571 lines
24 KiB
TeX
571 lines
24 KiB
TeX
\documentclass[10pt, a4paper]{exam}
|
|
\printanswers % Comment this line to hide the answers
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
|
\usepackage[T1]{fontenc}
|
|
\usepackage[ngerman]{babel}
|
|
\usepackage{listings}
|
|
\usepackage{float}
|
|
\usepackage{graphicx}
|
|
\usepackage{color}
|
|
\usepackage{listings}
|
|
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
|
|
\usepackage{tabularx}
|
|
\usepackage{geometry}
|
|
\usepackage{color,graphicx,overpic}
|
|
\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb}
|
|
\usepackage{tabularx}
|
|
\usepackage{listings}
|
|
\usepackage[many]{tcolorbox}
|
|
\usepackage{multicol}
|
|
\usepackage{hyperref}
|
|
\usepackage{pgfplots}
|
|
\usepackage{bussproofs}
|
|
\usepackage{tikz}
|
|
\usetikzlibrary{automata, arrows.meta, positioning}
|
|
\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Antwort}: }
|
|
\SolutionEmphasis{\small}
|
|
\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm}
|
|
|
|
\usepackage{pifont}
|
|
\newcommand{\cmark}{\ding{51}}
|
|
\newcommand{\xmark}{\ding{55}}
|
|
|
|
\pdfinfo{
|
|
/Title (Logik und Logikprogrammierung - Prüfungsvorbereitung)
|
|
/Creator (TeX)
|
|
/Producer (pdfTeX 1.40.0)
|
|
/Author (Robert Jeutter)
|
|
/Subject ()
|
|
}
|
|
\title{Logik und Logikprogrammierung - Prüfungsvorbereitung}
|
|
\author{}
|
|
\date{}
|
|
|
|
% Don't print section numbers
|
|
\setcounter{secnumdepth}{0}
|
|
|
|
\newtcolorbox{myboxii}[1][]{
|
|
breakable,
|
|
freelance,
|
|
title=#1,
|
|
colback=white,
|
|
colbacktitle=white,
|
|
coltitle=black,
|
|
fonttitle=\bfseries,
|
|
bottomrule=0pt,
|
|
boxrule=0pt,
|
|
colframe=white,
|
|
overlay unbroken and first={
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt]
|
|
([xshift=5pt]frame.north west) --
|
|
(frame.north west) --
|
|
(frame.south west);
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt]
|
|
([xshift=-5pt]frame.north east) --
|
|
(frame.north east) --
|
|
(frame.south east);
|
|
},
|
|
overlay unbroken app={
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt,line cap=rect]
|
|
(frame.south west) --
|
|
([xshift=5pt]frame.south west);
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt,line cap=rect]
|
|
(frame.south east) --
|
|
([xshift=-5pt]frame.south east);
|
|
},
|
|
overlay middle and last={
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt]
|
|
(frame.north west) --
|
|
(frame.south west);
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt]
|
|
(frame.north east) --
|
|
(frame.south east);
|
|
},
|
|
overlay last app={
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt,line cap=rect]
|
|
(frame.south west) --
|
|
([xshift=5pt]frame.south west);
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt,line cap=rect]
|
|
(frame.south east) --
|
|
([xshift=-5pt]frame.south east);
|
|
},
|
|
}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
\begin{myboxii}[Disclaimer]
|
|
Aufgaben aus dieser Vorlage stammen aus der Vorlesung \textit{Logik und Logikprogrammierung} und wurden zu Übungszwecken verändert oder anders formuliert! Für die Korrektheit der Lösungen wird keine Gewähr gegeben.
|
|
\end{myboxii}
|
|
|
|
%##########################################
|
|
\begin{questions}
|
|
\question Definitionen und Sätze
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Der Korrektheitssatz der Aussagenlogik für den Wahrheitswertebereich $B$ lautet...
|
|
\begin{solution}
|
|
Für jede Menge von Formeln $\Gamma$ und jede Formel $\varphi$ gilt $\Gamma\vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash_B\varphi$.
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Eine Menge von Formeln $\Gamma$ heißt erfüllbar, wenn...
|
|
\begin{solution}
|
|
Sei $\Gamma$ eine Menge von Formeln. $\Gamma$ heißt erfüllbar, wenn es eine passende B-Belegung $B$ gibt mit $B(\gamma) = 1_B$ für alle $\gamma\in\Gamma$.
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Der Satz von Cook lautet...
|
|
\begin{solution}
|
|
Die Erfüllbarkeit einer endlichen Menge $\Gamma$ ist NP-vollständig.
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Zwei Formeln $\alpha$ und $\beta$ heißen äquivalent, wenn...
|
|
\begin{solution}
|
|
Zwei Formeln $\alpha$ und $\beta$ heißen äquivalent $(\alpha\equiv\beta)$, wenn für alle passenden B-Belegungen $B$ gilt: $B(\alpha) =B(\beta)$.
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Der Kompaktheitssatz der Aussagenlogik lautet...
|
|
\begin{solution}
|
|
Sei $\Gamma$ eine u.U. unendliche Menge von Formeln. Dann gilt $\Gamma$ unerfüllbar $\Leftarrow\Rightarrow\exists\Gamma'\subseteq\Gamma$ endlich: $\Gamma'$ unerfüllbar
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Eine Horn Klausel ist eine Formel der Form
|
|
\begin{solution}
|
|
Eine Hornklausel hat die Form $(\lnot\bot\wedge p_1\wedge p_2\wedge ... \wedge p_n)\rightarrow q$ für $n\geq 0$, atomare Formeln $p_1 ,p_2 ,... ,p_n$ und $q$ atomare Formel oder $q=\bot$.
|
|
Eine Hornformel ist eine Konjunktion von Hornklauseln.
|
|
\end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Wahrheitswertebereiche
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Werte die Formel $\varpi_a=\lnot p \wedge \lnot\lnot p$ im Heytingschen Wahrheitswertebereich $H_{\mathbb{R}}$ aus für die $H_{\mathbb{R}}$-Belegung $B$ mit $B(p)=\mathbb{R}\backslash \{0\}$
|
|
\begin{solution}
|
|
$B_{H_{mathbb{R}}}(\lnot p \wedge \lnot\lnot p)= Inneres(\mathbb{R}/ p)\cap p= Inneres(\mathbb{R}\backslash\{\mathbb{R}\backslash\{0\}\})\cap \mathbb{R}\backslash\{0\}=\{0\}\cap \mathbb{R}\backslash\{0\} = \varnothing$
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Überprüfe ob die Formel $\varphi_B=(\lnot p\rightarrow \lnot p)\rightarrow p$ eine $K_3$-Tautologie ist. Ist $\varphi_b$ eine $B_{\mathbb{R}}$ Tautologie?
|
|
\begin{solution}
|
|
|
|
\begin{tabular}{c|c|c|c}
|
|
$p$ & $\lnot p$ & $\phi=(\lnot p\rightarrow \lnot p)$ & $\phi\rightarrow p$ \\\hline
|
|
0 & 1 & 1 & 0 \\
|
|
$\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 1 & $\frac{1}{2}$ \\
|
|
1 & 0 & 1 & 1 \\
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
Keine $K_3$ Tautologie.
|
|
|
|
Da keine $B$ Tautologie $\rightarrow$ keine $B_R$ Tautologie
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Überprüfe ob die semantische Folgeung $\{p\rightarrow q, q\rightarrow r\}\Vdash_B r\rightarrow\lnot p$ gilt.
|
|
\begin{solution}
|
|
|
|
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c}
|
|
$p$ & $q$ & $r$ & $\lnot p$ & $\Gamma_1=p\rightarrow q$ & $\Gamma_2=q\rightarrow r$ & $\Phi=r\rightarrow\lnot p$ & $\Gamma\Vdash\Phi$ \\\hline
|
|
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cmark \\
|
|
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cmark \\
|
|
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & \\
|
|
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cmark \\
|
|
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & \\
|
|
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & \\
|
|
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \\
|
|
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & \xmark
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
Folgerung gilt nicht
|
|
\end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Erfüllbarkeit
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Überprüfe mittels Markierungsalgorithmus, ob die Formel $\varphi_a=(\lnot p\vee q)\wedge(t\vee \lnot s)\wedge(\lnot r\vee s\vee \lnot q)\wedge r\wedge (\lnot p\vee t)\wedge \lnot s \wedge (\lnot r\vee p)$ erfüllbar ist.
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\lnot\varphi_a=(p\wedge \lnot q)\vee(\lnot t\wedge s)\vee(r\wedge\lnot s\wedge q)\vee\lnot r\vee (p\wedge\lnot t)\vee s \vee(r\wedge\lnot p)$
|
|
\item Horn Klauseln
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $q\rightarrow p$
|
|
\item $t\rightarrow s$
|
|
\item $s\rightarrow r\wedge q$
|
|
\item $r\rightarrow\bot$
|
|
\item $t\rightarrow p$
|
|
\item $\lnot\bot\rightarrow s$
|
|
\item $p\rightarrow r$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Markieren
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item für 6.: $s$
|
|
\item für 3.: $r,q$
|
|
\item für 4.+1.: $\bot, p$
|
|
\item für 7.: $r$
|
|
\item Terme 2 und 5 bleiben übrig $\rightarrow$ terminiert mit ,,unerfüllbar''
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item $\lnot\varphi_a$ unerfüllbar $\Rightarrow \varphi_a$ erfüllbar
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Überprüfe mittels SLD Resolution, ob die Formel $\varphi_b=(r\wedge p)\vee\lnot t\vee (p\wedge \lnot q)\vee \lnot p\vee (\lnot r\wedge q \wedge t)$ eine Tautologie ist
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Horn Klauseln
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\lnot\bot\rightarrow r\wedge p$
|
|
\item $t\rightarrow\bot$
|
|
\item $q\rightarrow p$
|
|
\item $p\rightarrow\bot$
|
|
\item $r\rightarrow q\wedge t$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Markieren
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item für 2.+3.: $M_0=\{p,t\}$
|
|
\item für 3.: $M_1=\{q,t\}$
|
|
\item für 5.: $M_2=\{r\}$
|
|
\item für 4.: $M_3=\{r,p\}$
|
|
\item für 1.: $M_4=\varnothing$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item $M_4=\varnothing \Rightarrow \{\lnot\varphi_b\}$ unerfüllbar $\rightarrow \varphi$ Tautologie
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Monotone Formeln: Eine aussagenlogische Formel $\varphi$ heißt monoton, falls für alle zu $\varphi$ passenden $B$-Belegungen $B_1,B_2$ mit $B_1(p_i)\leq B_2(p_i)$ für alle $i\in\mathbb{N}$ gilt $B_1(\varphi)\leq B_2(\varphi)$. Beispielsweise sind $p_1\wedge p_2$ und $\lnot\lnot p_1$ monoton.
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Entscheide, welche der Formeln $\varphi=p_1\wedge(p_2\rightarrow p_3)$, $\psi=\lnot p_1\rightarrow p_2$ monoton sind.
|
|
\begin{solution}
|
|
Teste für B-Belegung mit Boolschem Wahrheitswertebereich
|
|
|
|
\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
|
|
$p_1$ & $p_2$ & $p_3$ & $p_2\rightarrow p_3$ & $\varphi=p_1\wedge(p_2\rightarrow p_3)$ \\\hline
|
|
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
|
|
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
|
|
0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
|
|
0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
|
|
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
|
|
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
|
|
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
|
|
1 & 1 & 1 & 1 & 1
|
|
\end{tabular}
|
|
$\Rightarrow$ nicht monoton
|
|
|
|
\begin{tabular}{c|c|c|c}
|
|
$p_1$ & $p_2$ & $\lnot p_1$ & $\psi=\lnot p_1\rightarrow p_2$ \\\hline
|
|
0 & 0 & 1 & 0 \\
|
|
0 & 1 & 1 & 1 \\
|
|
1 & 0 & 0 & 1 \\
|
|
1 & 1 & 0 & 1
|
|
\end{tabular}
|
|
$\Rightarrow$ monoton
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Zeige per vollständiger Induktion über den Formelaufbau, dass aussagenlogische Formeln in denen weder $\lnot$ noch $\rightarrow$ vorkommen, monoton sind.
|
|
\begin{solution}
|
|
\end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Definitionen und Sätze: Sei $\sum$ eine Signatur. Verfollständige die folgenden Definitionen und Sätze.
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Es gilt $\Delta\vdash \varphi$ für eine $\sum$-Formel $\varphi$ und eine Menge $\Delta$ von $\sum$-Formeln, falls
|
|
\begin{solution}
|
|
Seien $\Delta$ eine Menge von Formeln und $\varphi$ eine Formel. Dann gilt $\Delta\vdash\varphi\Leftrightarrow\Delta\Vdash_B \varphi$
|
|
Insbesondere ist eine Formel genau dann eine B-Tautologie, wenn sie ein Theorem ist.
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Der Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik lautet...
|
|
\begin{solution}
|
|
Sei $\Gamma$ eine Menge von $\sum$-Formeln und $\varphi$ eine $\sum$-Formel. Dann gilt $\Gamma\Vdash\varphi \Rightarrow \Gamma\vdash\varphi$.
|
|
Insbesondere ist jede allgemeingültige Formel ein Theorem.
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Der Satz von Löwenheim-Skolem lautet...
|
|
\begin{solution}
|
|
Sei $\Gamma$ erfüllbare und höchstens abzählbar unendliche Menge von $\sum$-Formeln. Dann existiert ein höchstens abzählbar unendliches Modell von $\Gamma$.
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Die (elementare) Theorie einer $\sum$-Struktur $A$ ist
|
|
\begin{solution}
|
|
Eine $\sum$-Struktur ist ein Tupel $A=(U_A,(f^A)_{f\in\Omega},(R^A)_{R\in Rel})$, wobei
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $U_A$ eine nichtleere Menge, das Universum,
|
|
\item $R^A\supseteq U_A^{ar(R)}$ eine Relation der Stelligkeit $ar(R)$ für $R\in Rel$ und
|
|
\item $f^A:U_A^{ar(f)}\rightarrow U_A$ eine Funktion der Stelligkeit $ar(f)$ für $f\in\Omega$ ist.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Natürliches Schließen
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Gebe die Regeln $(\forall-I)$, $(\exists-E)$ und $(GfG)$ inklusive Bedingung an
|
|
\begin{solution}
|
|
|
|
$\forall-I:\frac{\varphi}{\forall x\varphi}$ Bedingung: x nicht frei in Hypothesen
|
|
|
|
$\forall-E:\frac{\forall x\varphi}{\varphi[x:=t]}$ Bedingung: über keine Variable aus $t$ wird in $\varphi$ quantifiziert
|
|
|
|
$\exists-I:\frac{\varphi[x:=t]}{\exists x\varphi}$ Bedingung: über keine Variable in $t$ wird in $\varphi$ quantifiziert
|
|
|
|
$\exists-E:\frac{\exists x\varphi\quad \sigma}{\sigma}$ Bedingung: x weder frei in Hypothesen noch in $\sigma$
|
|
|
|
$(GfG): \frac{\varphi[x:=s]\quad s=t}{\varphi[x:=t]}$ Bedingung: über keine Variable aus $s$ oder $t$ wird in $\varphi$ quantifiziert
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Zeige, dass $\forall x\exists y(f(x)=y)$ ein Theorem ist, indem du eine entsprechende Deduktion angibst
|
|
\begin{solution}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Zeige, dass $\exists x\forall y(f(x)=y)$ nicht allgemeingültig ist
|
|
\begin{solution}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Zeige, dass die Formel aus c) erfüllbar ist
|
|
\begin{solution}
|
|
\end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Prädikatenlogische Definierbarkeit: Betrachte im folgenden Graphen als $\sum$-Struktur, wobei $\sum$ eine Signatur mit einem zweistelligen Relationssymbol $E$ ist.
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Betrachte den (kommt noch) Graphen und die $\sum$-Formel $\varphi_a=\forall x\exists y\exists z(((E(x,y)\wedge E(y,z))\vee(E(y,x)\wedge E(z,x)))\wedge y\not =z)$. Gebe eine Kante an, sodass $G$ mit dieser zusätzlichen Kante als $\sum_a$-Struktur ein Modell der Formel $\varphi_a$ ist. Begründe deine Antwort.
|
|
\begin{solution}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Betrachte die folgenden (kommen noch) Graphen $G_1$ und $G_2$. Gebe einen $\sum$-Satz $\varphi_b$ an, so dass $G_1\Vdash \varphi_b$ und $G_2\not\Vdash\varphi_b$ gilt.
|
|
\begin{solution}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Gebe einen $\sum$-Satz $\varphi_c$ an, so dass für alle $\sum$-Strukturen $A$ genau dann $A\Vdash \varphi_c$ gilt, wenn $E^A$ eine Äquivalenzrelation ist (d.h. reflexiv, symmetrisch und transitiv).
|
|
\begin{solution}
|
|
\end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Normalformeln und Unifikatoren
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Betrachte die Formel $\varphi=\forall x(\exists y(R(x,y)\wedge \lnot \exists x(R(y,x))))$. Gebe eine Formel $\psi_1$ in Pränexform an, die äquivalent zu $\varphi$ ist und eine Formel $\psi_2$ in Skolemform, die erfüllbarkeitsäquivalent zu $\varphi$ ist.
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\forall x(\exists y (R(x,y) \wedge \lnot \exists x(R(y,x))))$
|
|
\item $\forall x( \exists x_2 \exists y( R(x,y)\wedge\lnot R(y,x_2)))$
|
|
\item $\forall x( \exists x_2 \exists y( R(x,y)\wedge\lnot R(y,x_2)))$
|
|
\item $\forall x \exists x_2 \exists y( R(x,y\wedge\lnot R(y,x_2)))$ (Pränexform)
|
|
\item $\forall x (R(x,y)\wedge\lnot R(g(x),h(x)))[x_2:=h(x)][y:=g(x)]$
|
|
\item $\forall x (R(x,y)\wedge\lnot R(g(x),h(x)))$ (Skolemform)
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Sei $\sum$ eine Signatur mit zweistelligem Relationssymbol $R$, zweistelligem Funktionssymbol $f$, einstelligem Funktionssymbol $g$ und Konstanten $a,b$. Ermittle mit dem Unifikationsalgorithmus, ob die atomare Formel unifizierbar ist und gebe einen allgemeinsten Unifikator an, falls dieser existiert. $$(R(x, f(y,g(a))), R(a,f(g(x),y)))$$
|
|
\begin{solution}
|
|
|
|
\begin{tabular}{c|c|c}
|
|
$\varphi_1\sigma$ & $\varphi_2\sigma$ & $\sigma$ \\\hline
|
|
$R(x, f(y,g(a)))$ & $R(a,f(g(x),y))$ & $id$ \\
|
|
$R(a, f(y,g(a)))$ & $R(a,f(g(x),y))$ & $id[x:=a]$ \\
|
|
$R(a, f(g(x),g(a)))$ & $R(a,f(g(x),g(x)))$ & $id[x:=a][y:=g(x)]$ \\
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
Terminiert nicht unifizierbar
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Sei $\sum$ eine Signatur mit zweistelligem Relationssymbol $R$, zweistelligem Funktionssymbol $f$, einstelligem Funktionssymbol $g$ und Konstanten $a,b$. Ermittle mit dem Unifikationsalgorithmus, ob die atomare Formel unifizierbar ist und gebe einen allgemeinsten Unifikator an, falls dieser existiert. $$(R(f(g,x),y), R(f(y,z),z))$$
|
|
\begin{solution}
|
|
|
|
\begin{tabular}{c|c|c}
|
|
$\varphi_1\sigma$ & $\varphi_2\sigma$ & $\sigma$ \\\hline
|
|
$R(f(g,x),y)$ & $R(f(y,z),z))$ & $id$ \\
|
|
$R(f(y,x),y)$ & $R(f(y,z),z))$ & $id[y:=y]$
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
Terminiert nicht unifizierbar
|
|
\end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Gegeben sei folgende Wissensbasis:\begin{itemize}
|
|
\item über(rot, orange).
|
|
\item über(orange, gelb).
|
|
\item über(gelb, grün).
|
|
\item über(grün, blau).
|
|
\item über(blau, violett).
|
|
\item top(X):~über(\_, X), !, fail.
|
|
\item top(\_).
|
|
\item oben(X):-über(X,\_),top(X).
|
|
\end{itemize} Wie antwortet ein Prolog System mit dieser Wissensbasis auf die folgenden Fragen:
|
|
\begin{parts}
|
|
\part ?-top(grün).
|
|
\begin{solution}
|
|
\{gelb\}, true
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part ?-top(X).
|
|
\begin{solution}
|
|
\{rot, orange, gelb, grün, blau \}, false
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part ?-top(rot).
|
|
\begin{solution}
|
|
\{\}, false
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part ?-oben(grün).
|
|
\begin{solution}
|
|
false
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part ?-oben(X).
|
|
\begin{solution}
|
|
\{rot\}, true
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part ?-oben(rot).
|
|
\begin{solution}
|
|
true
|
|
\end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Man implementiere folgende Prädikate in Form von Prolog Klauseln
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Das Prädikat $parition(L,E,Kl,Gr)$ soll eine gegebene Liste ganzer Zahlen $L$ in zwei Teillisten partitionieren.\begin{itemize}
|
|
\item die Liste $Kl$ aller Elemente aus $L$, welche kleiner oder gleich $E$ sind und
|
|
\item die Liste $Gr$ aller Elemente aus $L$, welche größer als $E$ sind
|
|
\end{itemize}
|
|
Beispiel: ?-parition([1,2,3,4,5,6], 3, Kl, Gr). \begin{itemize}
|
|
\item $Kl=[1,2,3]$
|
|
\item $Gr=[4,5,6]$
|
|
\end{itemize}
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{lstlisting}
|
|
% delete Funktion
|
|
delete(_, [ ], [ ]).
|
|
delete(X, [X|Xs], Xs).
|
|
delete(X, [Y|Ys], [Y|Zs]) :-
|
|
delete(X, Ys, Zs).
|
|
|
|
% append Funktion
|
|
append([ ], Xs, Xs).
|
|
append([X|Xs], Ys, [X|Zs]) :-
|
|
append(Xs, Ys, Zs).
|
|
|
|
% partition Funktion
|
|
partition([ ], E, Kl, Gr).
|
|
partition([K|R], E, Kl, Gr):-
|
|
K<E,
|
|
append(K, Kl, Kl),
|
|
partition(R, E, Kl, Gr).
|
|
partition([K|R], E, Kl, Gr):-
|
|
K>E,
|
|
append(K, Gr, Gr),
|
|
partition(R, E, Kl, Gr).
|
|
|
|
\end{lstlisting}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Das Prädikat $merge(L1,L2,L)$ soll zwei sortierte Listen mit ganzen Zahlen $L1$ und $L2$ zu einer sortierten Liste $L$ verschmelzen.
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{lstlisting}
|
|
merge([ ], L2, L2).
|
|
merge(L1, [ ], L1).
|
|
merge([K1|R2], [K2|R2], L):-
|
|
K1>K2,
|
|
append(K2, L, L),
|
|
merge([K1|R1], R2, L).
|
|
merge([K1|R2], [K2|R2], L):-
|
|
K2=<K1,
|
|
append(K1, L, L),
|
|
merge(R1, [K2|R2], L).
|
|
\end{lstlisting}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Das Prädikat $listmerge(ListenListe, L)$ bekommt eine Liste sortierter Listen $ListenListe$ und soll sie zu einer sortierten Liste L verschmelzen. Das in Aufgabe b) definierte Prädikat $merge$ kann dabei verwendet werden.
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{lstlisting}
|
|
listmerge([ ], L).
|
|
listmerge([K|R], L):-
|
|
merge(K, L, L2),
|
|
listmerge(R, L2).
|
|
\end{lstlisting}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Das Prädikat $am\_groesten(L, Max)$ soll das größte Element $Max$ einer Zahlenliste $L$ ermitteln. Falls $L$ leer ist, soll ,,nein'' geantwortet werden.
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{lstlisting}
|
|
am_groesten([], Max):-
|
|
fail.
|
|
am_groesten([K|R], Max):-
|
|
K>Max,
|
|
am_groesten(R, K).
|
|
am_groesten([K|R], Max):-
|
|
K=<Max,
|
|
am_groesten(R, Max).
|
|
\end{lstlisting}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Das Prädikat $am\_kuerzesten(ListenListe, L)$ soll aus einer Liste von $ListenListe$ die kürzeste Liste $L$ ermitteln. Dies soll möglichst effizient geschehen: \begin{itemize}
|
|
\item Gestalte die Prozedur rechtsrekursiv
|
|
\item Sehe davon ab, Listenlängen explizit zu ermitteln. Ermittle diese mit einem Hilfsprädikat $kuerzer\_als(L1,L2)$
|
|
\item Höre mit der Suche auf, sobald eine leere Liste gefunden wurde. Kürzer geht nicht
|
|
\end{itemize}
|
|
Falls $ListenListe$ leer ist, soll ,,nein'' geantwortet werden.
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{lstlisting}
|
|
am_kuerzesten([], L).
|
|
am_kuerzesten([K,R], L):-
|
|
kuerzer_als(K,L),
|
|
am_kuerzesten(R, K).
|
|
am_kuerzesten([K,R], L):-
|
|
!kuerzer_als(K,L),
|
|
am_kuerzesten(R, L).
|
|
\end{lstlisting}
|
|
\end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Ein binärer Suchbaum mit natürlichen Zahlen in den Knoten sei in Prolog wie folgt als strukturierter Term repräsentiert:\begin{itemize}
|
|
\item leerer Baum: nil
|
|
\item nichtlerer Baum: baum(Wurzel, LinkerUnterbaum, RechterUnterbaum)
|
|
\end{itemize}
|
|
Beispiel Baum mit Wurzel 6, Wurzel 4 im linken Unterbaum, Wurzel 7 im rechten Unterbaum und 2,4 und 9 als Blätter: $baum(6,baum(4, baum(2,nil,nil), baum(5, nil, nil)), baum(7, nil, baum(0, nil, nil)))$.\\
|
|
Man implementiere folgende Prädikate in Prolog
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Das Prädikat $enthalten(Baum, Zahl)$ bekommt einen binären Suchbaum $Baum$ sowie eine Zahl $Zahl$ und soll entscheiden, ob diese Zahl in Baum enthalten ist und die Antwort ,,ja'' oder ,,nein'' liefern.
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{lstlisting}
|
|
baum(nil).
|
|
baum(Wurzel, Links, Rechts):-
|
|
baum(Links),
|
|
baum(Rechts).
|
|
|
|
ist_knoten(X, baum(X, Links, Rechts)).
|
|
ist_knoten(X, baum(Y, Links, Rechts)) :-
|
|
ist_knoten(X, Links).
|
|
ist_knoten(X, baum(Y, Links, Rechts)) :-
|
|
ist_knoten(X, Rechts).
|
|
|
|
enhalten(baum(X, Links, Rechts), X).
|
|
enhalten(baum(Y, Links, Rechts), X):-
|
|
enthalten(Links, X).
|
|
enthalten(baum(Y, Links, Rechts), X):-
|
|
enthalten(Rechts, X).
|
|
\end{lstlisting}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\part Das Prädikat $flatten(Baum,Liste)$ soll aus einem gegebenen Suchbaum $Baum$ die Liste $Liste$ aller der im Baum enthaltenen Zahlen in aufsteigender sortierter Reihenfolge liefern.
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{lstlisting}
|
|
flatten([], []).
|
|
flatten(baum(X, Links, Rechts), L):-
|
|
insert(X, L, L2),
|
|
flatten(Links, L2),
|
|
flatten(Rechts, L2).
|
|
flatten([], L):-
|
|
insertionSort(L, []).
|
|
|
|
insert(X, [], [X]).
|
|
insert(X, [X1|L1], [X, X1|L1]):-
|
|
X=<X1,
|
|
!.
|
|
insert(X, [X1|L1], [X1|L]):-
|
|
insert(X, L1, L).
|
|
|
|
insertionSort([], []):-
|
|
!.
|
|
insertionSort([X|L], S):-
|
|
insertionSort(L, S1),
|
|
insert(X, S1, S).
|
|
\end{lstlisting}
|
|
\end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\end{questions}
|
|
\end{document} |