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\pdfinfo{
    /Title (Logik und Logikprogrammierung - Prüfungsvorbereitung)
    /Creator (TeX)
    /Producer (pdfTeX 1.40.0)
    /Author (Robert Jeutter)
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}
\title{Logik und Logikprogrammierung - Prüfungsvorbereitung}
\author{}
\date{}

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\newtcolorbox{myboxii}[1][]{
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\begin{document}
\begin{myboxii}[Disclaimer]
  Aufgaben aus dieser Vorlage stammen aus der Vorlesung \textit{Logik und Logikprogrammierung} und wurden zu Übungszwecken verändert oder anders formuliert! Für die Korrektheit der Lösungen wird keine Gewähr gegeben.
\end{myboxii}

%##########################################
\begin{questions}
  \question Definitionen und Sätze
  \begin{parts}
    \part Der Korrektheitssatz der Aussagenlogik für den Wahrheitswertebereich $B$ lautet...
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Eine Menge von Formeln $\Gamma$ heißt erfüllbar, wenn...
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Zwei Formeln $\alpha$ und $\beta$ heißen äquivalent, wenn...
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Der Kompaktheitssatz der Aussagenlogik lautet...
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Eine Horn Klausel ist eine Formel der Form
    \begin{solution}
    \end{solution}
  \end{parts}

  \question Wahrheitswertebereiche
  \begin{parts}
    \part Werte die Formel $\varpi_a=\lnot p \wedge \lnot\lnot p$ im Heytingschen Wahrheitswertebereich $H_{\mathbb{R}}$ aus für die $H_{\mathbb{R}}$-Belegung $B$ mit $B(p)=\mathbb{R}\backslash \{0\}$
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Überprüfe ob die Formel $\varphi_B=(\lnot p\rightarrow \lnot p)\rightarrow p$ eine $K_3$-Tautologie ist. Ist $\varphi_b$ eine $B_{\mathbb{R}}$ Tautologie?
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Überprüfe ob die semantische Folgeung $\{p\rightarrow q, q\rightarrow r\}\Vdash_B r\rightarrow\lnot p$ gilt.
    \begin{solution}
    \end{solution}
  \end{parts}

  \question Erfüllbarkeit
  \begin{parts}
    \part Überprüfe mittels Markierungsalgorithmus, ob die Formel $\varphi_a=(\lnot p\vee q)\wedge(t\vee \lnot s)\wedge(\lnot r\vee s\vee \lnot q)\wedge r\wedge (\lnot p\vee t)\wedge \lnot s \wedge (\lnot r\vee p)$ erfüllbar ist.
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Überprüfe mittels SLD Resolution, ob die Formel $\varphi_b=(r\wedge p)\vee\lnot t\vee (p\wedge \lnot q)\vee \lnot p\vee (\lnot r\wedge q \wedge t)$ eine Tautologie ist
    \begin{solution}
    \end{solution}
  \end{parts}

  \question Monotone Formeln: Eine aussagenlogische Formel $\varphi$ heißt monoton, falls für alle zu $\varphi$ passenden $B$-Belegungen $B_1,B_2$ mit $B_1(p_i)\leq B_2(p_i)$ für alle $i\in\mathbb{N}$ gilt $B_1(\varphi)\leq B_2(\varphi)$. Beispielsweise sind $p_1\wedge p_2$ und $\lnot\lnot p_1$ monoton.
  \begin{parts}
    \part Entscheide, welche der Formeln $\varphi=p_1\wedge(p_2\rightarrow p_3)$, $\psi=\lnot p_1\rightarrow p_2$ monoton sind.
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Zeige per vollständiger Induktion über den Formelaufbau, dass aussagenlogische Formeln in denen weder $\lnot$ noch $\rightarrow$ vorkommen, monoton sind.
    \begin{solution}
    \end{solution}
  \end{parts}

  \question Definitionen und Sätze: Sei $\sum$ eine Signatur. Verfollständige die folgenden Definitionen und Sätze.
  \begin{parts}
    \part Es gilt $\Delta\vdash \varphi$ für eine $\sum$-Formel $\varphi$ und eine Menge $\Delta$ von $\sum$-Formeln, falls
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Der Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik lautet...
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Der Satz von Löwenheim-Skolem lautet...
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Die (elementare) Theorie einer $\sum$-Struktur $A$ ist
    \begin{solution}
    \end{solution}
  \end{parts}

  \question Natürliches Schließen
  \begin{parts}
    \part Gebe die Regeln $(\forall-I)$, $(\exists-E)$ und $(GfG)$ inklusive Bedingung an
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Zeige, dass $\forall x\exists y(f(x)=y)$ ein Theorem ist, indem du eine entsprechende Deduktion angibst
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Zeige, dass $\exists x\forall y(f(x)=y)$ nicht allgemeingültig ist
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Zeige, dass die Formel aus c) erfüllbar ist
    \begin{solution}
    \end{solution}
  \end{parts}

  \question Prädikatenlogische Definierbarkeit: Betrachte im folgenden Graphen als $\sum$-Struktur, wobei $\sum$ eine Signatur mit einem zweistelligen Relationssymbol $E$ ist.
  \begin{parts}
    \part Betrachte den (kommt noch) Graphen und die $\sum$-Formel $\varphi_a=\forall x\exists y\exists z(((E(x,y)\wedge E(y,z))\vee(E(y,x)\wedge E(z,x)))\wedge y\not =z)$. Gebe eine Kante an, sodass $G$ mit dieser zusätzlichen Kante als $\sum_a$-Struktur ein Modell der Formel $\varphi_a$ ist. Begründe deine Antwort.
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Betrachte die folgenden (kommen noch) Graphen $G_1$ und $G_2$. Gebe einen $\sum$-Satz $\varphi_b$ an, so dass $G_1\Vdash \varphi_b$ und $G_2\not\Vdash\varphi_b$ gilt.
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Gebe einen $\sum$-Satz $\varphi_c$ an, so dass für alle $\sum$-Strukturen $A$ genau dann $A\Vdash \varphi_c$ gilt, wenn $E^A$ eine Äquivalenzrelation ist (d.h. reflexiv, symmetrisch und transitiv).
    \begin{solution}
    \end{solution}
  \end{parts}

  \question Normalformeln und Unifikatoren
  \begin{parts}
    \part Betrachte die Formel $\varphi=\forall x(\exists y(R(x,y)\wedge \lnot \exists x(R(y,x))))$. Gebe eine Formel $\psi_1$ in Pränexform an, die äquivalent zu $\varphi$ ist und eine Formel $\psi_2$ in Skolemform, die erfüllbarkeitsäquivalent zu $\varphi$ ist.
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Sei $\sum$ eine Signatur mit zweistelligem Relationssymbol $R$, zweistelligem Funktionssymbol $f$, einstelligem Funktionssymbol $g$ und Konstanten $a,b$. Ermittle mit dem Unifikationsalgorithmus, welche der folgenden Paare atomarer Formeln unifizierbar sind und gebe einen allgemeinsten Unifikator an, falls dieser existiert.\\
    i) $(R(x, f(y,g(a))), R(a,f(g(x),y)))$\\
    ii) $(R(f(g,x),y),g(y), R(f(y,z),z))$
    \begin{solution}
    \end{solution}
  \end{parts}

  \question Gegeben sei folgende Wissensbasis:\begin{itemize}
    \item über(rot, orange).
    \item über(orange, gelb).
    \item über(gelb, grün).
    \item über(grün, blau).
    \item über(blau, violett).
    \item top(X):~über(\_, X), !, fail.
    \item top(\_).
    \item oben(X):-über(X,\_),top(X).
  \end{itemize} Wie antwortet ein Prolog System mit dieser Wissensbasis auf die folgenden Fragen:
  \begin{parts}
    \part ?-top(grün).
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part ?-top(X).
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part ?-top(rot).
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part ?-oben(grün).
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part ?-oben(X).
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part ?-oben(rot).
    \begin{solution}
    \end{solution}
  \end{parts}

  \question Man implementiere folgende Prädikate in Form von Prolog Klauseln
  \begin{parts}
    \part Das Prädikat $parition(L,E,Kl,Gr)$ soll eine gegebene Liste ganzer Zahlen $L$ in zwei Teillisten partitionieren.\begin{itemize}
      \item die Liste $Kl$ aller Elemente aus $L$, welche kleiner oder gleich $E$ sind und
      \item die Liste $Gr$ aller Elemente aus $L$, welche größer als $E$ sind
    \end{itemize}
    Beispiel: ?-parition([1,2,3,4,5,6], 3, Kl, Gr). \begin{itemize}
      \item $Kl=[1,2,3]$
      \item $Gr=[4,5,6]$
    \end{itemize}
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Das Prädikat $merge(L1,L2,L)$ soll zwei sortierte Listen mit ganzen Zahlen $L1$ und $L2$ zu einer sortierten Liste $L$ verschmelzen.
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Das Prädikat $listmerge(ListenListe, L)$ bekommt eine Liste sortierter Listen $ListenListe$ und soll sie zu einer sortierten Liste L verschmelzen. Das in Aufgabe b) definierte Prädikat $merge$ kann dabei verwendet werden.
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Das Prädikat $am\_groesten(L, Max)$ soll das größte Element $Max$ einer Zahlenliste $L$ ermitteln. Falls $L$ leer ist, soll ,,nein'' geantwortet werden.
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Das Prädikat $am\_kuerzesten(ListenListe, L)$ soll aus einer Liste von $ListenListe$ die kürzeste Liste $L$ ermitteln. Dies soll möglichst effizient geschehen: \begin{itemize}
      \item Gestalte die Prozedur rechtsrekursiv
      \item Sehe davon ab, Listenlängen explizit zu ermitteln. Ermittle diese mit einem Hilfsprädikat $kuerzer\_als(L1,L2)$
      \item Höre mit der Suche auf, sobald eine leere Liste gefunden wurde. Kürzer geht nicht
    \end{itemize}
    Falls $ListenListe$ leer ist, soll ,,nein'' geantwortet werden.
    \begin{solution}
    \end{solution}
  \end{parts}

  \question Ein binärer Suchbaum mit natürlichen Zahlen in den Knoten sei in Prolog wie folgt als strukturierter Term repräsentiert:\begin{itemize}
    \item leerer Baum: nil
    \item nichtlerer Baum: baum(Wurzel, LinkerUnterbaum, RechterUnterbaum)
  \end{itemize}
  Beispiel Baum mit Wurzel 6, Wurzel 4 im linken Unterbaum, Wurzel 7 im rechten Unterbaum und 2,4 und 9 als Blätter: $baum(6,baum(4, baum(2,nil,nil), baum(5, nil, nil)), baum(7, nil, baum(0, nil, nil)))$.\\
  Man implementiere folgende Prädikate in Prolog
  \begin{parts}
    \part Das Prädikat $enthalten(Baum, Zahl)$ bekommt einen binären Suchbaum $Baum$ sowie eine Zahl $Zahl$ und soll entscheiden, ob diese Zahl in Baum enthalten ist und die Antwort ,,ja'' oder ,,nein'' liefern.
    \begin{solution}
    \end{solution}

    \part Das Prädikat $flattern(Baum,Liste)$ soll aus einem gegebenen Suchbaum $Baum$ die Liste $Liste$ aller der im Baum enthaltenen Zahlen in aufsteigender sortierter Reihenfolge liefern.
    \begin{solution}
    \end{solution}
  \end{parts}

\end{questions}
\end{document}