- das Ereignis, das kein Element enthält, heißt unmögliches Ereignis (Bsp "Augenzahl größer 6" beim Würfelwurf)
- das Ereignis, das genau ein Element enthält, heißt Elementarereignis
- Ein Ereignis, das mehr als ein Element enthält, heißt zusammengesetztes Ereignis.
- das Ereignis, das alle Elemente von $\Omega$ enthält, heißt sicheres Ereignis $\Omega$: $P(\Omega)= 1$
- Wahrscheinlichkeitsmaß/Ereignisraum, die Menge aller Ereignisse, $P(\Omega)$
- setzt sich zusammen aus dem unmöglichen Ereignis, den Elementarereignissen, den mehrelementigen Teilmengen und dem sicheren Ereignis (Bsp $P(\Omega)=\{\{\},\{heil\},\{kaputt\},\{heil, kaputt\} \}$)
- die Anzahl der möglichen Ereignisse heißt Mächigkeit des Ereignisraums $|P(\Omega)|$
- Der Ereignisraum besteht aus $2^{|\Omega|}$ Ereignissen
- Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt: $\Omega \supseteq A \rightarrow P(A) \in [0,1]$
> Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) von Objekten.
- Permutation
- $k=n$ (d.h. es werden alle Elemente k der Grundmenge n betrachtet)
- Reihenfolge der Elemente wird nicht berücksichtigt $\rightarrow$ Kombination = ungeordnete Stichprobe
1. Permutation ohne Wiederholung
- Für das erste Objekt gibt es $n$ Platzierungsmöglichkeiten. Für das zweite Objekt verbleiben $(n−1)$ Möglichkeiten, für das dritte Objekt $(n−2)$ ... und für das letzte Objekt verbleibt nur noch eine Möglichkeit.
- kurz: $n!$
2. Permutation mit Wiederholung
- Sind genau k Objekte identisch, dann sind diese auf ihren Plätzen vertauschbar, ohne dass sich dabei eine neue Reihenfolge ergibt. Auf diese Weise sind genau k! Anordnungen gleich.
- kurz: $\frac{n!}{k!}$ und mit mehreren Gruppen $\frac{n!}{k_1! * k_2!...}$
3. Variation ohne Wiederholung
- Für das erste Objekt gibt es n Platzierungsmöglichkeiten. Für das zweite Objekt verbleiben $(n-1)$ Möglichkeiten, für das dritte Objekt $(n-2)$ ...und für das letzte Objekt verbleiben noch $(n-k+1)$ Möglichkeiten.
- kurz: $\frac{n!}{(n-k)!}$
4. Variation mit Wiederholung
- Für das erste Objekt gibt es n Auswahlmöglichkeiten. Da Objekte mehrfach ausgewählt werden dürfen, gibt es auch für das zweite, dritte und k-te Objekt n Möglichkeiten.
- $n^k$
5. Kombination ohne Wiederholung
- Der einzige Unterschied zwischen einer Variation ohne Wiederholung und einer Kombination ohne Wiederholung ist die Tatsache, dass bei der Kombination im - Gegensatz zur Variation - die Reihenfolge der Objekte keine Rolle spielt.
- kurz: $\frac{n!}{(n-k)!*k!} = \binom{n}{k}$
6. Kombination mit Wiederholung
- Durch eine kleine Modifikation des Zählers und des Nenners gelangen wir schließlich zur Formel für eine Kombination mit Wiederholung
1. Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen
2. Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen E eintritt
3. Laplace Wahrscheinlichkeit berechnen
> Satz von de Moivre-Laplace: Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p sowie reelle Zahlen a und b gilt $P(a\leq X \leq b)= \int_{a-0,5}^{b+0,5} \varphi_{\mu_i \delta} (x) dx_i$ wobei $\mu = n*p$ und $\delta?\sqrt{n*p*(1-p)}$ ist.
> Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst.
Bsp:
- Ziehen mit Zurücklegen (unabhängig): Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A im 2. Zug ist unabhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis B oder $\bar{B}$ eintritt. In beiden Fällen ist die Wahrscheinlichkeit gleich P(A).
- Ziehen ohne Zurücklegen (anhängig): Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A im 2. Zug ist abhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis B oder $\bar{B}$ eintritt:
$P_B(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist. $P_{\bar{B}}(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass $\bar{B}$ eingetreten ist.
Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig, wenn gilt: $P(A \cap B)=P(A)*P(B)$. Wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, dann sind dies auch $\bar{A}$ und B, A und $\bar{B}$ sowie $\bar{A}$ und $\bar{B}$.
Bei stochastischer Unabhängigkeit zweier Ereignisse hat jeder in die gleiche Richtung zeigende Ast in einem Baumdiagramm die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Bei stochastischer Unabhängigkeit zweier Ereignisse ist die Wahrscheinlichkeit eines Feldes in der Vierfeldertafel gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Zeile und der zugehörigen Spalte.
Der Satz von Bayes erlaubt das Umkehren von Schlussfolgerungen:
Man geht von einem bekannten Wert $P_A(B)$ aus, mit dessen Hilfe man $P_B(A)$ berechnet.
Um die Formel für die Berechnung von $P_A(B)$ aus $P_B(A)$ zu erhalten, müssen wir zwei Baumdiagramme mit unterschiedlichem Ablauf miteinander verknüpfen. Nach dem Multiplikationssatz gilt: $P(A\cap B)=P(B)*P_B(A)$. Nach $P_B(A)$ aufgelöst gilt $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$. Nach dem zweiten Multiplikationssatz gilt $P(A\cap B)=P(A)*P_A(B)$. Einsetzten der Formel in die erste Abbildung: $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \Rightarrow P(A\cap B)=P(A)*P_A(B)$. daraus erhält man den Satz von Bayes $P_B(A)=\frac{P(A)*P_A(B)}{P(B)}$
Eine Funktion X, die jedem Ergebnis $\omega$ des Ergebnisraum $\Omega$ genau eine Zahl x der Menge der reelen Zahlen $\R$ zuordnet, heißt Zufallsvariable.
Kurz $X:\Omega\rightarrow\R$
Veranschaulicht: Eine Zufallsvariable ordnet jedem $\omega_i$ aus $\Omega$ genau ein $x_i$ aus $\R$ zu.
Es gibt drei Möglichkeiten, eine (diskrete) Zufallsvariable darzustellen:
Eine Zufallsvariable X wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt.
1. Bsp: X:=„Anzahl Würfe, bis zum ersten Mal 6 erscheint“ -> unendliche Wertemenge, die jedoch abzählbar ist
2. Bsp: X:=„Anzahl defekter Artikel in einer Stichprobe“ -> endliche Wertemenge
Diskrete Zufallsvariablen entstehen meist durch einen Zählvorgang.
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Eine Funktion f, die jedem x einer Zufallsvariablen X genau ein p aus [0;1] zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion. Kurz: $f:x\rightarrow p$
$P(X=x)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsgröße X den Wert x annimmt.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f der Zufallsvariablen X gibt die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Realisationen von X an: $f(x)=P(X=x)= \begin{cases} p_i \text{für } x=x_i (i=1,2,...,n) \\ 0 \text{sonst} \end{cases}$
Für die Summe der Wahrscheinlichkeiten gilt $\sum_{i=1}^n p_i=1$
Eine Funktion F, die jedem x einer Zufallsvariablen X genau eine Wahrscheinlichkeit $P(X\leq x)$ zuordnet, heißt Verteilungsfunktion: $F:x \rightarrow P(X\leq x$). $P(X\leq x)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt.
- Die Verteilungsfunktion F einer diskreten Zufallsgröße X ist eine Treppenfunktion
- $F(x)$ ist monoton steigend
- $F(x)$ ist rechtssteitig stetig
- $lim_{x\rightarrow -\infty} F(x)=0$ und $lim_{x\rightarrow +\infty} F(x) =1$
Die Varianz ist eine Maßzahl zur Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung und beschreibt die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert.
Ist X eine diskrete Zufallsvariable, so heißt $\delta_x^2 = Var(X) = \sum_i (x_i-\mu_x)^2*P(X=x_i)$ die Varianz von X.
Ist X eine stetige Zufallsvariable, so heißt $\delta_x^2 = Var(X)= \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu x)^2*f(x) dx$ die Varianz von X.
Die Standardabweichung ist eine Maßzahl zur Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung und beschreibt die erwartete Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert.
Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen.
Die Menge aller Elemente, auf die ein Untersuchungsziel in der Statistik gerichtet ist, heißt Grundgesamtheit. Eine Datenerhebung der Grundgesamtheit nennt man Vollerhebung, wohingegen man eine Datenerhebung einer Stichprobe als Stichprobenerhebung bezeichnet. Die in einer Stichprobe beobachteten Werte heißen Stichprobenwerte oder Beobachtungswerte.
- Qualitative Merkmale lassen sich artmäßig erfassen.
- nominale Merkmale (Bsp. Geschlecht): Einzelne Ausprägungen des Merkmals lassen sich feststellen und willkürlich nebeneinander aufreihen. Es lässt sich keine Aussage über eine Reihenfolge oder über Abstände einzelner Ausprägungen machen.
- ordinale Merkmale (Bsp. Schulnoten): Einzelne Merkmale lassen sich zwar nicht im üblichen Sinne messen, wohl aber in eine Reihenfolge bringen. Eine Aussage über den Abstand der Ränge lässt sich dagegen nicht machen.
- Quantitative (metrische) Merkmale lassen sich zahlenmäßig erfassen.
- diskrete Merkmale (Bsp. Schülerzahl): Es gibt nur bestimmte Ausprägungen, die sich abzählen lassen. Die Merkmalsausprägungen diskreter Merkmale sind also ganze, meist nichtnegative Zahlen.
- stetige Merkmale (Bsp. Gewicht): Einzelne Ausprägungen eines Merkmals können jeden beliebigen Wert innerhalb eines gewissen Intervalls annehmen.
| Median | $\tilde{x} = \begin{cases} x_{\frac{n+1}{2}} \quad\text{ für n ungerade} \\ \frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}) \quad\text{ für n gerade}\end{cases}$ Der Wert, welcher größer oder gleich 50% aller Werte ist. |
| Modus | $\bar{x}_d=$ Häufigster Beobachtungswert |
Unter dem Begriff Streuungsparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Verteilung von einzelnen Werten um den Mittelwert machen.
Ganz allgemein schätzt man einen beliebigen Parameter, indem man die Daten aus der gesammelten Stichprobe mit einer bestimmten Formel zusammenfasst. Diese Formel nennt man dann Schätzer oder Schätzfunktion – die Formel ist eine Funktion, weil sie die Stichprobe in einen Schätzer transformiert. Als Beispiele können wir die Schätzfunktionen für den Anteilswert p betrachten – der Schätzer wird dann meist $\hat{p}$ („p-Dach“) genannt:
$$\hat{p}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$
Beispiel Schätzer für Variant $\sigma^2$ in der Grundgesamtheit: $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$
## Schätzfunktionen und Schätzwert für den Mittelwert
Der Erwartungswert $\mu$ wird in der Regel mit dem arithmetischen Mittel der Stichprobe geschätzt:
