170 lines
6.8 KiB
TeX
170 lines
6.8 KiB
TeX
\documentclass[10pt, a4paper]{exam}
|
|
\printanswers % Comment this line to hide the answers
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
|
\usepackage[T1]{fontenc}
|
|
\usepackage[ngerman]{babel}
|
|
\usepackage{listings}
|
|
\usepackage{float}
|
|
\usepackage{graphicx}
|
|
\usepackage{color}
|
|
\usepackage{listings}
|
|
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
|
|
\usepackage{tabularx}
|
|
\usepackage{geometry}
|
|
\usepackage{color,graphicx,overpic}
|
|
\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb}
|
|
\usepackage{tabularx}
|
|
\usepackage{listings}
|
|
\usepackage[many]{tcolorbox}
|
|
\usepackage{multicol}
|
|
\usepackage{hyperref}
|
|
\usepackage{pgfplots}
|
|
\usepackage{bussproofs}
|
|
|
|
\pdfinfo{
|
|
/Title (Automaten, Sprachen \& Komplexität - Prüfungsvorbereitung)
|
|
/Creator (TeX)
|
|
/Producer (pdfTeX 1.40.0)
|
|
/Author (Robert Jeutter)
|
|
/Subject ()
|
|
}
|
|
\title{Automaten, Sprachen \& Komplexität - Prüfungsvorbereitung}
|
|
\author{}
|
|
\date{}
|
|
|
|
% Don't print section numbers
|
|
\setcounter{secnumdepth}{0}
|
|
|
|
\newtcolorbox{myboxii}[1][]{
|
|
breakable,
|
|
freelance,
|
|
title=#1,
|
|
colback=white,
|
|
colbacktitle=white,
|
|
coltitle=black,
|
|
fonttitle=\bfseries,
|
|
bottomrule=0pt,
|
|
boxrule=0pt,
|
|
colframe=white,
|
|
overlay unbroken and first={
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt]
|
|
([xshift=5pt]frame.north west) --
|
|
(frame.north west) --
|
|
(frame.south west);
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt]
|
|
([xshift=-5pt]frame.north east) --
|
|
(frame.north east) --
|
|
(frame.south east);
|
|
},
|
|
overlay unbroken app={
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt,line cap=rect]
|
|
(frame.south west) --
|
|
([xshift=5pt]frame.south west);
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt,line cap=rect]
|
|
(frame.south east) --
|
|
([xshift=-5pt]frame.south east);
|
|
},
|
|
overlay middle and last={
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt]
|
|
(frame.north west) --
|
|
(frame.south west);
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt]
|
|
(frame.north east) --
|
|
(frame.south east);
|
|
},
|
|
overlay last app={
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt,line cap=rect]
|
|
(frame.south west) --
|
|
([xshift=5pt]frame.south west);
|
|
\draw[red!75!black,line width=3pt,line cap=rect]
|
|
(frame.south east) --
|
|
([xshift=-5pt]frame.south east);
|
|
},
|
|
}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
\begin{myboxii}[Disclaimer]
|
|
Aufgaben aus dieser Vorlage stammen aus der Vorlesung \textit{Algorithmen, Sprachen und Komplexität} und wurden zu Übungszwecken verändert oder anders formuliert! Für die Korrektheit der Lösungen wird keine Gewähr gegeben.
|
|
\end{myboxii}
|
|
|
|
%##########################################
|
|
\begin{questions}
|
|
\question Definitionen der Automatentheorie. Vervollständige die folgenden Definitionen:
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Eine Regel $(l\rightarrow r)$ einer Grammatik $G=(V,\sum,P,S)$ heißt rechtslinear, falls ...
|
|
\begin{solution}
|
|
\end{solution}
|
|
\part Ein NFA ist ein Tupel $M=(...)$
|
|
\part Die von einem PDA $M=(Z,\sum, \Gamma, \delta, z_0, \#)$ akzeptierten Sprache ist $L(M)=...$
|
|
\part Sei $M=(Z,\sum,z_0,\delta, E)$ ein DFA. Die Zustände $z,z'\in Z$ heißen erkennungsäquivalent, wenn
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Sätze und Lemmas aus der Automatentheorie. Vervollständige die folgenden Aussagen:
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Sei $L\supseteq \sum^*$ eine Sprache. Dann sind äquivalent: 1) L ist regulär (d.h. wird von einem DFA akzeptiert), 2)..., 3)...
|
|
\part Der Satz von Myhill-Nerode besagt,...
|
|
\part Das Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen ...
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Konstruktionen der Automatentheorie
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Betrachte den NFA X (Bild wird noch erstellt). Berechne einen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$.
|
|
\part Betrachte den DFA X (Bild wird noch erstellt). Berechne den minimalen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$.
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Algorithmen für reguläre Sprachen
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Sei $\sum=\{a,b,c\}$. Gebe einen Algorithmus an, der bei Eingabe eines NFA X entscheidet, ob alle Wörter $\omega\in L(X)$ ungerade Länge besitzen und $abc$ als Infix enthalten.
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Kontextfreie Sprachen: Sei $\sum=\{a,b,c\}$. Betrachte die Sprache $K=\{a^k b^l c^m|k\leq l \text{ oder } k\leq m\}$.
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Zeige, dass $K$ eine kontextfreie Sprache ist.
|
|
\part Zeige, dass $L=\sum^*\backslash K$ (Komplement von $L$) nicht kontextfrei ist.
|
|
\part Begründe warum $K$ deterministisch kontextfrei ist oder warum nicht.
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Kontextfreie Grammatiken: Sei $\sum=\{a,b,c,\}$
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Sei $G$ die kontextfreie Grammatik mit Startsymbol S und der Regelmenge $S\rightarrow AB$, $A\rightarrow aBS|a$ und $B\rightarrow bBa|b|\epsilon$. Überführe G in eine äquivalente Grammatik in Chomsky Normalform.
|
|
\part Sei $G'$ die kontextfreie Grammatik mit Startsymbol $S$ und der Regelmenge $S\rightarrow AB$, $A\rightarrow CD|CF$, $F\rightarrow AD$, $B\rightarrow c|EB$, $C\rightarrow a$, $D\rightarrow b$, $E\rightarrow c$. Entscheide mit dem CYK-Algorithmus, ob die Wörter $w_1=aaabbbcc$ oder $w_2=aaabbccc$ von $G'$ erzeugt werden.
|
|
\part Gebe für die Wörter aus b), die von $G'$ erzeugt werden, den Ableitungsbaum an.
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Definitionen der Berechnbarkeitstheorie. Verfollständige die Definitionen
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Ein While Programm ist von der Form...
|
|
\part Die von einer Turingmaschine $M$ akzeptierte Sprache ist $L(M)=...$
|
|
\part Eine Sprache $L$ heißt rekursiv aufzählbar, falls ...
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Sätze der Berechnbarkeitstheorie: Vervollständige die folgenden Aussagen
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Sei $L\subseteq \sum^*$ eine Sprache. Sind $L$ und $\sum^*\backslash L$ semi-entscheidbar, dann...
|
|
\part Der Satz von Rice lautet...
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Berechnungsmodelle
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Gebe ein Loop-Programm an, das die Funktion $n\rightarrow n^2-n$ berechnet
|
|
\part Gebe eine deterministische Turingmaschine $M$ für das Eingabealphabet $\{0,1\}$ an, das folgende Funktion berechnet: Für Eingabe $a_1a_2...a_{n-1}a_n$ berechnet M die Ausgabe $a_na_1...a_{n-1}$ (letzte Symbol der Eingabe an erste Stelle).
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Reduktionen
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Seien $A,L\subseteq \sum^*$ nichtleere Sprachen und A entscheidbar. Gebe eine Reduktion von $L\cup A$ auf $L$ an
|
|
\part Gebe eine Bedingung für A an, sodass $L\cup A\leq_p L$ für alle nichtleeren Sprachen $L\subseteq \sum^*$ gilt. Begründe.
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question Komplexitätsklassen. Ergänze zu den Paaren von Komplexitätsklassen das Relationssymbol zur Teilmengenbeziehung.
|
|
\begin{parts}
|
|
\part EXPSPACE ? EXPTIME
|
|
\part NP ? P
|
|
\part NPSPACE ? EXPTIME
|
|
\part NP ? NPSPACE
|
|
\part NPSPACE ? PSPACE
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question NP-vollständiges Problem: Gebe zwei NP-vollständige Probleme an (als Menge oder Eingabe-Frage-Paar).
|
|
\end{questions}
|
|
\end{document} |