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fc3ffe8449
commit
513bfcc583
@ -372,3 +372,89 @@ Sei $L\subseteq \sum^*$ eine Sprache, dann sind äquivalent
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- Reguläre Ausdrücke
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- Reguläre Ausdrücke
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- erlauben kompakte Darstellung in Textform
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- erlauben kompakte Darstellung in Textform
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## Nicht-Reguläre Sprachen
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ist vielleicht jede Sprache regulär? Zeige für jede Alphabet $\sum$
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1. es gibt nur abzählbar unendlich viele Sprachen über $\sum$, die Sprache einer Grammatik sind
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2. Es gibt überabzählbar viele Sprachen über $\sum$
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> Lemma: Für jedes Alphabet $\sum$ ist die Menge ${L(G) | \text{G Grammatik über} \sum}$ abzählbar unendlich.
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$|P(\sum^*)\cap RE|=|RE|=|\N|$
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> Satz: Für jedes Alphabet $\sum$ ist die Menge $P(\sum^*)={L|L \text{Sprache über} \sum}$ überabzählbar, d.h. es gibt keine bijektive Funktion $F:\N \rightarrow P(\sum^*)$.
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Beweis: Indirekt "Diagonalisierung"
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> Korollar: Für jedes Alphabet $\sum$ existiert eine Sprache L über $\sum$, die von keiner Grammatik G erzeugt wird.
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### Konkrete nicht-reguläre Sprachen
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Um zu zeigen, dass eine konkrete Sprache L regulär ist, kann man
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- einen NFA M angeben mit $L(M)=L$, oder
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- eine rechtslineare Grammatik G angeben mit $L(G)=L$, oder
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- einen regulären Ausdruck $\gamma$ angeben mit $L(\gamma)=L$, oder
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- zeigen, dass $L=L_1 \cap L_2$ ist und $L_1$ und $L_2$ regulär sind, oder
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- ...
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### Pumping Lemma (auswendig lernen!)
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Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann gibt es $n\leq 1$ derart, dass für alle $x\in L$ mit $|x|\geq n$ gilt: es gibt Wörter $u,v,w \in \sum^*$ mit:
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1. $x=uvw$
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2. $|uv|\leq n$
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3. $|v|\geq 1$
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4. $uv^i w\in L$ für alle $i\geq 0$
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Dieses Lemma spricht nicht über Automaten, sondern nur über die Eigenschaften der Sprache.
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### Myhill-Nerode Äquivalenz
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[...]
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Der Index $index(R)$ von R ist die Anzahl der Äquivalenzklassen von R.
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> Satz von Myhill-Nerode: Sei L eine Sprache. L ist regulär $\leftrightarrow index(R_L)< \infty$
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(d.h. nur wenn die Myhill-Nerode-Äquivalenz endliche Klassen hat)
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Beweis:
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- "$Rightarrow$": Sei L regulär -> es gibt DFA M mit $L(M)=L$;
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- "$Leftarrow$": sei $index(R_L)< \infty$;
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## Minimalautomat
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Es gibt bekanntlich sehr verschiedene endliche Beschreibungen einer regulären Sprache. Diese können ineinander übersetzt werden aber eine einzelne Sprache kann auch durch verschiedene DFAs dargestellt werden.
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Gibt es einen "besten DFA" bzw was macht einen Automaten besser? D.h. gibt es einen DFA mit möglichst wenig Zuständen?
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> Definition: Ein DFA M heißt reduziert, wenn es für jeden Zustand $z \in Z$ ein Wort $x_z\in \sum^*$ gibt mit $\hat{\sigma}(l, x_z)=z$
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Wenn in einem DFA M aus Startzustand X und Y dieselben Sprachen akzeptiert werden, heißen diese "erkennungsäquivalent" und werden "verschmolzen" (es entsteht M'). M und M' akzeptieren diesselbe Sprache. Sind keine Zustände mehr erkennungsäquivalent können keine weiteren verschmolzen werden und es gibt keinen DFA der mit weniger Zuständen L(M) akzeptiert
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> Definition: Sei M ein DFA. Zwei Zustände $z,z'\in Z$ heißen erkennungsäquivalent (in Zeichen $z\equiv z'$) wenn für jedes Wort $w\in \sum^*$ gilt: $\hat{\sigma}(z,w)\in E \leftrightarrow \hat{\sigma}(z',w)\in E$
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> Lemma: Sei M ein DFA, $z,z'\in Z$ und $a\in \sum$:
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> - $\equiv$ ist eine Äquivalenzrelation auf Z
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> - $z\equiv z'$ impliziert $(z\in E \leftrightarrow z'\in E)$
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> - $z\equiv z'$ impliziert $\hat{\sigma}(z,a)\equiv \sigma(z',a)$
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> Definition: Sei M ein DFA. Dann ist $M'=(Z\/_{\equiv},\sum, [z_0],\sigma', E')$ mit
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> - $\sigma'([z],a)=[\sigma (z,a)]$ für $z\in Z$ und $a\in \sum$ und
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> - $E'=\{[z]|z\in E\}
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> der Quotient von M bzgl $\equiv$
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(es wird nicht mehr jeder einzelne Fall betrachtet sondern "ganze Gruppen"; Bsp Sitz->Reihe)
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> Lemma: Ist M ein DFA und M' sein Quotient bzgl. $\equiv$, so ist M' ein DFA mit $L(M)=L(M')$
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Es bleibt zu zeigen, dass $\sigma'$ wohldefiniert ist $\rightarrow z\equiv z' \rightarrow \sigma (z,a)\equiv \sigma (z',a) \rightarrow [\sigma (z,a)]=[\sigma (z',a)]$. Also ist M' tatsächlich ein DFA.
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> Definition: Seien $M_i$ DFAs und $f:Z_1 \rightarrow Z_2$ eine Funktion. Dann ist f ein Homomorphismus von $M_1$ auf $M_2$, falls gilt:
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> - $f(l_1)=l_2$
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> - $f(\sigma_1(z,a))=\sigma_2(f(z),a)$ für alle $z\in Z_1$ und $a\in \sum$
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> - $z\in E_1 \leftrightarrow f(z)\in E_2$ für alle $z\in Z_1$ (bildet Endzustände aufeinander ab)
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> Satz: Seien $M_i$ reduzierte DFAs mit $L(M_1)=L(M_2)$. Sei weiter $M_2'$ der Quotient von $M_2$ bzgl $\equiv$. Dann existiert ein surjektiver Homomorphismus von $M_1$ auf $M_2'$
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- die Abbildung f ist surjektiv (auf $M_2$). Und damit ist $M_2 < M_1$
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- die Abbildung f ist ein Homomorphismus
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> Satz: Seien $M_1$ und $M_2$ reduzierte DFAs mit $L(M_1)=L(M_2)$. Sei $M_1'$ der Quotient von M bzgl $\equiv$
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> - $M_2$ hat wenigstens so viele Zustände wie $M_1'$
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> - Hat $M_2$ genauso viele Zustände wie $M_1'$, so sind $M_2$ und $M_1'$ bis auf Umbennenung der Zustände identisch (sie sind Isomorph)
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> Folgerung: Seien $M_1$ und $M_2$ reduzierte DFAs mit $L(M_1)=L(M_2)$. Seien $M_1'$ und $M_2'$ die Quotienten bzgl $\equiv$. Dann sind $M_1'$ und $M_2'$ isomorph, d.h. für jede reguläre Sprache gibt es (bis auf Umbenennung der Zustände) genau einen minimalen DFA
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@ -4,3 +4,123 @@ date: Wintersemester 20/21
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author: Robert Jeutter
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author: Robert Jeutter
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> Software: Menge von Programmen oder Daten zusammen mit begleitenden Dokumenten, die für Ihre Anwendung notwendig oder hilfreich sind [Hesse]
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Gute Software ist schwer herzustellen
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- Entspricht Kundenwünsche, Vollständigkeit
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- Funktioniert Korrekt
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- Kosten- und Termintreue bei der Erstellung
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- weitere nicht-funktionale Qualitätsforderungen
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- Benutzerfreundlichkeit, Ergonomie
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- Sicherheit
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- Zuverlässigkeit, Fehlertoleranz
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- Performanz
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- Ressourcen-Effizienz, Skalierbarkeit, Übertragbarkeit
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- Wartbarkeit, Änder- und Erweiterbarkeit
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Softwaretechnik
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- Technische Disziplin der Software Herstellung
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- Zielorientierte Bereitstellung uns systematische Verwendung von Prinzipien, Methoden und Werkzeugen für die arbeitsteilige, ingenieurmäßige Entwicklung und Anwendung von umfangreichen Softwaresystemen [Balzert]
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Wie kann man Software besser entwickeln?
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- Ingenieursmäßige Herangehensweise
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- Verwendung bekannter Prinzipien und Methoden
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- Systematische Vorgehensweise
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- Verwendung von:
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- Abstraktion, Modelle, Notation, Simulation
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- Wiederverwendung:Muster, Komponenten, Framework
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- Organisation
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- Arbeitsteilung, Integration, Planung
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- Verwendung von Werkzeugen
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- IDE (Integrated Development Environment)
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- Versionierung, Bugtracker, Modellierungswerkzeug
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# Modellierungskonzepte
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> Modell: ist eine Abstraktion eines Systems mit der Zielsetzung, das Nachdenken über ein System zu vereinfachen, indem irrelevante Details ausgelassen werden [Brügge]
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$\rightarrow$ Beschreibung eines Ausschnitts der Realität
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- erstellen einer Abstraktion
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- abbilden signifikanter Eigenschaften
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- Deskriptiv/präskriptiv (real oder geplant)
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- Sichtweise auf ein System (Struktur, Verhalten, Zustand,...)
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- heißt Weglassen
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- setzt Verstehen voraus
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- ist nicht automatisierbar
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Verschiedene Modelle:
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- Analysemodell
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- Entwurfsmodell
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- Implementierung (-smodell)
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- Vorgehensmodell
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- Produktmodell
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- Dokumentation, Alternativen-Auswahl
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Modelle für:
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- Sichten
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- Funktionen
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- Daten
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- Algorithmen
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- Systemumgebung
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- Dynamisches Verhalten
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- Objektorientierte Modelle
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## Klassische Modelle
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- Funktionen:
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- Funktionsbaum
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- Hierarchische Dekomosition der Fkt
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- nummerieren der Ebenen/Funktionen möglich
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- Bsp: Abonnement Verwaltung
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- Blockschaltbild
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- eingebettetes System, HW/SW
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- Daten
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- Data Dictionary
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- Verzeichnis von Daten mit Strukturinformationen
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- Backus-Naur-Form, kontextfreie Grammatik
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- Entity Relationship Diagram
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- Daten und ihre Beziehungen
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- Systemumgebung
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- Datenflussdiagramm
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- Fluss und Transformation von Daten zwischen Funktionen, Speichern und Schnittstellen
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- kein Kontrollfluss
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- Algorithmen
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- Entscheidungstabelle
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- Regelbasierte Beschreibung
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- Bedingung
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- Aktionen
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- Reduktionsregeln
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- Pseudocode
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- von Programmiersprache abstrahierende, detaillierte Beschreibung eines Algorithmus
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- Programmablaufplan
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- Grafische Beschreibung des Kontrollflusses
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- DIN 66001
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- Unstrukturiert
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- Struktogramm
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- Nassi-Shneidermann-Diagramm
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- keine Sprünge
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- Dynamisches Verhalten (diskrete Zustände und atomare zustandübergänge)
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- Zustandsautomat
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- Verhalten mit Zuständen und -übergängen
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- Automatenmodelle und -theorie
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- Ggf zerlegung oder kommunizierende Automaten
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- Flow-Chart
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- Ereignisgesteuerte Prozesskette (EPK)
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- Geschäftsprozesse
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- BPM
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- Petri-Netz (ggf. mit Zeitmodell)
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- Grafische Beschreibung von Nebenläufigkeit und Synchronisation
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- Objektorientierte Modelle
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- Klassendiagramme
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- UML
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## Objektorientierung
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- bessere Strukturierung für komplexe Zusammenhänge
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- Abstraktere Sichtweise
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- Objekt hat
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- definiertes Verhalten
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- inneren Zustand
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- eindeutige Identität
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- Klasse: gleichartige Objekte mit ggf versch Zu
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## Unified Modeling Language
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