Abtastung und Rekonstruktion
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Grundlagen der Biosignalverarbeitung.pdf
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@ -926,8 +926,7 @@
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\item Spektrogramm des gefilterten Signals zeigt typischen Effekt nichtkonstanter Laufzeit: Die Frequenzen(-gruppen), die höher als ca. 20Hz liegen, werden deutlich verzögert und erzeugen das schnelle Nachschwingen.
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\end{itemize*}
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\section{Signalkonditionierung, Abtastung und Digitalisierung}\label{signalkonditionierung-abtastung-und-digitalisierung}
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\section{Signalkonditionierung}
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\subsection{Pegelanpassung}\label{pegelanpassung}
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Pegelanpassung notwendig für
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\begin{itemize*}
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@ -955,7 +954,7 @@
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\begin{itemize*}
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\item Abtastung: Erfassung des momentanen Wertes eines Signals zu definierten Zeitpunkten
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\item Üblicherweise ist Signal zeitkontinuierlich, nach der Abtastung liegt eine zeitdiskrete Variante des Signals vor
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\item kontinuierliches Signal (links), zeitdiskretes Signal (rechts)
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\item kontinuierliches Signal (links) vs. zeitdiskretes Signal (rechts)
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\end{itemize*}
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\begin{center}
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\includegraphics[width=.3\linewidth]{Assets/Biosignalverarbeitung-kontinuierliches-signal.png}
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@ -977,71 +976,70 @@
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\end{itemize*}
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%\includegraphics[width=.5\linewidth]{Assets/Biosignalverarbeitung-rekonstruierter-sinus.png}
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Oft wird nach der Abtastung und anschließenden Signalverarbeitung das Ergebnis im ursprünglichen Bereich des Signals benötigt. Dazu ist die sog. Rekonstruktion notwendig, also eine Übertragung aus dem Analyse-in den Originalbereich. Zur Rekonstruktion ist allgemein eine Interpolation zwischen den diskreten Punkten notwendig, oder aus Sicht der Filtertheorie die Anwendung eines Interpolationsfilters. Das einfachste Interpolationsfilter ist ein Tiefpass in Nähe der höchsten Signalfrequenz. Wurde bei der Abtastung das Abtasttheorem verletzt, so treten im rekonstruierten Signal Komponenten auf, die im Originalsignal nicht vorhanden waren, siehe oben.
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Dieser Effekt kann auch im Fernsehen beobachtet werden: Tragen die Sprecher z.B. ein Hemd mit einem sehr feinen Strichmuster, so reicht die Bildschirmauflösung -d.h. die räumliche Abtastrate -nicht aus, um das Muster richtig zu erfassen und am Fernsehmonitor entsteht sog. Moiree, d.h. großflächige Farbmuster, die es in der Realität nicht gibt.
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\subsubsection{Rekonstruktion}
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\begin{itemize*}
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\item nach der Abtastung/Signalverarbeitung Ergebnis oft im ursprünglichen Bereich des Signals benötigt
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\item Übertragung aus Analyse- in Originalbereich
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\item Interpolation zwischen diskreten Punkten notwendig oder aus Sicht der Filtertheorie die Anwendung eines Interpolationsfilters
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\item einfachste Interpolationsfilter ist Tiefpass in Nähe der höchsten Signalfrequenz. Wurde bei Abtastung das Abtasttheorem verletzt, treten im rekonstruierten Signal Komponenten auf, die im Originalsignal nicht vorhanden waren
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\end{itemize*}
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% Dieser Effekt kann auch im Fernsehen beobachtet werden: Tragen die Sprecher z.B. ein Hemd mit einem sehr feinen Strichmuster, so reicht die Bildschirmauflösung -d.h. die räumliche Abtastrate -nicht aus, um das Muster richtig zu erfassen und am Fernsehmonitor entsteht sog. Moiree, d.h. großflächige Farbmuster, die es in der Realität nicht gibt.
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%\includegraphics[width=.5\linewidth]{Assets/Biosignalverarbeitung-abtastung-rekonstruktion.png}
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\begin{itemize*}
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\item $y(t)=x(t)*\sum^{\infty}_{n=-\infty} \sigma(t-nT_A) \Leftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)*\sum^{\infty}_{n=-\infty}\sigma(\omega-n\frac{1}{T_A})$
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\item $y(t)=x(t)*\sum^{\infty}_{n=-\infty} \sigma(t-nT_A) \Leftrightarrow$ $Y(\omega)=X(\omega)*\sum^{\infty}_{n=-\infty}\sigma(\omega-n\frac{1}{T_A})$
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\item Übergang aus dem kontinuierlichen Zeitbereich in eine Folge, d.h. Entkopplung von der Abtastperiode
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\item $y(n)=y(nT_A) \Leftrightarrow Y(k)=Y(k\omega_A/M)=\sum_{n=1}^M y(nT_A)^{-jkn/M}$
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\item $Y(K)\Leftrightarrow FFT(y(n))\Rightarrow$ normierte Frequenz $\omega\in(0,2\pi)\vee f\in(0,1)$
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\item Nyquist Frequenz $\omega_N=\pi$, $f_N=0,5$
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\item Nach der Abtastung und Digitalisierung hat das Signal die Form einer Zahlenfolge bzw. eines Vektors oder Matrix. Ist die Abtastrate unbekannt, so ist das Signal auch nicht mehr reproduzierbar. Da sich aber Analysen und digitale Filterung grundsätzlich auch ohne Kenntnis der Abtastrate durchführen lassen, wird die sog. normierte Frequenz eingeführt, die bei der Rekonstruktion durch eine reale Abtastrate ersetzt wird.
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\item Nach Abtastung und Digitalisierung hat Signal Form einer Zahlenfolge/Vektors oder Matrix. Ist Abtastrate unbekannt, so ist Signal nicht mehr reproduzierbar
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\item Da Analysen/digitale Filterung grundsätzlich ohne Kenntnis der Abtastrate durchführbar, wird sog. normierte Frequenz eingeführt, die bei Rekonstruktion durch reale Abtastrate ersetzt
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\end{itemize*}
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\includegraphics[width=.5\linewidth]{Assets/Biosignalverarbeitung-amplitudenmodulation.png}
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% \includegraphics[width=.5\linewidth]{Assets/Biosignalverarbeitung-amplitudenmodulation.png}
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%\begin{itemize*}
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% \item $EKG\_\{AM\}=EKG*sin(\omega\_c t)$
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% \item Beispiel zum Abtasttheorem: Das EKG wird für eine Kabelübertragung mit einem Träger bei 10kHz multipliziert, was nachrichtentechnisch einer Amplitudenmodulation entspricht. Das Spektrum spiegelt sich um den Träger herum, ähnlich wie bei der Abtastung. Hier gibt es allerdings nur eine Spiegelung, da der Träger eine Harmonische ist und somit im Spektrum nur eine Nadel darstellt. Es entstehen zwei Seitenbänder, das obere und das untere. Beide sind hinsichtlich des Informationsgehaltes völlig identisch.
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% \item Die Frage ist nun zu beantworten, wie hoch die Abtastrate für ein solches Signal sein muss.
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%\end{itemize*}
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Abtasttheorem Kotelnikov, Channon ($T_A=1/2f_{max}$)
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\begin{itemize*}
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\item $EKG\_\{AM\}=EKG*sin(\omega\_c t)$
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\item Beispiel zum Abtasttheorem: Das EKG wird für eine Kabelübertragung mit einem Träger bei 10kHz multipliziert, was nachrichtentechnisch einer Amplitudenmodulation entspricht. Das Spektrum spiegelt sich um den Träger herum, ähnlich wie bei der Abtastung. Hier gibt es allerdings nur eine Spiegelung, da der Träger eine Harmonische ist und somit im Spektrum nur eine Nadel darstellt. Es entstehen zwei Seitenbänder, das obere und das untere. Beide sind hinsichtlich des Informationsgehaltes völlig identisch.
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\item Die Frage ist nun zu beantworten, wie hoch die Abtastrate für ein solches Signal sein muss.
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\end{itemize*}
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Abtasttheorem Kotelnikov, Channon ($T\_A=1/2f\_\{max\}$)
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\begin{itemize*}
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\item hinreichende/notwendige Bedingung
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\item hinreichend aber nicht notwendig $AR\geq 22ksps$
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\item $Y(\omega)=X(\omega)*\sum^{\infty}_{n=-\infty} \sigma(\omega-n\frac{1}{T_A})$
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\item notwendig und hinreichend: $AR\geq 2ksps$
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%\item \includegraphics[width=.5\linewidth]{Assets/Biosignalverarbeitung-abtastung-kotelnikov.png}
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\item Da die höchste Frequenz im Signal 11kHz beträgt, müsste die Abtastrate mind. 22ksps betragen. Dies ist eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung. Denn bezieht man sich auf die Wiederholung des Spektrums um jede Harmonische der Abtastrate, wird eine AR von 2ksps ausreichen. Damit passt eine Wiederholung des Spektrums in das Basisband, in wir ja analysieren.
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\item höchste Frequenz im Signal 11kHz $\rightarrow$ Abtastrate mind. 22ksps. hinreichende, aber keine notwendige Bedingung
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\item bezieht man sich auf Wiederholung des Spektrums um jede Harmonische der Abtastrate, wird eine AR von 2ksps ausreichen. Damit passt eine Wiederholung des Spektrums in das Basisband
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\end{itemize*}
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Pulsamplitudenmodulation (PAM)
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\item nach Sample \& Hold
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\begin{itemize*}
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\item Zeit diskret
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\item Pegel analog
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\end{itemize*}
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\item nach Sample \& Hold: Zeit diskret, Pegel analog
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%\item \includegraphics[width=.5\linewidth]{Assets/Biosignalverarbeitung-Pulsamplitudenmodulation.png}
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\item Die Abtastung (sample \& hold) entspricht nachrichtentechnisch der PAM: die Werte treten in definierten Abständen entsprechend dem Pulsbreite (Abtastperiode) auf und haben einen kontinuierlichen Wertebereich. Allerdings spielt diese Modulationsart in der Nachrichtentechnik keine praktische Rolle, wichtig ist sie für die Theorie.
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\item Abtastung entspricht nachrichtentechnisch der PAM: Werte treten in definierten Abständen entsprechend dem Pulsbreite (Abtastperiode) auf und haben kontinuierlichen Wertebereich
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\item spielt in der Nachrichtentechnik keine praktische Rolle, wichtig für Theorie
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\end{itemize*}
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Mehrkanalsystem - Simultansampling
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\begin{itemize*}
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\item \includegraphics[width=.5\linewidth]{Assets/Biosignalverarbeitung-Mehrkanalsysteme.png}
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\item Oft werden in der Technik und vor allem in der Medizin mehrkanalige Messsysteme benötigt. Für die Analyse ist von entscheidender Bedeutung, dass der zeitliche Zusammenhang der Kanäle identisch, oder zumindest bekannt ist. Beim echten Simultansampling werden alle Kanalsignale zum selben Zeitpunkt abgetastet und sequentiell digitalisiert. Damit reicht im Normalfall ein ADC für alle Kanäle.
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%\item \includegraphics[width=.5\linewidth]{Assets/Biosignalverarbeitung-Mehrkanalsysteme2.png}
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\begin{itemize*}
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\item alle Kanäle im selben Augenblick abgetastet, echtes Simultansampling
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\end{itemize*}
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\item \includegraphics[width=.5\linewidth]{Assets/Biosignalverarbeitung-Mehrkanalsysteme3.png}
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\begin{itemize*}
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\item Um den HW-Aufwand zu minimieren, werden die Kanalsignale sequentiell abgetastet und digitalisiert, dabei kann die Einsparung an Elektronik beachtlich sein. Signalanalytisch kann sie jedoch problematisch sein: Aus der Signalsequenz wird das Simultansignal über die Laufzeitkorrektur in der FFT zurückgerechnet. Bei zeitkritischen Vorgängen ist diese Alternative zu verwerfen, da die durch die sequentielle Abtastung verlorengegangenen Signalteile durch Rückrechnung nicht mehr zu retten sind.
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\end{itemize*}
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%\item \includegraphics[width=.5\linewidth]{Assets/Biosignalverarbeitung-Mehrkanalsysteme4.png}
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\begin{itemize*}
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\item Oft mehrkanalige Messsysteme benötigt
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\item Für Analyse entscheidend, dass zeitlicher Zusammenhang der Kanäle identisch oder bekannt
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\item Bei echtem Simultansampling werden alle Kanalsignale zum selben Zeitpunkt abgetastet und sequentiell digitalisiert. Im Normalfall reicht ein ADC für alle Kanäle
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\item HW-Aufwand minimieren $\rightarrow$ Kanalsignale sequentiell abgetastet und digitalisiert
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\item Signalanalytisch problematisch: Aus Signalsequenz wird Simultansignal über Laufzeitkorrektur in der FFT zurückgerechnet. Bei zeitkritischen Vorgängen ist dies zu verwerfen, da die durch die sequentielle Abtastung verlorengegangenen Signalteile durch Rückrechnung nicht mehr zu retten sind
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\item parallele (links) vs sequentielle (rechts) Abtastung
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\begin{center}
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\includegraphics[width=.3\linewidth]{Assets/Biosignalverarbeitung-Mehrkanalsysteme.png}
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\includegraphics[width=.3\linewidth]{Assets/Biosignalverarbeitung-Mehrkanalsysteme3.png}
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\end{center}
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\item simultan (links) vs versetzte (rechts) Kanäle\\
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\begin{center}
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\includegraphics[width=.2\linewidth]{Assets/Biosignalverarbeitung-Mehrkanalsysteme2.png}
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\includegraphics[width=.2\linewidth]{Assets/Biosignalverarbeitung-Mehrkanalsysteme4.png}
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\end{center}
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\item Versatz der Kanäle um $T_A/N$
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\item Rechnerische Korrektur der Abtastzeit (nicht-online-fähig)
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\item $X^{}*(j\omega)=X(j\omega)^{j\omega T_A/N}$
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\item Rechnerische Korrektur der Abtastzeit (nicht-online-fähig) $X^*(j\omega)=X(j\omega)^{j\omega T_A/N}$
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\end{itemize*}
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\end{itemize*}
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\subsection{Digitalisierung}\label{digitalisierung}
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\subsubsection{Prinzipien der AD Wandlung}\label{prinzipien-der-ad-wandlung}
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