Übung 9

Automaten, Sprachen und Komplexität - Übung.tex

@@ -649,16 +649,61 @@ Geben Sie eine kontextfreie Grammatik an, die alle möglichen Werte von $<Progra
 \section{Übung 09}
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 \subsection{Aufgabe 1}
-\textit{}
+\textit{Beweisen Sie das doppelte Pumping-Lemma für reguläre Sprachen, das wie folgt lautet: Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann gibt es $n\geq 1$ derart, dass für alle $z\in L$ mit $|z|\geq n$ gilt: Es gibt Wörter $u, v, w, x, y \in\sum^*$ mit
+\begin{itemize}
+    \item (i) $z = uvwxy$
+    \item (ii) $|uvwx | \leq n$
+    \item (iii) $|v|, |x | \geq 1$
+    \item (iv) $uv^i wx^j y\in L$ für alle $i, j\in\mathbb{N}$.
+\end{itemize}
+Hinweis: Orientieren Sie sich am Beweis des Pumping-Lemmas für reguläre Sprachen aus der Vorlesung.}
+
 
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 \subsection{Aufgabe 2}
-\textit{}
+\textit{Wir betrachten das vereinfachte doppelte Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen (welches nicht gilt): Wenn L eine kontextfreie Sprache ist, dann gibt es $n\geq 1$ derart, dass für alle $z\in L$ mit $|z|\geq n$ gilt: Es gibt Wörter $q, r, s, t, u, v, w, x, y \in\sum^*$ mit
+\begin{itemize}
+    \item (i) $z = qrstuvwxy$
+    \item (ii) $|rt |, |vx | \geq 1$
+    \item (iii) $qr^i st^i uv^j wx^j y \in L$ für alle $i, j\in\mathbb{N}$.
+\end{itemize}
+}
+
+\textit{(a) Zeigen Sie, dass die Sprache $\{a^n b^n | n\in\mathbb{N}\}$ ein Gegenbeispiel für das Lemma ist.}
+
+\textit{(b) Formulieren Sie ein gültiges doppeltes Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen. Ein Korrektheitsbeweis ist nicht nötig. Hinweis: Orientieren Sie sich für die Formulierung an Ihrem Beweis aus Aufgabe 1 und an dem Beweis für das Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen aus der Vorlesung.}
 
 
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 \subsection{Aufgabe 3}
-\textit{}
+\textit{Sei $\sum$ ein Alphabet und $K, L \subseteq\sum^*$. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:}
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+\textit{(a) Ist K deterministisch kontextfrei und L regulär, so ist $K\cap L$ deterministisch kontextfrei.}
+
+\textit{(b) Ist L regulär beziehungsweise kontextfrei, so gilt dies auch für den Abschluss von L unter Präfixen, d.h. für die Sprache $\{u\in\sum^*| \exists v\in\sum^*: uv \in L\}$.}
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+\subsection{Aufgabe 4}
+\textit{Geben Sie einen Algorithmus an, der bei Eingabe eines PDAs M und eines NFAs N entscheidet, ob $L(M)$ Teilmenge von $L(N)$ ist. Anmerkung: Später in der Vorlesung werden wir zeigen, dass es keinen Algorithmus geben kann, der die umgekehrte Teilmengenbeziehung entscheidet.}
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+\subsection{Aufgabe 5}
+\textit{Geben Sie für folgende Funktionen je eine primitiv rekursive Definition und ein Loop-Programm an.}
+\textit{(a) $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}: n\rightarrow n^2$}
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+\textit{(b) $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}: n\rightarrow n^n$}
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+\subsection{Aufgabe 6}
+\textit{Zeigen Sie, dass die Funktion $c:\mathbb{N}^2 \rightarrow\mathbb{N}: (m, n) \rightarrow m + \binom{m + n + 1}{2}$ eine Bijektion ist.}
+
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+\subsection{Aufgabe 7}
+\textit{Geben Sie ein Loop-Programm an, das für zwei gegebene Zahlen $m, n \in\mathbb{N}$ den größten gemeinsamen Teiler berechnet.}