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@ -20,6 +20,9 @@
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\usepackage{hyperref}
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\usepackage{pgfplots}
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\usepackage{bussproofs}
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%\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent}
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\SolutionEmphasis{\small}
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\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm}
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\pdfinfo{
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/Title (Automaten, Sprachen \& Komplexität - Prüfungsvorbereitung)
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@ -84,87 +87,144 @@
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\begin{document}
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\begin{myboxii}[Disclaimer]
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Aufgaben aus dieser Vorlage stammen aus der Vorlesung \textit{Algorithmen, Sprachen und Komplexität} und wurden zu Übungszwecken verändert oder anders formuliert! Für die Korrektheit der Lösungen wird keine Gewähr gegeben.
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Aufgaben aus dieser Vorlage stammen aus der Vorlesung \textit{Algorithmen, Sprachen und Komplexität} und wurden zu Übungszwecken verändert oder anders formuliert! Für die Korrektheit der Lösungen wird keine Gewähr gegeben.
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\end{myboxii}
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\begin{questions}
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\question Definitionen der Automatentheorie. Vervollständige die folgenden Definitionen:
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\begin{parts}
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\part Eine Regel $(l\rightarrow r)$ einer Grammatik $G=(V,\sum,P,S)$ heißt rechtslinear, falls ...
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Ein NFA ist ein Tupel $M=(...)$
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\part Die von einem PDA $M=(Z,\sum, \Gamma, \delta, z_0, \#)$ akzeptierten Sprache ist $L(M)=...$
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\part Sei $M=(Z,\sum,z_0,\delta, E)$ ein DFA. Die Zustände $z,z'\in Z$ heißen erkennungsäquivalent, wenn
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\end{parts}
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\question Definitionen der Automatentheorie. Vervollständige die folgenden Definitionen:
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\begin{parts}
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\part Eine Regel $(l\rightarrow r)$ einer Grammatik $G=(V,\sum,P,S)$ heißt rechtslinear, falls ...
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Ein NFA ist ein Tupel $M=(...)$
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Die von einem PDA $M=(Z,\sum, \Gamma, \delta, z_0, \#)$ akzeptierten Sprache ist $L(M)=...$
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Sei $M=(Z,\sum,z_0,\delta, E)$ ein DFA. Die Zustände $z,z'\in Z$ heißen erkennungsäquivalent, wenn
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Sätze und Lemmas aus der Automatentheorie. Vervollständige die folgenden Aussagen:
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\begin{parts}
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\part Sei $L\supseteq \sum^*$ eine Sprache. Dann sind äquivalent: 1) L ist regulär (d.h. wird von einem DFA akzeptiert), 2)..., 3)...
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\part Der Satz von Myhill-Nerode besagt,...
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\part Das Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen ...
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\end{parts}
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\question Sätze und Lemmas aus der Automatentheorie. Vervollständige die folgenden Aussagen:
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\begin{parts}
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\part Sei $L\supseteq \sum^*$ eine Sprache. Dann sind äquivalent: 1) L ist regulär (d.h. wird von einem DFA akzeptiert), 2)..., 3)...
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Der Satz von Myhill-Nerode besagt,...
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Das Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen ...
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Konstruktionen der Automatentheorie
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\begin{parts}
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\part Betrachte den NFA X (Bild wird noch erstellt). Berechne einen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$.
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\part Betrachte den DFA X (Bild wird noch erstellt). Berechne den minimalen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$.
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\end{parts}
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\question Konstruktionen der Automatentheorie
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\begin{parts}
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\part Betrachte den NFA X (Bild wird noch erstellt). Berechne einen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Betrachte den DFA X (Bild wird noch erstellt). Berechne den minimalen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Algorithmen für reguläre Sprachen
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\begin{parts}
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\part Sei $\sum=\{a,b,c\}$. Gebe einen Algorithmus an, der bei Eingabe eines NFA X entscheidet, ob alle Wörter $\omega\in L(X)$ ungerade Länge besitzen und $abc$ als Infix enthalten.
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\end{parts}
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\question Algorithmen für reguläre Sprachen. Sei $\sum=\{a,b,c\}$. Gebe einen Algorithmus an, der bei Eingabe eines NFA X entscheidet, ob alle Wörter $\omega\in L(X)$ ungerade Länge besitzen und $abc$ als Infix enthalten.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\question Kontextfreie Sprachen: Sei $\sum=\{a,b,c\}$. Betrachte die Sprache $K=\{a^k b^l c^m|k\leq l \text{ oder } k\leq m\}$.
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\begin{parts}
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\part Zeige, dass $K$ eine kontextfreie Sprache ist.
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\part Zeige, dass $L=\sum^*\backslash K$ (Komplement von $L$) nicht kontextfrei ist.
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\part Begründe warum $K$ deterministisch kontextfrei ist oder warum nicht.
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\end{parts}
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\question Kontextfreie Sprachen: Sei $\sum=\{a,b,c\}$. Betrachte die Sprache $K=\{a^k b^l c^m|k\leq l \text{ oder } k\leq m\}$.
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\begin{parts}
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\part Zeige, dass $K$ eine kontextfreie Sprache ist.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Zeige, dass $L=\sum^*\backslash K$ (Komplement von $L$) nicht kontextfrei ist.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Begründe warum $K$ deterministisch kontextfrei ist oder warum nicht.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Kontextfreie Grammatiken: Sei $\sum=\{a,b,c,\}$
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\begin{parts}
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\part Sei $G$ die kontextfreie Grammatik mit Startsymbol S und der Regelmenge $S\rightarrow AB$, $A\rightarrow aBS|a$ und $B\rightarrow bBa|b|\epsilon$. Überführe G in eine äquivalente Grammatik in Chomsky Normalform.
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\part Sei $G'$ die kontextfreie Grammatik mit Startsymbol $S$ und der Regelmenge $S\rightarrow AB$, $A\rightarrow CD|CF$, $F\rightarrow AD$, $B\rightarrow c|EB$, $C\rightarrow a$, $D\rightarrow b$, $E\rightarrow c$. Entscheide mit dem CYK-Algorithmus, ob die Wörter $w_1=aaabbbcc$ oder $w_2=aaabbccc$ von $G'$ erzeugt werden.
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||||
\part Gebe für die Wörter aus b), die von $G'$ erzeugt werden, den Ableitungsbaum an.
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\end{parts}
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\question Kontextfreie Grammatiken: Sei $\sum=\{a,b,c,\}$
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\begin{parts}
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\part Sei $G$ die kontextfreie Grammatik mit Startsymbol S und der Regelmenge $S\rightarrow AB$, $A\rightarrow aBS|a$ und $B\rightarrow bBa|b|\epsilon$. Überführe G in eine äquivalente Grammatik in Chomsky Normalform.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Sei $G'$ die kontextfreie Grammatik mit Startsymbol $S$ und der Regelmenge $S\rightarrow AB$, $A\rightarrow CD|CF$, $F\rightarrow AD$, $B\rightarrow c|EB$, $C\rightarrow a$, $D\rightarrow b$, $E\rightarrow c$. Entscheide mit dem CYK-Algorithmus, ob die Wörter $w_1=aaabbbcc$ oder $w_2=aaabbccc$ von $G'$ erzeugt werden.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Gebe für die Wörter aus b), die von $G'$ erzeugt werden, den Ableitungsbaum an.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Definitionen der Berechnbarkeitstheorie. Verfollständige die Definitionen
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\begin{parts}
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\part Ein While Programm ist von der Form...
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\part Die von einer Turingmaschine $M$ akzeptierte Sprache ist $L(M)=...$
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\part Eine Sprache $L$ heißt rekursiv aufzählbar, falls ...
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\end{parts}
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\question Definitionen der Berechnbarkeitstheorie. Verfollständige die Definitionen
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\begin{parts}
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\part Ein While Programm ist von der Form...
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Die von einer Turingmaschine $M$ akzeptierte Sprache ist $L(M)=...$
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Eine Sprache $L$ heißt rekursiv aufzählbar, falls ...
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Sätze der Berechnbarkeitstheorie: Vervollständige die folgenden Aussagen
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\begin{parts}
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\part Sei $L\subseteq \sum^*$ eine Sprache. Sind $L$ und $\sum^*\backslash L$ semi-entscheidbar, dann...
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\part Der Satz von Rice lautet...
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\end{parts}
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\question Sätze der Berechnbarkeitstheorie: Vervollständige die folgenden Aussagen
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\begin{parts}
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\part Sei $L\subseteq \sum^*$ eine Sprache. Sind $L$ und $\sum^*\backslash L$ semi-entscheidbar, dann...
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Der Satz von Rice lautet...
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Berechnungsmodelle
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\begin{parts}
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\part Gebe ein Loop-Programm an, das die Funktion $n\rightarrow n^2-n$ berechnet
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\part Gebe eine deterministische Turingmaschine $M$ für das Eingabealphabet $\{0,1\}$ an, das folgende Funktion berechnet: Für Eingabe $a_1a_2...a_{n-1}a_n$ berechnet M die Ausgabe $a_na_1...a_{n-1}$ (letzte Symbol der Eingabe an erste Stelle).
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\end{parts}
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\question Berechnungsmodelle
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\begin{parts}
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\part Gebe ein Loop-Programm an, das die Funktion $n\rightarrow n^2-n$ berechnet
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Gebe eine deterministische Turingmaschine $M$ für das Eingabealphabet $\{0,1\}$ an, das folgende Funktion berechnet: Für Eingabe $a_1a_2...a_{n-1}a_n$ berechnet M die Ausgabe $a_na_1...a_{n-1}$ (letzte Symbol der Eingabe an erste Stelle).
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Reduktionen
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\begin{parts}
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\part Seien $A,L\subseteq \sum^*$ nichtleere Sprachen und A entscheidbar. Gebe eine Reduktion von $L\cup A$ auf $L$ an
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\part Gebe eine Bedingung für A an, sodass $L\cup A\leq_p L$ für alle nichtleeren Sprachen $L\subseteq \sum^*$ gilt. Begründe.
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\end{parts}
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\question Reduktionen
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\begin{parts}
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\part Seien $A,L\subseteq \sum^*$ nichtleere Sprachen und A entscheidbar. Gebe eine Reduktion von $L\cup A$ auf $L$ an.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part Gebe eine Bedingung für A an, sodass $L\cup A\leq_p L$ für alle nichtleeren Sprachen $L\subseteq \sum^*$ gilt. Begründe.
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question Komplexitätsklassen. Ergänze zu den Paaren von Komplexitätsklassen das Relationssymbol zur Teilmengenbeziehung.
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\begin{parts}
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\part EXPSPACE ? EXPTIME
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\part NP ? P
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\part NPSPACE ? EXPTIME
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\part NP ? NPSPACE
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\part NPSPACE ? PSPACE
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\end{parts}
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\question Komplexitätsklassen. Ergänze zu den Paaren von Komplexitätsklassen das Relationssymbol zur Teilmengenbeziehung.
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\begin{parts}
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\part EXPSPACE ? EXPTIME
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part NP ? P
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part NPSPACE ? EXPTIME
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part NP ? NPSPACE
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\part NPSPACE ? PSPACE
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question NP-vollständiges Problem: Gebe zwei NP-vollständige Probleme an (als Menge oder Eingabe-Frage-Paar).
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\question NP-vollständiges Problem: Gebe zwei NP-vollständige Probleme an (als Menge oder Eingabe-Frage-Paar).
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\begin{solution}
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\end{solution}
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\end{questions}
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\end{document}
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