Rechtschreibung ausgebessert
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@ -160,7 +160,7 @@
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Kombination & mit & $\binom{n+k-1}{k}$ & k aus n & nein
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\end{tabular}
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\subsection{Laplace Expriment}
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\subsection{Laplace Experiment}
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alle Elementarereignisse gleiche Wahrscheinlichkeit $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$ \newline
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$\Omega$ endlich; $P(\omega)=\frac{1}{\Omega} \rightarrow$ Laplace-Verteilung/diskrete Gleichverteilung
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$$P(A)=\sum_{\omega \in A} P(\omega)=\frac{*A}{*\Omega}=\frac{\text{Anzahl günstige Ausgänge}}{\text{Anzahl alle Ausgänge}}$$
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@ -236,7 +236,7 @@
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\begin{itemize*}
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\item die Verteilungsfunktion F ist eine Treppenfunktion
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\item $F(x)$ ist monoton steigend
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\item $F(x)$ ist rechtssteitig stetig
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\item $F(x)$ ist rechtsseitig stetig
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\item $lim_{x\rightarrow -\infty} F(x)=0$ und $lim_{x\rightarrow +\infty} F(x) =1$
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\end{itemize*}
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@ -288,37 +288,37 @@
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\section{Deskriptive Statistik}
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Die Menge aller Elemente, auf die ein Untersuchungsziel in der Statistik gerichtet ist, heißt Grundgesamtheit. Eine Datenerhebung der Grundgesamtheit nennt man Vollerhebung, wohingegen man eine Datenerhebung einer Stichprobe als Stichprobenerhebung bezeichnet. Die in einer Stichprobe beobachteten Werte heißen Stichprobenwerte oder Beobachtungswerte.
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\subsection{Merkmale}
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\subsection{Merkmale/Skalenverhältnis}
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Eigenschaften, die bei einer Datenerhebung untersucht werden
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\begin{itemize*}
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\item Qualitative Merkmale lassen sich artmäßig erfassen
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\begin{itemize*}
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\item nominale Merkmale (Bsp. Geschlecht): Einzelne Ausprägungen des Merkmals lassen sich feststellen und willkürlich nebeneinander aufreihen. Es lässt sich keine Aussage über eine Reihenfolge oder über Abstände einzelner Ausprägungen machen.
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\item ordinale Merkmale (Bsp. Schulnoten): Einzelne Merkmale lassen sich zwar nicht im üblichen Sinne messen, wohl aber in eine Reihenfolge bringen. Eine Aussage über den Abstand der Ränge lässt sich dagegen nicht machen.
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\end{itemize*}
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\item Quantitative Merkmale lassen sich zahlenmäßig erfassen
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\begin{itemize*}
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\item diskrete Merkmale (Bsp. Schülerzahl): Es gibt nur bestimmte Ausprägungen, die sich abzählen lassen. Die Merkmalsausprägungen diskreter Merkmale sind also ganze, meist nichtnegative Zahlen.
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\item stetige Merkmale (Bsp. Gewicht): Einzelne Ausprägungen eines Merkmals können jeden beliebigen Wert innerhalb eines gewissen Intervalls annehmen.
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\end{itemize*}
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\end{itemize*}
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\begin{description*}
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\item[Qualitative] Merkmale lassen sich Art-mäßig erfassen
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\begin{description*}
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\item[Nominal] (Bsp. Geschlecht): Einzelne Ausprägungen des Merkmals lassen sich feststellen und willkürlich nebeneinander aufreihen. Es lässt sich keine Aussage über eine Reihenfolge oder über Abstände einzelner Ausprägungen machen.
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\item[Ordinal] (Bsp. Schulnoten): Einzelne Merkmale lassen sich zwar nicht im üblichen Sinne messen, wohl aber in eine Reihenfolge bringen. Eine Aussage über den Abstand der Ränge lässt sich dagegen nicht machen.
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\end{description*}
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\item[Quantitative] Merkmale lassen sich zahlenmäßig erfassen
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\begin{description*}
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\item[Diskret] (Bsp. Schülerzahl): Es gibt nur bestimmte Ausprägungen, die sich abzählen lassen. Ganze, meist nicht negative Zahlen.
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\item[Stetig] (Bsp. Gewicht): Einzelne Ausprägungen eines Merkmals können jeden beliebigen Wert innerhalb eines gewissen Intervalls annehmen.
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\end{description*}
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\end{description*}
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\subsection{Lageparamter}
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alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Lage einer Verteilung machen
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\subsection{Ladeparameter}
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Alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Lage einer Verteilung machen
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\begin{itemize}
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\item Arithmetisches Mittel $x=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=\frac{1}{n}*\sum_{i=1}^n x_i$
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\item Geometrisches Mittel $\bar{x}_{geom} = \sqrt[n]{x_1*x_2*\dots*x_n}$
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\item Harmonisches Mittel $\bar{x}_{harm} = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}$
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\item arithmetisches Mittel $x=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=\frac{1}{n}*\sum_{i=1}^n x_i$
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\item geometrisches Mittel $\bar{x}_{geom} = \sqrt[n]{x_1*x_2*\dots*x_n}$
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\item harmonisches Mittel $\bar{x}_{harm} = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}$
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\item Median: Wert, welcher größer oder gleich 50\% aller Werte ist
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\item Modus: $\bar{x}_d=$ Häufigster Beobachtungswert
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\item Modus: $\bar{x}_d=$ häufigster Beobachtungswert
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\end{itemize}
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\subsection{Streuungsparameter}
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alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Verteilung von einzelnen Werten um den Mittelwert machen
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Alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Verteilung von einzelnen Werten um den Mittelwert machen
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\begin{itemize*}
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\item Spannweite: $R=x_{max}-x_{min}$
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\item Interquartilsabstand: $IQR=Q_{0,75}-Q_{0,25}$
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\item Mittlere absolute Abweichung: $D=\frac{1}{n} * \sum_{i=1}^{n} \|x_i-\bar{x}\|$
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\item mittlere absolute Abweichung: $D=\frac{1}{n} * \sum_{i=1}^{n} \|x_i-\bar{x}\|$
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\item $Q_{0,75}$ entspricht dem Wert, welcher $\geq 75\%$ aller Werte ist
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\item $Q_{0,25}$ entspricht dem Wert, welcher $\geq 25\%$ aller Werte ist
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\end{itemize*}
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@ -327,7 +327,7 @@
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Zusammenfassung gesammelter Stichprobe mit einer bestimmten Formel.
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Als Beispiele können wir die Schätzfunktionen für den Anteilswert p betrachten - der Schätzer wird dann meist $\hat{p}$ („p-Dach“) genannt: $\hat{p}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$
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Beispiel Schätzer für Variant $\sigma^2$ in der Grundgesamtheit: $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$
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Beispiel Schätzer für Varianz $\sigma^2$ in der Grundgesamtheit: $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$
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\subsection{Schätzfunktionen für den Mittelwert}
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Der Erwartungswert $\mu$ wird in der Regel mit dem arithmetischen Mittel der Stichprobe geschätzt:
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@ -350,7 +350,7 @@
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\end{itemize*}
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\subsection{Gütekriterien}
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Eine erwartungstreue Schätzfunktion ist im Mittel gleich dem wahren Parameter $\gamma$: $E(g_n)=\gamma$.
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Eine Erwartungstreue Schätzfunktion ist im Mittel gleich dem wahren Parameter $\gamma$: $E(g_n)=\gamma$.
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Verzerrung eines Schätzers $Bias(g_n)=E(g_n)-\gamma = E(g_n - \gamma)$
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@ -363,6 +363,7 @@
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Normalverteilung & $f(x)=\frac{1}{\sigma*\sqrt{2\pi}}*e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$ & $F(x)=\frac{1}{1-\sigma*\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{1}{2}(\frac{u-\mu}{\sigma})^2}du$ & $E(Y)=\mu$ & $Var(Y)=\sigma^2$ \\
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Stetige Verteilung & $f(x)=\begin{cases}0 \quad\text{ für } x<a \\ \frac{1}{b-a} \quad\text{ für } a\leq x \leq b \\ 0 \quad\text{ für } x>b \end{cases}$ & $F(x)=\begin{cases} 0 \quad\text{ für } x\leq a \\ \frac{x-a}{b-a} \quad\text{ für } a< x < b \\ 1 \quad\text{ für } x\geq b\end{cases}$ & $E(X)=\frac{a+b}{2}$ & $Var(X)=\frac{1}{12}(b-a)^2$ \\
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Exponentialverteilung & $f(x)=\begin{cases}0 \quad\text{ f+r } x<0 \\ \frac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}} \quad\text{ für } x\geq 0 \end{cases}$ & $F(x)=\begin{cases} 0 \quad\text{ für } x<0 \\ 1-e^{-\frac{x}{\mu}} \quad\text{ für } x\geq 0 \end{cases}$ & $E(X)=\frac{1}{\lambda}$ & - \\
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Sinus Verteilung & $f(t)= 2V*\sin(\frac{2\pi}{T}*t)$, $f=\frac{1}{T}$ & & \\
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Binomialverteilung & $f(x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$ & - & $E(X)=np$ & $Var(X)=np(1-p)$ \\
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Geometrische Verteilung & $f(x)=(1-p)^{x-1}*p$ & - & $E(X)=\frac{1}{p}$ bzw. $E(Y)=E(X)-1=\frac{1-p}{p}$ & - \\
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Hypergeometrische Verteilung & $f(x)=\frac{\binom{X}{x}*\binom{W}{w}}{\binom{N}{n}}$ & - & - & - \\
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@ -375,12 +376,12 @@
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\subsection{Skalenniveaus}
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\begin{tabular}{r c c l l}
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Skalen & diskret & qualitiativ & & für \\\hline
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Nominalskala & & Y & Klassifikation, Kategorien & Geschlecht, Studiengang \\
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Ordinalskala & & Y & Rangordnung ist definiert & Schulnoten \\
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Intervallskala & & & Rangordnung und Abstände sind definiert & Temperatur \\
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Verhältnisskala & & & Rangordnung, Abstände und natürlicher Nullpunkt definiert & Gehalt, Gewicht \\
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Absolutskala & Y & Y & Rangordnung, Abstände, natürlicher Nullpunkt und natürliche Einheiten & Anzahl Fachsemester
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Skalen & diskret & qualitativ & was ist definiert? & für \\\hline
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Nominalskala & & Y & Klassifikation/Kategorien & Geschlecht, Studiengang \\
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Ordinalskala & & Y & Kategorien + Rangordnung & Schulnoten \\
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Intervallskala & & & Kategorien + Rangordnung + Abstände & Temperatur \\
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Verhältnisskala & & & Kategorien + Rangordnung + Abstände + natürlicher Nullpunkt & Gehalt, Gewicht \\
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Absolutskala & Y & Y & Kategorien + Rangordnung + Abstände + natürlicher Nullpunkt + natürliche Einheiten & Anzahl Fachsemester
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\end{tabular}
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\end{document}
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