Vorlesung 4

Logik und Logikprogrammierung.md

@@ -529,7 +529,7 @@ Bemerkung: In jedem Verband $(W,\leq)$ gelten $0_W= sup\ \varnothing$ und $1_W=
 - Der Boolesche Wahrheitswertebereich $B_R$ ist definiert durch die Grundmenge $B_R=\{A|A\subseteq \mathbb{R}\}$ mit der Ordnung $\subseteq$ und durch die Funktionen $\lnot_{B_R} (A) =\mathbb{R}\backslash A$, $\rightarrow_{B_R} (A,B) = B\cup\mathbb{R}\backslash A$. Hier gelten:
   - $0_{B_R}=\varnothing$, $1_{B_R}=\mathbb{R}$
   - $A\wedge_{B_R} B=A\cap B$, $A\vee_{B_R} B=A\cup B$
-- Der Heytingsche Wahrheitswertebereich $H_R$ ist definiert durch die Grundmenge $HR=\{A\subseteq\mathbb{R} | \text{A ist offen}\}$, die Ordnung $\subseteq$ und durch die Funktionen $\lnot_{H_R} (A) = Inneres(\mathbb{R}\backslash A)$, $\rightarrow_{H_R} (A,B) =Inneres(B\cup \mathbb{R}\backslash A)$. Hier gelten:
+- Der Heytingsche Wahrheitswertebereich $H_R$ ist definiert durch die Grundmenge $H_{mathbb{R}} =\{A\subseteq\mathbb{R} | \text{A ist offen}\}$, die Ordnung $\subseteq$ und durch die Funktionen $\lnot_{H_R} (A) = Inneres(\mathbb{R}\backslash A)$, $\rightarrow_{H_R} (A,B) =Inneres(B\cup \mathbb{R}\backslash A)$. Hier gelten:
   - $0_{H_R}=\varnothing$, $1_{H_R}=\mathbb{R}$
   - $A\wedge_{H_R} B= A\cap B$, $A\vee_{H_R} B=A\cup B$
   - Erinnerung: $Inneres(A) =\{a\in A|\exists \epsilon > 0 : (a-\epsilon,a+\epsilon)\subseteq A\}$
@@ -550,7 +550,7 @@ Beispiel: Betrachte die Formel $\phi= ((p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p))$.
 - Für eine beliebige B-Belegung $B:\{p,q\}\rightarrow B$ gilt $B((p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)) = max(B(q\wedge p), 1 -B(p\wedge q)) = max(min(B(q),B(p)), 1 -min(B(p),B(q))) = 1 = 1_B$
 - Für die $K_3$-Belegung $B:\{p,q\}\rightarrow K_3$ mit $B(p) =B(q) = \frac{1}{2}$} gilt $B((p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)) = max(B(q\wedge p), 1 -B(p\wedge q))= max(min(B(q),B(p)), 1 -min(B(p),B(q))) = \frac{1}{2} \not= 1_{K_3}$
 - analog gibt es eine F-Belegung $B:\{p,q\}\rightarrow F$, so dass $B((p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)) \not = 1_F$ gilt.
-- Für eine beliebigeHR-Belegung $B:\{p,q\}\rightarrow H_R$ gilt $B((p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)) = Inneres(B(q\wedge p)\cup \mathbb{R}\backslash B(p\wedge q)) = Inneres((B(q)\cap B(p))\cup \mathbb{R}\backslash (B(p)\cap B(q))) = Inneres(\mathbb{R}) = \mathbb{R} = 1_{H_R}$
+- Für eine beliebige $H_{mathbb{R}}$-Belegung $B:\{p,q\}\rightarrow H_R$ gilt $B((p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)) = Inneres(B(q\wedge p)\cup \mathbb{R}\backslash B(p\wedge q)) = Inneres((B(q)\cap B(p))\cup \mathbb{R}\backslash (B(p)\cap B(q))) = Inneres(\mathbb{R}) = \mathbb{R} = 1_{H_R}$
 
 ## Folgerung und Tautologie
 Sei W ein Wahrheitswertebereich.
@@ -640,7 +640,206 @@ Zusammenfassung der Beispiele
 - $\Gamma\vdash\phi$ syntaktische Folgerung
   - Theorem („hypothesenlos ableitbar“)
 - $\Gamma\Vdash_W \phi$ (semantische) W-Folgerung
-  - W-Tautologie („wird immer zu 1Wausgewertet“)
+  - W-Tautologie („wird immer zu $1_W$ ausgewertet“)
 
 Frage: Was ist die Beziehung zwischen diesen Begriffen, insbes. zwischen „Theorem“ und „W-Tautologie“? Da z.B. B-Folgerung $\not =K_3$-Folgerung, hängt die Anwort von W ab.
 
+## Korrektheit
+Können wir durch mathematische Beweise zu falschen Aussagenkommen?
+
+Können wir durch das natürliche Schließen zu falschen Aussagen kommen?
+
+Existiert eine Menge $\Gamma$ von Formeln und eine Formel $\varphi$ mit $\Gamma\vdash\varphi$ und $\Gamma\not\Vdash_W \varphi$? Für welche Wahrheitswertebereiche W?
+
+Frage für diese Vorlesung: Für welche Wahrheitswertebereiche W gilt
+$$\Gamma\vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash_W \varphi$$ 
+bzw.
+$\varphi$ ist Theorem $\Rightarrow\varphi$ ist W-Tautologie?
+
+Beispiel: Betrachte den Kleeneschen Wahrheitswertebereich $K_3$.
+- Sei $p$ atomare Formel.
+  $\frac{[p]^4}{p\rightarrow p}$
+  Also gilt $\varnothing\vdash p\rightarrow p$, d.h. $p\rightarrow p$ ist Theorem.
+- Sei $B$ $K_3$-Belegung mit $B(p)=\frac{1}{2}$. Dann gilt $B(p\rightarrow p) = max(B(p), 1-B(p)) =\frac{1}{2}$, also $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\varnothing\}= 1 >\frac{1}{2} = B(p\rightarrow p)$.
+    Damit haben wir gezeigt $\varnothing\not\Vdash_{K_3} p\rightarrow p$.
+
+Die Implikation $\Gamma\vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash_W \varphi$ gilt also NICHT für den Kleeneschen Wahrheitswertebereich $W=K_3$ und damit auch NICHT für den Wahrheitswertebereich der Fuzzy-Logik $F$.
+
+> Korrektheitslemma für nat. Schließen & Wahrheitswertebereich B
+> 
+> Sei $D$ eine Deduktion mit Hypothesen in der Menge $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$. Dann gilt $\Gamma\vdash_B \varphi$, d.h. $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\varphi)$ für alle passenden B-Belegungen $B$.
+
+Beweis: Induktion über die Größe der Deduktion $D$ (d.h. Anzahl der Regelanwendungen).
+- I.A.: die kleinste Deduktion $D$ hat die Form $\varphi$ mit Hypothese $\varphi$ und Konklusion $\varphi$. Sei $B$ passendeB-Belegung. Hypothesen von $D$ in $\Gamma\Rightarrow\varphi\in\Gamma\Rightarrow inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\varphi)\Rightarrow\Gamma\vdash_B \varphi$ 
+- I.V.: Behauptung gelte für alle Deduktionen, die kleiner sind als $D$.
+- I.S.: Wir unterscheiden verschiedene Fälle, je nachdem, welche Regel als letzte angewandt wurde.
+  - $(\wedge I)$ Die Deduktion hat die Form $\frac{\alpha\quad\beta}{\alpha\wedge\beta}$
+    mit $\varphi=\alpha\wedge\beta$. Sei $B$ passende B-Belegung. Nach IV gelten $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\alpha)$ und $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\beta)$
+    und damit
+    $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\alpha)\wedge_B B(\beta)=B(\alpha\wedge\beta) =B(\varphi)$.
+    Da $B$ beliebig war, haben wir $\Gamma\vdash_B \varphi$ gezeigt.
+  - $(\vee E)$ Die Deduktion $D$ hat die Form $\frac{\alpha\vee\beta\quad\phi\quad\phi}{\phi}$
+    Also gibt es Deduktion $E$ mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\alpha\vee\beta$ und Deduktionen $F$ und $G$ mit Hypothesen in $\Gamma\cup\{\alpha\}$ bzw. $\Gamma\cup\{\beta\}$ und Konklusion $\varphi$. Sei $B$ passende B-Belegung. Nach IV gelten
+    $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\alpha\vee\beta)$ (1)
+    $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup\{\alpha\}\}\leq B(\varphi)$ (2)
+    $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup\{\beta\}\}\leq B(\varphi)$ (3)
+    Wir unterscheiden zwei Fälle:
+    - $B(\alpha)\leq B(\beta)$:
+        $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\alpha\vee\beta) =B(\alpha)\vee_B B(\beta) =B(\beta)$ impliziert
+        $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}= inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup\{\beta\}\}\leq B(\varphi)$
+    - $B(\alpha)>B(\beta)$: analog
+        Da $B$ beliebig war, haben wir $\Gamma\vdash_B \varphi$ gezeigt.
+  - $(\rightarrow I)$ Die DeduktionDhat die Form $\frac{\beta}{\alpha\rightarrow\beta}$
+    mit $\varphi=\alpha\rightarrow\beta$. Sei $B$ eine passende B-Belegung. Nach IV gilt
+    $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup\{\alpha\}\}\leq B(\beta)$
+    Wir unterscheiden wieder zwei Fälle:
+    - $B(\alpha)=0:inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq 1 =\rightarrow_B(B(\alpha),B(\beta)) = B(\alpha\rightarrow\beta) =B(\varphi)$
+    - $B(\alpha)=1:inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}=inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup\{\alpha\}\}\leq B(\beta) =\rightarrow_B (B(\alpha),B(\beta)) = B(\alpha\rightarrow\beta) =B(\varphi)$
+    Da $B$ beliebig war, habe wir $\Gamma\vdash_B \varphi$ gezeigt.
+  - $(raa)$ Die DeduktionDhat die Form $\frac{\bot}{\phi}$
+    Sei $B$ eine passende B-Belegung. Nach IV gilt $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}\}\leq B(\bot) = 0$.
+    Wir unterscheiden wieder zwei Fälle:
+    - $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}=0$: dann gilt $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\varphi)$.
+    - $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}=1$: Wegen $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}\}=0$ folgt $0 =B(\lnot\varphi)=\lnot_B (B(\varphi))$ und daher $B(\varphi)=1\geq inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}$.
+    Da $B$ beliebig war, haben wir $\Gamma\vdash_B \varphi$ gezeigt.
+
+Ist die letzte Schlußregel in der Deduktion $D$ von der Form $(\wedge I), (\vee E), (\rightarrow I)$ oder $(raa)$, so haben wir die Behauptung des Lemmas gezeigt. Analog kann dies für die verbleibenden Regeln getan werden.
+
+> Korrektheitssatz für natürliches Schließen & Wahrheitswertebereich $B$
+> 
+> Für jede Menge von Formeln $\Gamma$ und jede Formel $\varphi$ gilt $\Gamma\vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash_B\varphi$.
+
+Beweis: Wegen $\Gamma\vdash\varphi$ existiert eine Deduktion $D$ mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$. Nach dem Korrektheitslemma folgt $\Gamma\vdash_B \varphi$.
+
+
+> Korollar: Jedes Theorem ist eine B-Tautologie.
+
+> Korrektheitssatz für natürliches Schließen & Wahrheitswertebereich $B$
+> 
+> Für jede Menge von Formeln $\Gamma$ und jede Formel $\varphi$ gilt  $\Gamma\vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash_{B_\mathbb{R}}\varphi$.
+
+Beweis:
+1. Variante: verallgemeinere den Beweis von Korrektheitslemma und Korrektheitssatz für $B$ auf $B_\mathbb{R}$ (Problem: wir haben mehrfach ausgenutzt, dass $B=\{0,1\}$ mit $0<1$)
+2. Variante: Folgerung aus Korrektheitssatz für $B$.
+
+> Korollar: Jedes Theorem ist eine $B_\mathbb{R}$-Tautologie.
+
+> Korrektheitslemma für nat. Schließen & Wahrheitswertebereich  $H_{mathbb{R}}$ 
+> 
+> Sei $D$ eine Deduktion mit Hypothesen in der Menge $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$, die die Regel $(raa)$ nicht verwendet. Dann gilt $\Gamma\vdash_{H_\mathbb{R}}\varphi$.
+
+Beweis: ähnlich zum Beweis des Korrektheitslemmas für den Wahrheitswertebereich B. Nur die Behandlung der Regel $(raa)$ kann nicht übertragen werden.
+
+Beispiel: Sei $p$ eine atomare Formel.
+![](Assets/Logik-beispiel-7.png)
+Also gilt $\{\lnot\lnot p\}\vdash p$, d.h. $p$ ist syntaktische Folgerung von $\lnot\lnot p$.
+- Sei $B$ $H_{mathbb{R}}$-Belegung mit $B(p)=\mathbb{R}\backslash\{0\}$.
+- $\Rightarrow B(\lnot\lnot p) =\mathbb{R}\not\subseteq \mathbb{R}\backslash\{0\}=B(p)$
+- $\Rightarrow\lnot\lnot p\not\Vdash_{H_{mathbb{R}}} p$, d.h. $p$ ist keine $H_{mathbb{R}}$ -Folgerung von $\lnot\lnot p$.
+
+> Korrektheitssatz für nat. Schließen & Wahrheitswertebereich $H_{mathbb{R}}$ 
+> 
+> Für jede Menge von Formeln $\Gamma$ und jede Formel $\varphi$ gilt $\Gamma\vdash\varphi$ ohne $(raa)$ $\Rightarrow\Gamma\vdash_{H_{mathbb{R}}}\varphi$.
+ 
+> Korollar: Jedes $(raa)$-frei herleitbare Theorem ist eine $H_{mathbb{R}}$-Tautologie.
+
+Folgerung: Jede Deduktion der Theoreme $\lnot\lnot\varphi\rightarrow\varphi$ und $\varphi\vee\lnot\varphi$ ohne Hypothesen verwendet $(raa)$.
+
+
+## Vollständigkeit
+Können wir durch mathematische Beweise zu allen korrekten Aussagen kommen?
+
+Können wir durch das natürliche Schließen zu allen korrekten Aussagen kommen?
+
+Existiert eine Menge $\Gamma$ von Formeln und eine Formel $\varphi$ mit $\Gamma\vdash_W\varphi$ und $\Gamma\not\vdash\varphi$? Für welche Wahrheitswertebereiche $W$?
+
+Frage für diese Vorlesung: Für welche Wahrheitswertebereiche $W$ gilt $\Gamma\vdash_W \varphi\Rightarrow\Gamma\vdash\varphi$ bzw. $\varphi$ ist $W$-Tautologie $\Rightarrow\varphi$ ist Theorem?
+
+### Plan
+- Sei $W$ einer der Wahrheitswertebereiche $B,K_3 ,F ,B_\mathbb{R}, H_{mathbb{R}}$.
+- z.z. ist $\Gamma\vdash_W\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash\varphi$.
+- dies ist äquivalent zu $\Gamma\not\vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\not\Vdash_W \varphi$.
+- hierzu gehen wir folgendermaßen vor:
+  - $\Gamma \not\Vdash_W\varphi$ 
+  - $\Leftrightarrow$ $\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ konsistent
+  - $\Rightarrow$ $\exists\Delta\subseteq\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ maximal konsistent 
+  - $\Rightarrow$ $\Delta$ erfüllbar
+  - $\Rightarrow$ $\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ erfüllbar
+  - $\Leftrightarrow$ $\Gamma\not\Vdash_B \varphi$
+  - $\Rightarrow$ $\Gamma\not\Vdash\varphi$   
+
+### Konsistente Mengen
+> Definition
+> 
+> Sei $\Gamma$ eine Menge von Formeln. $\Gamma$ heißt inkonsistent, wenn $\Gamma\vdash\bot$ gilt. Sonst heißt $\Gamma$ konsistent.
+
+> Lemma
+> 
+> Sei $\Gamma$ eine Menge von Formeln und $\varphi$ eine Formel. Dann gilt $\Gamma\not\vdash\varphi \Leftrightarrow \Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ konsistent.
+
+Beweis: Wir zeigen „$\Gamma\vdash\varphi\Leftrightarrow \Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ inkonsistent“:
+- Richtung „$\Rightarrow$“, gelte also $\Gamma \vdash \varphi$.
+  - $\Rightarrow$ es gibt Deduktion $D$ mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$
+  - $\Rightarrow$ Wir erhalten die folgende Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ und Konklusion $\bot$: $\frac{\lnot\varphi\quad\varphi}{\bot}$
+  - $\Rightarrow\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}\vdash\bot$, d.h.$\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ ist inkonsistent.
+- Richtung „$\Leftarrow$“, sei also $\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ inkonsistent.
+  - $\Rightarrow$ Es gibt Deduktion $D$ mit Hypothesen in $\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ und Konklusion $\bot$.
+  - $\Rightarrow$ Wir erhalten die folgende Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$: $\frac{\bot}{\varphi}$
+  - $\Gamma\vdash\varphi$
+
+### Maximal konsistente Mengen
+> Definition
+> 
+> Eine Formelmenge $\Delta$ ist maximal konsistent, wenn sie konsistent ist und wenn gilt „$\sum\subseteq\Delta$ konsistent $\Rightarrow\sum = \Delta$“.
+
+> Satz
+> 
+> Jede konsistente Formelmenge $\Gamma$ ist in einer maximal konsistenten Formelmenge $\Delta$ enthalten.
+
+Beweis: Sei $\varphi_1,\varphi_2,...$ eine Liste aller Formeln (da wir abzählbar viele atomare
+Formeln haben, gibt es nur abzählbar viele Formeln)
+
+Wir definieren induktiv konsistente Mengen $\Gamma_n$:
+- Setze $\Gamma_1 = \Gamma$ 
+- Setze $\Gamma_{n+1}= \begin{cases} \Gamma_n\cup\{\varphi_n\}\quad\text{ falls diese Menge konsistent} \\ \Gamma_n \quad\text{sonst}\end{cases}$
+
+Setze nun $\Delta =\bigcup_{n\geq 1} \Gamma_n$.
+1. Wir zeigen indirekt, dass $\Delta$ konsistent ist: Angenommen, $\Delta\vdash\bot$.
+   - $\Rightarrow$ Es gibt Deduktion $D$ mit Konklusion $\bot$ und endlicher Menge von Hypothesen $\Delta'\subseteq\Delta$.
+   - $\Rightarrow$ Es gibt $n\geq 1$ mit $\Delta'\subseteq\Gamma_n$
+   - $\Rightarrow \Gamma_n\vdash\bot$, zu $\Gamma_n$ konsistent. Also ist $\Delta$ konsistent.
+2. Wir zeigen indirekt, dass $\Delta$ maximal konsistent ist. Sei also $\sum\supseteq\Delta$ 
+konsistent. Angenommen, $\sum\not=\Delta$.
+   - $\Rightarrow$ es gibt $n\in N$ mit $\varphi_n\in\sum\backslash\Delta$
+   - $\Rightarrow \Gamma_n\cup\{\varphi_n\}\subseteq\Delta\cup\sum= \sum$ konsistent.
+   - $\Rightarrow \varphi_n \in\Gamma_{n+1}\subseteq \Delta$, ein Widerspruch, d.h. $\Delta$ ist max. konsistent.
+
+> Lemma 1
+> 
+> Sei $\Delta$ maximal konsistent und gelte $\Delta\vdash\varphi$. Dann gilt $\varphi\in\Delta$.
+
+Beweis:
+1. Zunächst zeigen wir indirekt, dass $\Delta\cup\{\varphi\}$ konsistent ist:
+   - Angenommen, $\Delta\cup\{\varphi\}\vdash\bot$.
+   - $\Rightarrow$ $\exists$ Deduktion $D$ mit Hypothesen in $\Delta\cup\{\varphi\}$ und Konklusion $\bot$.
+   - $\Delta\vdash \varphi \Rightarrow \exists$ Deduktion $E$ mit Hypothesen in $\Delta$ und Konklusion $\varphi$.
+   - $\Rightarrow$ Wir erhalten die folgende Deduktion: $\frac{\Delta \frac{\Delta}{\varphi}}{\bot}$
+
+    Also $\Delta\vdash\bot$, ein Widerspruch zur Konsistenz von $\Delta$. Also ist $\Delta\cup\{\varphi\}$ konsistent.
+
+2. Da $\Delta\cup\{\varphi\}\subseteq\Delta$ konsistent und $\Delta$ maximal konsistent ist, folgt $\Delta=\Delta\cup\{\varphi\}$, d.h. $\varphi\in\Delta$.
+
+> Lemma 2
+> 
+> Sei $\Delta$ maximal konsistent und $\varphi$ Formel. Dann gilt $\varphi\not\in\Delta\Leftrightarrow\lnot\varphi\in\Delta$.
+
+Beweis:
+- Zunächst gelte $\lnot\varphi\in\Delta$. Angenommen, $\varphi\in\Delta$. Dann haben wir die Deduktion $\frac{\lnot\varphi\quad\varphi}{\bot}$
+  
+    und damit $\Delta\vdash\bot$, was der Konsistenz von $\Delta$ widerspricht.
+- Gelte nun $\varphi\not\in\Delta$.
+  - $\Rightarrow$ $\Delta(\Delta\cup\{\varphi\}\Rightarrow\Delta\cup\{\varphi\}$ inkonsistent (da $\Delta$ max. konsistent)
+  - $\Rightarrow$ Es gibt Deduktion $D$ mit Hypothesen in $\Delta\cup\{\varphi\}$ &Konklusion $\bot$.
+  - $\Rightarrow$ Wir erhalten die folgende Deduktion: $\frac{\bot}{\lnot\varphi}$
+  - $\Rightarrow$ $\Delta\vdash\lnot\varphi\Rightarrow\lnot\varphi\in\Delta$ (nach Lemma 1)
+