neue Vorlesung ASK

Automaten, Sprachen und Komplexität.md

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+title: automaten, Sprachen und Komplexität
+date: Wintersemester 20/21
+author: Robert Jeutter
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+Literaturempfehlung: Theoretische Informatik - kurz gefasst, Uwe Schöning, Spektrum Akademischer Weg
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+# Einführung
+## Grundfrage
+Welche Probleme können mit unseren begrenzten Resourcen gelöst werden und welche nicht?
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+bzw
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+Wo ist die grenze der Problemlösung mit unseren Resourcen?
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+## Probleme (als Abbildung)
+f: menge der mögl Eingaben $\rightarrow$ Menge der mögl Ausgaben
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+Spezialfall A={0,1} heißt Entscheidungsproblem. Sie ist gegeben durch die Menge der Eingaben. 
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+Mengen nennt man "Sprachen"
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+## (beschränkte) Resourcen
+- Art des Speicherzugriffs
+- Art der Steuereinheit (deterministisch?)
+- Dauer der Berechnung
+- Größe des Speichers 
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+# Grundbegriffe
+Natürliche Zahlen $\N = {0,1,2,3,...}$
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+> Definition: Für eine Menge X ist X* die Menge der endlichen Folgen über X.
+
+> Definition: Ein Alphabet ist eine endliche nichtleere Menge.
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+üblicherweise heißen Alphabete hier: $\Sum, \Gamma, \Delta$
+Ist $\Sum$ Alphabet, so nennen wir die Elemente oftBuchstaben.
+Ist $\Sum$ ein Alphabet, so heißen die Elemente von $\Sum*$ auch Wörter über $\Sum$ (auch String/Zeichenkette)
+
+Beispiele:
+- Alphabete:{0},{0,1,2},...{A,K,S,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, {groß,klein}
+- keine Alphabete: $\varempty, \N, \Q$
+- Das Alphabet{0,1,2}hat also die drei Buchstaben 0, 1 und 2.
+- Das Alphabet{groß,klein}hat die zwei Buchstabengroßundklein
+- (0),()und(1,2,0,0) sind also Wörter über dem Alphabet{0,1,2}.
+- (groß),(klein,groß),(klein,groß,klein)und()sind Wörter überdem Alphabet{groß,klein}.
+- (1,2,0,0) wird geschrieben als  1 2 0 0
+- (1) wird geschrieben als1
+- () wird geschrieben als $\epsilon$ (dasleere Wort)
+- (klein,groß,klein) wird geschrieben als klein.groß.klein
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+> Definition: Sind $u=(a_1, a_2, ...a_n)$ und $v=(b_1, b_2,...,b_n)$ Wörter, so ist $u*v$ das Wort $(a_1,a_2,...a_n,b_1,b_2,...,b_n)$; es wird als Verkettung/Konkatenation von u und v bezeichnet.
+
+An Stelle von $u*v$ schreibt man auch $uv$
+
+Beobachtung: $\Sum* x \Sum* \rightarrow \Sum*$ ist eine Abbildung
+- Assoziativ: $u*(w*v)=(u*w)*v$
+- neutrales Element: $\epsilon * u = u * \epsilon = u$
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+Kürzer: $(\Sum, *, \epsilon)$ ist ein Monoid
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+> Definition: Für $\omega \in \Sum*$ und $n\in \N$ ist $w^n$ induktiv definiert
+
+$w^n=\epsilon \text{ falls } n=0; \omega*\omega^{n-1} \text{ falls } n>0$
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+> Definition: Seien y,w Wörter über $\Sum$. Dann heißt
+- Präfix/Anfangsstück von w, wenn es $z\in\Sum*$ gibt mit $yz=w$
+- Infix/Faktor von w, wenn es $x,z \in \Sum*$ gibt mit $xyz=w$
+- Suffix/Endstück von w, wenn es $x\in \Sum*$ gibt mit $xy=w$
+
+> Definition: Sei $\Sum$ ein Alphabet. Teilmengen von $\Sum*$ werden formale Sprachen über $\Sum$ genannt.
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+> Definition: Eine Menge L ist eine formale Sprache wenn es ein Alphabet $\Sum$ gibt, so dass L formale Sprache über $\Sum$ ist (d.h. $L\subseteq \Sum*$)
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+> Definition: Sind $L_1$ und $L_2$ Sprachen, so heißt die Sprache $L_1 L_2={w | \exists w_1 \in L_1, w_2 \in L_2: w=w_1 w_2}$ die Konkatenation/Verkettung von $L_1$ und $L_2$.
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+Beispiele:
+- ${0}*{1}*={0^i1^j | i,j>0}
+- ${0}\cup {1}{0,1}*$ ist die Menge der Binärzahlen
+  
+- Die Verkettung von Sprachen ist assoziativ
+- es gibt ein neutrales Element $\epsilon$
+- es gibt ein auslöschendes Element $\varempty$
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+> Definition: Sei L Sprache und $n\in\N$. Dann ist $L^n$ induktiv definiert:
+$L^n = {\epsilon} \text{ falls } n=0; LL^{n-1} \text{ falls } n>0$
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+> Definition: Sei L eine Sprache. Dann ist $L*=\bigcup_{n\geq 0} L^n$ der Kleene-Abschluss oder die Kleene-Iteration von L. Weiter ist $L+ = \bigcup_{n\geq 0} L^n$
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+$L+ = L* L* = L* * L$
+
+Beobachtung: Sei $\Sum$ Alphabet.
+- Sind $L_1$ und $L_2$ Sprachen über $\Sum$, so auch die Verkettung $L_1L_2$, die Kleene-Iteration $L_1*$, die positive Iteration $L_1+$, die Vereinigung $L_1\cup L_2$, die Differenz $L_1 \ L_2$ und der Schnitt $L_1 \cap L_2$.
+- $\varempty, \Sum, \Sum*$ sind Sprachen über $\Sum$
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+Prioritätsregeln für Operationen auf Sprachen
+- Potenz/Iteration binden stärker als Konkatenation
+- Konkatenation stärker als Vereinigung/Durchschnitt/Differenz
+Sprechweise: "Klasse" von Sprachen ( nicht "Menge")
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README.md

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 bisher:
 - [Algorithmen und Datenstrukturen](Algorithmen%20und%20Datenstrukturen.md)
+- [Automaten, Sprachen und Komplexität](Automaten,%20Sprachen%20und%20Komplexität.md) (ongoing)
 - [Einführung in die Medizinische Informatik](Einführung%20in%20die%20Medizinische%20Informatik.md)
 - [Grundlagen und diskrete Strukturen](Grundlagen%20und%20Diskrete%20Strukturen.md)
   - [GudS - Cheatsheet](Grundlagen%20und%20Diskrete%20Strukturen%20-%20Cheatsheet.pdf)
   - [GudS - Short Paper](Grundlagen%20und%20Diskrete%20Strukturen%20-%20short.pdf)
 - [Neurobiologische Informationsverarbeitung](Neurobiologische%20Informationsverarbeitung.md)
-- [Neuroinformatik](Neuroinformatik.md)
+- [Neuroinformatik](Neuroinformatik.md) (letzte 2 Kapitel fehlen)
 - [Programmierparadigmen](Programmierparadigmen.md)
 - [Rechnerarchitekturen 1](Rechnerarchitekturen%201.md)
-- [Stochastik](Stochastik.md)
+- [Stochastik](Stochastik.md) (ongoing)
 - [Telematik 1](Telematik%201.md)
   - [Telematik Cheatsheet](Telematik1-cheatsheet.pdf)