Kontinuierliche Bilder im Ortsbereich

Bildverarbeitung in der Medizin 1.md

@@ -85,6 +85,107 @@ Modellgestützte Interpretation
     - Formbasierte Merkmale
     - Einführung in die Klassifikation
 
+# Bildrepräsentation und Bildeigenschaften im Ortsbereich
+## Ortsbereich
+### Kontinuierliche Bilder
+####  Wiederholung: Kontinuierliche Signale
+##### Das kontinuierliche Signal
+Definition: $x(t)\in\mathbb{R}$ eindimensionale Funktion
+- kontinuierliche Zeitvariable $t\in\mathbb{R}$
+- Funktionswert x = kontinuierlicher Signalwert (Spannung, Strom, ...)
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+##### Dirac Stoß
+- Definition: $\inf_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt=1$, $\delta(t)=\begin{cases}\rightarrow\infty\quad \text{ für } t=0\\ 0\quad\text{ für } t\not= 0\end{cases}$
+- Approximation (Definition): $\delta(t)=lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon}* rect(\frac{t}{\epsilon})$
+- Symmetrie $\delta(-t)=\delta(t)$
+- Stoßgewicht $\inf_{-\infty}^{\infty} a\delta(t)dt = a$
+- Ausblendeigenschaft (Siebeigenschaft) $u(t)*\delta(t-\tau)=u(\tau)*\delta(t-\tau)$
+- Faltung $\inf_{-\infty}^{\infty} u(t)*\delta(t-\tau)d\tau = u(t)*\delta(t)=u(t)$
+- Verschiebung $u(t)*\delta(t-\tau)=u(t-\tau)$
+- Fourier Transformierte $\delta(t) \laplace 1$, $1\Laplace \delta(f)$
+
+##### 1D Faltung
+- Definition: $u_1(t)*u_2(t)=\inf_{-\infty}{\infty} u_1(\tau) * u_2(t-\tau) d\tau$
+- Kommutativgesetz: $u_1(t)*u_2(t)=u_2(t)*u_1(t)$
+- Assoziativgesetz: $[u_1(t)*u_2(t)]*u_3(t)=u_1(t)*[u_2(t)*u_3(t)]$
+- Distributivgesetz: $u_1(t)*[u_2(t)+u_3(t)]= u_1(t)*u_2(t) + u_1(t)*u_3(t)$
+- Neutrales Element: (Einheitselement) $u(t)*\delta(t)=\inf_{-\infty}^{\infty} u(\tau)*\delta(t-\tau)d\tau = u(t)$
+- ![](Assets/Bilderverarbeitung-1d-faltung.png)
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+##### LTI (Linear Time-Invariant) Systeme
+- $x(t)\rightarrow LTI System g(t) \rightarrow y(t)$
+- Eingang/Ausgang: $y(t)=x(t)*g(t) \fourier Y(f)=X(f)*G(f)$
+- Kausalität $g(t)=0$ gilt falls $t<0$
+- BIBO Stabilität $\inf_{-\infty}^{\infty} |g(t)|dt < \infty$
+- Sprungantwort / Stoßantwort
+  - $h(t)=\inf_{-\infty}^t g(\tau)d\tau$
+  - $g(t)=\frac{d}{dt} h(t)$
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+#### Kontinuierliche Bilder
+Das kontinuierliche Bild: Definition als 2D-Grauwertfunktion
+
+Definition: $g(x, y) \in\mathbb{R} \rightarrow$ zweidimensionale Funktion
+- g: Funktionswert = kontinuierlicher Grauwert (Lichtstärke oder Schwächung von Röntgenstrahlung)
+- kontinuierliche Ortsvariablen $x$ und $y$: $x,y\in\mathbb{R}$
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+Alternativ: $g(\underline{r})\in\mathbb{R}$ mit $\underline{r}=\binom{x}{y}\in\mathbb{R}^2$ mit Ortsvektor $\underline{r}$ 
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+Bild als 2D Grauwertfunktion: ![](Assets/Bildverarbeitung-grauwertfunktion.png)
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+Beispiel 2D Rechteck
+- $g(x,y)=rect(x,y)=\begin{cases} 1\quad\text{ für } |x,y|\leq 0,5\\ 0 \quad\text{ sonst}\end{cases}$
+- $g(x,y)=rect(x,y)=rect(x)*rect(y)=g_1(x)*g_2(y)$
+- ...ist eine separierbare Funktion, d.h. $g(x,y)=g_1(x)*g_2(y)$
+- ![](Assets/Bildverarbeitung-2d-rechteck.png)
+  
+Beispiel: 2D Rechteck skaliert
+- $g(x,y)=rect(\frac{x}{\epsilon_x}, \frac{y}{\epsilon_y})=\begin{cases} 1\quad\text{ für } |\frac{x}{\epsilon_x},\frac{y}{\epsilon_y}\leq 0,5 \\ 0\quad\text{ sonst } \end{cases}$
+- $g(x,y)=rect(\frac{x}{\epsilon_x}= rect(\frac{x}{\epsilon_x}) * rect(\frac{y}{\epsilon_y})$
+- ... ist eine separierbare Funktion, d.h.: $g(x,y)=g_1(x)*g_2(y)$
+- ![](Assets/Bildverarbeitung-2d-rechteck-skaliert.png)
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+Beispiel: Approximation des 2D Dirac-Stoßes
+- $\delta(x,y)=lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon^1} * rect(\frac{x}{\epsilon},\frac{y}{\epsilon})$
+- ... ist ebenso separierbar, d.h.: $\delta(x,y)=\delta(x)*\delta(y)$
+- ![](Assets/Bildverarbeitung-2d-dirac-stoß.png)
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+2D-Dirac-Stoß
+- Definition: $\delta(x,y)=\begin{cases} \rightarrow\infty \quad\text{ für } x,y=0 \\ 0 \quad\text{ für } x,y\not=0\end{cases}$
+- $\inf_{-\infty}^{\infty} \inf_{-\infty}^{\infty} \delta(x,y)dx dy=1$
+- Verschobener Dirac-Stoß: $\delta(x-v, y-\eta)$
+  - ![](Assets/Bildverarbeitung-verschobener-dirac-stoß.png)
+- Abtasteigenschaft (Ausblendeigenschaft)
+  - ![](Assets/Bildverarbeitung-dirac-abtasteigenschaft.png)
+  - weil $\inf_{-\infty}^{\infty} \inf_{-\infty}^{\infty} \delta(x,y)dx dy=1$
+  - $g(v,\eta)=\inf_{-\infty}^{\infty} \inf_{-\infty}^{\infty} g(x,y) * \delta(x-v, y-\eta) dx dy$
+  - Mit Hilfe eines um $v, \eta$ verschobenen 2D-Dirac-Stoßes lässt sich $g(x,y)$ an den Ortskoordinaten $v,\eta$ abtasten $\rightarrow g(v,\eta)$
+- 2D-Faltung mit Dirac Stoß: $g(x,y)=\inf_{-\infty}^{\infty} \inf_{-\infty}^{\infty}  g(x,y) * \delta(x-v, y-\eta) dv d\eta = g(x,y) ** \delta(x,y)$
+  - Die Faltung eines Bildes $g(x,y)$ mit dem 2D-Dirac-Stoß ergibt wieder das Bild $g(x,y)$.
+  - $\delta(x,y)=$ Einheitselement (neutrales Element) der 2D Faltung
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+#### Lineare kontinuierliche Operatoren / Point Spread Function
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+Eigenschaft: $g_2(x,y)=U\{g_1(x,y)\}$
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+Linearität: $O\{a_1g_{11} (x,y) +a_2g_{22}(x,y)\}=a_1*O\{g_{11}(x,y)\} + a_2*O\{g_{22}(x,y)\}$
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+Ein- / Ausgangsbeziehung: $g_2(x,y) = Ο\{g_1(x,y)\}= \inf_{-\infty}^{\infty}\inf_{-\infty}^{\infty} g_1(v,\eta)*O\{\delta(x-v,y-\eta)\} dv dn$
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+Impulsantwort (Point Spread Function) $g_2(x,y)=\inf_{-\infty}^{\infty}\inf_{-\infty}^{\infty} g_1(v,\eta)*h(x,y,v,\eta)dv d\eta$
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+Für räumlich invariante (verschiebungsinvariante) Operatoren gilt: $h(x,y,v,\eta)=O\{\delta(x-v,y-\eta)\}=h(x-v,y-\eta)$
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+2D-Faltung mit der Impulsantwort des linearen Operators (Point SpreadFunction): $g_2(x,y)=\inf_{-\infty}^{\infty}\inf_{-\infty}^{\infty} g_1(v,\eta)*h(x-v,y-\eta)dv dn = g_1(x,y) * * h(x,y)$
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+##### Point Spread Function (PSF)
+Beispiel Fokussierungsunschärfe
+![Quelle: Tönnies, ,,Grundlagen der Bildverarbeitung''](Assets/Bildverarbeitung-fokussierungsunsch%C3%A4rfe.png)
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+![Quelle: Tönnies, ,,Grundlagen der Bildverarbeitung''](Assets/Bildverarbeitung-fokussierungsunsch%C3%A4rfe2.png)
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+Beispiel Bewegung
+![Quelle: Tönnies, ,,Grundlagen der Bildverarbeitung''](Assets/Bildverarbeitung-psf-bewegung.png)
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 # Literaturempfehlungen
 - Wilhelm Burger and MarkJ. Burge, ,,Digitale Bildverarbeitung – eine algorithmische Einführung mit Java'', Springer, 3. Auflage, 2015
 - Klaus D. Tönnies, ,,Grundlagen der Bildverarbeitung'', Pearson Studium, 1. Auflage, 2005