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\section{Licht \& Reflexion}
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\subsection{Strahlung}
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Grundfrage: Was ist Licht?
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\begin{itemize*}
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\item Teil der elektromagnetischen Strahlung
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\item ist für das menschliche Auge wahrnehmbar
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\item Lichtspektrum liegen zwischen 380 nm und 780 nm
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\item Farbe entspricht der Wellenlänge
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\item längere Wellenlängen = weniger Photonenenergie
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\item durch Überlagerungen vieler Frequenzen erscheint das Licht weiß
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\end{itemize*}
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\begin{description*}
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\item[Licht] Teil der elektromagnetischen Strahlung
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\item[Photon] Elementarteilchen der elektromagnetischen Wechselwirkung
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\item[Radiometrie] Messung elektromagnetischer Strahlung
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\item[Photometrie] Messverfahren im Wellenlängenbereich des sichtbaren Lichtes
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\item[Strahlungsäquivalent] $K =\frac{\phi_v}{\phi_e}$]
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\item[Lumen] 1 Lumen ist der Lichtstrom einer 1,464 mW starken 555-nm-Lichtquelle mit 100\% Lichtausbeute
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\end{description*}
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Radiometrie:
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\begin{itemize*}
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\item Wissenschaft von der Messung elektromagnetischer Strahlung
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\item Größen sind physikalische Einheiten (ohne Berücksichtigung des menschl. Sehens)
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\end{itemize*}
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In der Radiometrie wird sich mit objektiven Messgrößen beschäftigt, in der Photometrie fließt spektrale Empfindlichkeit des menschlichen Auges mit ein.
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Photometrie:
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\begin{itemize*}
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\item Messverfahren im Wellenlängenbereich des sichtbaren Lichtes (Messung mithilfe eines Photometers)
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\item lassen sich aus den radiometrischen Größen, bei bekanntem Spektrum bestimmen
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\item berücksichtigen die wellenlängenabhängige Empfindlichkeit des Auges
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\end{itemize*}
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\paragraph{Radiometrie (energetisch $_e$) }
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\begin{description}
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\item[Strahlungsenergie $Q$] durch Strahlung übertragene Energie $[J]$
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\item[Strahlungsleistung $\phi$] transportierte Strahlungsenergie in einer bestimmten Zeit $\phi = \frac{Q}{t} [W]$
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\item[Strahlstärke/Intensität $I$] Strahlungsleistung die in eine Raumrichtung mit Raumwinkel $\Omega$ emittiert wird $I=\frac{\phi}{\Omega}=\frac{W}{sr}$
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\item[Bestrahlungsstärke/Irradiance $E$] Strahlungsleistung durch die bestrahlte Fläche $A_i$ bzw. Strahlstärke die auf die Empfängerfläche trifft $E=\frac{W}{m^2}=\frac{\Phi}{A_i}$
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||||
\item[Strahldichte/Radiance $L$] Strahlstärke von Sendefläche $A_r$ in eine bestimmte Richtung $L = \frac{I}{A'_r}=\frac{I}{\cos(\phi_r)*A_r} = \frac{\phi}{\cos(\phi_r)*A_r*\Omega}$; $\phi_r$ ist Winkel zwischen Normalen n und Abstrahlrichtung
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\end{description}
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Photon:
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\begin{itemize*}
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\item Elementarteilchen der elektromagnetischen Wechselwirkung
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\item besitzen keine Masse
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\item Energie und Impuls sind proportional zur Frequenz
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\item kürzere Wellenlänge = höhere Frequenz = höhere Energie
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\end{itemize*}
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\paragraph{Photometrie (visuell $_v$ )}
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\begin{description}
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\item[Lichtmenge $Q$] Strahlungsleistung bewertet mit der spektralen Empfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges für das Hellempfinden $lm*s$
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\item[Lichtstrom (luminous flux) $\phi$] $[Lumen]$
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\item[Lichtstärke (luminous intensity) $I$] $[Candela]$
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\item[Beleuchtungsstärke $E$] $I_{in}\cos(\phi) [Lux]$
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\item[Leuchtdichte/Luminanz $L$] $[\frac{cd}{m^2}]$
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\end{description}
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Strahlungsenergie (radiant energy):
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\begin{itemize*}
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\item durch Strahlung (elektromagnetische Wellen) übertragene Energie
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\item entspricht dem Produkt von Photonenanzahl und der Energie der Photonen
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\item Formelzeichen : Q
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\item Einheit: J (Joule)
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\item photometrisches Äquivalent: Lichtmenge (luminous energy)
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\end{itemize*}
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Strahlungsleistung (auch Strahlungsfluss, engl. radiant flux, radiant power):
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\begin{itemize*}
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\item transportierte Strahlungsenergie in einer bestimmten Zeit
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\item Formelzeichen : $\phi$
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\item Einheit: W (Watt)
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\item Berechnung: $\phi = \frac{Q}{t}$
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\item photometrisches Äquivalent: Lichtstrom (luminous flux, luminous power)
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\end{itemize*}
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Zusammenhang zwischen Radiometrie und Photometrie:\\
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In der Radiometrie wird sich mit objektiven Messgrößen beschäftigt, in der Photometrie gibt es jeweils eine entsprechende Messgrößen, bei denen die spektrale Empfindlichkeit des menschlichen Auges mit einfließt.
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\begin{itemize*}
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\item Beispiel:
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\item radiometrisch: Strahlungsleistung $\phi_e$ gemessen in Watt W
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\item photometrisch: Lichtstrom $\phi_v$ gemessen in Lumen lm
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\item Verknüpfung von Radiometrie und Photometrie erfolgt über das photometrische Strahlungsäquivalent: $K =\frac{\phi_v}{\phi_e}$
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\item gibt die Empfindlichkeit des menschlichen Auges an
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\item radiometrische Größe: Index $_e$ für energetisch
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\item photometrische Größe: Index $_v$ für visuell
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\end{itemize*}
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Die radiometrischen Größen gewichtet mit dem photometrischen Strahlungsäquivalent K sind somit die photometrischen Größen.
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Ausbreitung eines Strahls:
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\begin{itemize*}
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\item geradlinig von einer Quelle zum Ziel,
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\item Richtung ändert sich durch Brechung
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\item an Oberflächen tritt Reflexion und Streuung auf
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\item eine Strahlungsquelle sendet dabei Strahlen in alle Raumrichtungen unter einem gewissen Raumwinkel aus
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\end{itemize*}
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$$A=2\pi r^2; \Omega=\frac{A}{r^2}=2\pi ; I_e=\frac{\phi_e}{\Omega}= \frac{W}{sr}$$
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\paragraph{Raumwinkel}
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Der Steradiant ist eine Maßeinheit für den Raumwinkel, der von der Mitte M einer Kugel mit Radius r aus gesehen eine Fläche von $r^2$ auf der Kugeloberfläche einnimmt. $\Omega=\frac{Flaeche}{Radius^2}=\frac{A}{r^2}sr$
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||||
Eine komplette Kugeloberfläche $A_k$ beträgt allg. $A_k = 4\pi r^2$, entspricht also einem Raumwinkel $\Omega$ von $\frac{A_k}{r^2}= 4\pi r\approx 12,5sr$. Ein Steradiant =1sr entspricht einem Öffnungswinkel $\alpha$ von ca. $65,54^{\circ}$
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\paragraph{Strahlstärke}
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\begin{itemize*}
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\item auch Intensität, engl. radiant intensity
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\item Strahlungsleistung die in eine Raumrichtung mit Raumwinkel $\Omega$ emittiert wird
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\item Formelzeichen : I
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\item Berechnung: $I=\frac{\phi}{\Omega}$
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\item photometrisches Äquivalent: Lichtstärke (luminous intensity)
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\end{itemize*}
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Beispiel: Berechnen Sie die Strahlstärke einer Lampe mit einem Öffnungswinkel von 180° und einer Strahlungsleistung von 20W.
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$$\alpha=180^{\circ}\rightarrow A=2\pi r^2; \phi =20W; \Omega=\frac{A}{r^2}=2\pi ; I_e=\frac{\phi_e}{\Omega}=\frac{20}{2\pi}\approx 3,2 \frac{W}{sr}$$
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||||
Eine komplette Kugeloberfläche beträgt allg. $A_k = 4\pi r^2$, entspricht also einem Raumwinkel $\Omega$ von $\frac{A_k}{r^2}= 4\pi r\approx 12,5sr$. Ein Steradiant $=1sr$ entspricht einem Öffnungswinkel $\alpha$ von ca. $65,54^{\circ}$
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\paragraph{Räumliche Ausbreitung}
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Energieübertragung zwischen zwei Flächen:
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Eine Fläche $A_r$ strahlt Licht auf eine Fläche $A_i$ ab.\\
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Frage: Wie viel Lichtleistung von einer infinitesimalen abstrahlenden Fläche $A_r$ wird auf einer Fläche $A_i$ empfangen?
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\begin{itemize*}
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\item der Abstand zwischen den beiden infinitesimalen Flächen beträgt r
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\item die Flächen stehen nicht notwendigerweise senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Lichts (gerade Verbindungslinie zwischen den Flächen)
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\item Wir projizieren daher die abstrahlende und die empfangende Fläche jeweils in Ausbreitungsrichtung. Die projizierten Flächen nennen wir $A'_r$ und $A'_i$.
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\item Wir betrachten Punktlichtquellen von der abstrahlenden Fläche $A_r$ , welche ihre Strahlungsleistung in den Raumwinkel $\Omega$ abgeben.
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\item der Abstand zwischen den beiden Flächen beträgt r
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\item die Flächen stehen nicht notwendigerweise senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Lichts
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||||
\item abstrahlende und empfangende Fläche jeweils in Ausbreitungsrichtung. Die projizierten Flächen sind $A'_r$ und $A'_i$.
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\item betrachten Punktlichtquellen von der abstrahlenden Fläche $A_r$ , welche ihre Strahlungsleistung in den Raumwinkel $\Omega$ abgeben
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\item $\Omega$ ist somit die in Abstrahlrichtung reduzierte Fläche $A'_i$ , projiziert auf die Einheitskugel: $\Omega=\frac{A'_i}{r^2}$
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\item Die übertragene Energie nimmt quadratisch zu r ab
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\end{itemize*}
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\paragraph{Strahldichte}
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\begin{itemize*}
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\item engl. radiance
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\item Strahlstärke welche von einer Sendefläche $A_r$ in eine bestimmte Richtung abgegeben wird
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\item Formelzeichen : L
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\item photometrisches Äquivalent: Leuchtdichte (auch Luminanz, engl. luminance)
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\item Berechnung: $L = \frac{I}{A'_r}=\frac{I}{\cos(\phi_r)*A_r} = \frac{\phi}{\cos(\phi_r)*A_r*\Omega}$
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||||
\item $\phi_r$ ist der Winkel zwischen der Normalen n und der Abstrahlrichtung (von der abstrahlenden Fläche $A_r$ zur empfangenden $A_i$)
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\end{itemize*}
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Leuchtdichte (Luminanz) als Vorstufe der Helligkeit:
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\begin{itemize*}
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\item Strahlungsleistung bewertet mit der spektralen Empfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges für das Hellempfinden
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\item Das menschliche Auge hat seine maximale Empfindlichkeit, bei einer Wellenlänge von 555 nm (gelbgrün)
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||||
\item 1 Lumen ist definiert als der Lichtstrom einer 1,464 mW starken 555-nm-Lichtquelle mit 100% Lichtausbeute.
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\end{itemize*}
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\paragraph{Bestrahlungsstärke}
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\begin{itemize*}
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||||
\item auch Strahlungsflussdichte, engl. irradiance
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\item Strahlungsleistung durch die bestrahlte Fläche $A_i$ bzw. Strahlstärke die auf die Empfängerfläche trifft
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\item Formelzeichen : E
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\item Berechnung: $E =\frac{\Phi}{A_i}$
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\item photometrisches Äquivalent: Beleuchtungsstärke (auch Lichtstromdichte, engl. illuminance)
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||||
\item erweitert: $E=\frac{\Phi}{A_i}=\frac{L*\cos(\phi_i)*\cos(\phi_r)*A_r}{r^2}$
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\end{itemize*}
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\paragraph{Zusammenfassung}
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Radiometrische (physikalische) und Photometrische (unter Berücksichtigung des menschlichen Auges) Größen
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\begin{tabular}{ c | c | c }
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Symbol & Radiometrie (energetisch $_e$) & Photometrie (visuell $_v$ ) \\ \hline
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$Q$ & Strahlungsenergie $Joule$ & Lichtmenge $lm*s$ \\
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$\Phi$ & Strahlungsleistung Watt $W$ & Lichtstrom Lumen $lm$ \\
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$I$ & Strahlstärke $\frac{w}{sr}$ & Lichtstärke Candela $cd$ \\
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$E$ & Bestrahlungsstärke $\frac{W}{m^2}$ & Beleuchtungsstärke Lux $\frac{lm}{m^2}$ \\
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||||
$L$ & Strahldichte $\frac{w}{sr*m^2}$ & Leuchtdichte $\frac{cd}{m^2}$ \\
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\end{tabular}
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\subsection{Reflexion}
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Nach dem Auftreffen auf einer opaken Oberfläche wird die Strahlung spektral
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unterschiedlich stark und geometrisch auf unterschiedliche Weise reflektiert. Es
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können 2 Idealfälle der Reflexion unterschieden werden:
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Nach Auftreffen auf einer opaken Oberfläche wird Strahlung spektral unterschiedlich stark und geometrisch auf unterschiedliche Weise reflektiert. Es können Fälle der Reflexion unterschieden werden:
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\begin{itemize*}
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\item ideal spiegelnde Reflexion (Einfallswinkel = Ausfallswinkel)
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\item ideal diffuse Reflexion
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\item spekulär (diffus und gerichtete Reflexion)
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\item gemischt: ideal diffus, gerichtet diffus und ideal spiegelnd
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\end{itemize*}
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Aus den zwei Idealfällen der reflexion werden weitere (gemischte) Fälle abgeleitet:
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\begin{itemize*}
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\item spekuläre Reflexion (diffus und gerichtete Reflexion)
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||||
\item gemischte Reflexion: ideal diffus, gerichtet diffus und ideal spiegelnd
|
||||
\end{itemize*}
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Bei der Betrachtung der Reflexion ist offensichtlich die Art der Bestrahlung und
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insbesondere auch die Richtung der Einstrahlung zu beachten.
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\paragraph{Diffuse Reflexion}
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%
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Lichtquelle im Unendlichen; Irradiance $E=\frac{A'_i}{A_i}I_{in}=I_{in}\cos(\phi)$
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Eingestrahlte Strahlstärke I in durch $A'_i$ verteilt sich durch die Projektion auf die größere Fläche $A_i$ Die Bestrahlungsstärke E (Irradiance) ist dadurch proportional zum Vergrößerungsfaktor der Fläche abgeschwächt.
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||||
Eingestrahlte Strahlstärke verteilt sich durch Projektion auf größere Fläche. Die Bestrahlungsstärke ist dadurch proportional zum Vergrößerungsfaktor der Fläche abgeschwächt.
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||||
In Richtung Betrachter reflektierte Strahlstärke $I_{out}$ Aufgrund von Interferenz phasengleicher Lichtstrahlen $\rightarrow$ Projektion auf Normalenrichtung $\frac{I_{out}}{E_{refl}}=\cos(\phi)$
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\begin{itemize*}
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\item Senkrecht zur Oberfläche: Maximale Kohärenz (Addition)
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\item Parallel zur Oberfläche: n Keine Kohärenz (Auslöschung)
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\end{itemize*}
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%
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Annahme kohärentes Licht: Parallel zur reflektierenden Oberfläche findet sich zu jeder Punktlichtquelle immer eine gleichphasige Punktlichtquelle im Abstand $\frac{\lambda}{2}$, Auslöschung parallel zur Fläche,
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%
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$$\frac{A_r}{A'_r}=\frac{1}{\cos(\phi)} \rightarrow L=\frac{I_{out}}{\cos(\phi)}=I_{refl}$$
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Ein Betrachter mit flachem Blickwinkel sieht Licht aus größerer Fläche $A_r$ durch Kombination dieser Effekte, kürzt sich der Einfluss des Betrachterwinkels $\cos(\phi)$ weg und es bleibt nur der Einfluss des Lichteinfallswinkels übrig: Strahldichte des reflektierten Lichtes: $L=I_{in}*k_d(\lambda)*\cos(\phi)$
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\paragraph{Spekuläre Reflexion}
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Spekuläre (gestreut spiegelnde) Reflexion:
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(gestreut spiegelnd)
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\begin{itemize*}
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||||
\item Speckles (Fleckchen), bzw. (Micro-) Facetten sind einzeln jeweils "ideal"
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\item spiegelnd: Einfallswinkel $\phi$ = neg. Ausfallswinkel = $-\phi$.
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||||
\item Die Ausrichtung der Microfacetten weichen von der Gesamtflächennormalen ab. $\rightarrow$ Statistische Abweichung von der Flächennormalen (z. B. Gauß-Verteilung)
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||||
\item Speckles bzw. Facetten sind einzeln jeweils "ideal"
|
||||
\item spiegelnd: $\text{Einfallswinkel} \phi = \neg Ausfallswinkel = -\phi$
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||||
\item Ausrichtung der Microfacetten weichen von Gesamtflächennormalen ab
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\item dadurch Streuung des Lichts (Keule) um den Winkel $\theta$ der idealen Spiegelung herum
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\item Je größer der Winkel $\theta$ zwischen idealer Spiegelrichtung und Richtung zum Betrachter, desto schwächer ist die Reflexion
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||||
\item Modellierung meist per $\cos^k(\theta)$ (Phong-Beleuchtungsmodell) - nicht physikalisch begründet.
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||||
\item Modellierung meist per $\cos^k(\theta)$ (Phong-Beleuchtungsmodell)
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\end{itemize*}
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%
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Gestreute Spiegelung im Phong Modell mit $L=I*k_s*\cos^k(\theta)$
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\begin{itemize*}
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\item glänzende Oberfläche: großer Exponent k (16,...,128); kleine Streuung $\epsilon$
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\item matte Oberfläche: kleiner Exponent k (1,...,2); große Streuung $\epsilon$
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||||
\item glänzende Fläche: großer Exponent k; kleine Streuung $\epsilon$
|
||||
\item matte Fläche: kleiner Exponent k; große Streuung $\epsilon$
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||||
\end{itemize*}
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||||
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||||
Energieerhaltung $\rightarrow$ Verhinderung der Abnahme bei großen Exponenten $\rightarrow$ Für die Energieerhaltung wird ein zusätzlicher Normierungsfaktor benötigt:
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||||
Für Energieerhaltung wird zusätzlicher Normierungsfaktor benötigt:
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\begin{itemize*}
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||||
\item physikalisch nicht korrekt: $L=I*k_s*\cos^k(\theta)$
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||||
\item gebräuchliche Normierung $\frac{k+2}{2\pi}$ somit: $L=I*k_s*\frac{k+2}{2\pi}*cos^k(\theta)$
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||||
\item gebräuchliche Normierung $L=I*k_s*\frac{k+2}{2\pi}*cos^k(\theta)$
|
||||
\end{itemize*}
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||||
|
||||
\paragraph{Remittierende Flächen}
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||||
ideal diffus remittierende weiße Flächen $(\beta(\lambda) = 1)$:
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\begin{itemize*}
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\item Wegen der spektralen Unterschiede bei der Reflexion bleiben wir bei den spektralen physikalischen (radiometrischen) Größen!
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\item Erst im Auge bzw. im Bildsensor erfolgt die Wandlung in die wellenlängenintegralen photometrischen (colorimetrischen) Größe!
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||||
\item von Quellen in Fläche $dA$ eingetragene Leistung führt zu Bestrahlungsstärke $E_{\lambda}$
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||||
\item Bei vollständiger Reflexion $\beta(\lambda) = 1$ ist $E_{\lambda} = R_{\lambda}$
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||||
\item zugehörige Strahlungsfluss $d\phi = R_{\lambda} * dA = E_{\lambda} * dA$ wird bei ideal diffusen streuenden Oberflächen gleichmäßig über den Halbraum verteilt, wobei die Strahldichte (Lambertsches Gesetz) konstant ist.
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||||
\end{itemize*}
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||||
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||||
Zunächst ideal diffus remittierende weiße Flächen $(\beta(\lambda) = 1)$:
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\subsection{BRDF: Bidirektionale Reflexionsverteilung}
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\begin{itemize*}
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||||
\item Die von den Quellen in die Fläche $dA$ eingetragene Leistung führt zu einer Bestrahlungsstärke $E_{\lambda}$
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||||
\item Bei vollständiger Reflexion $\beta(\lambda) = 1$ ist $E_{\lambda} = R_{\lambda}$ (spektrale Radiosity, spezifische spektrale Ausstrahlung).
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||||
\item Der zugehörige spektrale Strahlungsfluss $d\phi = R_{\lambda} * dA = E_{\lambda} * dA$ wird bei ideal diffusen streuenden Oberflächen gleichmäßig über den Halbraum verteilt, wobei die Strahldichte (Lambertsches Gesetz) konstant ist.
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||||
\end{itemize*}
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||||
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||||
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||||
\subsection{ BRDF: Bidirektionale Reflexionsverteilungsfunktion}
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||||
\paragraph{Bidirektionale Reflexion}
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||||
\begin{itemize*}
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||||
\item englisch Bidirectional Reflectance Distribution Function, BRDF
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||||
\item eine Funktion für das Reflexionsverhalten von Oberflächen eines Materials unter beliebigen Einfallswinkeln
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||||
\item Ziel: Oberfläche möglichst realistisch und physikalisch korrekt darstellen
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\item nach gewählter Genauigkeit sehr komplex
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||||
\item in der Computergrafik wird meist eine vereinfachte Variante gewählt um Rechenzeit zu sparen
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||||
\item erstmals 1965 definiert (Fred Nicodemus): $f_r(\omega_i, \omega_r)=\frac{dL_r(\omega_r)}{dE_i(\omega_i)}=\frac{dL_r(\omega_r)}{L_i(\omega_i)\cos(\theta_i)d\omega_i}$
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||||
\item Eine BRDF beschreibt wie eine gegebene Oberfläche Licht reflektiert.
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||||
\item Das Verhältnis von reflektierter Strahldichte (radiance) $L_r$ in eine Richtung $\vec{\omega}_r$ zur einfallenden Bestrahlungsstärke (irradiance) $E_i$ aus einer Richtung $\vec{\omega}_i$ wird "bidirectional reflectance distribution function"(BRDF) genannt.
|
||||
\item $f_r(\omega_i, \omega_r)=\frac{dL_r(\omega_r)}{dE_i(\omega_i)}=\frac{dL_r(\omega_r)}{L_i(\omega_i)\cos(\theta_i)d\omega_i}$
|
||||
\item BRDF beschreibt wie gegebene Oberfläche Licht reflektiert.
|
||||
\item $p(\lambda)=\frac{L_r}{E_i}=[\frac{1}{sr}]$
|
||||
\item Die BRDF (für jeden Punkt x) ist eine 5-dimensionale skalare Funktion: $p(\lambda, \phi_e, \theta_e, \phi_i, \theta_i)$
|
||||
\item Keine Energie-Einheiten, nur Verhältniszahl!
|
||||
\item Kann durch Messung für verschiedene Materialien bestimmt werden (Messkamera/Normbeleuchtung)
|
||||
\item Eigenschaften der BRDF:
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||||
\item Reziprozität: $\rho(\lambda)$ ändert sich nicht, wenn Einfalls- und Ausfallsrichtung vertauscht werden (wichtig für Ray-Tracing).
|
||||
\item $\rho(\lambda)$ kann anisotrop sein, d.h. der Anteil des reflektierten Lichtes ändert sich, wenn bei gleicher Einfalls- undAusfallsrichtung die Fläche um die Normale gedreht wird (Textilien, gebürstete Metalle, Metalleffektlacke)
|
||||
\item Die BRDF ist 5-dimensionale skalare Funktion: $p(\lambda, \phi_e, \theta_e, \phi_i, \theta_i)$
|
||||
\item Reziprozität: $\rho(\lambda)$ ändert sich nicht, wenn Einfalls- und Ausfallsrichtung vertauscht werden
|
||||
\item $\rho(\lambda)$ kann anisotrop sein, d.h. der Anteil des reflektierten Lichtes ändert sich, wenn bei gleicher Einfalls- undAusfallsrichtung die Fläche um die Normale gedreht wird
|
||||
\item Superposition gilt, d.h. mehrere Quellen überlagern sich linear.
|
||||
\end{itemize*}
|
||||
|
||||
Es ist in der Computergrafik üblich, die bidirektionale Reflektivität als Gemisch von ambienten, diffusen und spekularen Komponenten $\rho_d, \rho_s$ aufzufassen und
|
||||
einen ambienten Anteil $\rho_a$ zu addieren. Für eine Menge Q von Lichtquellen berechnen wir damit die gesamte reflektierte Strahlstärke: $L_r=p_a*E_a+\sum_{1\leq j \leq Q} E_j * (k_d*p_d + k_s*p_s)$ mit $k_d+k_s=1$ und Q= Anzahl der Lichtquellen
|
||||
Für Menge Q von Lichtquellen die gesamte reflektierte Strahlstärke: $L_r=p_a*E_a+\sum_{1\leq j \leq Q} E_j * (k_d*p_d + k_s*p_s)$ mit $k_d+k_s=1$
|
||||
|
||||
\paragraph{Rendering-Equation}
|
||||
Für ambiente und gerichtete Lichtquellen aus der Hemisphäre ergibt sich eine spezielle Form der BRDF, die Render-Gleichung (Jim Kajiya 1986):
|
||||
\begin{itemize*}
|
||||
\item eine BRDF mit Integral über alle Lichtquellen (bzw. Hemisphären)
|
||||
\item $L_r=p_a + \int_{Omega} L*(k_d*p_d+k_s*p_s) \omega_i*n d\Omega$
|
||||
\end{itemize*}
|
||||
|
||||
%
|
||||
Für ambiente und gerichtete Lichtquellen aus der Hemisphäre:
|
||||
$L_r=p_a + \int_{Omega} L*(k_d*p_d+k_s*p_s) \omega_i*n d\Omega$
|
||||
|
||||
\paragraph{Strahlungsquellenarten}
|
||||
\begin{description*}
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\item[Ambiente Strahlung]
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\begin{itemize*}
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\item Ambiente Strahlung:
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\item es ist keine "eigentliche" Quelle zuordenbar
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\item stark vereinfachtes Modell für die Streuung der Atmosphäre, für viele "durchmischte" Strahlungsquellen, für indirekte Reflexionen
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\item Strahlung kommt von allen Seiten "Die Quelle ist überall und nirgends"
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\item keine eigentliche Quelle zuordenbar
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\item stark vereinfachtes Modell für die Streuung der Atmosphäre
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\item Strahlung kommt von allen Seiten
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\item keine Abhängigkeit von Winkeln und Entfernungen
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\item Beschreibung nur indirekt durch konstante Bestrahlungsstärke (Irradiance) von Flächen möglich
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||||
\item Beschreibung nur indirekt durch konstante Bestrahlungsstärke
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\item $E=\frac{\Phi}{A}=E_a$
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\item Parallele Strahlung:
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\item Strahlung ist gerichtet und parallel (kollimiertes Licht, Strahlungsquelle im Unendlichen, Sonnenlicht)
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\item für derartige Quellen lässt sich kein Ort (aber uneigentlicher Ort, Richtung) angeben
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||||
\item Wichtig sind die Richtung und die Strahlungsleistung, bezogen auf die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehende Fläche (spezifische Ausstrahlung oder Radiosity $R_e$) $R=E_q=\frac{\Phi}{A_q}$
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||||
\item für die Schattierungsrechnung lässt sich die Bestrahlungsstärke $E_e$ der Oberfläche (Flächenelement dA) berechnen: $E=\frac{\Phi}{A}=\frac{E_q*A_q}{A}=E_q*\cos(\phi) = E_q*V_I^T*n$
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||||
\item Ideale Punktlichtquelle:
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\item für die Punktquelle ist der Ort bekannt und die Strahlstärke in alle Richtungen konstant: $I=\frac{\Phi}{\Omega}=konstant$
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||||
\item die Bestrahlungsstärke eines physikalischen vorliegenden, beliebig orientierten Flächenelementes A ergibt sich zu:
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||||
\item $E=\frac{\Phi}{A}=\frac{I*\Omega}{A}, \Omega=\frac{A}{r^2}*\cos(\phi)*\omega_r \rightarrow E=\frac{I}{r^2}*\cos(\phi)*\omega_r$
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||||
\item zum Ausgleich der Adaptionsfähigkeit des menschlichen Auges wird in der Computergrafik oft der folgende Ansatz verwendet:
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||||
\item $E=\frac{I}{c_1+c_2*|r|+c_3*r^2}*\cos(\phi)*\omega_r$
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||||
\item Remittierende Flächen (radiometrische Betrachtung):
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||||
\item Zur Berechnung der von der reflektierenden Fläche weitergegebenen Strahldichte L sind die weiter oben berechneten Bestrahlungsstärken E für die unterschiedlichen Quellen mit dem Faktor $\frac{\beta(\lambda)}{\pi\omega_r}$ zu bewerten
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\end{itemize*}
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||||
\item[Parallele Strahlung]
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\begin{itemize*}
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||||
\item Strahlung ist gerichtet und parallel
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\item kein Ort für derartige Quellen
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\item Wichtig sind Richtung und Strahlungsleistung, bezogen auf die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehende Fläche $R=E_q=\frac{\Phi}{A_q}$
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||||
\item für Schattierungsrechnung lässt sich Bestrahlungsstärke der Oberfläche berechnen: $E=\frac{\Phi}{A}=\frac{E_q*A_q}{A}=E_q*\cos(\phi) = E_q*V_I^T*n$
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||||
\end{itemize*}
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||||
\item[Ideale Punktlichtquelle]
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\begin{itemize*}
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||||
\item für Punktquelle ist Ort bekannt und Strahlstärke in alle Richtungen konstant $I=\frac{\Phi}{\Omega}=konstant$
|
||||
\item Bestrahlungsstärke eines physikalischen vorliegenden, beliebig orientierten Flächenelementes A ergibt sich zu $E=\frac{\Phi}{A}=\frac{I*\Omega}{A}, \Omega=\frac{A}{r^2}*\cos(\phi)*\omega_r \rightarrow E=\frac{I}{r^2}*\cos(\phi)*\omega_r$
|
||||
\item zum Ausgleich der Adaptionsfähigkeit des menschlichen Auges wird in der Computergrafik oft der folgende Ansatz verwendet $E=\frac{I}{c_1+c_2*|r|+c_3*r^2}*\cos(\phi)*\omega_r$
|
||||
\end{itemize*}
|
||||
\item[Remittierende Flächen] Zur Berechnung von reflektierenden Fläche weitergegebenen Strahldichte L sind die weiter oben berechneten Bestrahlungsstärken E für unterschiedlichen Quellen mit dem Faktor $\frac{\beta(\lambda)}{\pi\omega_r}$ zu bewerten
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||||
\end{description*}
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\begin{tabular}{c | c | c}
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Quelle & Reflexion & Spektale Strahldichte $L(\lambda)$ \\\hline
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\begin{tabular}{l | c | l}
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||||
Quelle & Ref. & Spektale Strahldichte $L(\lambda)$ \\\hline
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ambient & diffus & $L(\lambda)=\frac{E(\lambda)}{\pi\omega_r}*\beta(\lambda)$ \\
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gerichtet & diffus & $L(\lambda)=\frac{E(\lambda)}{\pi\omega_r}*\cos(\phi)*\beta(\lambda)$ \\
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punktförmig & diffus & $L(\lambda) = \frac{I(\lambda)}{\pi r^2 }*\cos(\phi)*\beta(\lambda)$ \\
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@ -1042,56 +909,39 @@
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\end{tabular}
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\subsection{Beleuchtungsmodelle}
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Ein Beleuchtungsmodell ist eine Verfahren in der Computergrafik welches das Verhalten von Licht simuliert. Die Simulation unterscheidet dabei zwischen lokaler und globaler Beleuchtung:
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\begin{itemize*}
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\item Lokale Beleuchtungsmodelle:
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\item simulieren das Verhalten von Licht auf den einzelnen Materialoberflächen
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\item nur Beleuchtungseffekte welche direkt durch Lichtquellen auf einzelnen Objekt entstehen
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\item indirekte Beleuchtung bleibt zunächst unberücksichtigt
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\item Globale Beleuchtungsmodelle:
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\item simulieren die Ausbreitung von Licht innerhalb der Szene
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\item dabei wird die Wechselwirkung in der Szene beachtet (Schatttenwurf, Spiegelung, indirekte Beleuchtung)
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\end{itemize*}
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\begin{description*}
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\item[Lokale] simulieren Verhalten von Licht auf einzelnen Materialoberflächen; nur Beleuchtungseffekte die direkt durch Lichtquellen auf einzelnen Objekt entstehen
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||||
\item[Global] simulieren Ausbreitung von Licht innerhalb der Szene; dabei wird Wechselwirkung in der Szene beachtet (Schatttenwurf, Spiegelung, indirekte Beleuchtung)
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\end{description*}
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\paragraph{Phong-Modell}
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\begin{itemize*}
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\item lokales Beleuchtungsmodell (lässt sich durch BRDF beschreiben)
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\item lokales Beleuchtungsmodell
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\item eignet sich zur Darstellung von glatten, plastikähnlichen Oberflächen
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\item baut nicht auf physikalischen Grundlagen auf
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\item widerspricht dem Energieerhaltungssatz
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\item Reflexion des Lichts = ambienter+ ideal diffuser + ideal spiegelnder Reflexion
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\end{itemize*}
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%
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\begin{itemize*}
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\item Allgemein: $L=I_{out}=I_{ambient}+I_{diffus}+I_{specular}$
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\item Ambiente: $I_{ambient}=I_a * k_a$ mit $I_a$ Intensität des Lichtes und $k_a$ Materialkonstante
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\item Diffus: $I_{diffus}=I_{in}*k_d*\cos(\phi)$ mit $I_{in}$ Lichtstärke der Punktlichtquelle; $k_d$ empirischem Reflexionsfaktor; $\phi$ Winkel zwischen Oberflächennormale und Richtung des einfallenden Lichtstrahls
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||||
\item Spiegelnd: $I_{specular}=I_{in}*k_s*\frac{n+2}{2\pi}*\cos^n({\theta})$ mit
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||||
\item $I_{in}$ Lichtstärle des eingallendes Lichtstrahls der Punktlichtquelle
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||||
\item $k_s$ empirisch bestimmter Reflexionsfaktor
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||||
\item Ambiente: $I_{ambient}=I_a * k_a$
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||||
\item Diffus: $I_{diffus}=I_{in}*k_d*\cos(\phi)$
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||||
\item Spiegelnd: $I_{specular}=I_{in}*k_s*\frac{n+2}{2\pi}*\cos^n({\theta})$
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\begin{itemize*}
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\item $I$ Lichtstärke/Intensität der Lichtquelle
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\item $k_a$ Materialkonstante
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\item $k_{d/s}$ empirischem Reflexionsfaktor
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\item $\phi$ Winkel zwischen Oberflächennormale und Richtung des einfallenden Lichtstrahls
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\item $\theta$ Winkel zwischen idealer Reflexionsrichtung des Lichtstrahls und Blickrichtung
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\item $n$ konstante Exponent zur Beschreibung der Oberflächenbeschaffenheit
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\item $\frac{n+2}{2\pi}$ Normalisierungsfaktor zur Helligkeitsregulierung
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\item Vollständige Formel: $I_{out}=I_a*k_a+I_{in}*k_d*\cos(\phi)+I_{in}*k_s*\frac{n+2}{2\pi}*\cos^n(\theta)$
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\end{itemize*}
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||||
Unterschiedliche Definitionen sind möglich, z.B. mit mehrere Lichtquellen:
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\begin{itemize*}
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\item jeweiligen Komponenten für jede Lichtquelle separat berechnet
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\item diese werden anschließend aufsummiert
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\item $\frac{n+2}{2\pi}$ Normalisierungsfaktor zur Helligkeitsregulierung
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||||
\item Vollständig: $I_{out}=I_a*k_a+I_{in}*k_d*\cos(\phi)+I_{in}*k_s*\frac{n+2}{2\pi}*\cos^n(\theta)$
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\end{itemize*}
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\paragraph{Cook-Torrance}
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\begin{itemize*}
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\item Physik-basierte spekulare Reflexion:
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\item Microfacetten: Grundidee ähnlich Phong-Modell
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\item Statistische Abweichung der Microfacetten von der Flächennormalen (z. B. Beckmann-Verteilung)
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\item Streuung des Lichts (Keule) um den Winkel der idealen Spiegelung herum
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\item Berücksichtigt auch die gegenseitigen Abschattung (insbesondere bei flachen Lichtstrahlen)
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\item Vollständig physikbasiertes Modell, keine willkürlichen Reflexionskonstanten
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\item Aufwendige Berechnung (verschiedene Näherungsformeln existieren)
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\item Beckmann-Verteilung: $l_{spec}=\frac{exp(-\frac{tan^2(\alpha)}{m^2})}{\pi m^2 cos^4 (\alpha)}$, $\alpha=arccos(N*H)$
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\item Berücksichtigt auch die gegenseitigen Abschattung
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||||
\item Vollständig physikbasiertes Modell, keine willkürlichen Reflexionskonstanten, spekulare Reflexion
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\item Aufwendige Berechnung
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||||
\item Beckmann-Verteilung: $l_{spec}=\frac{exp(-\frac{tan^2(\alpha)}{m^2})}{\pi m^2 cos^4 (\alpha)}$ mit $\alpha=arccos(N*H)$
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\end{itemize*}
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\section{Schattierungsverfahren}
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