übung 8

Automaten, Sprachen und Komplexität - Übung.tex

@@ -384,11 +384,11 @@ Dann gilt:
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 \subsection{Aufgabe 3}
 \textit{Wir betrachten das Universalitätsproblem:
-\begin{description}
-    \item[Eingabe] NFA $M = (Z , \sum, S, \delta, E)$.
-    \item[Frage] Gilt $L(M) = \sum^*$?
-\end{description} 
-Geben Sie ein Verfahren an, welches das Universalitätsproblem löst. Begründen Sie Ihre Antwort.}
+    \begin{description}
+        \item[Eingabe] NFA $M = (Z , \sum, S, \delta, E)$.
+        \item[Frage] Gilt $L(M) = \sum^*$?
+    \end{description}
+    Geben Sie ein Verfahren an, welches das Universalitätsproblem löst. Begründen Sie Ihre Antwort.}
 
 
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@@ -474,7 +474,7 @@ Geben Sie ein Verfahren an, welches das Universalitätsproblem löst. Begründen
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 \subsection{Aufgabe 5}
 \textit{Betrachten Sie die nachstehende Grammatik $G$ mit Startsymbol $S$:\\
-$S\rightarrow BA | a$, $A\rightarrow BS | \epsilon$, $B\rightarrow bBaB | b$}
+    $S\rightarrow BA | a$, $A\rightarrow BS | \epsilon$, $B\rightarrow bBaB | b$}
 
 \textit{(a) Überführen Sie G in eine äquivalente Grammatik $G_0$ in Chomsky-Normalform.}
 
@@ -490,8 +490,8 @@ $S\rightarrow BA | a$, $A\rightarrow BS | \epsilon$, $B\rightarrow bBaB | b$}
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 \subsection{Aufgabe 1}
 \textit{Wir betrachten die kontextfreie Grammatik $G$ mit Startvariable $S$ und den folgenden Produktionen:\\
-$S\rightarrow ABC$, $A\rightarrow aA |\epsilon$, $B\rightarrow aDb | D$, $C \rightarrow bC | aC | \epsilon$, $D \rightarrow bDa | ba$\\
-Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben:}
+    $S\rightarrow ABC$, $A\rightarrow aA |\epsilon$, $B\rightarrow aDb | D$, $C \rightarrow bC | aC | \epsilon$, $D \rightarrow bDa | ba$\\
+    Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben:}
 
 \textit{(a) Geben Sie eine kurze Beschreibung von $L(G)$ an.}
 
@@ -504,9 +504,9 @@ Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben:}
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 \subsection{Aufgabe 2}
 \textit{Betrachten Sie die kontextfreie Grammatik G mit Startsymbol S und den nachstehenden Produktionen:\\
-$S\rightarrow Z | (S + S) | (S * S)$, $Z\rightarrow Q | PY$, $Y\rightarrow Q | YY | epsilon$, 
-$Q\rightarrow 0 | P$, $P\rightarrow 1$\\
-Bearbeiten Sie folgende Teilaufgaben:}
+    $S\rightarrow Z | (S + S) | (S * S)$, $Z\rightarrow Q | PY$, $Y\rightarrow Q | YY | epsilon$,
+    $Q\rightarrow 0 | P$, $P\rightarrow 1$\\
+    Bearbeiten Sie folgende Teilaufgaben:}
 
 \textit{(a) Geben Sie eine Ableitung des Wortes $w = (100 + 1)$ in G an und geben Sie eine kurze, aber präzise Beschreibung von $L(G)$ an.}
 
@@ -518,8 +518,8 @@ Bearbeiten Sie folgende Teilaufgaben:}
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 \subsection{Aufgabe 3}
 \textit{Gegeben sei die kontextfreie Grammatik G in Chomsky-Normalform mit dem Startsymbol S und den Regeln\\
-$S \rightarrow AB | CC$, $A \rightarrow BA | a$, $B \rightarrow AC | b$, $C \rightarrow CC | c$\\
-Überprüfen Sie mithilfe des CYK-Algorithmus, folgende Wörter. Geben Sie für jedes dieser beiden Wörter, welches in $L(G)$ enthalten ist, je eine Ableitung und einen Ableitungsbaum des Wortes an.}
+    $S \rightarrow AB | CC$, $A \rightarrow BA | a$, $B \rightarrow AC | b$, $C \rightarrow CC | c$\\
+    Überprüfen Sie mithilfe des CYK-Algorithmus, folgende Wörter. Geben Sie für jedes dieser beiden Wörter, welches in $L(G)$ enthalten ist, je eine Ableitung und einen Ableitungsbaum des Wortes an.}
 
 \textit{(a) $aacc \in L(G)$.}
 
@@ -548,7 +548,7 @@ $S \rightarrow AB | CC$, $A \rightarrow BA | a$, $B \rightarrow AC | b$, $C \rig
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 \subsection{Aufgabe 6}
 \textit{Sei G die kontextfreie Grammatik mit Startvariable A 1 und den folgenden Produktionen. Konstruieren Sie mithilfe des Verfahrens aus der Vorlesung eine Grammatik $G_0$ in Greibach-Normalform mit $L(G_0) = L(G)$.\\
-$A_1\rightarrow 0 | A_2 A_2$, $A_2 \rightarrow 1 | A_1 A_1$}
+    $A_1\rightarrow 0 | A_2 A_2$, $A_2 \rightarrow 1 | A_1 A_1$}
 
 
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@@ -587,8 +587,8 @@ Geben Sie eine kontextfreie Grammatik an, die alle möglichen Werte von $<Progra
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 \subsection{Aufgabe 4}
 \textit{Wir betrachten arithmetische Ausdrücke in Postfixnotation über den Konstanten 0,1,2 und mit den Operatoren + (Addition) und * (Multiplikation). Diese Ausdrücke werden von der Grammatik $G = (\{S\}, \{0, 1, 2, +, *\}, P, S)$ erzeugt, wobei P gegeben ist durch: $S \vdash 0 | 1 | 2 | SS+ | SS*$\\
-Hierbei werden zuerst die Operanden und dann der Operator notiert. Zum Beispiel entspricht $12+$ dem Ausdruck $(1+2)$ und $012++2*$ entspricht $((0+(1+2))*2)$. Geben Sie einen Kellerautomaten an, der genau die arithmetischen Ausdrücke in Postfixnotation akzeptiert, die modulo 3 zu 0 ausgewertet werden.
-Hinweis: Es gibt so einen Kellerautomaten mit Kelleralphabet $\Gamma = \{\#, 0, 1, 2\}$.}
+    Hierbei werden zuerst die Operanden und dann der Operator notiert. Zum Beispiel entspricht $12+$ dem Ausdruck $(1+2)$ und $012++2*$ entspricht $((0+(1+2))*2)$. Geben Sie einen Kellerautomaten an, der genau die arithmetischen Ausdrücke in Postfixnotation akzeptiert, die modulo 3 zu 0 ausgewertet werden.
+    Hinweis: Es gibt so einen Kellerautomaten mit Kelleralphabet $\Gamma = \{\#, 0, 1, 2\}$.}
 
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 \subsection{Aufgabe 5}
@@ -604,17 +604,43 @@ Hinweis: Es gibt so einen Kellerautomaten mit Kelleralphabet $\Gamma = \{\#, 0,
 \section{Übung 08}
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 \subsection{Aufgabe 1}
-\textit{}
+\textit{Ziel dieser Aufgabe ist es, zu zeigen, dass die Klasse der deterministisch kontextfreien Sprachen nicht unter Vereinigung abgeschlossen ist. Bearbeiten Sie dazu folgende Teilaufgaben:}
+
+\textit{(a) Zeigen Sie, dass die Sprache $\{a^k b^l c^m | k, l, m \in\mathbb{N}, k \not= l \}$ deterministisch kontextfrei ist.}
+
+\textit{(b) Folgern Sie aus (a), dass $L = \{a^k b^l c^m | k, l, m\in\mathbb{N}, k \not= l \text{ oder } k\not=m \text{ oder } l\not=m\}$ kontextfrei ist.}
+
+\textit{(c) Angenommen, L wäre deterministisch kontextfrei. Zeigen Sie, dass unter dieser Annahme auch die Sprache $K=\{a^m b^m c^m | m\in\mathbb{N}\}$ kontextfrei wäre. Hinweis: Verwenden Sie Ergebnisse aus Vorlesung 14.}
+
+\textit{(d) Folgern Sie unter Verwendung aus (a) und (c), dass die Klasse der deterministisch kontextfreien Sprachen nicht unter Vereinigung abgeschlossen ist. Hinweis: Die Sprache K ist nicht kontextfrei.}
 
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 \subsection{Aufgabe 2}
-\textit{}
+\textit{Zeigen Sie, dass folgende Sprachen nicht kontextfrei sind:}
 
+\textit{(a) $L_a = \{a^k b^m a^{k*m} | k, m\in\mathbb{N}\}$ }
+
+\textit{(b) $L_b = \{0^p | p \text{ Primzahl}\}$ }
+
+\textit{(c) $L_c = \{s \# t | s, t\in \{ a, b \}^* \text{ und s ist ein Infix von t } \}$ }
 
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 \subsection{Aufgabe 3}
-\textit{}
+\textit{In dieser Aufgabe zeigen wir, dass die Klasse der deterministisch kontextfreien Sprachen nicht unter Konkatenation abgeschlossen ist.}
+\textit{(a) Zeigen Sie, dass $L_2 = \{b^i c^j d^k | i \not= j\} \cup \{ab^i c^j d^k | j \not= k\}$ deterministisch kontextfrei ist.}
 
+\textit{(b) Geben Sie eine deterministisch kontextfreie Sprache $L_1$ an so, dass $L_1* L_2$ nicht deterministisch kontextfrei ist.}
+
+\textit{(c) Zeigen Sie, dass $L_1*L_2$ nicht deterministisch kontextfrei ist.}
+
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+\subsection{Aufgabe 4}
+\textit{Geben Sie einen Algorithmus an, der folgende Funktion berechnet:
+    \begin{description}
+        \item[Eingabe] kontextfreie Grammatik G
+        \item[Ausgabe:] $|L(G)| \in\mathbb{N}\cup\{\infty\}$
+    \end{description}
+}