diff --git a/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.pdf b/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.pdf index 3c024c3..2d60838 100644 Binary files a/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.pdf and b/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.pdf differ diff --git a/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.tex b/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.tex index 390e33f..cdc54e8 100644 --- a/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.tex +++ b/Automaten, Sprachen und Komplexität - Prüfungsvorbereitung.tex @@ -102,6 +102,11 @@ Dazu muss $l\in V$ und $r\in \sum V\cup {\epsilon}$. \end{solution} + \part Die Menge $Reg(\sum)$ der regulären Ausdrücke über dem Alphabet ist... + \begin{solution} + + \end{solution} + \part Ein NFA ist ein Tupel $M=(...)$ \begin{solution} ein nichtdeterministischer endlicher Automat $M$ ist ein 5-Tupel $M=(Z,\sum,S,\delta,E)$ mit @@ -114,11 +119,21 @@ \end{itemize} \end{solution} + \part Die von einem NFA $M=(Z,\sum,S,\delta, E)$ akzeptierte Sprache ist $L(M)=...$ (ohne Definition der Mehr-Schritt Übergangsfunktion $\delta$) + \begin{solution} + + \end{solution} + \part Die von einem PDA $M=(Z,\sum, \Gamma, \delta, z_0, \#)$ akzeptierten Sprache ist $L(M)=...$ \begin{solution} $L(M)=\{x\in\sum^* | \text{ es gibt } z\in Z \text{ mit } (z_0, x, \#) [...] ^*(z,\epsilon, \epsilon)\}$ \end{solution} + \part Sei $L$ eine Sprache. Für $x,y\in\sum^*$ gilt $xE_L y$ genau dann, wenn ... ($R_L$ ist die Myhill-Nerode-Äquivalenz zu L) + \begin{solution} + + \end{solution} + \part Sei $M=(Z,\sum,z_0,\delta, E)$ ein DFA. Die Zustände $z,z'\in Z$ heißen erkennungsäquivalent, wenn \begin{solution} Zwei Zustände $z,z'\in Z$ heißen erkennungsäquivalent ($z\equiv z'$) wenn für jedes Wort $w\in \sum^*$ gilt: $\hat{\sigma}(z,w)\in E \leftrightarrow \hat{\sigma}(z',w)\in E$. @@ -136,6 +151,26 @@ \end{enumerate} \end{solution} + \part Die Klasse der regulären Sprachen ist unter anderem abgeschlossen unter folgenden drei Operationen: + \begin{solution} + + \end{solution} + + \part Sei $\sum$ ein Alphabet. Die Anzahl der Grammatiken über $\sum$ ist ... und die Anzahl der Sprachen über $\sum$ ist ... . + \begin{solution} + + \end{solution} + + \part Unter anderem sind folgende (mind. drei) Probleme für kontextfreie Sprachen entscheidbar: + \begin{solution} + + \end{solution} + + \part Die Klasse der Kontextfreien Sprachen ist abgeschlossen unter den Operationen 1)... und 2)... . Sie ist aber nicht abgeschlossen unter 3)... und 4)... . + \begin{solution} + + \end{solution} + \part Der Satz von Myhill-Nerode besagt,... \begin{solution} Sei L eine Sprache. L ist regulär $\leftrightarrow index(R_L)< \infty$ (d.h. nur wenn die Myhill-Nerode-Äquivalenz endliche Klassen hat). @@ -157,6 +192,26 @@ \question Konstruktionen der Automatentheorie \begin{parts} + + \part Betrachte den folgenden NFA X. Berechne einen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$. + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto] + \node (q1) [state, initial, initial text = {}] {1}; + \node (q2) [state, above right = of q1] {2}; + \node (q3) [state, accepting, below right = of q2] {3}; + + \path [-stealth, thick] + (q1) edge node {a} (q2) + (q1) edge node {b} (q3) + (q1) edge [loop above] node {a}() + (q2) edge node {a} (q3) + (q2) edge [loop above] node {b}() + (q3) edge [bend left] node {a} (q2); + \end{tikzpicture} + \end{center} + \begin{solution} + \end{solution} + \part Betrachte den folgenden NFA X. Berechne einen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto] @@ -175,10 +230,10 @@ (q2) edge [loop above] node {b}(); \end{tikzpicture} \end{center} - \begin{solution} \end{solution} - \part Betrachte den folgenden DFA X (Bild wird noch erstellt). Berechne den minimalen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$. + + \part Betrachte den folgenden DFA X. Berechne den minimalen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto] \node (q1) [state, initial, initial text = {}] {1}; @@ -204,6 +259,35 @@ \end{center} \begin{solution} \end{solution} + + + \part Betrachte den folgenden DFA X. Berechne den minimalen DFA Y mit $L(X)=L(Y)$. + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[node distance = 3cm, on grid, auto] + \node (q1) [state, accepting, initial, initial text = {}] {1}; + \node (q2) [state, accepting, right = of q1] {2}; + \node (q3) [state, right = of q2] {3}; + \node (q4) [state, accepting, below = of q1] {4}; + \node (q5) [state, right = of q4] {5}; + \node (q6) [state, accepting, right = of q5] {6}; + + \path [-stealth, thick] + (q1) edge node {b} (q2) + (q1) edge node {a} (q5) + (q2) edge [loop above] node {b}() + (q2) edge node {a} (q3) + (q3) edge node {a} (q5) + (q3) edge node {b} (q6) + (q4) edge node {a} (q1) + (q4) edge node {b} (q5) + (q5) edge [bend left] node {a} (q3) + (q5) edge [bend left] node {b} (q4) + (q6) edge [bend left] node {a} (q2) + (q6) edge node {b} (q5); + \end{tikzpicture} + \end{center} + \begin{solution} + \end{solution} \end{parts} \question Algorithmen für reguläre Sprachen. Sei $\sum=\{a,b,c\}$. Gebe einen Algorithmus an, der bei Eingabe eines NFA X entscheidet, ob alle Wörter $\omega\in L(X)$ ungerade Länge besitzen und $abc$ als Infix enthalten. @@ -241,19 +325,42 @@ \part Ein While Programm ist von der Form... \begin{solution} \end{solution} + + \part Eine Turingmaschine ist ein 7-Tupel $M=(Z,\sum,\Gamma,\delta,z_0,\Box, E)$, wobei... + \begin{solution} + \end{solution} + \part Die von einer Turingmaschine $M$ akzeptierte Sprache ist $L(M)=...$ \begin{solution} \end{solution} + + \part Seien $A\supseteq \sum^*$ und B$\supseteq \Gamma^*$. Eine Reduktion von A auf B ist ... + \begin{solution} + \end{solution} + \part Eine Sprache $L$ heißt rekursiv aufzählbar, falls ... \begin{solution} \end{solution} + + \part Sei $f:N\rightarrow N$ eine monotone Funktion. Die Klasse $TIME(f)$ besteht aus allen Sprachen L, für die es eine Turingmaschine $M$ gibt mit ... + \begin{solution} + \end{solution} \end{parts} \question Sätze der Berechnbarkeitstheorie: Vervollständige die folgenden Aussagen \begin{parts} + \part Zu jeder Mehrband-Turingmaschine $M$ gibt es ... + \begin{solution} + \end{solution} + + \part Sei $f:N^k\rightarrow\mathbb{N}$ eine Funktion für ein $k\in\mathbb{N}$. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1) $f$ ist Turing-berechenbar, 2)..., 3)..., 4)... + \begin{solution} + \end{solution} + \part Sei $L\subseteq \sum^*$ eine Sprache. Sind $L$ und $\sum^*\backslash L$ semi-entscheidbar, dann... \begin{solution} \end{solution} + \part Der Satz von Rice lautet... \begin{solution} dass es unmöglich ist, eine beliebige nicht-triviale Eigenschaft der erzeugten Funktion einer Turing-Maschine (oder eines Algorithmus in einem anderen Berechenbarkeitsmodell) algorithmisch zu entscheiden. @@ -269,6 +376,15 @@ \part Gebe ein Loop-Programm an, das die Funktion $n\rightarrow n^2-n$ berechnet \begin{solution} \end{solution} + + \part Gebe ein Loop Programm an, das die Funktion $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ mit $f(n_1,n_2)=2n_1n_2$ berechnet. Verwende nur elementare Anweisungen und keine Abkürzungen. + \begin{solution} + \end{solution} + + \part Gebe ein GoTo Programm an, das die Funktion $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ mit $g(n_1,n_2)=|n_1-n_2|$ berechnet. Verwende nur elementare Anweisungen und keine Abkürzungen. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Gebe eine deterministische Turingmaschine $M$ für das Eingabealphabet $\{0,1\}$ an, das folgende Funktion berechnet: Für Eingabe $a_1a_2...a_{n-1}a_n$ berechnet M die Ausgabe $a_na_1...a_{n-1}$ (letzte Symbol der Eingabe an erste Stelle). \begin{solution} \end{solution} @@ -304,6 +420,10 @@ \end{solution} \end{parts} + \question Unentscheidbare Probleme: Gebe (mind vier) unterscheidbare Probleme an (als Menge oder als Eingabe-Frage-Paar). + \begin{solution} + \end{solution} + \question NP-vollständiges Problem: Gebe (mind. zwei) NP-vollständige Probleme an (als Menge oder Eingabe-Frage-Paar). \begin{solution} @@ -315,5 +435,16 @@ \end{solution} + + \question Polynomialzeitreduktion: Betrachte das Problem 4C, also die Menge der ungerichteten Graphen die sich mit vier Farben färben lassen. + \begin{parts} + \part Gebe eine Polynomialzeitreduktion von 3C auf 4C an. + \begin{solution} + \end{solution} + + \part Zeige, dass wenn $4C\in P$, dann gilt $P=NP$. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} \end{questions} \end{document} \ No newline at end of file