Lösungsweg für Aufgabe 5

Grundlagen und diskrete Strukturen - Prüfungsvorbereitung.tex

@@ -215,6 +215,35 @@ Erlaubte Hilfsmittel: eine math. Formelsammlung/Nachschlagwerk, ein handbeschrie
 
   \question Gegeben sei die Menge $G=\{ \begin{pmatrix} 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1 \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^{(3,3)}\mid a,b,c\in\mathbb{R}\}$. Zeige, dass $G$ eine Gruppe bezüglich der Matrizenmultiplikation ist. Rechengesetze der Matrizenmultiplikation dürfen vorausgesetzt werden. Ist die Gruppe kommutativ? (ohne Beweis)
   \begin{solution}
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+    Eine nichtleere Menge $G$ von Elementen $a, b, c, ...$ heißt Gruppe, wenn in ihr eine Operation $\circ$ erklärt ist, die folgenden Axiomen genügt:
+    \begin{itemize}
+      \item Die Operation $\circ$ ist assoziativ, d.h. für alle Elemente $a,b,c\in G$ gilt $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
+      \item Die Operation $\circ$ ist umkehrbar, d.h. zu beliebigen Elementen $a,b\in G$ sind die Gleichungen $a\circ x=b$ und $y\circ a=b$ (mit $x\in G$ und $y\in G$) lösbar.
+    \end{itemize}
+    Man nennt $G$ eine kommutative (oder abelsche) Gruppe, wenn zusätzlich noch gilt:
+    \begin{itemize}
+      \item Die Operation $\circ$ ist kommutativ, d.h. für alle $a,b\in G$ gilt $a\circ b=b\circ a$
+    \end{itemize}
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+    Für die Matrizenmultiplikation von G gilt: 
+    $G*G=\begin{pmatrix} 
+      1*1+a*0+b*0 & 1*a+a*1+b*0 & 1*b+a*c+b*1 \\ 
+      0*1+1*0+c*0 & 0*a+1*1+c*0 & 0*b+1*c+c*1 \\ 
+      0*1+0*0+1*0 & 0*a+0*1+1*0 & 0*b+0*c+1*1
+    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+      1 & 2a & 2b+ac\\ 
+      0 & 1 & 2c\\
+      0 & 0 & 1  
+    \end{pmatrix}$
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+    Zeige dass die Einheitsmatrix Element von $G$ ist.
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+    Zeige dass die Verknüpfung in $G$ assoziativ ist.
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+    Begründe dass alle Matrizen in $G$ invertierbar sind. %Erinnere dich dazu daran, was die Matrixmultiplikation mit dem Rang macht.
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   \end{solution}
 
   \question Markus ist politikinteressiert und möchte gerne Bundeskanzler werden. Er überlegt aber noch welcher Partei er beitritt. Er hat zwei Parteien $A$ und $B$, die ihm gefallen, könnte aber auch eine eigene Partei $C$ gründen. Die Chancen bei den nächsten Wahlen als Spitzenkandidat aufgestellt zu werden schätzt er auf $10\%$ bei Partei $A$, auf $20\%$ bei Partei $B$ und $100\%$ bei Partei $C$. Die Chance, dass die jeweilige Partei mit ihm an der Spitze die Wahl gewinnt liegt bei $60\%$, $45\%$ bzw. $2\%$.