NFA lösungen
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@ -102,9 +102,13 @@
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Dazu muss $l\in V$ und $r\in \sum V\cup {\epsilon}$.
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\end{solution}
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\part Die Menge $Reg(\sum)$ der regulären Ausdrücke über dem Alphabet ist...
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\part Die Menge $Reg(\sum)$ der regulären Ausdrücke über dem Alphabet ist...
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\begin{solution}
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ist die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften:
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\begin{itemize}
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\item $\varnothing \in Reg(\sum), \lambda \in Reg(\sum), \sum \subseteq Reg(\sum)$
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\item Wenn $\alpha, \beta \in Reg(\sum)$, dann auch $(\alpha * \beta), (\alpha + \beta), (\alpha^*)\in Reg(\sum)$
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\end{itemize}
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\end{solution}
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\part Ein NFA ist ein Tupel $M=(...)$
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@ -121,7 +125,9 @@
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\part Die von einem NFA $M=(Z,\sum,S,\delta, E)$ akzeptierte Sprache ist $L(M)=...$ (ohne Definition der Mehr-Schritt Übergangsfunktion $\delta$)
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\begin{solution}
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$L(M)={w\in \sum^* | \hat{\delta}(S,w)\cap E \not = \emptyset}$
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(Das Wort wird akzeptiert wenn es mindestens einen Pfad vom Anfangs in den Endzustand gibt)
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\end{solution}
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\part Die von einem PDA $M=(Z,\sum, \Gamma, \delta, z_0, \#)$ akzeptierten Sprache ist $L(M)=...$
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@ -129,9 +135,9 @@
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$L(M)=\{x\in\sum^* | \text{ es gibt } z\in Z \text{ mit } (z_0, x, \#) [...] ^*(z,\epsilon, \epsilon)\}$
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\end{solution}
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\part Sei $L$ eine Sprache. Für $x,y\in\sum^*$ gilt $xE_L y$ genau dann, wenn ... ($R_L$ ist die Myhill-Nerode-Äquivalenz zu L)
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\part Sei $L$ eine Sprache. Für $x,y\in\sum^*$ gilt $xR_L y$ genau dann, wenn ... ($R_L$ ist die Myhill-Nerode-Äquivalenz zu L)
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\begin{solution}
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wenn $\forall z \in \sum^* :(xy\in L \leftrightarrow yz \in L)$ gilt
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\end{solution}
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\part Sei $M=(Z,\sum,z_0,\delta, E)$ ein DFA. Die Zustände $z,z'\in Z$ heißen erkennungsäquivalent, wenn
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@ -153,22 +159,26 @@
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\part Die Klasse der regulären Sprachen ist unter anderem abgeschlossen unter folgenden drei Operationen:
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\begin{solution}
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\begin{itemize}
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\item Vereinigung $L=L_0\cup L_1$
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\item Verkettung $L=L_0L_1$
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\item Abschluss $L=L_0^*$
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\end{itemize}
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\end{solution}
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\part Sei $\sum$ ein Alphabet. Die Anzahl der Grammatiken über $\sum$ ist ... und die Anzahl der Sprachen über $\sum$ ist ... .
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Unter anderem sind folgende (mind. drei) Probleme für kontextfreie Sprachen entscheidbar:
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Die Klasse der Kontextfreien Sprachen ist abgeschlossen unter den Operationen 1)... und 2)... . Sie ist aber nicht abgeschlossen unter 3)... und 4)... .
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Der Satz von Myhill-Nerode besagt,...
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@ -210,27 +220,76 @@
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{solution}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto]
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\node (q1) [state, initial, initial text = {}] {1};
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\node (q3) [state, accepting, right = of q1] {3};
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\node (q12) [state, above = of q1] {\{1,2\}};
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\node (q123) [state, accepting, right = of q12] {\{1,2,3\}};
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\path [-stealth, thick]
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(q1) edge node {a} (q12)
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(q1) edge node {b} (q3)
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(q12) edge [loop above] node {b}()
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(q12) edge [bend left] node {a} (q123)
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(q123) edge [bend left] node {a} (q12)
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(q123) edge [loop above] node {b}()
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(q3) edge node {a} (q123)
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(q3) edge [loop right] node {b}()
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;
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{solution}
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\part Betrachte den folgenden NFA X. Berechne einen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto]
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\node (q0) [state, initial, initial text = {}] {1};
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\node (q1) [state, above right = of q0] {2};
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||||
\node (q2) [state, accepting, below right = of q1] {3};
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\node (q1) [state, initial, initial text = {}] {1};
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||||
\node (q2) [state, above right = of q1] {2};
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||||
\node (q3) [state, accepting, below right = of q2] {3};
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\path [-stealth, thick]
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(q0) edge node {b} (q1)
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(q0) edge node {a} (q2)
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(q0) edge [loop above] node {b}()
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(q1) edge node {a} (q2)
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(q1) edge [loop above] node {a}()
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(q2) edge [bend left] node {b} (q0)
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(q2) edge [bend left] node {a} (q1)
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(q2) edge [loop above] node {b}();
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(q1) edge node {b} (q2)
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(q1) edge node {a} (q3)
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(q1) edge [loop above] node {b}()
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(q2) edge node {a} (q3)
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(q2) edge [loop above] node {a}()
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||||
(q3) edge [bend left] node {b} (q1)
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||||
(q3) edge [bend left] node {a} (q2)
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||||
(q3) edge [loop above] node {b}();
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{solution}
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\begin{center}
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||||
\begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto]
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||||
\node (q1) [state, initial, initial text = {}] {1};
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||||
\node (q2) [state, right = of q12] {2};
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||||
\node (q3) [state, accepting, right = of q1] {3};
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||||
\node (q12) [state, above = of q1] {\{1,2\}};
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||||
\node (q13) [state, accepting, right = of q3] {\{1,3\}};
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||||
\node (q23) [state, accepting, right = of q123] {\{2,3\}};
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||||
\node (q123) [state, accepting, above right = of q12] {\{1,2,3\}};
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\path [-stealth, thick]
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(q1) edge node {a} (q3)
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(q1) edge node {b} (q12)
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(q2) edge node {a} (q23)
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(q2) edge [loop left] node {b}()
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(q3) edge node {a} (q2)
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(q3) edge node {b} (q13)
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(q12) edge node {a} (q123)
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(q12) edge [loop above] node {b}()
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(q13) edge [bend left] node {a} (q3)
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(q13) edge node {b} (q123)
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(q23) edge [loop above] node {a}()
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||||
(q23) edge node {b} (q13)
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(q123) edge node {a} (q23)
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(q123) edge [loop above] node {b}()
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;
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{solution}
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\part Betrachte den folgenden DFA X. Berechne den minimalen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$.
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@ -258,6 +317,17 @@
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{solution}
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* erster Schritt, (*) zweiter Schritt
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
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2 & * \\\hline
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3 & * & * \\\hline
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4 & (*) & * & * \\\hline
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5 & * & * & * & * \\\hline
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6 & (*) & * & * & (*) & * \\\hline
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& 1 & 2 & 3 & 4 & 5
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\end{tabular}
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\end{solution}
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@ -276,7 +346,7 @@
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(q1) edge node {a} (q5)
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(q2) edge [loop above] node {b}()
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(q2) edge node {a} (q3)
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(q3) edge node {a} (q5)
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(q3) edge [bend left] node {a} (q5)
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(q3) edge node {b} (q6)
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(q4) edge node {a} (q1)
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(q4) edge node {b} (q5)
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@ -334,7 +404,7 @@
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Seien $A\supseteq \sum^*$ und B$\supseteq \Gamma^*$. Eine Reduktion von A auf B ist ...
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\part Seien $A\supseteq \sum^*$ und B$\supseteq \Gamma^*$. Eine Reduktion von A auf B ist ...
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\begin{solution}
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\end{solution}
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@ -342,18 +412,18 @@
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Sei $f:N\rightarrow N$ eine monotone Funktion. Die Klasse $TIME(f)$ besteht aus allen Sprachen L, für die es eine Turingmaschine $M$ gibt mit ...
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\part Sei $f:N\rightarrow N$ eine monotone Funktion. Die Klasse $TIME(f)$ besteht aus allen Sprachen L, für die es eine Turingmaschine $M$ gibt mit ...
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Sätze der Berechnbarkeitstheorie: Vervollständige die folgenden Aussagen
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\begin{parts}
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\part Zu jeder Mehrband-Turingmaschine $M$ gibt es ...
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\part Zu jeder Mehrband-Turingmaschine $M$ gibt es ...
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Sei $f:N^k\rightarrow\mathbb{N}$ eine Funktion für ein $k\in\mathbb{N}$. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1) $f$ ist Turing-berechenbar, 2)..., 3)..., 4)...
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\part Sei $f:N^k\rightarrow\mathbb{N}$ eine Funktion für ein $k\in\mathbb{N}$. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1) $f$ ist Turing-berechenbar, 2)..., 3)..., 4)...
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\begin{solution}
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\end{solution}
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@ -377,11 +447,11 @@
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Gebe ein Loop Programm an, das die Funktion $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ mit $f(n_1,n_2)=2n_1n_2$ berechnet. Verwende nur elementare Anweisungen und keine Abkürzungen.
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\part Gebe ein Loop Programm an, das die Funktion $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ mit $f(n_1,n_2)=2n_1n_2$ berechnet. Verwende nur elementare Anweisungen und keine Abkürzungen.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Gebe ein GoTo Programm an, das die Funktion $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ mit $g(n_1,n_2)=|n_1-n_2|$ berechnet. Verwende nur elementare Anweisungen und keine Abkürzungen.
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\part Gebe ein GoTo Programm an, das die Funktion $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ mit $g(n_1,n_2)=|n_1-n_2|$ berechnet. Verwende nur elementare Anweisungen und keine Abkürzungen.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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