Üblicherweise heißen Alphabete hier $\sum, \Gamma, \Delta$. Ist $\sum$ Alphabet, so nennen wir die Elemente oft Buchstaben und die Elemente von $\sum*$ auch Wörter über $\sum$ (auch String/Zeichenkette).
Sind $u=(a_1, a_2, ...a_n)$ und $v=(b_1, b_2,...,b_n)$ Wörter, so ist $u*v$ das Wort $(a_1,a_2,...a_n,b_1,b_2,...,b_n)$; es wird als Verkettung/Konkatenation von u und v bezeichnet.
\begin{flashcard}[Definition]{Verkettung von Sprachen}
Sind $L_1$ und $L_2$ Sprachen, so heißt die Sprache $L_1L_2=\{w|\exists w_1\in L_1,w_2\in L_2:w=w_1w_2\}$ (auch $L_1*L_2$) die Konkatenation oder Verkettung von $L_1$ und $L_2$.
Grammatiken sind ein Mittel um alle syntaktisch korrekten Sätze einer Sprache zu erzeugen.\\
Eine Grammatik G ist ein 4-Tupel $G=(V, \sum, P, S)$ das folgende Bedingungen erfüllt
\begin{itemize}
\item V ist eine endliche Menge von Nicht-Terminalen oder Variablen
\item$\sum$ ist ein Alphabet (Menge der Terminale) mit
$V\cap\sum=\varnothing$
,d.h. kein Zeichen ist gleichzeitig Terminal und Nicht-Terminal
\item$P\subseteq(V\cup\sum)^+\times(v\cup\sum)^*$ ist eine endliche Menge von Regeln oder Produktionen (Produktionsmenge)
\item$S\in V$ ist das Startsymbol/ die Startvariable oder das Axiom
\end{itemize}
Jede Grammatik hat nur endlich viele Regeln!
\end{flashcard}
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\begin{flashcard}[Definition]{Ableitung einer Grammatik}
Sei $G=(V, \sum, P, S)$ eine Grammatik. Eine Ableitung ist eine endliche Folge von Wörtern $w_0, w_1, w_2,...,w_n$ mit $w_0\Rightarrow w_1\Rightarrow w_2\Rightarrow ... \Rightarrow w_n$.
\end{flashcard}
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\begin{flashcard}[Definition]{Wort ist Satzform}
Ein Wort $w\in(V\cup\sum)^*$ heißt Satzform, wenn es eine Ableitung gibt, deren letztes Wort w ist.
\end{flashcard}
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\begin{flashcard}[Definition]{erzeugte Sprache}
Die Sprache $L(G)={w\in\sum^* | S\Rightarrow_G^* w}$ aller Satzformen aus $\sum^*$ heißt von G erzeugte Sprache.
\end{flashcard}
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\begin{flashcard}[Definition]{Chomsky-0}
Jede Grammatik ist vom Typ 0 (Semi-Thue-System) und wird auch als rekursiv-aufzählbar bezeichnet.
\end{flashcard}
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\begin{flashcard}[Definition]{Chomsky-1}
Eine Regel heißt kontext-sensitiv, wenn es Wörter $u,v,w\in(V\cup\sum)^*,|v|>0$ und ein Nichtterminal $A\in V$ gibt mit $l=uAw$ und $r=uvw$. Eine Grammatik ist vom Typ 1 (oder kontext-sensitiv) falls
\begin{itemize}
\item alle Regeln aus P kontext-sensitiv sind
\item$(S\rightarrow\epsilon)\in P$ die einzige nicht kontext-sensitive Regel in P ist und S auf keiner rechten Seite einer Regel aus P vorkommt
\end{itemize}
\end{flashcard}
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\begin{flashcard}[Definition]{Chomsky-2}
Eine Regel $(l\rightarrow r)$ heißt kontext-frei wenn $l\in V$ und $r\in(V\cup\sum)^*$ gilt. Eine Grammatik ist vom Typ 2, falls sie nur kontext-freie Regeln enthält
\end{flashcard}
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\begin{flashcard}[Definition]{Chomsky-3}
Eine Regl ist rechtslinear, wenn $l\in V$ und $r\in\sum V\cup{\epsilon}$ gilt. Eine Grammatik ist vom Typ 3 wenn sie nur rechtslineare Regeln enthält.
\end{flashcard}
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\begin{flashcard}[Beweise]{Es gibt einen Algorithmus, der als Eingabe eine Typ-1-Grammatik G und ein Wort w bekommst und nach endlicher Zeit entscheidet ob $w\in L(G)$ gilt.}
\scriptsize{
\begin{enumerate}
\item$w=\epsilon$: Da G vom Typ 1 ist, gilt $w\in L(G)$ genau dann wenn $(S\rightarrow\epsilon)\in P$. Dies kannn ein Algorithmus entscheiden
\item$|w|\geq1$: Definiere einen gerichteten Graphen (W,E) wie folgt
\begin{itemize}
\item Knoten sind die nichtleeren Wörter über $V\cup\sum$ der Länge $\geq|w|$ (insbes. $S,w \in W$)
\item$(u,v)\in E$ genau dann wenn $u\Rightarrow_G v$
\end{itemize}
da kontext-sensitiv ist, gilt $1= |u_0|\geq |u_1|\geq |u_2|\geq...\geq |u_n| = |w|$, also $u_i\in W$ f.a. $1\geq i \geq n$. Also existiert Pfad von S nach w im Graphen (W , E ), womit die Behauptung bewiesen ist.
ein deterministischer endlicher Automat M ist ein 5-Tupel $M=(Z, \sum, z_0, \delta, E)$
\begin{itemize}
\item$Z$ eine endliche Menge von Zuständen
\item$\sum$ das Eingabealphabet (mit $Z\cap\sum=\emptyset$)
\item$z_0\in Z$ der Start/Anfangszustand (max Einer)
\item$\delta: Z \times\sum\rightarrow Z$ die Überführungs/Übergangsfunktion
\item$E\subseteq Z$ die Menge der Endzustände
\end{itemize}
Abkürzung: DFA (deterministic finite automaton)
\end{flashcard}
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\begin{flashcard}[Definition]{DFA mit Funktion $\hat{\delta}$}
Zu einem gegebenen DFA definieren wir die Funktion $\hat{\delta}: Z \times\sum^*\rightarrow Z$ induktiv wie folgt, wobei $z\in Z$, $w\in\sum^+$ und $a\in\sum$:
Der Zustand $\hat{\delta}(z,w)$ ergibt sich indem man vom Zustand z aus dem Pfad folgt der mit w beschriftet ist.
\end{flashcard}
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\begin{flashcard}[Definition]{von einem DFA akzeptierte Sprache}
die von einem DFA akzeptierte Sprache ist: $L(M)={w\in\sum^* | \hat{\delta}(z_0,w)\in E}$\\
Mit anderen Worten: Ein Wort w wird genau dann akzeptiert, wenn derjenige Pfad, der im Anfangszustand beginnt und dessen Übergänge mit den Zeichen von w markiert sind, in einem Endzustand endet.
\end{flashcard}
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\begin{flashcard}[Definition]{Wann ist eine Sprache regulär?}
Eine Sprache $L \supseteq\sum^*$ ist regulär, wenn es einen DFA mit $L(M)=L$ gibt ( bzw. wird von einem DFA akzeptiert). Jede reguläre Sprache ist rechtslinear.
