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Robert Jeutter 2021-04-09 22:33:55 +02:00
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@ -1919,8 +1919,10 @@ Variablen:
\end{itemize*} \end{itemize*}
Komplexe Datenstrukturen: Komplexe Datenstrukturen:
\begin{lstlisting}
[{{person,'Joe', 'Armstrong'}, {telephoneNumber, [3,5,9,7]}, {shoeSize, 42}, {pets, [{cat, tubby},{cat, tiger}]}, {children,[{thomas, 5},{claire,1}]}}, {{person,'Mike','Williams'}, {shoeSize,41}, {likes,[boats, beer]}, ...}]
\end{lstlisting}
\begin{itemize*} \begin{itemize*}
\item $[\{\{person,'Joe', 'Armstrong'\}, \{telephoneNumber, [3,5,9,7]\}, \{shoeSize, 42\}, \{pets, [\{cat, tubby\},\{cat, tiger\}]\}, \{children,[\{thomas, 5\},\{claire,1\}]\}\}, \{\{person,'Mike','Williams'\}, \{shoeSize,41\}, \{likes,[boats, beer]\}, ... \}]$
\item Erläuterungen: \item Erläuterungen:
\begin{itemize*} \begin{itemize*}
\item Beliebig komplexe Strukturen können erzeugt werden \item Beliebig komplexe Strukturen können erzeugt werden
@ -2253,13 +2255,14 @@ Ein Lambda-Term ohne freie Variablen heißt Kombinator
\subitem\colorbox{lightgray}{ \subitem\colorbox{lightgray}{
\begin{minipage}[h]{0.9\linewidth} \begin{minipage}[h]{0.9\linewidth}
$\lambda$-Terme\\ \\ $\lambda$-Terme\\
\begin{tabular}[h]{lcr} \begin{tabular}[h]{lcr}
\textbf {Bezeichnung} & \textbf{Notation} & \textbf{Beispiele} \\ \textbf {Bezeichnung} & \textbf{Notation} & \textbf{Beispiele} \\
Variablen & $x$ & $x \enspace y$ \\ Variablen & $x$ & $x \enspace y$ \\
Abstraktion & $\lambda$x.t & $\lambda y.0 \enspace \lambda f. \lambda x. \lambda y.fyx$ \\ Abstraktion & $\lambda$x.t & $\lambda y.0 \enspace \lambda f. \lambda x. \lambda y.fyx$ \\
Funktionsanwendung & $t_1t_2$ & $f 42 \enspace ( \lambda x.x+5)7$ Funktionsanwendung & $t_1t_2$ & $f 42 \enspace ( \lambda x.x+5)7$
\end{tabular} \end{tabular}
(weitere primitive Operationen nach Bedarf) 17, True, +, · (weitere primitive Operationen nach Bedarf) 17, True, +, ·
\end{minipage} \end{minipage}
} }
@ -2328,13 +2331,13 @@ $$(\lambda x.\lambda y.\lambda z.f( \lambda x.z+x)(y x)) (\lambda y.y+x)$$
\end{itemize*} \end{itemize*}
\end{itemize*} \end{itemize*}
\subsubsection{Ausführung von $\lambda$ Termen} \subsubsection{Ausführung von Lambda-Termen}
\colorbox{lightgray}{ \begin{minipage}[h]{1.0\linewidth} \colorbox{lightgray}{ \begin{minipage}[h]{.9\linewidth}
\begin{tabular}{|p{4cm}|p{7cm}|} \begin{tabular}{ l | l }
Redex & Ein $\lambda$-Term der Form ($\lambda x.t_1)t_2$ heißt Redex. \\[\normalbaselineskip] Redex & Ein $\lambda$-Term der Form ($\lambda x.t_1)t_2$ heißt Redex. \\
$\beta$-Reduktion & entspricht der Ausführung der Funktionanwendung auf einem Redex: \\[\normalbaselineskip] $\beta$-Reduktion & entspricht der Ausführung der Funktionanwendung auf einem Redex: \\
& ($\lambda x.t_1)t_2 \Rightarrow t_1[x \rightarrow t_2]$ \\[\normalbaselineskip] & ($\lambda x.t_1)t_2 \Rightarrow t_1[x \rightarrow t_2]$ \\
Substitution & $t_1[x \rightarrow t_2]$ erhält man aus dem Term $t_1$, wenn man alle freien Vorkommen von x durch $t_2$ ersetzt. \\[\normalbaselineskip] Substitution & $t_1[x \rightarrow t_2]$ erhält man aus dem Term $t_1$, wenn man alle freien Vorkommen von x durch $t_2$ ersetzt. \\
Normalform & Ein Term, der nicht weiter reduziert werden kann, heißt in Normalform Normalform & Ein Term, der nicht weiter reduziert werden kann, heißt in Normalform
\end{tabular} \end{tabular}
\end{minipage} \end{minipage}
@ -2364,7 +2367,7 @@ Namen gebundener Variablen
\end{itemize*} \end{itemize*}
\colorbox{lightgray}{ \colorbox{lightgray}{
\begin{minipage}[h]{1.0\linewidth} \begin{minipage}[h]{.9\linewidth}
$\alpha$-Äquivalenz \\ $\alpha$-Äquivalenz \\
$t_1$ und $t_2$ heißen $\alpha$-Äquivalent ($t_1 \stackrel{\alpha}{=} t_2$), wenn $t_1$ in $t_2$ durch konsistente Umbenennung der $\lambda$-gebundenen Variablen überführt werden kann. $t_1$ und $t_2$ heißen $\alpha$-Äquivalent ($t_1 \stackrel{\alpha}{=} t_2$), wenn $t_1$ in $t_2$ durch konsistente Umbenennung der $\lambda$-gebundenen Variablen überführt werden kann.
\end{minipage} \end{minipage}
@ -2388,9 +2391,9 @@ Extensionalitäts-Prinzip:
\item Zwei Funktionen sind gleich, falls Ergebnis gleich für alle Argumente \item Zwei Funktionen sind gleich, falls Ergebnis gleich für alle Argumente
\end{itemize*} \end{itemize*}
\colorbox{lightgray} { \colorbox{lightgray} {
\begin{minipage}[h]{1.0\linewidth} \begin{minipage}[h]{.9\linewidth}
$\eta$-Äquivalenz \\ $\eta$-Äquivalenz \\
Terme $\lambda$x.fx und f heißen $\eta$-äquivalent ($\lambda$x.fx $\stackrel{\eta}{=}$ f), falls x nicht freie Variable von f ist. Terme $\lambda x.fx$ und f heißen $\eta$-äquivalent ($\lambda x.fx \stackrel{\eta}{=} f$), falls x nicht freie Variable von f ist.
\end{minipage} \end{minipage}
} }
@ -2520,7 +2523,7 @@ $$\omega = (\lambda \color{blue}x.x x\color{black})\color{red}(\lambda x.x x) \c
$\lambda x.xx$ wendet sein Argument auf das Argument selbst an $\Rightarrow$ dadurch reproduziert $\omega$ sich selbst. $\lambda x.xx$ wendet sein Argument auf das Argument selbst an $\Rightarrow$ dadurch reproduziert $\omega$ sich selbst.
\colorbox{lightgray}{ \colorbox{lightgray}{
\begin{minipage}[h]{1.0\linewidth} \begin{minipage}[h]{.9\linewidth}
Divergenz: \\ Divergenz: \\
Terme, die nicht zu einer Normalform auswerten, divergieren. Terme, die nicht zu einer Normalform auswerten, divergieren.
Diese modellieren unendliche Ausführungen. Diese modellieren unendliche Ausführungen.
@ -2529,7 +2532,7 @@ $\lambda x.xx$ wendet sein Argument auf das Argument selbst an $\Rightarrow$ dad
\subsubsection{Der Fixpunktsatz} \subsubsection{Der Fixpunktsatz}
\colorbox{lightgray}{ \colorbox{lightgray}{
\begin{minipage}[h]{1.0\linewidth} \begin{minipage}[h]{.9\linewidth}
Fixpunktsatz \\ Fixpunktsatz \\
Für alle $F\in\Lambda$ existiert ein $X\in\lambda$ sodass gilt: $F X = X$ Für alle $F\in\Lambda$ existiert ein $X\in\lambda$ sodass gilt: $F X = X$
\end{minipage} \end{minipage}
@ -2570,7 +2573,7 @@ $\lambda x.xx$ wendet sein Argument auf das Argument selbst an $\Rightarrow$ dad
\subsubsection{Der Fixpunkt-Kombinator} \subsubsection{Der Fixpunkt-Kombinator}
\colorbox{lightgray}{ \colorbox{lightgray}{
\begin{minipage}[h]{1.0\linewidth} \begin{minipage}[h]{.9\linewidth}
Im Ergebnis unserer Diskussion des Fixpunktsatzes definieren wir den Fixpunkt-Kombinator wie folgt: $$Y \equiv \lambda f.(\lambda x.f(xx)) (\lambda x.f(xx))$$ Im Ergebnis unserer Diskussion des Fixpunktsatzes definieren wir den Fixpunkt-Kombinator wie folgt: $$Y \equiv \lambda f.(\lambda x.f(xx)) (\lambda x.f(xx))$$
\end{minipage} \end{minipage}
} }
@ -2678,7 +2681,7 @@ d.h. \space\space\space Yf ist Fixpunkt von f
\end{itemize*} \end{itemize*}
\end{itemize*} \end{itemize*}
\colorbox{lightgray}{\begin{minipage}[h]{1.0\linewidth} \colorbox{lightgray}{\begin{minipage}[h]{.9\linewidth}
Definition: \\ Definition: \\
Die Klasse der rekursiven Funktionen ist die kleinste Klasse numerischer Funktionen, die alle oben genannten Anfangsfunktionen enthält und abgeschlossen ist unter Komposition, primitiver Rekursion und unbeschränkter Minimalisierung Die Klasse der rekursiven Funktionen ist die kleinste Klasse numerischer Funktionen, die alle oben genannten Anfangsfunktionen enthält und abgeschlossen ist unter Komposition, primitiver Rekursion und unbeschränkter Minimalisierung
\end{minipage} \end{minipage}
@ -2726,7 +2729,7 @@ d.h. \space\space\space Yf ist Fixpunkt von f
\begin{itemize*} \begin{itemize*}
\item Aus den Lemmata 1 bis 3 folgt nun der Satz:\\ \item Aus den Lemmata 1 bis 3 folgt nun der Satz:\\
\colorbox{lightgray}{ \colorbox{lightgray}{
\begin{minipage}[h]{1.0\linewidth} \begin{minipage}[h]{.9\linewidth}
Alle rekursiven Funktionen sind Lambda-definierbar Alle rekursiven Funktionen sind Lambda-definierbar
\end{minipage}} \end{minipage}}
\end{itemize*} \end{itemize*}
@ -2756,7 +2759,7 @@ d.h. \space\space\space Yf ist Fixpunkt von f
\end{itemize*} \end{itemize*}
\item Eine weitere Kernfrage: Angenommen mehrere unterschiedliche Reduktionsreihenfolgen führen zu einem nicht weiter zu reduzierenden Ergebnis - \color{blue} führen all diese Reihenfolgen zum gleichen Ergebnis? \color{black} \item Eine weitere Kernfrage: Angenommen mehrere unterschiedliche Reduktionsreihenfolgen führen zu einem nicht weiter zu reduzierenden Ergebnis - \color{blue} führen all diese Reihenfolgen zum gleichen Ergebnis? \color{black}
\item Wir definieren zuerst einen zentralen begriff in diesem Zusammenhang: \item Wir definieren zuerst einen zentralen begriff in diesem Zusammenhang:
\colorbox{lightgray}{\begin{minipage}[h]{1.0\linewidth} \colorbox{lightgray}{\begin{minipage}[h]{.9\linewidth}
Ein Transitiosnsystem $(D,\rightarrow*)$ heißt genau dann konfluent, wenn für alle $t,t_1,t_2 \in D$ gilt: wenn $ t \rightarrow* t_1$ und $t \rightarrow* t_2$, dann gibt es ein $t' \in D$ mit $t_1 \rightarrow* t'$ und $t_2 \rightarrow* t'$ Ein Transitiosnsystem $(D,\rightarrow*)$ heißt genau dann konfluent, wenn für alle $t,t_1,t_2 \in D$ gilt: wenn $ t \rightarrow* t_1$ und $t \rightarrow* t_2$, dann gibt es ein $t' \in D$ mit $t_1 \rightarrow* t'$ und $t_2 \rightarrow* t'$
\end{minipage}} \end{minipage}}
\item Wenn der Lambda-Kalkül konfluent ist, kann hieraus gefolgert werden, dass unterschiedliche Reduktionsreihenfolgen, die zu einer nicht mehr weiter zu reduzierenden Form führen, somit auf den gleichen Term führen müssen. \item Wenn der Lambda-Kalkül konfluent ist, kann hieraus gefolgert werden, dass unterschiedliche Reduktionsreihenfolgen, die zu einer nicht mehr weiter zu reduzierenden Form führen, somit auf den gleichen Term führen müssen.
@ -2803,7 +2806,7 @@ Bei terminierenden $\beta$-Reduktionen ist irrelevant, welchen Redex man zuerst
\end{itemize*} \end{itemize*}
\item Hierbei ist es insbesondere von Interesse, wie Parameter gehandhabt werden, deren Werte undefiniert sind (z.B. 1/0)\newline \item Hierbei ist es insbesondere von Interesse, wie Parameter gehandhabt werden, deren Werte undefiniert sind (z.B. 1/0)\newline
\colorbox{lightgray}{ \colorbox{lightgray}{
\begin{minipage}[h]{1.0\linewidth} \begin{minipage}[h]{.9\linewidth}
Wir definieren zunächst den zentralen begriff 'strikt': \newline Eine n-stellige Funktion heißt strikt im k-ten Argument $(1<=k<=n)$, wenn gilt: $f(x_1,x_2,...,x_{k-1},\bot,x_{k+1},...,x_n)=\bot$ Wir definieren zunächst den zentralen begriff 'strikt': \newline Eine n-stellige Funktion heißt strikt im k-ten Argument $(1<=k<=n)$, wenn gilt: $f(x_1,x_2,...,x_{k-1},\bot,x_{k+1},...,x_n)=\bot$
\end{minipage}} \end{minipage}}
\item Ein undefiniertes Argument führt hier zu einem undefinierten Resultat \item Ein undefiniertes Argument führt hier zu einem undefinierten Resultat