diff --git a/Stochastik.md b/Stochastik.md index 31d21d0..21f1e4c 100644 --- a/Stochastik.md +++ b/Stochastik.md @@ -74,10 +74,10 @@ author: Wieerwill ## Vierfeldertafel Alle vier Felder zusammen entsprechen dem Ergebnisraum $\Omega$ -| $\Omega$ | $B$ | $\bar{B}$ | -| -- | -- | -- | -| $A$ | $A\cap B$ | $A\cap \bar{B}$ | -| $\bar{A}$ | $\bar{A}\cap B$ | $\bar{A}\cap\bar{B}$| +| $\Omega$ | $B$ | $\bar{B}$ | +| --------- | --------------- | -------------------- | +| $A$ | $A\cap B$ | $A\cap \bar{B}$ | +| $\bar{A}$ | $\bar{A}\cap B$ | $\bar{A}\cap\bar{B}$ | ## Absolute Häufigkeit @@ -150,25 +150,166 @@ Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspun - Durch eine kleine Modifikation des Zählers und des Nenners gelangen wir schließlich zur Formel für eine Kombination mit Wiederholung - $\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!*k!} = \binom{n+k-1}{k}$ -| | | Menge | Reihenfolge | -| -- | -- | -- | -- | -| Permutation ohne Wiederholung | $n!$ | n aus n | beachtet | -| Permutation mit Wiederholung | $\frac{n!}{k_1!*k_2!*...}$ | n aus n | beachtet | -| Variation ohne Wiederholung | $\frac{n!}{(n-k)!}$ | k aus n | beachtet | -| Variation mit Wiederholung | $n^k$ | k aus n | beachtet | -| Kombination ohne Wiederholung | $\binom{n}{k}$ | k aus n | nicht beachtet | -| Kombination mit Wiederholung | $\binom{n+k-1}{k}$ | k aus n | nicht beachtet | +| | | Menge | Reihenfolge | +| ----------------------------- | -------------------------- | ------- | -------------- | +| Permutation ohne Wiederholung | $n!$ | n aus n | beachtet | +| Permutation mit Wiederholung | $\frac{n!}{k_1!*k_2!*...}$ | n aus n | beachtet | +| Variation ohne Wiederholung | $\frac{n!}{(n-k)!}$ | k aus n | beachtet | +| Variation mit Wiederholung | $n^k$ | k aus n | beachtet | +| Kombination ohne Wiederholung | $\binom{n}{k}$ | k aus n | nicht beachtet | +| Kombination mit Wiederholung | $\binom{n+k-1}{k}$ | k aus n | nicht beachtet | ## Laplace Expriment > Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$ -$\Omega$ sei eindlich und $P(\omega)=\frac{1}{\Omega} \rightarrow$ Laplace-Verteilung oder diskrete Gleichverteilung $\rightarrow$ für $A \subseteq \Omega: P(A)=\sum_{\omega \in A} P(\omega)=\frac{*A}{*\Omega}=\frac{\text{Anzahl "günstige" Ausgänge"}}{\text{Anzahl "alle" Ausgänge}}$ +$\Omega$ sei endlich und $P(\omega)=\frac{1}{\Omega} \rightarrow$ Laplace-Verteilung oder diskrete Gleichverteilung $\rightarrow$ für $A \subseteq \Omega: P(A)=\sum_{\omega \in A} P(\omega)=\frac{*A}{*\Omega}=\frac{\text{Anzahl "günstige" Ausgänge"}}{\text{Anzahl "alle" Ausgänge}}$ + +Vorgehen: Laplace Wahrscheinlichkeit +1. Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen +2. Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen E eintritt +3. Laplace Wahrscheinlichkeit berechnen + +> Satz von de Moivre-Laplace: Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p sowie reelle Zahlen a und b gilt $P(a\leq X \leq b)= \int_{a-0,5}^{b+0,5} \varphi_{\mu_i \delta} (x) dx_i$ wobei $\mu = n*p$ und $\delta?\sqrt{n*p*(1-p)}$ ist. + +## Stochastische Unabhängigkeit +> Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst. + +Bsp: +- Ziehen mit Zurücklegen (unabhängig): Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A im 2. Zug ist unabhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis B oder $\bar{B}$ eintritt. In beiden Fällen ist die Wahrscheinlichkeit gleich P(A). +- Ziehen ohne Zurücklegen (anhängig): Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A im 2. Zug ist abhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis B oder $\bar{B}$ eintritt: +$P_B(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist. $P_{\bar{B}}(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass $\bar{B}$ eingetreten ist. + +Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig, wenn gilt: $P(A \cap B)=P(A)*P(B)$. Wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, dann sind dies auch $\bar{A}$ und B, A und $\bar{B}$ sowie $\bar{A}$ und $\bar{B}$. + +Bei stochastischer Unabhängigkeit zweier Ereignisse hat jeder in die gleiche Richtung zeigende Ast in einem Baumdiagramm die gleiche Wahrscheinlichkeit. + +Bei stochastischer Unabhängigkeit zweier Ereignisse ist die Wahrscheinlichkeit eines Feldes in der Vierfeldertafel gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Zeile und der zugehörigen Spalte. + ## Bedingte Wahrscheinlichkeiten -$A,B \subseteq \Omega$ mit $P(B)> 0$; man beobachtet, dass B eintritt - +$P_B(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist; häufig schreibt man auch $P(A|B)$. die bedingte Wahrscheinlichkeit von "A gegeben B": $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ +$A,B \subseteq \Omega$ mit $P(B)> 0$; man beobachtet, dass B eintritt nachdem A eingetreten ist. + die totale Wahrscheinlichkeit: $P(A)=\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)$ + +### Multiplikationssatz +Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades. + +Bsp: $P(A\cap B)= P(B)*P_B(A)$ + +### Totale Wahrscheinlichkeit +Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen. + +Satz der totalen Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse A und B: +Bsp: $P(A) = P(A\cap B) + P(A\cap \bar{B}) = P(B)*P_B(A)+P(\bar{B})*P_{\bar{B}}(A)$ + +### Satz von Bayes +Der Satz von Bayes erlaubt das Umkehren von Schlussfolgerungen: +Man geht von einem bekannten Wert $P_A(B)$ aus, mit dessen Hilfe man $P_B(A)$ berechnet. + +Um die Formel für die Berechnung von $P_A(B)$ aus $P_B(A)$ zu erhalten, müssen wir zwei Baumdiagramme mit unterschiedlichem Ablauf miteinander verknüpfen. Nach dem Multiplikationssatz gilt: $P(A\cap B)=P(B)*P_B(A)$. Nach $P_B(A)$ aufgelöst gilt $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$. Nach dem zweiten Multiplikationssatz gilt $P(A\cap B)=P(A)*P_A(B)$. Einsetzten der Formel in die erste Abbildung: $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \Rightarrow P(A\cap B)=P(A)*P_A(B)$. daraus erhält man den Satz von Bayes $P_B(A)=\frac{P(A)*P_A(B)}{P(B)}$ + +Satz von Bayes: $P_B(A)=\frac{P(A)*P_A(B)}{P(B)}=\frac{P(A)*P_A(B)}{P(A)*P_A(B)+P(\bar{A})*P_{\bar{A}}(B) }$ + +## Zufallsvariable +Eine Funktion X, die jedem Ergebnis $\omega$ des Ergebnisraum $\Omega$ genau eine Zahl x der Menge der reelen Zahlen $\R$ zuordnet, heißt Zufallsvariable. +Kurz $X:\Omega\rightarrow\R$ +Veranschaulicht: Eine Zufallsvariable ordnet jedem $\omega_i$ aus $\Omega$ genau ein $x_i$ aus $\R$ zu. + +Es gibt drei Möglichkeiten, eine (diskrete) Zufallsvariable darzustellen: +1. als Wertetabelle +2. als abschnittsweise definierte Funktion +3. als Mengendiagramm + +### Diskrete Zufallsvariable +Eine Zufallsvariable X wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt. + +1. Bsp: X:=„Anzahl Würfe, bis zum ersten Mal 6 erscheint“ -> unendliche Wertemenge, die jedoch abzählbar ist +2. Bsp: X:=„Anzahl defekter Artikel in einer Stichprobe“ -> endliche Wertemenge + +Diskrete Zufallsvariablen entstehen meist durch einen Zählvorgang. + +Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen. + +Erwartungswert :$\mu_x =E(X)=\sum_i x_i*P(X=x_i)$\\ +Varianz: $\omega^2_X = Var(X) = \sum_i(x_i-\mu_X)^2 *P(X=x_i)$\\ +Standardabweichung: $\omega_X = \sqrt{Var(x)}$ + +### Stetige Zufallsvariable +Eine Zufallsvariable X wird als stetig bezeichnet, wenn sie überabzählbar unendlich viele Werte annimmt. + +1. Bsp: X:=„Gewicht einer zufällig ausgewählten Person“ -> unendliche Wertemenge, die nicht abzählbar ist +2. Bsp X:=„Geschwindigkeit eines an einer Radarkontrolle vorbeifahrenden Autos“ -> unendliche Wertemenge, die nicht abzählbar ist + +Stetige Zufallsvariablen entstehen meist durch einen Messvorgang. + +Erwartungswert: $\mu_X= E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x*f(x)dx$\\ +Varianz: $\omega_X^2 =Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu_X)^2 *f(x)dx$\\ +Standardabweichung: $\omega_X= \sqrt{Var(X)}$ + +## Wahrscheinlichkeitsverteilung +Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen. + +Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich entweder +- durch die Verteilungsfunktion oder +- die Wahrscheinlichkeitsfunktion (bei diskreten Zufallsvariablen) +- bzw. die Dichtefunktion (bei stetigen Zufallsvariablen) +vollständig beschreiben. + +### Wahrscheinlichkeitsfunktion +Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung. +Eine Funktion f, die jedem x einer Zufallsvariablen X genau ein p aus [0;1] zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion. Kurz: $f:x\rightarrow p$ + +$P(X=x)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsgröße X den Wert x annimmt. + +Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f der Zufallsvariablen X gibt die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Realisationen von X an: $f(x)=P(X=x)= \begin{cases} p_i \text{für } x=x_i (i=1,2,...,n) \\ 0 \text{sonst} \end{cases}$ +Für die Summe der Wahrscheinlichkeiten gilt $\sum_{i=1}^n p_i=1$ + +### Dichtefunktion +Die Dichtefunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.\\ +Eigenschaften der Dichtefunktion +- Die Dichtefunktion kann nur positive Werte annehmen. $f(x) \geq 0$ für alle $x\in\R$ +- Die Fläche unter der Dichtefunktion hat den Inhalt 1. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx= 1$ + +Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable X einen bestimmten Wert x annimmt, ist stets Null. $P(X=x)=0$ + + +### Verteilungsfunktion +Die Verteilungsfunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer diskreten oder stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung. + +### Diskrete Verteilungsfunktionen +1. $P(X\leq a)=F(a)$ +2. $P(Xa)= 1−F(a)$ +4. $P(X\geq a)=1−F(a)+P(X=a)$ +5. $P(aa)=1−F(a)$ + + + Normalverteilung + Stetige Gleichverteilung + Exponentialverteilung + + Binomialverteilung + Hypergeometrische Verteilung + Poisson-Verteilung \ No newline at end of file