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\documentclass[10pt, a4paper]{exam}
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\printanswers % Comment this line to hide the answers
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\pdfinfo{
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/Title (Kryptographie - Übung)
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/Creator (TeX)
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/Producer (pdfTeX 1.40.0)
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/Author (Robert Jeutter)
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/Subject ()
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}
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\title{Kryptographie - Übung}
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\author{}
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\date{}
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\setcounter{secnumdepth}{0}
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\newtcolorbox{myboxii}[1][]{
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breakable,
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freelance,
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title=#1,
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coltitle=black,
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colframe=white,
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overlay unbroken and first={
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\draw[red!75!black,line width=3pt]
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},
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},
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([xshift=-5pt]frame.south east);
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},
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}
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\begin{document}
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\begin{myboxii}[Disclaimer]
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Die Übungen die hier gezeigt werden stammen aus der Vorlesung \textit{Kryptographie}! Für die Korrektheit der Lösungen wird keine Gewähr gegeben.
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\end{myboxii}
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\begin{questions}
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\question Possibilistisch sichere Kryptosysteme
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Bestimmen Sie alle possibilistisch sicheren Kryptosysteme $S=(X,K,Y,e,d)$ mit $X=\{a,b\}$ und $K=\{1,2\}$ (bis auf das Umbenennen von Chiffretexten).
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\question Possibilistische Sicherheit: Eine alternative Definition?
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Beweisen oder widerlegen Sie: Ein Kryptosystem $S=(X,K,Y,e,d)$ ist possibilistisch sicher genau dann, wenn Folgendes gilt: $\forall x\in X\forall y\in Y\exists k\in K:d(y,k)=x$.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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Bemerkung: Im Gegensatz zur Definition der possibilistischen Sicherheit wird hier eine Aussage über die Entschlüsselungsfunktion gemacht.
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\question Possibilistische Sicherheit bei komponentenweiser Verschlüsselung
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Gegeben seien ein Kryptosystem $S=(X,K,Y,e,d)$ und $l\in\mathbb{N}^+$. Wir können $S$ benutzen, um längere Klartexte (Elemente aus $X^l$) zu verschlüsseln.
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Das Kryptosystem $S'=(X^l,K,Y^l,e',d')$ mit $e'((x_1,...,x^l),k)=(e(x_1,k),...,e(x_l,k))$ verschlüsselt komponentenweise unter Verwendung eines einzigen Schlüssels $k$.
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\begin{parts}
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\part Definieren Sie $d'$ so, dass $S'$ tatsächlich ein Kryptosystem ist.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Zeigen Sie, dass $S'$ für $|X|,l\geq 2$ nicht possibilistisch sicher ist. (Dies gilt auch dann, wenn S selber possibilistisch sicher ist!)
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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Das Kryptosystem $S^*=(X^l,K^l,Y^l,e^*,d^*)$ mit $e^*((x_1,...,x_l),(k_1,...,k_l))=(e(x_1,k_1),..., e(x_l,k_l))$ verschlüsselt komponentenweise unter Verwendung mehrerer Schlüssel $k_1,...,k_l$.
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\begin{parts}
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\part Definieren Sie $d^*$ so, dass $S^*$ tatsächlich ein Kryptosystem ist.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Zeigen Sie, dass $S^*$ genau dann possibilistisch sicher ist, wenn $S$ possibilistisch sicher ist.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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Notation: Für eine natürliche Zahl $n\geq 2$ sei $Z_n$ die Menge der Zahlen $\{0,1,...,n-1\}$. Die Addition $+_n$ und Multiplikation $*_n$ auf $Z_n$ sind wie folgt definiert: $a +_n b =(a+b)\ mod\ n$ und $a *_n b =(a*b)\ mod\ n$, wobei $x\ mod\ n$ der Rest von $x$ bei Division durch $n$ ist.
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\question Verschiebe- und affines Kryptosystem
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Für $n\in N^+$ betrachten wir zwei Kryptosysteme, um Elemente aus $Z_n$ zu verschlüsseln.
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Das Verschiebekryptosystem (Cäsar-Chiffre) mit Parameter $n$ ist gegeben durch $C_n=(Z_n,Z_n,Z_n,e_n,d_n)$ mit $e_n(x,k)=x +_n k$.
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\begin{parts}
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\part Wie muss $d_n$ definiert werden, damit $C_n$ tatsächlich ein Kryptosystem ist?
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Zeigen Sie, dass $C_n$ possibilistisch sicher ist.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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Das affine Kryptosystem mit Parameter $n\geq 2$ ist gegeben durch $A_n=(Z_n,A_n\times Z_n,Z_n,e_n',d_n')$ mit $A_n=\{a\in Z_n| ggT(a, n) = 1\}$ und $e_n'(x,(a,b)=a *_n x +_n b$.
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Hinweis: Falls $ggT(a,n)=1$, d.h., $a$ und $n$ teilerfremd sind, dann gilt: Es existert genau ein $b\in A_n\subseteq Z_n\backslash\{0\}$, so dass $a*_n b=b*_n a=1$. Dieses Element $b$ heißt ,,multiplikatives Inverses von a modulo n''.
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\begin{parts}
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\part Definieren Sie $d_n'$ so, dass $A_n$ tatsächlich ein Kryptosystem ist.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Zeigen Sie, dass $A_n$ possibilistisch sicher ist.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document}
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