From c1bbfdb7e273fa521db1a08ffa5a404291d6c354 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Robert Jeutter Date: Mon, 30 Nov 2020 11:16:28 +0100 Subject: [PATCH] Grundlagen --- Stochastik.md | 187 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------- 1 file changed, 157 insertions(+), 30 deletions(-) diff --git a/Stochastik.md b/Stochastik.md index 92ee94e..31d21d0 100644 --- a/Stochastik.md +++ b/Stochastik.md @@ -4,40 +4,167 @@ date: Wintersemester 20/21 author: Wieerwill --- -# Stochastik ist -- Wahrscheinlichkeitstheorie: mathematische "Sprache" zur Modellierung zufälliger Phänomene - - Ziel: über gegebene Eigenschaften des Systems präzise Aussagen über zukünftige, zufällige Beobachtungen -- und Statistik: - - Beschreibung beobachteter Daten - - Schätzen unbekannter Parameter - - Testen von Hypothesen - - Vorhersagen unbeobachteter zufälliger Werte - - Modellwahl und -überprüfung - - Ziel: basierend auf zufälligen Beobachtungen auf Eigenschaften des Systems“ schließen +# Wahrscheinlichkeiten +> Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang. +## Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega , P)$ +- Ergebnis-/Grundraum $\Omega$, Menge aller möglichen Elementarereignisse (Bsp: $\Omega={heil, kaputt}^x$) + - die Anzahl aller möglichen Ergebnisse heißt Mächtigkeit des Ergebnisraums $|\Omega|$ (Bsp: $|\Omega|=2$) + - Endlicher Ergebnisraum: die Elemente können abgezählt und eine Obergrenze angegeben werden + - Abzählbar-unendlicher Ergebnisraum: die Elemente können abgezählt aber keine Obergrenze angegeben werden + - Überabzählbar-unendlicher Ergebnisraum: die Elemente können nicht abgezählt werden +- Ergebnis/Ausgang $\omega \in \Omega$ (Bsp: $\omega=(heil, heil, heil, kaputt, heil...), \omega_1=(heil)$) + - ein Ergebnis, das genau ein Element enthält, heißt ELementarergebnis +- Ereignis $A \subseteq \Omega$ (Bsp: $A={\omega: Anzahl kaputt = 2 }$) + - das Ereignis, das kein Element enthält, heißt unmögliches Ereignis (Bsp "Augenzahl größer 6" beim Würfelwurf) + - das Ereignis, das genau ein Element enthält, heißt Elementarereignis + - Ein Ereignis, das mehr als ein Element enthält, heißt zusammengesetztes Ereignis. + - das Ereignis, das alle Elemente von $\Omega$ enthält, heißt sicheres Ereignis $\Omega$: $P(\Omega)= 1$ +- Wahrscheinlichkeitsmaß/Ereignisraum, die Menge aller Ereignisse, $P(\Omega)$ + - setzt sich zusammen aus dem unmöglichen Ereignis, den Elementarereignissen, den mehrelementigen Teilmengen und dem sicheren Ereignis (Bsp $P(\Omega)=\{\{\},\{heil\},\{kaputt\},\{heil, kaputt\} \}$) + - die Anzahl der möglichen Ereignisse heißt Mächigkeit des Ereignisraums $|P(\Omega)|$ + - Der Ereignisraum besteht aus $2^{|\Omega|}$ Ereignissen +- Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt: $\Omega \supseteq A \rightarrow P(A) \in [0,1]$ +- $\sigma$-Additivität: $P(U_{k\in N} A_k)= \sum_{k\in N} P(A_k)$ für disjunkte $A_k, k\in N$ + +## Ereignisalgebra +- Vereinigung: $A\cup B= \{\omega | \omega\in A \vee \omega\in B \}$ + - Bsp: $A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, A\cup B=\{1,2,3\}$ +- Durchschnitt: $A\cap B = \{\omega | \omega\in A \wedge \omega\in B \}$ + - Bsp: $A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, A\wedge B=\{2\}$ +- Gegenereignis: $\bar{A} = \{\omega | \omega\not\in A\}$ + - Bsp: $A=\{1,2\}, \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}, \bar{A}=\{3,4,5,6\}$ +- Differenz $A \backslash B = A\cap\bar{B} = \{\omega| \omega\in A \wedge \omega\not\in B\}$ + - Bsp: $A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, A\backslash B=\{1\}$ +- Symmetrische Differenz $(A\cap \bar{B})\cup(\bar{A}\cap B)$ + - die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B, nicht aber zu beiden Ereignissen gehören + - Bsp: $A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, A\cup B=\{1,3\}$ +- disjunkte Ereignisse $A\cap B = \varnothing$ + - wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben (unvereinbar) + +## Rechengesetze +- Kommutativ: + - $A\cup B = B\cup A$ + - $A\cap B = B\cap A$ +- Assoziativ: + - $(A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C)$ + - $(A\cap B)\cap C = A\cap(B\cap C)$ +- Distributiv: + - $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ + - $A\cup(B\cap C)= (A\cup B)\cap (A\cup C)$ +- Absorption + - $A\cap(A\cup B)=A$ + - $A\cup(A\cap B)=A$ +- Idempotenz + - $A\cap A=A$ + - $A\cup A=A$ +- De-Morgan-Gesetz + - $\bar{A}\cap\bar{B}=\overline{A\cup B}$ + - $\bar{A}\cup\bar{B}=\overline{A\cap B}$ +- Neutrale Elemente + - $A\cap \Omega=A$ + - $A\cup \varnothing = A$ +- Dominante Elemente + - $A\cap \varnothing = \varnothing$ + - $A\cup \Omega = \Omega$ +- Komplemente + - $A\cap \bar{A} = \varnothing$ + - $A\cup \bar{A} = \Omega$ + - $\bar{\bar{A}} = A$ + +## Vierfeldertafel +Alle vier Felder zusammen entsprechen dem Ergebnisraum $\Omega$ + +| $\Omega$ | $B$ | $\bar{B}$ | +| -- | -- | -- | +| $A$ | $A\cap B$ | $A\cap \bar{B}$ | +| $\bar{A}$ | $\bar{A}\cap B$ | $\bar{A}\cap\bar{B}$| + + +## Absolute Häufigkeit +> Die absolute Häufigkeit $H_n(E)$ gibt an, wie oft das Ereignis E innerhalb eines Zufallsexperiments, welches n-mal ausgeführt wird, aufgetreten ist. + +Die Summe der absoluten Häufigkeiten ergibt n. + +Bsp: Münze wird 20 mal geworfen. Man erhält 8 mal Kopf und 12 mal Zahl: +- $H_{20}(Kopf)=8$ +- $H_{20}(Zahl)=12$ + +## Relative Häufigkeit +> Tritt ein Ereignis $E$ bei $n$ Versuchen $k$-mal ein, so heißt die Zahl $h_n(E)=\frac{k}{n}$ relative Häufigkeit des Ereignisses E. + +anders: $h_n(E)=\frac{H_n(E)}{n}$ + +Bsp: Münze wird 20 mal geworfen. Man erhält 8 mal Kopf und 12 mal Zahl: +- $h_{20}(Kopf)=\frac{8}{20}=0,4$ +- $h_{20}(Zahl)=\frac{12}{20}=0,6$ + +- die Relative Häufigkeit nimmt Werte zwischen 0 und 1 an +- die relative Häufigkeit des sicheren Ereignisses ist 1 $h_n(\Omega)=1$ +- die relative Häufigkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0 $h_n(\{\})=0$ +- jedes Ereignis und sein Gegenereignis ergänzen sich zum Ergebnisraum $\Omega$, d.h. $hn(\bar{E})=1-h_n(E)$ +- $h_n(A\cup B)= h_n(A)+h_n(B)-h_n(A\cap B)$ +- $H_n(E)=h_n(E)*n$ + +## Mehrstufige Zufallsexperimente +### Baumdiagramm +> Ein Baumdiagramm ist eine graphische Darstellung, welche die möglichen Ergebnisse eines bestimmten Ablaufs hierarchischer Entscheidungen zeigt. + +Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1. + +> Die Pfadregeln dienen der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in einem mehrstufigen Zufallsexperiment. + +1. (UND) Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades. + - Bsp: $P(\{SS\})=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}$ +2. (ODER) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen. + - Bsp: $P(\{SW, WS\})=\frac{1}{2}*\frac{1}{3} + \frac{1}{3}*\frac{1}{2}$ + +## Kombinatorik +> Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) von Objekten. + +- Permutation + - $k=n$ (d.h. es werden alle Elemente k der Grundmenge n betrachtet) + - Reihenfolge der Elemente wird berücksichtigt +- Variation + - $k Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$ -Laplace-Verteilung: Alle Ausgänge sind gleichwahrscheinlich $\rightarrow$ Symmetrie - -## Urnenmodell -Eine Urne enthält schwarze (S) und weiße (W) Kugeln, insgesamt also $N=S+W$. Man zieht zufällig eine Kugel und nummeriert durch. -- P(i-te Kugel wird gezogen)= $\frac{1}{N}$ für $i=1,..,N$ -- P(Kugel ist schwarz)=$\sum_{i=1}^S P(\text{i-te Kugel wird gezogen}) = S \frac{1}{N}=\frac{S}{N}$ - -### Ziehen ohne zurücklegen -Was, wenn man noch eine Kugel zieht (ohne Zurücklegen)? -$\rightarrow$ Zweistufiges Experiment! Modellieren mit bedingten Wahrscheinlichkeiten. +$\Omega$ sei eindlich und $P(\omega)=\frac{1}{\Omega} \rightarrow$ Laplace-Verteilung oder diskrete Gleichverteilung $\rightarrow$ für $A \subseteq \Omega: P(A)=\sum_{\omega \in A} P(\omega)=\frac{*A}{*\Omega}=\frac{\text{Anzahl "günstige" Ausgänge"}}{\text{Anzahl "alle" Ausgänge}}$ ## Bedingte Wahrscheinlichkeiten $A,B \subseteq \Omega$ mit $P(B)> 0$; man beobachtet, dass B eintritt