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\documentclass[10pt, a4paper]{exam}
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\printanswers % Comment this line to hide the answers
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\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Antwort}: }
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\SolutionEmphasis{\small}
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\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm}
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\pdfinfo{
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/Title (Grundlagen und diskrete Strukturen - Prüfungsvorbereitung)
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/Creator (TeX)
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/Producer (pdfTeX 1.40.0)
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/Author (Robert Jeutter)
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/Subject ()
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}
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\title{Grundlagen und diskrete Strukturen - Prüfungsvorbereitung}
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\author{}
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\date{}
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% Don't print section numbers
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\setcounter{secnumdepth}{0}
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\newtcolorbox{myboxii}[1][]{
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breakable,
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freelance,
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}
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\begin{document}
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\begin{myboxii}[Disclaimer]
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Aufgaben aus dieser Vorlage stammen aus der Vorlesung \textit{Grundlagen und diskrete Strukturen} und wurden zu Übungszwecken verändert oder anders formuliert! Für die Korrektheit der Lösungen wird keine Gewähr gegeben.
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\end{myboxii}
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Erlaubte Hilfsmittel: eine math. Formelsammlung/Nachschlagwerk, ein handbeschriebenes A4-Blatt mit Formeln und Ergebnissen aus der Vorlesung.
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%##########################################
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\begin{questions}
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\question
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\begin{parts}
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\part Untersuche, welche der folgenden aussagenlogischen Ausdrücke logisch äquivalent sind. Begründe die Entscheidung.\\\begin{center}
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$\varphi=p\rightarrow (q\wedge\overline{r})$, $\psi=(p\rightarrow q)\wedge(r\rightarrow\overline{p})$, $y=(\overline{p}\vee q)\leftrightarrow r$ \end{center}
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\begin{solution}
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$\varphi=p\rightarrow (q\wedge\overline{r})$
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
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$p$ & $q$ & $r$ & $q\wedge\overline{r}$ & $p\rightarrow(q\wedge\overline{r})$ \\\hline
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0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
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0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
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0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
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0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
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1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
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1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
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1 & 1 & 1 & 0 & 0
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\end{tabular}
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$\psi=(p\rightarrow q)\wedge(r\rightarrow\overline{p})$
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
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$p$ & $q$ & $r$ & $p\rightarrow q$ & $r\rightarrow\overline{p}$ & $(p\rightarrow q)\wedge(r\rightarrow\overline{p})$ \\\hline
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0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
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0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
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0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
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0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
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1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
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1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
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|
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
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1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
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|
\end{tabular}
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|
$y=(\overline{p}\vee q)\leftrightarrow r$
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
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|
$p$ & $q$ & $r$ & $\overline{p}\vee q$ & $(\overline{p}\vee q)\leftrightarrow r$ \\\hline
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0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
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0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
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0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
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0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
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1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
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1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
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1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
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1 & 1 & 1 & 0 & 0
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|
\end{tabular}
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\end{solution}
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\part Negiere die Aussage: $\forall S\in\mathbb{R}\exists m\in\mathbb{N} \forall n\in\mathbb{N}: n>m\Rightarrow a_n>S$
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\begin{solution}
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$\exists S\in\mathbb{R}\exists m\in\mathbb{N} \forall n\in\mathbb{N}: n>m\Rightarrow a_n < S$
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\end{solution}
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\part Negiere die Aussage: ,,In jeder GudS-Klausur gibt es mindestens eine Aufgabe, die von niemandem richtig gelöst wird''
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\begin{solution}
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,,Es gibt eine GudS-Klausur in der jemand jede Aufgabe richtig löst.''
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Es seien $f,g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ zwei Funktionen. Auf der Menge $\mathbb{N}$ der natürlichen Zahlen wird wie folgt eine Relation definiert: $a \sim b \leftrightarrow f(a)-f(b)=g(a)-g(b)$. Weise nach, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist. Für den konkreten Fall $f(x)=x^2+1$ und $g(x)=2x$ bestimme man die Äquivalenzklasse $[2]_{\backslash\sim}$
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\question
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\begin{parts}
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\part Bestimme mit Hilfe des euklidischen Algorithmus ganze Zahlen $a,b$, für die gilt $1=a*100+b*23$
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\begin{solution}
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$ggT(a,b)= a*x+b*y$
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$\downarrow$: $b_i\rightarrow a_{i+1}$, $r_i\rightarrow b_{i+1}$
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$\uparrow$: $x_i=y_{i+1}$, $y_i=x_{i+1}-q_i*y_{i+1}$
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
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i & a & b & q (Teiler) & r(est) & x & y & Nebenrechnung $\downarrow$ & Nebenrechnung $\uparrow$ \\\hline
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1 & 100 & 23 & 4 & 8 & 3 & -13 & $100-23*4 = 8$ & $100*3 + 23*(-1-4*3)= 300-299= 1$ \\
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2 & 23 & 8 & 2 & 7 & -1 & 3 & $23-2*8=7$ & $23*-1 + 8*(1-2*(-1))=1$ \\
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3 & 8 & 7 & 1 & 1 & 1 & -1 & $8-1+7=1$ & $8*1 + 7*(0-1*1)=1$ \\
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4 & 7 & 1 & 7 & 0 & 0 & 1 & $7-7*1=0$ & $7*0+1*1 = 1$
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\end{tabular}
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Lösung: $a=3$, $b=-13$
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\end{solution}
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\part Bestimme mit Hilfe des euklidischen Algorithmus ganze Zahlen $a,b$, für die gilt $1=a*23+b*17$
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\begin{solution}
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
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i & a & b & q & r & x & y \\\hline
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1 & 23 & 17 & 1 & 6 & 3 & $-1-1*3=-4$ \\
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2 & 17 & 6 & 2 & 5 & -1 & $1-2*-1=3$ \\
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3 & 6 & 5 & 1 & 1 & 1 & $0-1*1=-1$ \\
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4 & 5 & 1 & 5 & 0 & 0 & 1
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\end{tabular}
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Lösung: $1=-3*23 -4*17 = 69-68 = 1$
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\end{solution}
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\part Untersuche, ob es ein multiplikativ inverses Element zu $\overline{23}$ in $\mathbb{Z}_{100}$ gibt und bestimme dieses gegebenfalls. Gebe außerdem ein nicht invertierbares Element außer $\overline{0}$ in $\mathbb{Z}_{100}$ an.
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\begin{solution}
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multiplikativ inverses: $a^{-1}*a=1$
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die multiplikative Gruppe $\mathbb{Z}_n$ besteht aus den Elementen von $\mathbb{Z}_n$ die teilerfremd zu $n$ sind. Für jedes $a\in\mathbb{Z}_n^*$ gilt $ggt(a,n)=1$ und lässt sich als $1=a*x + n*y$ darstellen $\quad\Rightarrow\quad a^{-1} \equiv y(mod\ n)$
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
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i & a & b & q & r & x & y \\\hline
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1 & 100 & 23 & 4 & 8 & 3 & -13 \\
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2 & 23 & 8 & 2 & 7 & -1 & 3 \\
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3 & 8 & 7 & 1 & 1 & 1 & -1 \\
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4 & 7 & 1 & 7 & 0 & 0 & 1
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\end{tabular}
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$1=100 * 3 - 23 * 13 \Rightarrow \overline{23}= -13 (mod\ 100)$
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Alternativ: $a^{-1}*a=1 \rightarrow a^{-1}=1\backslash a \Rightarrow a^{-1}=\frac{1}{23}$
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Gegeben sei die Menge $G=\{ \begin{pmatrix} 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1 \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^{(3,3)}\mid a,b,c\in\mathbb{R}\}$. Zeige, dass $G$ eine Gruppe bezüglich der Matrizenmultiplikation ist. Rechengesetze der Matrizenmultiplikation dürfen vorausgesetzt werden. Ist die Gruppe kommutativ? (ohne Beweis)
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\question Markus ist politikinteressiert und möchte gerne Bundeskanzler werden. Er überlegt aber noch welcher Partei er beitritt. Er hat zwei Parteien $A$ und $B$, die ihm gefallen, könnte aber auch eine eigene Partei $C$ gründen. Die Chancen bei den nächsten Wahlen als Spitzenkandidat aufgestellt zu werden schätzt er auf $10\%$ bei Partei $A$, auf $20\%$ bei Partei $B$ und $100\%$ bei Partei $C$. Die Chance, dass die jeweilige Partei mit ihm an der Spitze die Wahl gewinnt liegt bei $60\%$, $45\%$ bzw. $2\%$.
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\begin{parts}
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\part Für welche Partei sollte er sich entscheiden, um mit maximaler Wahrscheinlichkeit Bundeskanzler zu werden?
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Markus lässt die Würfel entscheiden. Bei $1$ tritt er Partei $A$ bei, bei $2$ oder $3$ Partei $B$ und bei $4,5$ oder $6$ gründet er Partei $C$. Markus wird tatsächlich Bundeskanzler. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er dann Partei $C$ gegründet.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Gegeben sei folgender Graph:
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto]
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\node (A) [state] {A};
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|
\node (B) [state, left = of A] {B};
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|
\node (C) [state, above left = of A] {C};
|
|
\node (D) [state, above right = of A] {D};
|
|
\node (E) [state, below left = of A] {E};
|
|
\node (F) [state, above = of A] {F};
|
|
\node (G) [state, below right = of A] {G};
|
|
\node (H) [state, right = of A] {H};
|
|
\node (I) [state, below = of A] {I};
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|
|
\path [thick]
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(A) edge (F)
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(A) edge (D)
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|
(A) edge (H)
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(A) edge (G)
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|
(A) edge (C)
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|
(B) edge (C)
|
|
(B) edge (E)
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|
(C) edge (F)
|
|
(C) edge (E)
|
|
(D) edge (H)
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|
(E) edge (I)
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|
(G) edge (I)
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|
;
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|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
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\begin{parts}
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\part Gebe einen Tiefensuchbaum mit Startecke $A$ für den Graphen an.
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|
\begin{solution}
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|
\begin{center}
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|
\begin{tikzpicture}[node distance = 1.5cm, on grid, auto]
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|
\node (A) [state] {A};
|
|
\node (C) [state, below left = of A] {C};
|
|
\node (D) [state, below right = of A] {D};
|
|
\node (H) [state, below = of D] {H};
|
|
\node (B) [state, below left= of C] {B};
|
|
\node (E) [state, below = of B] {E};
|
|
\node (I) [state, below = of E] {I};
|
|
\node (G) [state, below = of I] {G};
|
|
\node (F) [state, below right = of C] {F};
|
|
|
|
\path [thick]
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|
(A) edge (D)
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|
(A) edge (C)
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|
(B) edge (C)
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|
(B) edge (E)
|
|
(C) edge (F)
|
|
(D) edge (H)
|
|
(E) edge (I)
|
|
(G) edge (I)
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|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{solution}
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|
|
|
\part Gebe einen Breitensuchbaum mit Startecke $A$ für den Graphen an.
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|
\begin{solution}
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|
\begin{center}
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|
\begin{tikzpicture}[node distance = 1cm, on grid, auto]
|
|
\node (A) [state] {A};
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|
\node (C) [state, below left = 2cm and 3cm of A] {C};
|
|
\node (D) [state, below right = 2cm and 2cm of A] {D};
|
|
\node (F) [state, below left = 2cm and 2cm of A] {F};
|
|
\node (G) [state, below left= 2cm and 1cm of A] {G};
|
|
\node (H) [state, below right = 2cm and 1cm of A] {H};
|
|
\node (B) [state, below left = 1cm and 1cm of C] {B};
|
|
\node (E) [state, below right= 1cm and 1cm of C] {E};
|
|
\node (I) [state, below = of G] {I};
|
|
|
|
\path [thick]
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|
(A) edge (F)
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|
(A) edge (D)
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|
(A) edge (H)
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|
(A) edge (G)
|
|
(A) edge (C)
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|
(C) edge (B)
|
|
(C) edge (E)
|
|
(G) edge (I)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{solution}
|
|
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|
\part Zeige, dass für jede natürliche Zahl $k\leq 1$ gilt: Jeder Baum, der eine Ecke vom Grad $k$ enthält, hat mindestens $k$ Blätter.
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\begin{solution}
|
|
\end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
\end{questions}
|
|
\end{document} |