diff --git a/Automaten, Sprachen und Komplexität - Flashcards.pdf b/Automaten, Sprachen und Komplexität - Flashcards.pdf index e38d32c..4f09603 100644 Binary files a/Automaten, Sprachen und Komplexität - Flashcards.pdf and b/Automaten, Sprachen und Komplexität - Flashcards.pdf differ diff --git a/Automaten, Sprachen und Komplexität - Flashcards.tex b/Automaten, Sprachen und Komplexität - Flashcards.tex index 0f50c3a..0b8d645 100644 --- a/Automaten, Sprachen und Komplexität - Flashcards.tex +++ b/Automaten, Sprachen und Komplexität - Flashcards.tex @@ -6,27 +6,27 @@ % beim ausdrucken auf doppelseitiges Drucken achten % % - \documentclass[avery5371]{flashcards} - +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[]{amsmath} +\usepackage[]{amssymb} \cardfrontstyle{headings} - - \begin{document} - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{flashcard}[Definition]{Alphabet} Ein Alphabet ist eine endliche nichtleere Menge. -Üblicherweise heißen Alphabete hier $\sum, \Gamma, \Delta$. Ist $\sum$ Alphabet, so nennen wir die Elemente oft Buchstaben. Ist $\sum$ ein Alphabet, so heißen die Elemente von $\sum*$ auch Wörter über $\sum$ (auch String/Zeichenkette). +Üblicherweise heißen Alphabete hier $\sum, \Gamma, \Delta$. Ist $\sum$ Alphabet, so nennen wir die Elemente oft Buchstaben und die Elemente von $\sum*$ auch Wörter über $\sum$ (auch String/Zeichenkette). \end{flashcard} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{flashcard}[Definition]{Menge der endlichen Folgen} - Für eine Menge X ist X* die Menge der endlichen Folgen über X. + Für eine Menge X ist X* die Menge der endlichen Folgen über X.\\ + + Beispiel: Elemente von ${a,b,c,d}*:(a,b,c),()$ \end{flashcard} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -38,9 +38,24 @@ An Stelle von $u*v$ schreibt man auch $uv$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{flashcard}[Definition]{Sprachen} -f: Menge der mögl Eingaben $\rightarrow$ Menge der mögl Ausgaben +\begin{flashcard}[Definition]{Induktiv $w^n$ definieren} +$$w^n = \begin{cases} \epsilon \quad\text{falls } n=0 \\ {w * w^{n-1}} \quad\textfalls } n>0 \end{cases}$$ +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{flashcard}[Definition]{y,w sind Wörter über $\sum$. Dann heißt y:} +\begin{itemize} + \item Präfix/Anfangsstück von w, wenn es $z\in\sum^*$ gibt mit $yz=w$ + \item Infix/Faktor von w, wenn es $x,z\in\sum^*$ gibt mit $xyz = w$ + \item Suffix/Endstück von w, wenn es $x\in\sum^*$ gibt mit $xy=w$ +\end{itemize} +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + +\begin{flashcard}[Definition]{Sprachen} +f: Menge der möglichen Eingaben $\rightarrow$ Menge der möglichen Ausgaben\\ Spezialfall $A={0,1}$ heißt Entscheidungsproblem. Sie ist gegeben durch die Menge der Eingaben. \end{flashcard} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -71,9 +86,15 @@ Eine Menge L ist eine formale Sprache wenn es ein Alphabet $\sum$ gibt, so dass \end{flashcard} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\begin{flashcard}[Definition]{Verkettung von Sprachen} +Sind $L_1$ und $L_2$ Sprachen, so heißt die Sprache $L_1L_2=\{w|\exists w_1\in L_1,w_2\in L_2:w=w_1w_2\}$ (auch $L_1*L_2$) die Konkatenation oder Verkettung von $L_1$ und $L_2$. +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + \begin{flashcard}[Definition]{Kleene Abschluss} - Sei L eine Sprache. Dann ist $L*=\bigcup_{n\geq 0} L^n$ der Kleene-Abschluss oder die Kleene-Iteration von L. Weiter ist $L+ = \bigcup_{n\geq 0} L^n$ + Sei L eine Sprache. Dann ist $L*=\bigcup_{n\geq 0} L^n$ der Kleene-Abschluss oder die Kleene-Iteration von L. Weiter ist $L^{+} = \bigcup_{n\geq 0} L^n$\\ + ($L^{+} = L*L = L^* *L$) \end{flashcard} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -86,6 +107,119 @@ Eine Menge L ist eine formale Sprache wenn es ein Alphabet $\sum$ gibt, so dass \end{flashcard} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - +\begin{flashcard}[Definition]{Grammatik}\scriptsize +Grammatiken sind ein Mittel um alle syntaktisch korrekten Sätze einer Sprache zu erzeugen.\\ +Eine Grammatik G ist ein 4-Tupel $G=(V, \sum, P, S)$ das folgende Bedingungen erfüllt +\begin{itemize} + \item V ist eine endliche Menge von Nicht-Terminalen oder Variablen + \item $\sum$ ist ein Alphabet (Menge der Terminale) mit + $V\cap \sum = \varnothing$ + ,d.h. kein Zeichen ist gleichzeitig Terminal und Nicht-Terminal + \item $P\subseteq (V\cup \sum)^+ \times (v\cup\sum)^*$ ist eine endliche Menge von Regeln oder Produktionen (Produktionsmenge) + \item $S\in V$ ist das Startsymbol/ die Startvariable oder das Axiom +\end{itemize} + +Jede Grammatik hat nur endlich viele Regeln! +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{flashcard}[Definition]{Ableitung einer Grammatik} +Sei $G=(V, \sum, P, S)$ eine Grammatik. Eine Ableitung ist eine endliche Folge von Wörtern $w_0, w_1, w_2,...,w_n$ mit $w_0\Rightarrow w_1 \Rightarrow w_2 \Rightarrow ... \Rightarrow w_n$. +\end{flashcard} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\begin{flashcard}[Definition]{Wort ist Satzform} +Ein Wort $w\in (V\cup\sum)^*$ heißt Satzform, wenn es eine Ableitung gibt, deren letztes Wort w ist. +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{flashcard}[Definition]{erzeugte Sprache} +Die Sprache $L(G)={w\in \sum^* | S\Rightarrow_G^* w}$ aller Satzformen aus $\sum^*$ heißt von G erzeugte Sprache. +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{flashcard}[Definition]{Chomsky-0} + Jede Grammatik ist vom Typ 0 (Semi-Thue-System) und wird auch als rekursiv-aufzählbar bezeichnet. +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{flashcard}[Definition]{Chomsky-1} + Eine Regel heißt kontext-sensitiv, wenn es Wörter $u,v,w\in(V\cup\sum)^*,|v|>0$ und ein Nichtterminal $A\in V$ gibt mit $l=uAw$ und $r=uvw$. Eine Grammatik ist vom Typ 1 (oder kontext-sensitiv) falls + \begin{itemize} + \item alle Regeln aus P kontext-sensitiv sind + \item $(S\rightarrow \epsilon)\in P$ die einzige nicht kontext-sensitive Regel in P ist und S auf keiner rechten Seite einer Regel aus P vorkommt + \end{itemize} +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{flashcard}[Definition]{Chomsky-2} + Eine Regel $(l\rightarrow r)$ heißt kontext-frei wenn $l\in V$ und $r\in (V\cup \sum)^*$ gilt. Eine Grammatik ist vom Typ 2, falls sie nur kontext-freie Regeln enthält +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{flashcard}[Definition]{Chomsky-3} + Eine Regl ist rechtslinear, wenn $l\in V$ und $r\in \sum V\cup {\epsilon}$ gilt. Eine Grammatik ist vom Typ 3 wenn sie nur rechtslineare Regeln enthält. +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{flashcard}[Beweise]{Es gibt einen Algorithmus, der als Eingabe eine Typ-1-Grammatik G und ein Wort w bekommst und nach endlicher Zeit entscheidet ob $w\in L(G)$ gilt.} + \scriptsize{ + \begin{enumerate} + \item $w=\epsilon$: Da G vom Typ 1 ist, gilt $w\in L(G)$ genau dann wenn $(S\rightarrow \epsilon)\in P$. Dies kannn ein Algorithmus entscheiden + \item $|w|\geq 1$: Definiere einen gerichteten Graphen (W,E) wie folgt + \begin{itemize} + \item Knoten sind die nichtleeren Wörter über $V\cup\sum$ der Länge $\geq|w|$ (insbes. $S,w \in W$) + \item $(u,v)\in E$ genau dann wenn $u\Rightarrow_G v$ + \end{itemize} + da kontext-sensitiv ist, gilt $1 = |u_0|\geq |u_1|\geq |u_2|\geq...\geq |u_n| = |w|$, also $u_i\in W$ f.a. $1\geq i \geq n$. Also existiert Pfad von S nach w im Graphen (W , E ), womit die Behauptung bewiesen ist. + \end{enumerate} + } +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{flashcard}[Definition]{Deterministische endliche Automaten} + ein deterministischer endlicher Automat M ist ein 5-Tupel $M=(Z, \sum, z_0, \delta, E)$ +\begin{itemize} + \item $Z$ eine endliche Menge von Zuständen + \item $\sum$ das Eingabealphabet (mit $Z\cap\sum = \emptyset$) + \item $z_0\in Z$ der Start/Anfangszustand (max Einer) + \item $\delta: Z \times \sum \rightarrow Z$ die Überführungs/Übergangsfunktion + \item $E\subseteq Z$ die Menge der Endzustände +\end{itemize} +Abkürzung: DFA (deterministic finite automaton) +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{flashcard}[Definition]{DFA mit Funktion $\hat{\delta}$} + Zu einem gegebenen DFA definieren wir die Funktion $\hat{\delta}: Z \times \sum^* \rightarrow Z$ induktiv wie folgt, wobei $z\in Z$, $w\in\sum^+$ und $a\in \sum$: + \begin{itemize} + \item $\hat{\delta}(z, \epsilon) = z$ + \item $\hat{\delta}(z,aw)= \hat{\delta}(\delta(z,a),w)$ + \end{itemize} + Der Zustand $\hat{\delta}(z,w)$ ergibt sich indem man vom Zustand z aus dem Pfad folgt der mit w beschriftet ist. +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + +\begin{flashcard}[Definition]{von einem DFA akzeptierte Sprache} + die von einem DFA akzeptierte Sprache ist: $L(M)={w\in\sum^* | \hat{\delta}(z_0,w)\in E}$\\ + Mit anderen Worten: Ein Wort w wird genau dann akzeptiert, wenn derjenige Pfad, der im Anfangszustand beginnt und dessen Übergänge mit den Zeichen von w markiert sind, in einem Endzustand endet. +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + +\begin{flashcard}[Definition]{Wann ist eine Sprache regulär?} + Eine Sprache $L \supseteq \sum^*$ ist regulär, wenn es einen DFA mit $L(M)=L$ gibt ( bzw. wird von einem DFA akzeptiert). Jede reguläre Sprache ist rechtslinear. +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +%V3-10 +\begin{flashcard}[Definition]{Text} + Text +\end{flashcard} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + + \end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Automaten, Sprachen und Komplexität.md b/Automaten, Sprachen und Komplexität.md index f8e092a..0349de1 100644 --- a/Automaten, Sprachen und Komplexität.md +++ b/Automaten, Sprachen und Komplexität.md @@ -195,7 +195,7 @@ Bsp: - $z_0=0$ - $\delta(0,a)=\delta(1,b)=1, \delta(1,a)=\delta(0,b)=0$ - $E={0}$ -- + in DFA darf es nur einen einzigen Startzustand geben! im Graphendiagramm: jeder Knoten hat die anzahl der alphabete als kanten