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23acb4c860
Binary file not shown.
@ -317,17 +317,20 @@
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{solution}
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* erster Schritt, (*) zweiter Schritt
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* erster Schritt: Paare mit mind. einem Endzustand markieren,
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(*) zweiter Schritt: leere Paare die in Endzustandspaar überführen markieren,
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dritter Schritt: unmarkierte Paare verschmelzen
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
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2 & * \\\hline
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3 & * & * \\\hline
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4 & (*) & * & * \\\hline
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5 & * & * & * & * \\\hline
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2 & * \\
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3 & * & * \\
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4 & (*) & * & * \\
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5 & * & * & * & * \\
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6 & (*) & * & * & (*) & * \\\hline
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& 1 & 2 & 3 & 4 & 5
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\end{tabular}
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||||
Keine unmarkierten Paare $\rightarrow$ nicht minimierbar bzw schon minimal
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\end{solution}
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@ -357,6 +360,14 @@
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{center}
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||||
\begin{solution}
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||||
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
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2 & * \\
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3 & * & * \\
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||||
4 & * & * & \\
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||||
5 & * & * & (*) & * \\
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||||
6 & * & * & * & * & * \\\hline
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& 1 & 2 & 3 & 4 & 5
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||||
\end{tabular}
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||||
\end{solution}
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||||
\end{parts}
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@ -381,12 +392,111 @@
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||||
\begin{parts}
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||||
\part Sei $G$ die kontextfreie Grammatik mit Startsymbol S und der Regelmenge $S\rightarrow AB$, $A\rightarrow aBS|a$ und $B\rightarrow bBa|b|\epsilon$. Überführe G in eine äquivalente Grammatik in Chomsky Normalform.
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\begin{solution}
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||||
Chomsky Normalform hat auf rechter Ableitungsseite nur ein Terminal oder zwei Nicht-Terminale
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\begin{enumerate}
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\item Startzustand \\$S\rightarrow AB$, $A\rightarrow aBS|a$, $B\rightarrow bBa|b|\epsilon$
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\item $\epsilon$-Regel: Menge $M=\{B\}$ der $epsilon$ Terminal-Überführungen kompensieren; \\
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$S\rightarrow AB|A$, $A\rightarrow aBS|a|aS$, $B\rightarrow bBa|b|ba$
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||||
\item Kettenregel: Menge $M=\{(S,A), (S,S), (A,A), (B,B)\}$ von Ketten (Ableitungen auf ein Nicht-Terminal)\\
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||||
$S\rightarrow AB|aBS|a|aS$, $A\rightarrow aBS|a|aS$, $B\rightarrow bBa|b|ba$
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||||
\item Terminale und Nicht-Terminal trennen: \\ $S\rightarrow AB|CBS|C|CS$, $A\rightarrow CBS|C|CS$, $B\rightarrow DBC|b|DC$, $C\rightarrow a$, $D\rightarrow b$
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||||
\item Längen verkürzen: \\$S\rightarrow AB|CX|C|CS$, $A\rightarrow CX|C|CS$, $B\rightarrow DY|b|DC$, $C\rightarrow a$, $D\rightarrow b$, $X\rightarrow BS$, $Y\rightarrow BC$
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{solution}
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||||
\part Sei $G'$ die kontextfreie Grammatik mit Startsymbol $S$ und der Regelmenge $S\rightarrow AB$, $A\rightarrow CD|CF$, $F\rightarrow AD$, $B\rightarrow c|EB$, $C\rightarrow a$, $D\rightarrow b$, $E\rightarrow c$. Entscheide mit dem CYK-Algorithmus, ob die Wörter $w_1=aaabbbcc$ oder $w_2=aaabbccc$ von $G'$ erzeugt werden.
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||||
\part Sei $G'$ die kontextfreie Grammatik mit Startsymbol $S$ und der Regelmenge \\\begin{center}
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$S\rightarrow AB$, $A\rightarrow CD|CF$, $F\rightarrow AD$, $B\rightarrow c|EB$, $C\rightarrow a$, $D\rightarrow b$, $E\rightarrow c$ \\\end{center} Entscheide mit dem CYK-Algorithmus, ob die Wörter $w_1=aaabbbcc$ oder $w_2=aaabbccc$ von $G'$ erzeugt werden.
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||||
\begin{solution}
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||||
$w_1=aaabbbcc$
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c}
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a & a & a & b & b & b & c & c \\\hline
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C & C & C & D & D & D & B,E & B,E \\
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& & A & & & & B \\
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& & F & & & \\
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& A & & & \\
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& F & & \\
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A & & \\
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S & \\
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||||
S
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||||
\end{tabular}
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||||
$\Rightarrow w_1$ wird von $G'$ erzeugt
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||||
$w_2=aaabbccc$
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c}
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||||
a & a & a & b & b & c & c & c \\\hline
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||||
C & C & C & D & D & B,E & B,E & B,E \\
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& & A & & & B & B \\
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& & F & & & B \\
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& A & & & \\
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& F & & \\
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A & & \\
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S & \\
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||||
\end{tabular}
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||||
$\Rightarrow w_2$ wird nicht von $G'$ erzeugt
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\end{solution}
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||||
\part Gebe für die Wörter aus b), die von $G'$ erzeugt werden, den Ableitungsbaum an.
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\begin{solution}
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$w_1=aaabbbcc$
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto]
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\node (q1) [state] {S};
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\node (q2) [state, below left = of q1] {A};
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\node (q3) [state, below right=2cm and 5cm = of q1] {B};
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||||
\node (q4) [state, below left = of q3] {E};
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||||
\node (q6) [below = of q4] {c};
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||||
\node (q5) [state, below right = of q3] {B};
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||||
\node (q7) [below = of q5] {c};
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||||
\node (q8) [state, below left = of q2] {C};
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||||
\node (q9) [below = of q8] {a};
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||||
\node (q10) [state, below right = of q2] {F};
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||||
\node (q11) [state, below left = of q10] {A};
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||||
\node (q12) [state, below right = of q10] {D};
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||||
\node (q13) [below = of q12] {b};
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||||
\node (q14) [state, below left = of q11] {C};
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||||
\node (q15) [below = of q14] {a};
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||||
\node (q16) [state, below right = of q11] {F};
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||||
\node (q17) [state, below left = of q16] {A};
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||||
\node (q18) [state, below right = of q16] {D};
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||||
\node (q19) [below = of q18] {b};
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||||
\node (q20) [state, below left = of q17] {C};
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||||
\node (q21) [state, below right = of q17] {D};
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||||
\node (q22) [below = of q20] {a};
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||||
\node (q23) [below = of q21] {b};
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||||
\path [-stealth, thick]
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(q1) edge (q2)
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(q1) edge (q3)
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(q2) edge (q8)
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(q2) edge (q10)
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(q3) edge (q4)
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||||
(q3) edge (q5)
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||||
(q4) edge (q6)
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||||
(q5) edge (q7)
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||||
(q8) edge (q9)
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||||
(q10) edge (q11)
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||||
(q10) edge (q12)
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||||
(q11) edge (q14)
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||||
(q11) edge (q16)
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(q12) edge (q13)
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||||
(q14) edge (q15)
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||||
(q16) edge (q17)
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||||
(q16) edge (q18)
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||||
(q17) edge (q20)
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||||
(q17) edge (q21)
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||||
(q18) edge (q19)
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||||
(q20) edge (q22)
|
||||
(q21) edge (q23)
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||||
;
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{center}
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||||
%$w_2=aaabbccc$
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\end{solution}
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||||
\end{parts}
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@ -394,26 +504,63 @@
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\begin{parts}
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||||
\part Ein While Programm ist von der Form...
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\begin{solution}
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\begin{itemize}
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||||
\item $x_i=c, x_i=x_j+c, x_i=x_j-c$ mit $c\in\{0,1\}$ und $i,j\geq 1$ (Wertzuweisung) oder
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||||
\item $P_1,P_2$, wobei $P_1$ und $P_2$ bereits While Programme sind (sequentielle Komposition) oder
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||||
\item while $x_i\not = 0$ do P end, wobei P ein While Programm ist und $i\geq 1$.
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\end{itemize}
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\end{solution}
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||||
\part Ein Loop-Programm ist von der Form
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\begin{solution}
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\begin{itemize}
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||||
\item $x_i := c, x_i := x_j + c, x_i := x_j \div c$ mit $c\in\{0, 1\}$ und $i, j$ (Wertzuweisung) oder
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||||
\item $P_1 ; P_2$, wobei $P_1$ und $P_2$ Loop-Programme sind (sequentielle Komposition) oder
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||||
\item loop $x_i$ do P end, wobei P ein Loop-Programm ist und $i_1$.
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{solution}
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||||
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||||
\part Eine Turingmaschine ist ein 7-Tupel $M=(Z,\sum,\Gamma,\delta,z_0,\Box, E)$, wobei...
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||||
\begin{solution}
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item 7-Tupel $M=(Z,\sum, \Phi, \delta, z_o, \Box, E)$
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||||
\item $\sum$ das Eingabealphabet
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||||
\item $\Phi$ mit $\Phi\supseteq\sum$ und $\Phi\cap Z\not= 0$ das Arbeits- oder Bandalphabet,
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||||
\item $z_0\in Z$ der Startzustand,
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||||
\item $\delta:Z\times\Phi\rightarrow(Z\times\Phi\times\{L,N,R\})$ die Überführungsfunktion
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||||
\item $\Box\in\Phi/\sum$ das Leerzeichen oder Blank und
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||||
\item $E\subseteq Z$ die Menge der Endzustände ist
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\end{itemize}
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\end{solution}
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\part Die von einer Turingmaschine $M$ akzeptierte Sprache ist $L(M)=...$
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\begin{solution}
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||||
$L(M)=\{ w\in\sum^* | \text{es gibt akzeptierte Haltekonfiguration mit } z_0w\Box\vdash_M^* k\}$.
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\end{solution}
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\part Seien $A\supseteq \sum^*$ und B$\supseteq \Gamma^*$. Eine Reduktion von A auf B ist ...
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||||
\part Seien $A\subseteq \sum^*$ und B$\subseteq \Gamma^*$. Eine Reduktion von A auf B ist ...
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\begin{solution}
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||||
Eine Reduktion von A auf B ist eine totale und berechenbare Funktion $f:\sum^*\rightarrow\Gamma^*$, so dass für alle $w\in\sum^*$ gilt: $w\in A\leftrightarrow f(x)\in B$. A heißt auf B reduzierbar (in Zeichen $A\leq B$), falls es eine Reduktion von A auf B gibt.
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\end{solution}
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||||
\part Eine Sprache $L$ heißt rekursiv aufzählbar, falls ...
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\begin{solution}
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\begin{itemize}
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||||
\item L ist semi-entscheidbar
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\item L wird von einer Turing-Maschine akzeptiert
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\item L ist vom Typ 0 (d.h. von Grammatik erzeugt)
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\item L ist Bild berechenbarer partiellen Funktion $\sum^*\rightarrow\sum^*$
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||||
\item L ist Bild berechenbarer totalen Funktion $\sum^*\rightarrow\sum^*$
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||||
\item L ist Definitionsbereich einer berechenbaren partiellen Funktion $\sum^*\rightarrow\sum^*$
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\end{itemize}
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\end{solution}
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||||
\part Sei $f:N\rightarrow N$ eine monotone Funktion. Die Klasse $TIME(f)$ besteht aus allen Sprachen L, für die es eine Turingmaschine $M$ gibt mit ...
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\begin{solution}
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\begin{itemize}
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||||
\item M berechnet die charakteristische Funktion von L.
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||||
\item Für jede Eingabe $w\in\sum^*$ erreicht M von der Startkonfiguration $z_0 w\Box$ aus nach höchstens $f(|w|)$ Rechenschritten eine akzeptierende Haltekonfiguration (und gibt 0 oder 1 aus, je nachdem ob $w\not\in L$ oder $w\in L$ gilt).
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{solution}
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\end{parts}
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@ -421,6 +568,11 @@
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\begin{parts}
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||||
\part Zu jeder Mehrband-Turingmaschine $M$ gibt es ...
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\begin{solution}
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||||
eine Turingmaschine M' die diesselbe Funktion löst
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\begin{itemize}
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\item Simulation mittels Einband-Turingmaschine durch Erweiterung des Alphabets: Wir fassen die übereinanderliegenden Bandeinträge zu einem Feld zusammen und markieren die Kopfpositionen auf jedem Band durch $\ast$.
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||||
\item Alphabetsymbol der Form $(a,\ast,b,\diamond,c,\ast,...)\in(\Phi\times\{\ast,\diamond\})^k$ bedeutet: 1. und 3. Kopf anwesend ($\ast$ Kopf anwesend, $\diamond$ Kopf nicht anwesend)
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||||
\end{itemize}
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\end{solution}
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||||
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||||
\part Sei $f:N^k\rightarrow\mathbb{N}$ eine Funktion für ein $k\in\mathbb{N}$. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1) $f$ ist Turing-berechenbar, 2)..., 3)..., 4)...
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||||
@ -445,18 +597,58 @@
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||||
\begin{parts}
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||||
\part Gebe ein Loop-Programm an, das die Funktion $n\rightarrow n^2-n$ berechnet
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||||
\begin{solution}
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||||
\begin{lstlisting}
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||||
h= 1
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||||
for(i= 0; i < 2; i++) do {
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||||
h= h * n
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||||
}
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||||
h= h - 1;
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||||
return h
|
||||
\end{lstlisting}
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||||
\end{solution}
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||||
\part Gebe ein Loop Programm an, das die Funktion $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ mit $f(n_1,n_2)=2n_1n_2$ berechnet. Verwende nur elementare Anweisungen und keine Abkürzungen.
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||||
\begin{solution}
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||||
\begin{lstlisting}
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||||
h= 1
|
||||
for (i=0; i<2; i++) do {
|
||||
h = h * n_i
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||||
}
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||||
h = 2 * h
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||||
return h
|
||||
\end{lstlisting}
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||||
\end{solution}
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||||
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||||
\part Gebe ein GoTo Programm an, das die Funktion $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ mit $g(n_1,n_2)=|n_1-n_2|$ berechnet. Verwende nur elementare Anweisungen und keine Abkürzungen.
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||||
\begin{solution}
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||||
\begin{lstlisting}
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||||
start:
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h = n_1 - n_2
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if h > 0:
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||||
goto end
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||||
h = -h
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||||
end:
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||||
return h
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||||
\end{lstlisting}
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||||
\end{solution}
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||||
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||||
\part Gebe eine deterministische Turingmaschine $M$ für das Eingabealphabet $\{0,1\}$ an, das folgende Funktion berechnet: Für Eingabe $a_1a_2...a_{n-1}a_n$ berechnet M die Ausgabe $a_na_1...a_{n-1}$ (letzte Symbol der Eingabe an erste Stelle).
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||||
\begin{solution}
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||||
$\sum=\{0,1\}$
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||||
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||||
$z_0$ Zahlenende finden: $\delta(z_0,0)=(z_0,0,R), \delta(z_0,1)=(z_0,1,R), \delta(z_0,\Box)=(z_1,\Box,L)$
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||||
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||||
$z_1$ letzte Zahl löschen: $\delta(z_1,0)=(z_2,\Box,L), \delta(z_1,1)=(z_3,\Box,L), \delta(z_1,\Box)=(z_2,\Box,N)$
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||||
|
||||
$z_2$ zurück zum Anfang bei $a_n=0$: $\delta(z_2,0)=(z_2,0,L), \delta(z_2,1)=(z_2,1,L), \delta(z_2,\Box)=(z_4,\Box,R)$
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||||
|
||||
$z_3$ zurück zum Anfang bei $a_n=1$: $\delta(z_2,0)=(z_2,0,L), \delta(z_2,1)=(z_2,1,L), \delta(z_2,\Box)=(z_5,\Box,N)$
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||||
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||||
$z_4$ $a_n=0$ an Anfang schreiben: $\delta(z_4,\Box)=(z_e,0,N)$
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||||
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||||
$z_5$ $a_n=1$ an Anfang schreiben: $\delta(z_4,\Box)=(z_e,1,N)$
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||||
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||||
$z_e$ Endzustand: $\delta(z_e, 0)=(z_e,0,N), \delta(z_e,1)=(z_e,1,N), \delta(z_e,\Box)?(z_e,\Box,N)$
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
@ -492,6 +684,18 @@
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||||
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||||
\question Unentscheidbare Probleme: Gebe (mind vier) unterscheidbare Probleme an (als Menge oder als Eingabe-Frage-Paar).
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||||
\begin{solution}
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||||
das spezielle Halteproblem
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||||
das allgemeine Halteproblem
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||||
das Halteproblem auf leerem Band
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||||
das allgemeine Wortproblem $A=\{(G,w) | \text{ G ist Grammatik mit } w\in L(G)\}$
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||||
Posts Korrespondenzproblem
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||||
das Schnitt- und verwandte Probleme über kontextfreie Sprachen
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||||
\end{solution}
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||||
\question NP-vollständiges Problem: Gebe (mind. zwei) NP-vollständige Probleme an (als Menge oder Eingabe-Frage-Paar).
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||||
@ -503,7 +707,6 @@
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||||
\item Frage: Kann der Graph so durchlaufen werden, dass jeder Knoten genau ein mal besucht/abgelaufen wird?
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\end{itemize}
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||||
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||||
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||||
\end{solution}
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||||
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||||
\question Polynomialzeitreduktion: Betrachte das Problem 4C, also die Menge der ungerichteten Graphen die sich mit vier Farben färben lassen.
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