diff --git a/Stochastik.md b/Stochastik.md index c83b247..b96c613 100644 --- a/Stochastik.md +++ b/Stochastik.md @@ -39,8 +39,11 @@ author: Wieerwill - [Streuungsparameter](#streuungsparameter) - [Skalenniveaus](#skalenniveaus) +--- # Wahrscheinlichkeiten > Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang. + +--- ## Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega , P)$ - Ergebnis-/Grundraum $\Omega$, Menge aller möglichen Elementarereignisse (Bsp: $\Omega={heil, kaputt}^x$) - die Anzahl aller möglichen Ergebnisse heißt Mächtigkeit des Ergebnisraums $|\Omega|$ (Bsp: $|\Omega|=2$) @@ -61,6 +64,7 @@ author: Wieerwill - Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt: $\Omega \supseteq A \rightarrow P(A) \in [0,1]$ - $\sigma$-Additivität: $P(U_{k\in N} A_k)= \sum_{k\in N} P(A_k)$ für disjunkte $A_k, k\in N$ +--- ## Ereignisalgebra - Vereinigung: $A\cup B= \{\omega | \omega\in A \vee \omega\in B \}$ - Bsp: $A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, A\cup B=\{1,2,3\}$ @@ -76,6 +80,7 @@ author: Wieerwill - disjunkte Ereignisse $A\cap B = \varnothing$ - wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben (unvereinbar) +--- ## Rechengesetze - Kommutativ: - $A\cup B = B\cup A$ @@ -106,6 +111,7 @@ author: Wieerwill - $A\cup \bar{A} = \Omega$ - $\bar{\bar{A}} = A$ +--- ## Vierfeldertafel Alle vier Felder zusammen entsprechen dem Ergebnisraum $\Omega$ @@ -115,6 +121,7 @@ Alle vier Felder zusammen entsprechen dem Ergebnisraum $\Omega$ | $\bar{A}$ | $\bar{A}\cap B$ | $\bar{A}\cap\bar{B}$ | +--- ## Absolute Häufigkeit > Die absolute Häufigkeit $H_n(E)$ gibt an, wie oft das Ereignis E innerhalb eines Zufallsexperiments, welches n-mal ausgeführt wird, aufgetreten ist. @@ -124,6 +131,7 @@ Bsp: Münze wird 20 mal geworfen. Man erhält 8 mal Kopf und 12 mal Zahl: - $H_{20}(Kopf)=8$ - $H_{20}(Zahl)=12$ +--- ## Relative Häufigkeit > Tritt ein Ereignis $E$ bei $n$ Versuchen $k$-mal ein, so heißt die Zahl $h_n(E)=\frac{k}{n}$ relative Häufigkeit des Ereignisses E. @@ -140,6 +148,7 @@ Bsp: Münze wird 20 mal geworfen. Man erhält 8 mal Kopf und 12 mal Zahl: - $h_n(A\cup B)= h_n(A)+h_n(B)-h_n(A\cap B)$ - $H_n(E)=h_n(E)*n$ +--- ## Mehrstufige Zufallsexperimente ### Baumdiagramm > Ein Baumdiagramm ist eine graphische Darstellung, welche die möglichen Ergebnisse eines bestimmten Ablaufs hierarchischer Entscheidungen zeigt. @@ -153,6 +162,7 @@ Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspun 2. (ODER) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen. - Bsp: $P(\{SW, WS\})=\frac{1}{2}*\frac{1}{3} + \frac{1}{3}*\frac{1}{2}$ +--- ## Kombinatorik > Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) von Objekten. @@ -196,6 +206,7 @@ Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspun +--- ## Laplace Expriment > Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$ @@ -208,6 +219,7 @@ Vorgehen: Laplace Wahrscheinlichkeit > Satz von de Moivre-Laplace: Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p sowie reelle Zahlen a und b gilt $P(a\leq X \leq b)= \int_{a-0,5}^{b+0,5} \varphi_{\mu_i \delta} (x) dx_i$ wobei $\mu = n*p$ und $\delta?\sqrt{n*p*(1-p)}$ ist. +--- ## Stochastische Unabhängigkeit > Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst. @@ -223,6 +235,7 @@ Bei stochastischer Unabhängigkeit zweier Ereignisse hat jeder in die gleiche Ri Bei stochastischer Unabhängigkeit zweier Ereignisse ist die Wahrscheinlichkeit eines Feldes in der Vierfeldertafel gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Zeile und der zugehörigen Spalte. +--- ## Bedingte Wahrscheinlichkeiten $P_B(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist; häufig schreibt man auch $P(A|B)$. die bedingte Wahrscheinlichkeit von "A gegeben B": $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ @@ -231,25 +244,28 @@ $A,B \subseteq \Omega$ mit $P(B)> 0$; man beobachtet, dass B eintritt nachdem A die totale Wahrscheinlichkeit: $P(A)=\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)$ +--- ### Multiplikationssatz Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades. Bsp: $P(A\cap B)= P(B)*P_B(A)$ +--- ### Totale Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen. Satz der totalen Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse A und B: Bsp: $P(A) = P(A\cap B) + P(A\cap \bar{B}) = P(B)*P_B(A)+P(\bar{B})*P_{\bar{B}}(A)$ +--- ### Satz von Bayes Der Satz von Bayes erlaubt das Umkehren von Schlussfolgerungen: Man geht von einem bekannten Wert $P_A(B)$ aus, mit dessen Hilfe man $P_B(A)$ berechnet. Um die Formel für die Berechnung von $P_A(B)$ aus $P_B(A)$ zu erhalten, müssen wir zwei Baumdiagramme mit unterschiedlichem Ablauf miteinander verknüpfen. Nach dem Multiplikationssatz gilt: $P(A\cap B)=P(B)*P_B(A)$. Nach $P_B(A)$ aufgelöst gilt $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$. Nach dem zweiten Multiplikationssatz gilt $P(A\cap B)=P(A)*P_A(B)$. Einsetzten der Formel in die erste Abbildung: $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \Rightarrow P(A\cap B)=P(A)*P_A(B)$. daraus erhält man den Satz von Bayes $P_B(A)=\frac{P(A)*P_A(B)}{P(B)}$ -Satz von Bayes: $P_B(A)=\frac{P(A)*P_A(B)}{P(B)}=\frac{P(A)*P_A(B)}{P(A)*P_A(B)+P(\bar{A})*P_{\bar{A}}(B) }$ +--- ## Zufallsvariable Eine Funktion X, die jedem Ergebnis $\omega$ des Ergebnisraum $\Omega$ genau eine Zahl x der Menge der reelen Zahlen $\R$ zuordnet, heißt Zufallsvariable. Kurz $X:\Omega\rightarrow\R$ @@ -260,6 +276,7 @@ Es gibt drei Möglichkeiten, eine (diskrete) Zufallsvariable darzustellen: 2. als abschnittsweise definierte Funktion 3. als Mengendiagramm +--- ### Diskrete Zufallsvariable Eine Zufallsvariable X wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt. @@ -274,6 +291,7 @@ Erwartungswert :$\mu_x =E(X)=\sum_i x_i*P(X=x_i)$\\ Varianz: $\omega^2_X = Var(X) = \sum_i(x_i-\mu_X)^2 *P(X=x_i)$\\ Standardabweichung: $\omega_X = \sqrt{Var(x)}$ +--- ### Stetige Zufallsvariable Eine Zufallsvariable X wird als stetig bezeichnet, wenn sie überabzählbar unendlich viele Werte annimmt. @@ -286,6 +304,7 @@ Erwartungswert: $\mu_X= E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x*f(x)dx$\\ Varianz: $\omega_X^2 =Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu_X)^2 *f(x)dx$\\ Standardabweichung: $\omega_X= \sqrt{Var(X)}$ +--- ## Wahrscheinlichkeitsverteilung Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen. @@ -295,6 +314,7 @@ Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich entweder - bzw. die Dichtefunktion (bei stetigen Zufallsvariablen) vollständig beschreiben. +--- ### Wahrscheinlichkeitsfunktion Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine Funktion f, die jedem x einer Zufallsvariablen X genau ein p aus [0;1] zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion. Kurz: $f:x\rightarrow p$ @@ -304,6 +324,7 @@ $P(X=x)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsgröße X den We Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f der Zufallsvariablen X gibt die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Realisationen von X an: $f(x)=P(X=x)= \begin{cases} p_i \text{für } x=x_i (i=1,2,...,n) \\ 0 \text{sonst} \end{cases}$ Für die Summe der Wahrscheinlichkeiten gilt $\sum_{i=1}^n p_i=1$ +--- ### Dichtefunktion Die Dichtefunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung. @@ -316,6 +337,7 @@ $$F(X)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^x f(u)du$$ Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable X einen bestimmten Wert x annimmt, ist stets Null. $P(X=x)=0$ +--- ### Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer diskreten oder stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung. @@ -325,6 +347,7 @@ Eine Funktion F, die jedem x einer Zufallsvariablen X genau eine Wahrscheinlichk - $F(x)$ ist rechtssteitig stetig - $lim_{x\rightarrow -\infty} F(x)=0$ und $lim_{x\rightarrow +\infty} F(x) =1$ +--- ### Diskrete Verteilungsfunktionen 1. $P(X\leq a)=F(a)$ 2. $P(X