From 5a250ce253aff2c16795b6266696c0ba85c30541 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: NorthScorp UG Date: Mon, 12 Oct 2020 20:36:13 +0200 Subject: [PATCH] neue Vorlesung ASK --- Automaten, Sprachen und Komplexität.md | 101 +++++++++++++++++++++++++ README.md | 5 +- 2 files changed, 104 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 Automaten, Sprachen und Komplexität.md diff --git a/Automaten, Sprachen und Komplexität.md b/Automaten, Sprachen und Komplexität.md new file mode 100644 index 0000000..836cd13 --- /dev/null +++ b/Automaten, Sprachen und Komplexität.md @@ -0,0 +1,101 @@ +--- +title: automaten, Sprachen und Komplexität +date: Wintersemester 20/21 +author: Robert Jeutter +--- + +Literaturempfehlung: Theoretische Informatik - kurz gefasst, Uwe Schöning, Spektrum Akademischer Weg + +# Einführung +## Grundfrage +Welche Probleme können mit unseren begrenzten Resourcen gelöst werden und welche nicht? + +bzw + +Wo ist die grenze der Problemlösung mit unseren Resourcen? + +## Probleme (als Abbildung) +f: menge der mögl Eingaben $\rightarrow$ Menge der mögl Ausgaben + +Spezialfall A={0,1} heißt Entscheidungsproblem. Sie ist gegeben durch die Menge der Eingaben. + +Mengen nennt man "Sprachen" + +## (beschränkte) Resourcen +- Art des Speicherzugriffs +- Art der Steuereinheit (deterministisch?) +- Dauer der Berechnung +- Größe des Speichers + +# Grundbegriffe +Natürliche Zahlen $\N = {0,1,2,3,...}$ + +> Definition: Für eine Menge X ist X* die Menge der endlichen Folgen über X. + +> Definition: Ein Alphabet ist eine endliche nichtleere Menge. + +üblicherweise heißen Alphabete hier: $\Sum, \Gamma, \Delta$ +Ist $\Sum$ Alphabet, so nennen wir die Elemente oftBuchstaben. +Ist $\Sum$ ein Alphabet, so heißen die Elemente von $\Sum*$ auch Wörter über $\Sum$ (auch String/Zeichenkette) + +Beispiele: +- Alphabete:{0},{0,1,2},...{A,K,S,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, {groß,klein} +- keine Alphabete: $\varempty, \N, \Q$ +- Das Alphabet{0,1,2}hat also die drei Buchstaben 0, 1 und 2. +- Das Alphabet{groß,klein}hat die zwei Buchstabengroßundklein +- (0),()und(1,2,0,0) sind also Wörter über dem Alphabet{0,1,2}. +- (groß),(klein,groß),(klein,groß,klein)und()sind Wörter überdem Alphabet{groß,klein}. +- (1,2,0,0) wird geschrieben als 1 2 0 0 +- (1) wird geschrieben als1 +- () wird geschrieben als $\epsilon$ (dasleere Wort) +- (klein,groß,klein) wird geschrieben als klein.groß.klein + +> Definition: Sind $u=(a_1, a_2, ...a_n)$ und $v=(b_1, b_2,...,b_n)$ Wörter, so ist $u*v$ das Wort $(a_1,a_2,...a_n,b_1,b_2,...,b_n)$; es wird als Verkettung/Konkatenation von u und v bezeichnet. + +An Stelle von $u*v$ schreibt man auch $uv$ + +Beobachtung: $\Sum* x \Sum* \rightarrow \Sum*$ ist eine Abbildung +- Assoziativ: $u*(w*v)=(u*w)*v$ +- neutrales Element: $\epsilon * u = u * \epsilon = u$ + +Kürzer: $(\Sum, *, \epsilon)$ ist ein Monoid + +> Definition: Für $\omega \in \Sum*$ und $n\in \N$ ist $w^n$ induktiv definiert + +$w^n=\epsilon \text{ falls } n=0; \omega*\omega^{n-1} \text{ falls } n>0$ + +> Definition: Seien y,w Wörter über $\Sum$. Dann heißt +- Präfix/Anfangsstück von w, wenn es $z\in\Sum*$ gibt mit $yz=w$ +- Infix/Faktor von w, wenn es $x,z \in \Sum*$ gibt mit $xyz=w$ +- Suffix/Endstück von w, wenn es $x\in \Sum*$ gibt mit $xy=w$ + +> Definition: Sei $\Sum$ ein Alphabet. Teilmengen von $\Sum*$ werden formale Sprachen über $\Sum$ genannt. + +> Definition: Eine Menge L ist eine formale Sprache wenn es ein Alphabet $\Sum$ gibt, so dass L formale Sprache über $\Sum$ ist (d.h. $L\subseteq \Sum*$) + +> Definition: Sind $L_1$ und $L_2$ Sprachen, so heißt die Sprache $L_1 L_2={w | \exists w_1 \in L_1, w_2 \in L_2: w=w_1 w_2}$ die Konkatenation/Verkettung von $L_1$ und $L_2$. + +Beispiele: +- ${0}*{1}*={0^i1^j | i,j>0} +- ${0}\cup {1}{0,1}*$ ist die Menge der Binärzahlen + +- Die Verkettung von Sprachen ist assoziativ +- es gibt ein neutrales Element $\epsilon$ +- es gibt ein auslöschendes Element $\varempty$ + +> Definition: Sei L Sprache und $n\in\N$. Dann ist $L^n$ induktiv definiert: +$L^n = {\epsilon} \text{ falls } n=0; LL^{n-1} \text{ falls } n>0$ + +> Definition: Sei L eine Sprache. Dann ist $L*=\bigcup_{n\geq 0} L^n$ der Kleene-Abschluss oder die Kleene-Iteration von L. Weiter ist $L+ = \bigcup_{n\geq 0} L^n$ + +$L+ = L* L* = L* * L$ + +Beobachtung: Sei $\Sum$ Alphabet. +- Sind $L_1$ und $L_2$ Sprachen über $\Sum$, so auch die Verkettung $L_1L_2$, die Kleene-Iteration $L_1*$, die positive Iteration $L_1+$, die Vereinigung $L_1\cup L_2$, die Differenz $L_1 \ L_2$ und der Schnitt $L_1 \cap L_2$. +- $\varempty, \Sum, \Sum*$ sind Sprachen über $\Sum$ + +Prioritätsregeln für Operationen auf Sprachen +- Potenz/Iteration binden stärker als Konkatenation +- Konkatenation stärker als Vereinigung/Durchschnitt/Differenz +Sprechweise: "Klasse" von Sprachen ( nicht "Menge") + diff --git a/README.md b/README.md index e66741a..47ecd7f 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -4,15 +4,16 @@ Unterlagen zu Informatik Vorlesungen der TU Ilmenau bisher: - [Algorithmen und Datenstrukturen](Algorithmen%20und%20Datenstrukturen.md) +- [Automaten, Sprachen und Komplexität](Automaten,%20Sprachen%20und%20Komplexität.md) (ongoing) - [Einführung in die Medizinische Informatik](Einführung%20in%20die%20Medizinische%20Informatik.md) - [Grundlagen und diskrete Strukturen](Grundlagen%20und%20Diskrete%20Strukturen.md) - [GudS - Cheatsheet](Grundlagen%20und%20Diskrete%20Strukturen%20-%20Cheatsheet.pdf) - [GudS - Short Paper](Grundlagen%20und%20Diskrete%20Strukturen%20-%20short.pdf) - [Neurobiologische Informationsverarbeitung](Neurobiologische%20Informationsverarbeitung.md) -- [Neuroinformatik](Neuroinformatik.md) +- [Neuroinformatik](Neuroinformatik.md) (letzte 2 Kapitel fehlen) - [Programmierparadigmen](Programmierparadigmen.md) - [Rechnerarchitekturen 1](Rechnerarchitekturen%201.md) -- [Stochastik](Stochastik.md) +- [Stochastik](Stochastik.md) (ongoing) - [Telematik 1](Telematik%201.md) - [Telematik Cheatsheet](Telematik1-cheatsheet.pdf)