0 und 1 an

• die relative Häufigkeit des sicheren Ereignisses ist 1 h_n(\Omega)=1

• die relative Häufigkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0 h_n(\{\})=0

• jedes Ereignis und sein Gegenereignis ergänzen sich zum Ergebnisraum \Omega, d.h. hn(\bar{E})=1-h_n(E)

• h_n(A\cup B)= h_n(A)+h_n(B)-h_n(A\cap B)

• H_n(E)=h_n(E)*n

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Mehrstufige Zufallsexperimente

Baumdiagramm

Ein Baumdiagramm ist eine graphische Darstellung, welche die möglichen Ergebnisse eines bestimmten Ablaufs hierarchischer Entscheidungen zeigt.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1.

Die Pfadregeln dienen der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in einem mehrstufigen Zufallsexperiment.

1. (UND) Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades.
   • Bsp: P(\{SS\})=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}
2. (ODER) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.
   • Bsp: P(\{SW, WS\})=\frac{1}{2}*\frac{1}{3} + \frac{1}{3}*\frac{1}{2}

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Kombinatorik

Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) von Objekten.

• Permutation
  • k=n (d.h. es werden alle Elemente k der Grundmenge n betrachtet)
  • Reihenfolge der Elemente wird berücksichtigt
• Variation
  • k<n (d.h. es wird nur eine Stichprobe - also k Elemente der Grundmenge n betrachtet)
  • Reihenfolge der Elemente wird berücksichtigt \rightarrow Variation = geordnete Stichprobe
• Kombination
  • k<n (d.h. es wird nur eine Stichprobe - also k Elemente der Grundmenge n betrachtet)
  • Reihenfolge der Elemente wird nicht berücksichtigt \rightarrow Kombination = ungeordnete Stichprobe

1. Permutation ohne Wiederholung
   • Für das erste Objekt gibt es n Platzierungsmöglichkeiten. Für das zweite Objekt verbleiben (n−1) Möglichkeiten, für das dritte Objekt (n−2) ... und für das letzte Objekt verbleibt nur noch eine Möglichkeit.
   • kurz: n!
2. Permutation mit Wiederholung
   • Sind genau k Objekte identisch, dann sind diese auf ihren Plätzen vertauschbar, ohne dass sich dabei eine neue Reihenfolge ergibt. Auf diese Weise sind genau k! Anordnungen gleich.
   • kurz: \frac{n!}{k!} und mit mehreren Gruppen \frac{n!}{k_1! * k_2!...}
3. Variation ohne Wiederholung
   • Für das erste Objekt gibt es n Platzierungsmöglichkeiten. Für das zweite Objekt verbleiben (n-1) Möglichkeiten, für das dritte Objekt (n-2) ...und für das letzte Objekt verbleiben noch (n-k+1) Möglichkeiten.
   • kurz: \frac{n!}{(n-k)!}
4. Variation mit Wiederholung
   • Für das erste Objekt gibt es n Auswahlmöglichkeiten. Da Objekte mehrfach ausgewählt werden dürfen, gibt es auch für das zweite, dritte und k-te Objekt n Möglichkeiten.
   • n^k
5. Kombination ohne Wiederholung
   • Der einzige Unterschied zwischen einer Variation ohne Wiederholung und einer Kombination ohne Wiederholung ist die Tatsache, dass bei der Kombination im - Gegensatz zur Variation - die Reihenfolge der Objekte keine Rolle spielt.
   • kurz: \frac{n!}{(n-k)!*k!} = \binom{n}{k}
6. Kombination mit Wiederholung
   • Durch eine kleine Modifikation des Zählers und des Nenners gelangen wir schließlich zur Formel für eine Kombination mit Wiederholung
   • \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!*k!} = \binom{n+k-1}{k}

		Menge	Reihenfolge
Permutation ohne Wiederholung	n!	n aus n	beachtet
Permutation mit Wiederholung	\frac{n!}{k_1!*k_2!*...}	n aus n	beachtet
Variation ohne Wiederholung	\frac{n!}{(n-k)!}	k aus n	beachtet
Variation mit Wiederholung	n^k	k aus n	beachtet
Kombination ohne Wiederholung	\binom{n}{k}	k aus n	nicht beachtet
Kombination mit Wiederholung	\binom{n+k-1}{k}	k aus n	nicht beachtet

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Laplace Expriment

Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}

\Omega sei endlich und P(\omega)=\frac{1}{\Omega} \rightarrow Laplace-Verteilung oder diskrete Gleichverteilung \rightarrow für A \subseteq \Omega: P(A)=\sum_{\omega \in A} P(\omega)=\frac{*A}{*\Omega}=\frac{\text{Anzahl "günstige" Ausgänge"}}{\text{Anzahl "alle" Ausgänge}}

Vorgehen: Laplace Wahrscheinlichkeit

1. Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen
2. Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen E eintritt
3. Laplace Wahrscheinlichkeit berechnen

Satz von de Moivre-Laplace: Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p sowie reelle Zahlen a und b gilt P(a\leq X \leq b)= \int_{a-0,5}^{b+0,5} \varphi_{\mu_i \delta} (x) dx_i wobei \mu = n*p und \delta?\sqrt{n*p*(1-p)} ist.

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Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst.

Bsp:

• Ziehen mit Zurücklegen (unabhängig): Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A im 2. Zug ist unabhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis B oder \bar{B} eintritt. In beiden Fällen ist die Wahrscheinlichkeit gleich P(A).
• Ziehen ohne Zurücklegen (anhängig): Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A im 2. Zug ist abhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis B oder \bar{B} eintritt: P_B(A) ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist. P_{\bar{B}}(A) ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass \bar{B} eingetreten ist.

Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig, wenn gilt: P(A \cap B)=P(A)*P(B). Wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, dann sind dies auch \bar{A} und B, A und \bar{B} sowie \bar{A} und \bar{B}.

Bei stochastischer Unabhängigkeit zweier Ereignisse hat jeder in die gleiche Richtung zeigende Ast in einem Baumdiagramm die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Bei stochastischer Unabhängigkeit zweier Ereignisse ist die Wahrscheinlichkeit eines Feldes in der Vierfeldertafel gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Zeile und der zugehörigen Spalte.

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Bedingte Wahrscheinlichkeiten

P_B(A) ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist; häufig schreibt man auch P(A|B). die bedingte Wahrscheinlichkeit von "A gegeben B": P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

A,B \subseteq \Omega mit P(B)> 0; man beobachtet, dass B eintritt nachdem A eingetreten ist.

die totale Wahrscheinlichkeit: P(A)=\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)

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Multiplikationssatz

Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades.

Bsp: P(A\cap B)= P(B)*P_B(A)

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Totale Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse A und B: Bsp: P(A) = P(A\cap B) + P(A\cap \bar{B}) = P(B)*P_B(A)+P(\bar{B})*P_{\bar{B}}(A)

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Satz von Bayes

Der Satz von Bayes erlaubt das Umkehren von Schlussfolgerungen: Man geht von einem bekannten Wert P_A(B) aus, mit dessen Hilfe man P_B(A) berechnet.

Um die Formel für die Berechnung von P_A(B) aus P_B(A) zu erhalten, müssen wir zwei Baumdiagramme mit unterschiedlichem Ablauf miteinander verknüpfen. Nach dem Multiplikationssatz gilt: P(A\cap B)=P(B)*P_B(A). Nach P_B(A) aufgelöst gilt P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}. Nach dem zweiten Multiplikationssatz gilt P(A\cap B)=P(A)*P_A(B). Einsetzten der Formel in die erste Abbildung: P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \Rightarrow P(A\cap B)=P(A)*P_A(B). daraus erhält man den Satz von Bayes P_B(A)=\frac{P(A)*P_A(B)}{P(B)}

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Zufallsvariable

Eine Funktion X, die jedem Ergebnis \omega des Ergebnisraum \Omega genau eine Zahl x der Menge der reelen Zahlen \R zuordnet, heißt Zufallsvariable. Kurz X:\Omega\rightarrow\R Veranschaulicht: Eine Zufallsvariable ordnet jedem \omega_i aus \Omega genau ein x_i aus \R zu.

Es gibt drei Möglichkeiten, eine (diskrete) Zufallsvariable darzustellen:

1. als Wertetabelle
2. als abschnittsweise definierte Funktion
3. als Mengendiagramm

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Diskrete Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable X wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt.

1. Bsp: X:=„Anzahl Würfe, bis zum ersten Mal 6 erscheint“ -> unendliche Wertemenge, die jedoch abzählbar ist
2. Bsp: X:=„Anzahl defekter Artikel in einer Stichprobe“ -> endliche Wertemenge

Diskrete Zufallsvariablen entstehen meist durch einen Zählvorgang.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen.

Erwartungswert :$\mu_x =E(X)=\sum_i x_i*P(X=x_i)$\ Varianz: $\omega^2_X = Var(X) = \sum_i(x_i-\mu_X)^2 *P(X=x_i)$\ Standardabweichung: \omega_X = \sqrt{Var(x)}

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Stetige Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable X wird als stetig bezeichnet, wenn sie überabzählbar unendlich viele Werte annimmt.

1. Bsp: X:=„Gewicht einer zufällig ausgewählten Person“ -> unendliche Wertemenge, die nicht abzählbar ist
2. Bsp X:=„Geschwindigkeit eines an einer Radarkontrolle vorbeifahrenden Autos“ -> unendliche Wertemenge, die nicht abzählbar ist

Stetige Zufallsvariablen entstehen meist durch einen Messvorgang.

Erwartungswert: $\mu_X= E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x*f(x)dx$\ Varianz: $\omega_X^2 =Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu_X)^2 *f(x)dx$\ Standardabweichung: \omega_X= \sqrt{Var(X)}

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Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen.

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich entweder

• durch die Verteilungsfunktion oder
• die Wahrscheinlichkeitsfunktion (bei diskreten Zufallsvariablen)
• bzw. die Dichtefunktion (bei stetigen Zufallsvariablen) vollständig beschreiben.

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Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine Funktion f, die jedem x einer Zufallsvariablen X genau ein p aus [0;1] zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion. Kurz: f:x\rightarrow p

P(X=x) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsgröße X den Wert x annimmt.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f der Zufallsvariablen X gibt die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Realisationen von X an: $f(x)=P(X=x)= \begin{cases} p_i \text{für } x=x_i (i=1,2,...,n) \ 0 \text{sonst} \end{cases}$ Für die Summe der Wahrscheinlichkeiten gilt \sum_{i=1}^n p_i=1

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Dichtefunktion

Die Dichtefunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Eigenschaften der Dichtefunktion

• Die Dichtefunktion kann nur positive Werte annehmen. f(x) \geq 0 für alle x\in\R
• Die Fläche unter der Dichtefunktion hat den Inhalt 1. \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx= 1

Die Verteilungsfunktion ergibt sich durch Integration der Dichtefunktion:

F(X)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^x f(u)du

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable X einen bestimmten Wert x annimmt, ist stets Null. P(X=x)=0

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Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer diskreten oder stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Eine Funktion F, die jedem x einer Zufallsvariablen X genau eine Wahrscheinlichkeit P(X\leq x) zuordnet, heißt Verteilungsfunktion: F:x \rightarrow P(X\leq x). P(X\leq x) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt.

• Die Verteilungsfunktion F einer diskreten Zufallsgröße X ist eine Treppenfunktion
• F(x) ist monoton steigend
• F(x) ist rechtssteitig stetig
• lim_{x\rightarrow -\infty} F(x)=0 und lim_{x\rightarrow +\infty} F(x) =1

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Diskrete Verteilungsfunktionen

1. P(X\leq a)=F(a)
2. P(X<a)= F(a)−P(X=a)
3. P(X>a)= 1−F(a)
4. P(X\geq a)=1−F(a)+P(X=a)
5. P(a<X\leq b)=F(b)−F(a)
6. P(a\leq X \leq b)=F(b)−F(a)+P(X=a)
7. P(a<X<b) = F(b)−F(a)−P(X=b)
8. P(a\leq X < b)=F(b)−F(a)+P(X=a)−P(X=b)

Eigenschaften einer Verteilungsfunktion

• F(x) ist monoton steigend.
• F(x) ist rechtsseitig stetig.
• lim_{x\rightarrow -\infty} F(x)=0 und lim_{x\rightarrow +\infty} F(x)=1

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Stetige Verteilungsfunktion

F(X)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x} f(u) du

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable X einen bestimmten Wert x annimmt, ist stets Null.

• P(X=x)=0
• P(X\leq a)=F(a)
• P(a<X\leq b)=F(b)−F(a)
• P(X>a)=1−F(a)

	Dichtefunktion	Verteilungsfunktion	Erwartungswert	Varianz
Normalverteilung	f(x)=\frac{1}{\sigma*\sqrt{2\pi}}*e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}	F(x)=\frac{1}{1-\sigma*\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{1}{2}(\frac{u-\mu}{\sigma})^2}du	E(Y)=\mu	Var(Y)=\sigma^2
Stetige Verteilung	f(x)=\begin{cases}0 \quad\text{ für } x<a \\ \frac{1}{b-a} \quad\text{ für } a\leq x \leq b \\ 0 \quad\text{ für } x>b \end{cases}	F(x)=\begin{cases} 0 \quad\text{ für } x\leq a \\ \frac{x-a}{b-a} \quad\text{ für } a< x < b \\ 1 \quad\text{ für } x\geq b\end{cases}	E(X)=\frac{a+b}{2}	Var(X)=\frac{1}{12}(b-a)^2
Exponentialverteilung	f(x)=\begin{cases}0 \quad\text{ f+r } x<0 \\ \frac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}} \quad\text{ für } x\geq 0 \end{cases}	F(x)=\begin{cases} 0 \quad\text{ für } x<0 \\ 1-e^{-\frac{x}{\mu}} \quad\text{ für } x\geq 0 \end{cases}	E(X)=\frac{1}{\lambda}	-
Binomialverteilung	f(x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}	-	E(X)=np	Var(X)=np(1-p)
Geometrische Verteilung	f(x)=(1-p)^{x-1}*p	-	E(X)=\frac{1}{p} bzw. E(Y)=E(X)-1=\frac{1-p}{p}	-
Hypergeometrische Verteilung	f(x)=\frac{\binom{X}{x}*\binom{W}{w}}{\binom{N}{n}}	-	-	-
Poisson-Verteilung	f(x)=e^{-\lambda}*\frac{\lambda^x}{x!}	-	E(X)=\lambda	Var(X)=\lambda
empirische Verteilung	f(x)=\frac{1}{n}	P=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sigma_{x_i}	E(X)=\frac{1}{n}_{i=1}^n x_i	Var(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2
Laplace Verteilung	f(x)=\frac{1}{2\sigma}e^{-\frac{\| x-\mu \|}{\sigma}}	-	-	-
Dirac Maß	-	F(X)=\begin{cases} 1 \quad\text{ falls } x< b \\0 \quad\text{ falls } b \leq x \end{cases}	E(X)=b	Var(X)=0

diskret	stetig
Binominalverteilung	Normalverteilung
Hypergeometrische Verteilung	Stetige Gleichverteilung
Poisson Verteilung	Exponentialverteilung

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Erwartungswert

Der Erwartungswert ist eine Maßzahl zur Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung und beschreibt die zentrale Lage einer Verteilung.

Ist X eine diskrete Zufallsvariable, so heißt \mu_x = E(X)=\sum_i x_i*P(X=x_i) der Erwartungswert von X.

Ist X eine stetige Zufallsvariable, so heißt \mu_x=E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x*f(x) dx der Erwartungswert von X.

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Varianz

Die Varianz ist eine Maßzahl zur Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung und beschreibt die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert.

Ist X eine diskrete Zufallsvariable, so heißt \delta_x^2 = Var(X) = \sum_i (x_i-\mu_x)^2*P(X=x_i) die Varianz von X.

Ist X eine stetige Zufallsvariable, so heißt \delta_x^2 = Var(X)= \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu x)^2*f(x) dx die Varianz von X.

Verschiebungssatz: Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2

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Standardabweichung

Die Standardabweichung ist eine Maßzahl zur Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung und beschreibt die erwartete Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert.

\delta_x = \sqrt{Var(X)}

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Diskrete & Stetige Verteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen. Eine Verteilung lässt sich entweder durch eine

• Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskret)
• Dichtefunktion (stetig) oder
• Verteilungsfunktion (beide)

vollständig beschreiben.

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Deskriptive Statistik

Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen.

Die Menge aller Elemente, auf die ein Untersuchungsziel in der Statistik gerichtet ist, heißt Grundgesamtheit. Eine Datenerhebung der Grundgesamtheit nennt man Vollerhebung, wohingegen man eine Datenerhebung einer Stichprobe als Stichprobenerhebung bezeichnet. Die in einer Stichprobe beobachteten Werte heißen Stichprobenwerte oder Beobachtungswerte.

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Merkmale

Merkmale sind jene Eigenschaften, die bei einer Datenerhebung untersucht werden.

qualititativ		vs.	quantitativ
nominal (Ausprägung)	ordinal (Rangfolge)	|	diskret (ganzzahlig)	stetig (beliebig)
Geschlecht	Schulnote	|	Schülerzahl	Gewicht

• Qualitative Merkmale lassen sich artmäßig erfassen.
  • nominale Merkmale (Bsp. Geschlecht): Einzelne Ausprägungen des Merkmals lassen sich feststellen und willkürlich nebeneinander aufreihen. Es lässt sich keine Aussage über eine Reihenfolge oder über Abstände einzelner Ausprägungen machen.
  • ordinale Merkmale (Bsp. Schulnoten): Einzelne Merkmale lassen sich zwar nicht im üblichen Sinne messen, wohl aber in eine Reihenfolge bringen. Eine Aussage über den Abstand der Ränge lässt sich dagegen nicht machen.
• Quantitative (metrische) Merkmale lassen sich zahlenmäßig erfassen.
  • diskrete Merkmale (Bsp. Schülerzahl): Es gibt nur bestimmte Ausprägungen, die sich abzählen lassen. Die Merkmalsausprägungen diskreter Merkmale sind also ganze, meist nichtnegative Zahlen.
  • stetige Merkmale (Bsp. Gewicht): Einzelne Ausprägungen eines Merkmals können jeden beliebigen Wert innerhalb eines gewissen Intervalls annehmen.

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Lageparamter

Unter dem Begriff Lageparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Lage einer Verteilung machen.

Lageparamter
Arithmetisches Mittel	x=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=\frac{1}{n}*\sum_{i=1}^n x_i
Geometrisches Mittel	\bar{x}_{geom} = \sqrt[n]{x_1*x_2*\dots*x_n}
Harmonisches Mittel	\bar{x}_{harm} = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}
Median	\tilde{x} = \begin{cases} x_{\frac{n+1}{2}} \quad\text{ für n ungerade} \\ \frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}) \quad\text{ für n gerade}\end{cases} Der Wert, welcher größer oder gleich 50% aller Werte ist.
Modus	\bar{x}_d= Häufigster Beobachtungswert

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Streuungsparameter

Unter dem Begriff Streuungsparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Verteilung von einzelnen Werten um den Mittelwert machen.

Streuungsparameter
Spannweite	R=x_{max}-x_{min}
Interquartilsabstand	IQR=Q_{0,75}-Q_{0,25}
Mittlere absolute Abweichung	D=\frac{1}{n} * \sum_{i=1}^{n} \|x_i-\bar{x}\|

• Das 0,75-Quartil Q_{0,75} entspricht dem Wert, welcher größer oder gleich 75% aller Werte ist.
• Das 0,25-Quartil Q_{0,25} entspricht dem Wert, welcher größer oder gleich 25% aller Werte ist.

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Skalenniveaus

Skalen	diskret	qualitiativ		für
Nominalskala			Klassifikation, Kategorien	Geschlecht, Studiengang
Ordinalskala			Rangordnung ist definiert	Schulnoten
Intervallskala			Rangordnung und Abstände sind definiert	Temperatur
Verhältnisskala			Rangordnung, Abstände und natürlicher Nullpunkt definiert	Gehalt, Gewicht
Absolutskala	Y	Y	Rangordnung, Abstände, natürlicher Nullpunkt und natürliche Einheiten	Anzahl Fachsemester

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Schätzer

Ganz allgemein schätzt man einen beliebigen Parameter, indem man die Daten aus der gesammelten Stichprobe mit einer bestimmten Formel zusammenfasst. Diese Formel nennt man dann Schätzer oder Schätzfunktion – die Formel ist eine Funktion, weil sie die Stichprobe in einen Schätzer transformiert. Als Beispiele können wir die Schätzfunktionen für den Anteilswert p betrachten – der Schätzer wird dann meist \hat{p} („p-Dach“) genannt:

\hat{p}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}

Beispiel Schätzer für Variant \sigma^2 in der Grundgesamtheit: \hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2

Schätzfunktionen und Schätzwert für den Mittelwert

Der Erwartungswert \mu wird in der Regel mit dem arithmetischen Mittel der Stichprobe geschätzt:

Schätzfunktion	Schätzwert
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i	\hat{\mu}=\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i

Ist die Verteilung symmetrisch, kann auch der Median der Stichprobe als Schätzwert für den Erwartungswert verwendet werden:

Schätzfunktion	Schätzwert
Z=X_{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}	\hat{\mu}=z=x_{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}

Schätzfunktionen und Schätzwert für die Varianz

Schätzfunktion	Schätzwert
S_n^2= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2	\hat{\sigma}^2=s_n^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2

Schätzfunktionen und Schätzwert für den Anteilswert

Schätzfunktion	Schätzwert
\prod=\frac{X}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i	\pi^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i

Gütekriterien

Eine erwartungstreue Schätzfunktion ist im Mittel (Erwartungswert) gleich dem wahren Parameter \gamma: E(g_n)=\gamma.

Verzerrung eines Schätzers Bias(g_n)=E(g_n)-\gamma = E(g_n - \gamma)

Mittlerer quadratischer Fehler MSE(g_n)=E[(g_n-\gamma)^2]=(E[g_n-\gamma])^2+E[(g_n-E(g))^2]=(Bias(g_n))^2 + Var(g_n)

Schätzverfahren

• Maximum-Likelihood-Schätzung

• Momentenmethode

• Kleinste-Quadrate-Schätzung