Vorlesung 16
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@ -2715,3 +2715,207 @@ $\{\varphi_1,...,\varphi_n\}\Vdash\psi (s_1,...,s_{\iota})$
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- Die Menge der allgemeingültigen Formeln ist semi-entscheidbar, aber nicht entscheidbar.
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- Die Menge der Aussagen, die in $(\mathbb{N},+,*,0,1)$ gelten, ist nicht semi-entscheidbar.
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- Die SLD-Resolution ist ein praktikables Verfahren, um die Menge der "Lösungen" $(s_1,...,s_{\iota})$ von $\Gamma\Vdash\psi(s_1,...,s_{\iota})$ zu bestimmen (wobei $\Gamma$ Menge von gleichungsfreien Horn-Klauseln und $\psi$ Konjunktion von gleichungsfreien Atomformeln sind.
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# Logische Programmierung
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## Einführung in die Künstliche Intelligenz (KI)
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Ziel: Mechanisierung von Denkprozessen
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Grundidee (nach G.W. Leibniz)
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1. lingua characteristica - Wissensdarstellungssprache
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2. calculus ratiocinator - Wissensverarbeitungskalkül
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**Teilgebiete der KI**
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- Wissensrepräsentation
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- maschinelles Beweisen (Deduktion)
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- KI-Sprachen: Prolog, Lisp
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- Wissensbasierte Systeme
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- Lernen (Induktion)
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- Wissensverarbeitungstechnologien (Suchtechniken, fallbasiertes Schließen, Multiagenten-Systeme)
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- Sprach- und Bildverarbeitung
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## Logische Grundlagen
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### PROLOG – ein „Folgerungstool“
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Sei $M$ eine Menge von Aussagen, $H$ eine Hypothese.
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$H$ folgt aus $M(M \Vdash H)$, falls jede Interpretation, die zugleich alle Elemente aus $M$ wahr macht (jedes Modell von M), auch $H$ wahr macht.
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Für endliche Aussagenmengen $M=\{A_1, A_2, ... , A_n\}$ bedeutet das:
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$M \Vdash H$, gdw. $ag(\bigwedge_{i=1}^n A_i\rightarrow A)$ bzw. (was dasselbe ist) $kt(\bigwedge_{i=1}^n A_i \wedge \lnot A)$
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### Aussagen in PROLOG: HORN-Klauseln des PK1
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$A(X_1,...,X_n), A_i(X_1,...,X_n)$ quantorfreie Atomformeln, welche die allquantifizierten Variablen $X_1,...,X_n$ enthalten können
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Varianten / Spezialfälle
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1. Regeln (vollständige HORN-Klauseln)
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$\forall X_1... \forall X_n(A(X_1,...,X_n)\leftarrow \bigwedge_{i=1}^n A_i(X_1,...,X_n))$
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2. Fakten (HORN-Klauseln mit leerem Klauselkörper)
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$\forall X_1...\forall X_n(A(X_1,...,X_n)\leftarrow true)$
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3. Fragen (HORN-Klauseln mit leerem Klauselkopf)
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$\forall X_1...\forall X_n(false \leftarrow \bigwedge_{i=1}^n A_i(X_1,...,X_n))$
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4. leere HORN-Klauseln (mit leeren Kopf & leerem Körper)
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$false\leftarrow true$
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Effekte der Beschränkung auf HORN-Logik
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1. Über HORN-Klauseln gibt es ein korrektes und vollständiges Ableitungsverfahren.
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- $\{K_1, ...,K_n\} \Vdash H$ , gdw. $\{K_1,...,K_n\} \vdash_{ROB} H$
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1. Die Suche nach einer Folge von Resolutionsschritten ist algorithmisierbar.
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- Das Verfahren „Tiefensuche mit Backtrack“ sucht systematisch eine Folge, die zur leeren Klausel führt.
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- Rekursive und/oder metalogische Prädikate stellen dabei die Vollständigkeit in Frage.
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3. Eine Menge von HORN-Klauseln mit nichtleeren Klauselköpfen ist stets erfüllbar; es lassen sich keine Widersprüche formulieren.
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- $K_1 \wedge K_2...\wedge K_n \not= false$
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Die systematische Erzeugung von (HORN-) Klauseln
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1. Verneinungstechnischen Normalform (VTNF): $\lnot$ steht nur vor Atomformeln
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- $\lnot\lnot A\equiv A$
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2. Erzeugung der Pränexen Normalform (PNF): $\forall, \exists$ stehen vor dem Gesamtausdruck
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- $\forall X A(X) \rightarrow B \equiv \exists X(A(X)\rightarrow B)$
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- $\exists X A(X) \rightarrow B \equiv \forall X(A(X)\rightarrow B)$
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3. Erzeugung der SKOLEM‘schen Normalform (SNF): $\exists$ wird eliminiert
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Notation aller existenzquantifizierten Variablen als Funktion derjenigen allquantifizierten Variablen, in deren Wirkungsbereich ihr Quantor steht. Dies ist keine äquivalente - , wohl aber eine die Kontradiktorizität erhaltende Umformung.
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4. Erzeugung der Konjunktiven Normalform (KNF)
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Durch systematische Anwendung des Distributivgesetzes $A\vee (B\wedge C)\equiv (A\vee B)\wedge(A\vee C)$ lässt sich aus der SNF $\forall X_1...\forall X_n A(X_1,...,X_n)$ stets die äquivalente KNF $\forall X_1...\forall X_n((L_1^1\vee...\vee L_1^{n_1})\wedge...\wedge(L_m^1\vee...\vee L_m^{n_m}))$ erzeugen. Die $L_i^k$ sind unnegierte oder negierte Atomformeln und heißen positive bzw. negative Literale.
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5. Erzeugung der Klauselform (KF)
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Jede der Elementardisjunktionen $(L_1^j \vee...\vee L_1^{j_k})$ der KNF kann man als äquivalente Implikation (Klausel) $(L_i^j \vee...\vee L_i^{j_m})\leftarrow(L_1^{j_{m+1}}\wedge ...\wedge L_1^{j_k})$ notieren, indem man alle positiven Literale $L_i^j,...,L_i^{j_m}$ disjunktiv verknüpft in den DANN-Teil (Klauselkopf) und alle negativen Literale $L_i^{j_{m+1}},...,L_i^{j_k}$ konjunktiv verknüpft in den WENN-Teil (Klauselkörper) notiert.
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6. Sind die Klauseln aus Schritt 5. HORN?
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In dem Spezialfall, dass alle Klauselköpfe dabei aus genau einem Literal bestehen, war die systematische Erzeugung von HORN-Klauseln erfolgreich; anderenfalls gelingt sie auch nicht durch andere Verfahren.
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Heißt das etwa, die HORN-Logik ist eine echte Beschränkung der Ausdrucksfähigkeit? Richtig, das heißt es.
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Im Logik-Teil dieser Vorlesung lernten Sie eine Resolutionsmethode für Klauseln kennenlernen
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- ... deren Algorithmisierbarkeit allerdings an der „kombinatorischen Explosion“ der Resolutionsmöglichkeiten scheitert, aber ...
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- ... in der LV „Inferenzmethoden“ können Sie noch ein paar „Tricks“ kennenlernen, die „Explosion“ einzudämmen
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### Inferenz in PROLOG: Resolution nach ROBINSON
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gegeben:
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- Menge von Regeln und Fakten M $M=\{K_1,...,K_n\}$
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- negierte Hypothese $\lnot H$ $\lnot H\equiv \bigwedge_{i=1}^m H_i \equiv false \rightarrow \bigwedge_{i=1}^m H_i$
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Ziel: Beweis, dass $M \Vdash H$. $kt(\bigwedge_{i=1}^n K_i \wedge \lnot H)$
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Eine der Klauseln habe die Form $A\leftarrow \bigwedge_{k=1}^p B_k$. ($A,B_k$- Atomformeln)
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Es gebe eine Substitution (Variablenersetzung) $\nu$ für die $A$ und eines der $H_i$ (etwa $H_l$) vorkommenden Variablen, welche $A$ und $H_l$ syntaktisch identisch macht.
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$M\equiv \bigwedge_{i=1}^n K_i\wedge \lnot(\bigwedge_{i=1}^m H_i)$ ist kontradiktorisch ($kt\ M‘$), gdw. $M‘$ nach Ersetzen von $H$ durch $\bigwedge_{i=1}^{l-1}\nu(H_i)\wedge\bigwedge_{k=1}^p\nu(B_k)\wedge\bigwedge_{i=l+1}^m \nu(H_i)$ noch immer kontradiktorisch ist.
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Jetzt wissen wir also, wie man die zu zeigende Kontradiktorizität auf eine andere – viel kompliziertere Kontradiktorizität zurückführen kann.
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Für $p=0$ und $m=1$ wird es allerdings trivial.
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Die sukzessive Anwendung von Resolutionen muss diesen Trivialfall systematisch herbeiführen:
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> Satz von ROBINSON
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>
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> $M'\equiv\bigwedge_{i=1}^n K_i\wedge \lnot H$ ist kontradiktorisch ($kt\ M‘$), gdw. durch wiederholte Resolutionen in endlich vielen Schritten die negierte Hypothese $\lnot H\equiv false \leftarrow H$ durch die leere Klausel $false\leftarrow true$ ersetzt werden kann.
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Substitution
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- Eine (Variablen-) Substitution $\nu$ einer Atomformel $A$ ist eine Abbildung der Menge der in $A$ vorkommenden Variablen $X$ in die Menge der Terme (aller Art: Konstanten, Variablen, strukturierte Terme).
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- Sie kann als Menge von Paaren $[Variable,Ersetzung]$ notiert werden: $\nu=\{[x,t]: x\in X, t=\nu(x)\}$
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- Für strukturierte Terme wird die Substitution auf deren Komponenten angewandt: $\nu(f(t_1,...,t_n)) = f(\nu(t_1),...,\nu(t_n))$
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- Verkettungsoperator $\circ$ für Substitutionen drückt Hintereinander-anwendung aus: $\sigma\circ\nu(t)=\sigma(\nu(t))$
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- Substitutionen, die zwei Terme syntaktisch identisch machen, heißen Unifikator: $\nu$unifiziert zwei Atomformeln (oder Terme) $s$ und $t$ (oder: heißt Unifikator von $s$ und $t$), falls dessen Einsetzung $s$ und $t$ syntaktisch identisch macht.
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#### Unifikation
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Zwei Atomformeln $p(t_{11},...,t_{1n})$ und $p_2(t_{21},...,t_{2n})$ sind unifizierbar, gdw.
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- sie die gleichen Prädikatensymbole aufweisen ($p_1= p_2$),
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- sie die gleichen Stelligkeiten aufweisen ($n = m$) und
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- die Terme $t_{1i}$ und $t_{2i}$ jeweils miteinander unifizierbar sind.
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Die Unifizierbarkeit zweier Terme richtet sich nach deren Sorte:
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1. Zwei Konstanten $t_1$ und $t_2$ sind unifizierbar, gdw. $t_1= t_2$
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2. Zwei strukturierte Terme $f(t_{11},...,t_{1n})$ und $f(t_{21},...,t_{2n})$ sind unifizierbar, gdw.
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- sie die gleichen Funktionssymbole aufweisen ($f_1= f_2$),
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- sie die gleichen Stelligkeiten aufweisen ($n=m$) und
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- die Terme $t_{1i}$ und $t_{2i}$ jeweils miteinander unifizierbar sind.
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3. Eine Variable $t_1$ ist mit einer Konstanten oder einem strukturierten Term $t_2$ unifizierbar. $t_1$ wird durch $t_2$ ersetzt (instanziert): $t_1:= t_2$
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4. Zwei Variablen $t_1$ und $_2$ sind unifizierbar und werden gleichgesetzt: $t_1:=t_2$ bzw. $t_2:= t_1$
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Genügt „irgendein“ Unifikator?
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- ein Beispiel
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- $K_1: p(A,B)\leftarrow q(A)\wedge r(B)$
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- $K_2:q(c)\leftarrow true$
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- $K_3:r(d)\leftarrow true$
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- $\lnot H: false\leftarrow p(X,Y)$
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- Unifikatoren für $H_1^0$ und Kopf von $K_1$:
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- $\nu^1 = \{[X,a],[Y,b],[A,a],[B,b]\}$
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- $\nu^2 =\{[X,a],[Y,B],[A,a]\}$
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- $\nu^3 =\{[X,A],[Y,b],[B,b]\}$
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- $\nu^4=\{[A,X],[B,Y]\}$ ...
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- Obwohl $\{K_1, K_2, K_3\}\Vdash H$, gibt es bei Einsetzung von $\nu^1$, $\nu^2$ und $\nu^3$ keine Folge von Resolutionsschritten, die zur leeren Klausel führt.
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- Bei Einsetzung von $\nu^4$ hingegen gibt es eine solche Folge.
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- Die Vollständigkeit des Inferenzverfahrens hängt von der Wahl des „richtigen“ Unifikators ab.
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- Dieser Unifikator muss möglichst viele Variablen variabel belassen. Unnötige Spezialisierungen versperren zukünftige Inferenzschritte.
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- Ein solcher Unifikator heißt **allgemeinster Unifikator** bzw. "most general unifier" (m.g.u.).
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> Allgemeinster Unifikator
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>
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> Eine Substitution heißt allgemeinster Unifikator (most general unfier; m.g.u.) zweier (Atomformeln oder) Terme $s$ und $t$ ($\nu= m.g.u.(s,t)$), gdw.
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> 1. die Substitution $\nu$ ein Unifikator von $s$ und $t$ ist und
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> 2. für jeden anderen Unifikator $\sigma$ von $s$ und $t$ eine nichtleere und nicht identische Substitution $\tau$ existiert, so dass $\sigma=\tau\circ\nu$ ist.
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> graphisch betrachtet: 
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Der Algorithmus zur Berechnung des m.g.u. zweier Terme $s$ und $t$ verwendet Unterscheidungsterme: Man lese $s$ und $t$ zeichenweise simultan von links nach rechts. Am ersten Zeichen, bei welchem sich $s$ und $t$ unterscheiden, beginnen die Unterscheidungsterme $s*$ und $t*$ und umfassen die dort beginnenden (vollständigen) Teilterme.
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Algorithmus zur Bestimmung des allgemeinsten Unifikators 2er Terme
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- input: s, t
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- output: Unifizierbarkeitsaussage, ggf. $\nu= m.g.u.( s , t )$
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- $i:=0;\nu_i:=\varnothing;s_i:=s; t_i=t$
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- Start: $s_i$ und $t_i$ identisch?
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- ja $\Rightarrow$ s und t sind unifizierbar, $\nu=\nu_i=m.g.u.(s,t)$ (fertig)
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- nein $\Rightarrow$ Bilde die Unterscheidungsterme $s_i^*$ und $t_i^*$
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- $s_i^*$ oder $t_i^*$ Variable?
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- nein $\Rightarrow$ $s$ und $t$ sind nicht unifizierbar (fertig)
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- ja $\Rightarrow$ sei (o.B.d.A.) $s_i^*$ eine Variable
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- $s_i^* \subseteq t_i^*$? (enthält $t_i^*$ die Variable $s_i^*$?)
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- ja $\Rightarrow$ $s$ und $t$ sind nicht unifizierbar (fertig)
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- nein $\Rightarrow$
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- $\nu':=\{[s,t']: [s,t]\in\nu, t':=t|_{s*\rightarrow t*}\}\cup \{[s_i^*, t_i^*]\}$
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- $s':=\nu'(s_i); t':=\nu'(t_i); i:=i+1;$
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- $\nu_i:=\nu'; s_i:=s'; t_i:=t';$
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- gehe zu Start
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## Logische Programmierung
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### Einordnung des logischen Paradigmas
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„deskriptives“ Programmierparadigma =
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1. Problembeschreibung
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- Die Aussagenmenge $M =\{K_1,...,K_n\}$, über denen gefolgert wird, wird in Form von Fakten und Regeln im PK1 notiert.
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- Eine mutmaßliche Folgerung (Hypothese) $H$ wird in Form einer Frage als negierte Hypothese hinzugefügt.
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2. (+) Programmverarbeitung
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- Auf der Suche eines Beweises für $M \Vdash H$ werden durch mustergesteuerte Prozedur-Aufrufe Resolutions-Schritte zusammengestellt.
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- Dem „Programmierer“ werden (begrenzte) Möglichkeiten gegeben, die systematische Suche zu beeinflussen.
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### Syntax
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Syntax von Klauseln
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| | Syntax | Beispiel
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Fakt | praedikatensymbol(term,...term). | liefert(xy_ag,motor,vw).
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Regel | praedikatensymbol(term,...term) :- praedikatensymbol(term,...term) ,... , praedikatensymbol(term,...term). | konkurrenten(Fa1,Fa2) :- liefert(Fa1,Produkt,_),liefert(Fa2,Produkt,_).
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Frage | ?- praedikatensymbol(term,...term) , ... ,praedikatensymbol(term,...term). | ?- konkurrenten(ibm,X), liefert(ibm,_,X).
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Syntax von Termen
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| | | Syntax | Beispiele |
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Konstante | Name | Zeichenfolge, beginnend mit Kleinbuchstaben, die Buchstaben, Ziffern und \_ enthalten kann. | otto\_1 , tisch, hund
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|| beliebige Zeichenfolge in “...“ geschlossen | “Otto“, “r@ho“
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|| Sonderzeichenfolge | €%&§$€
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| Zahl | Ziffernfolge, ggf. mit Vorzeichen, Dezimalpunkt und Exponentendarstellung | 3, -5, 1001, 3.14E-12
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Variable | allg. | Zeichenfolge, mit Großbuchstaben oder \_ beginnend | X, Was, _alter
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| anonym | Unterstrich | \_
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strukturierter Term | allg. | funktionssymbol( term , ... , term ) | nachbar(chef(X))
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| Liste | leere Liste | [ ]
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| | $[term|restliste]$ | $[mueller|[mayer|[]]]$
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|| $[term , term , ... , term ]$ | $[ mueller, mayer, schulze ]$
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BACKUS-NAUR-Form
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- PROLOG-Programm ::= Wissensbasis Hypothese
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- Wissensbasis ::= Klausel | Klausel Wissensbasis
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- Klausel ::= Fakt | Regel
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- Fakt ::= Atomformel.
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- Atomformel ::= Prädikatensymbol (Termfolge)
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- Prädikatensymbol ::= Name
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- Name ::= Kleinbuchstabe |Kleinbuchstabe Restname | "Zeichenfolge" | Sonderzeichenfolge
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- RestName ::= Kleinbuchstabe | Ziffer | _ | Kleinbuchstabe RestName | Ziffer RestName | _ RestName
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- ...
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