Grundlagen und Diskrete Strukturen added

Grundlagen und Diskrete Strukturen.md

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+title: Grundlagen und diskrete Strukturen
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+# Aussagen
+Aussagen sind Sätze die wahr oder falsch sind, d.h. der Wahrheitswert ist wahr oder falsch.
+> "5 ist prim" -> Aussage, wahr \
+> "dieser Satz ist falsch" -> keine Aussage
+
+Für keine natürliche Zahl n>3 ist die Gleichung x^n+y^n=z^n in positiven ganzen Zahl lösbar ~ Fermatsche Ex-Vermutung
+
+## Verknüpfungen von Aussagen
+Seien p und q Aussagen, dass sind folgende Sätze auch Aussagen
+- $p \wedge q$ "und"
+- $p \vee q$ "oder"
+- $\neg p$ "nicht"
+- $p \rightarrow q$ "impliziert"
+- $p \leftrightarrow q$ "genau dann wenn"
+
+Der Wahrheitswert dieser Verknüpfung ergibt sich aus den Wahrheitswerten p,q wie folgt
+| p | q | $p\wedge q$ | $p\vee q$ | $\neg q$ | $p\rightarrow q$ | $p\leftrightarrow q$ |
+| -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
+| f | f | f | f | w | w | w |
+| f | w | f | w | w | w | f |
+| w | f | f | w | f | f | f |
+| w | w | w | w | f | w | w |
+
+Aussagenlogische Variablen: Variable die den Wert w oder f annimmt
+
+Aussagenlogische Formel: Verknüpfung aussagenloser Variablen nach obrigen Muster
+
+Belegung: Zuordnung von w/f an jede Variable einer aussagenlogischer Formel
+
+Wahrheitswerteverlauf: Wahrheitswert der Aussagenformel in Abhängigkeit von der Belegung der Variable
+
+Tautologie: Formel deren Wahrheitswerteverlauf konstant w ist
+
+Kontradiktion: Formel deren Wahrheitswerteverlauf konstant f ist
+
+Kontraposition: $(p\rightarrow q)\leftrightarrow (\neg q \rightarrow p)$ ist eine Tautologie
+Modus Potens: $(p\vee (p\rightarrow q))\rightarrow q$ ist eine Tautologie
+
+Äquivalenz: Zwei Formeln p,q sind äquivalent (bzw logisch äquivalent) wenn $p\leftrightarrow$ Tautologie ist. Man schreibt $p \equiv q$
+
+Die Formel p impliziert die Formel q, wenn $p\rightarrow q$ eine Tautologie ist
+
+## Regeln
+- $p\wedge q \equiv q \wedge p$ (Kommutativ)
+- $p\vee q \equiv q \vee p$ (Kommutativ)
+- $p\wedge (q \wedge r) \equiv (p \wedge q) \wedge r$ (Assoziativ)
+- $p\vee ( q \vee r) \equiv (p \vee q) \vee$ (Assoziativ)
+- $p\wedge (q\vee r) \equiv (p\wedge q) \vee (p\wedge r)$ (Distributiv)
+- $p\vee (q\wedge r) \equiv (p\vee q) \wedge (p\vee r)$ (Distributiv)
+- $\neg(\neg q) \equiv q$ (Doppelte Verneinung)
+- $\neg(p\wedge q) \equiv (\neg p) \wedge (\neg q)$ (de Morgansche)
+
+Aussagenform über den Universen $U_1,...,U_n$: Satz mit Variablen $x_1,...,x_n$ der bei Ersetzung jedes x durch ein Objekt am $U_j$ stets zu einer Aussage wird.
+Variablen können mehrfach auftreten, werden aber jeweils durch das gleiche Objekt (aus $U_j$) ersetzt.
+- "x ist prim" ist eine Aussagenform über dem Universum $\N$ der natürlichen Zahlen
+- "$x<y$" ist eine Aussagenform über dem Universum $\R$ der reellen Zahlen
+- "x ist wahr" ist eine Aussagenform über dem Universum der Aussagen
+- "x ist falsch" ist keine Aussagenform über dem Universum aller Sätze
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+Aussagenformen in einer Variable x aus dem Universum U heißen Prädikate von U. 
+Aussagenformen in n Variablen $x_1,...,x_n$ aus dem Universum U heißen "n-stellige Prädikate" von U.
+Nach Ersetzung von x im 2-stelligen Prädikat "$x<y$" etwa durch "17" entsteht das 1-stellige Prädikat "$17<y$".
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+Sei p(x) ein Prädikat über dem Universum U (z.B. p(x) ist "x ist prim")
+- "$\forall x:p(x)$": ist die Aussage "für alle x aus U ist p(x) wahr"
+- "$\exists x:p(x)$": ist die Aussage "es gibt ein x aus U für das p(x) wahr ist"
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+Leeres Universum U (U enthält keine Objekte)
+- "$\forall x:p(x)$": ist wahr (für jedes Prädikat)
+- "$\exists x:p(x)$": ist falsch (für jedes Prädikat)
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+Endliches Universum U, etwa aus Objekte $a_1,...,a_n$
+- "$\forall x:p(x)$": bedeutet $p(a_1)\wedge p(a_2) \wedge ... \wedge p(a_n)$ ist wahr/falsch
+- "$\exists x:p(x)$": bedeutet $p(a_1)\vee p(a_2) \vee .. \vee p(a_n)$ ist wahr/falsch
+
+Regeln: Seien p,q Prädikate über U
+- $(\forall x: (p(x) \wedge q(x)))\leftrightarrow (\forall x: p(x) \wedge \forall x: q(x))$
+- $\exists x: (p(x) \vee q(x)) \leftrightarrow (\exists x: p(x) \vee \exists x: q(x))$
+- $\neg (\forall x:p(x))\leftrightarrow \exists x: \neg p(x)$
+- $\neg(\exists x:p(x))\leftrightarrow \forall x:\neg p(x)$
+Schachtelung von Quantoren ($\forall, \exists)$. Sei $p(x,y)$ 2-stelliges Prädikat über$U_1, U_2$: $\forall x: \exists y:p(x,y)$. Achtung: Verschiedenartige Quantoren dürfen nicht getauscht werden! gleichartige Quantoren dürfen getauscht werden
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+Negation: $\neg (\forall x \forall y \exists z \forall w \exists v: p(x,y,z)\rightarrow q(w,v)$
+$\exists x \exists y \forall z \exists w \forall v: \neg (p(x,y,z)\rightarrow q(w,v))$
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+# Mengen
+> Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens. (Cantor)
+Von jedem Objekt steht fest, ob es zur Menge gehört oder nicht.
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+Bsp: ${M,A,T,H,E,M,A,T,I,K} \approx {M,A,T,H,E,I,K}:$ Mengen der Buchstaben des Wortes Mathematik
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+## Probleme der naiven Mathematik
+### Wunsch 1
+"$x\in y$" soll Aussagenform über dem Universum U aller Mengen sein. D.h. für je zwei Mengen x und y ist entweder x ein Element von y oder nciht. D.h. "$x\in y$" ist ein 2-stelliges Prädikat über U.
+### Wunsch 2
+Ist p(x) ein Prädikat über U, so soll es eine Menge geben, die aus genau denjenigen Mengen x besteht, für die p(x) wahr ist. Bezeichnung ${x:p(x)$ ist wahr $}$.
+Danach gäbe es eine Menge M, die aus genau denjenigen Mengen x mit $x\not \in x$ besteht: $M={x:x\not \in x}$.
+D.h. Wunsch 1 und 2 führen zu einem Widerspruch in der Mengenlehre!\
+Lösung: Aussonderung nur an bereits "gesicherten" Mengen\
+#### Wunsch 2':
+Ist A eine Menge und p(x) ein Prädikat über U, dann gilt es eine Menge B die aus genau denjenigen Mengen x aus A besteht, für die p(x) wahr ist. Bezeichnung: $B={x\in A:p(x) wahr}$.
+Folgerung: die Gesamtheit aller Mengen ist selbst keine Menge, sonst findet man einen Widerspruch wie oben.
+
+### Wunsch 3
+Zwei Mengen x,y sind genau dann gleich wenn sie diesselben Elemente enthalten. D.h. $x=y: \leftrightarrow \forall z:(z\in x \leftrightarrow z\in y)$. Somit gilt für zwei Prädikate p(x), q(x) über U und jede Menge A: ${x\in A: p(x) wahr} = {x\in A: q(x) wahr}$ genau dann, wen q(x), p(x) den gleichen Wahrheitswert für jedes x aus A haben.
+
+### Wunsch 0
+Es gibt eine Menge. Ist A irgendeine Menge, so ist ${x \in A: \neg (x=x)}$ eine Menge ohne Elemente, die sogenannte leere Menge $\varemtpy$.
+
+### Wunsch 4
+Zu jeder Menge A gibt es eine Menge B, die aus genau denjenigen Mengen besteht, die Teilmengen von A sind. Dabei ist x eine Teilmenge von $y: \leftrightarrow \forall z:(z\in x \rightarrow z \in y) [x \subseteq y]$\
+$B={x:x\subseteq A}=\wp(A)$ B heißt Potentmenge von A\
+Bsp: $\wp({1,2,3}) = {\varempty, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3})$ (Daraus lässt sich ein Hesse-Diagramm zeichnen).
+
+## Teilmengen
+A Teilmenge von B $\leftrightarrow \forall x: (x\in A \rightarrow x \in B):\Rightarrow A\subseteq B$\
+A Obermenge von B $\leftrightarrow \forall x: (x\in B \rightarrow x \in A):\Rightarrow A\supseteq B$\
+Folglich $A=B \leftrightarrow A\subseteq B \wedge B\subseteq A$\
+Schnittmenge von A und B: $A\cap B = {x: x\in A \wedge x\in B}$\
+Vereinigungsmenge von A und B: $A\cup B = {x: x\in A \vee x\in B}$
+
+Sei eine Menge (von Mengen) dann gibt es eine Menge die aus genau den Mengen besteht, die in jeder Menge von A enthalten sind (außer $A=\varemtpy$).
+Ebenso gibt es Mengen die aus genau den Mengen besteht, die in wenigstens einer Menge aus A liegen. Die Existenz dieser Menge wird axiomatisch gefordert in ZFC:$ UA = {x: \exists z \in A: x \in z}$\
+
+Seien A,B Mengen, dann sei $A/B:={x\in A: x\not \in B } = A\bigtriangleup B$\
+De Moorgansche Regel: $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ und $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$\
+Das geordnete Paar (x,y) von Mengen x,y ist definiert durch ${{x},{x,y}}:={x,y}$\
+A und B Mengen: $A x B:={(x,y):x\in A \wedge y \in B}$
+
+# Relationen
+$A={Peter, Paul, Marry}$ und $B={C++, Basic, Lisp}: $R\subseteq AxB$, etwa {(Peter,c++),(Paul, C++), (Marry,Lisp)}. Seien A,B Mengen: Eine Relation von A nach B ist eine Teilmenge R von AxB.\
+$(x,y)\in R:$ x steht in einer Relation R zu y; auch xRy\
+Ist A=B, so heißt R auch binäre Relation auf A
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+## binäre Relation
+1. Allrelation $R:=AxA \subseteq AxA$
+2. Nullrelation $R:=\varemtpy \subseteq AxA$
+3. Gleichheitsrelation $R:={(x,y)... x=y}
+4. $A=R$ $R:={(x,y)\in \R x \R, x \leq y}$
+5. $A=\Z$ $R:={(x,y)\in \Z x \Z:$ x ist Teiler von y $}$ kurz: x|y
+
+## Eigenschaften von Relationen
+Sei $R\in AxA$ binäre Relation auf A
+1. Reflexiv $\leftrightarrow$ xRx $\forall x \in A$
+2. Symetrisch $\leftrightarrow xRy \rightarrow yRx$
+3. Antisymetrisch $\leftrightarrow xRy \wedge yRx \rightarrow x=y$
+4. Transitiv $\leftrightarrow xRy \wedge yRz \rightarrow xRz$
+5. totale Relation $\leftrightarrow xRy \vee yRx  \forall x,y \in A$
+
+- R heißt Äquivalenzrelation $\leftrightarrow$ R reflexiv, symetrisch und transitiv
+- R heißt Ordnung $\leftrightarrow$ R reflexiv, antisymetrisch und transitiv
+- R heißt Totalordnung \$leftrightarrow$ R Ordnung und total
+- R heißt Quasiordnung $\leftrightarrow$ R reflexiv und transitiv

README.md

@@ -5,6 +5,7 @@ Unterlagen zu Informatik Vorlesungen der TU Ilmenau
 bisher:
 - [Algorithmen und Datenstrukturen](Algorithmen%20und%20Datenstrukturen.md)
 - [Einführung in die Medizinische Informatik](Einführung%20in%20die%20Medizinische%20Informatik.md)
+- [Grundlagen und Diskrete Strukturen](Grundlagen%20und%20Diskrete%20Strukturen.md)
 - [Neurobiologische Informationsverarbeitung](Neurobiologische%20Informationsverarbeitung.md)
 - [Neuroinformatik](Neuroinformatik.md)
 - [Programmierparadigmen](Programmierparadigmen.md)
@@ -12,7 +13,7 @@ bisher:
 - [Telematik 1](Telematik%201.md)
   - [Telematik Cheatsheet](Telematik1-cheatsheet.pdf)
 
-Keine Garantie auf Vollständigkeit! Hilf uns noch weitere Fächer abzudecken. Schreib den Admin an oder erstelle einen Request.
+Keine Garantie auf Vollständigkeit/Korrektheit! Hilf uns Fehler zu korrigieren und noch weitere Fächer abzudecken.
 
 ## Verwendung
 Alle Dokumente werden in Markdown (bevorzugt) oder LaTex geschrieben. Bilder etc erhalten einen eigenen Ordner "Assets". Bei Fragen zu Markdown könnt ihr Google fragen, Cheatsheets lesen (da steht meistens alles drauf) oder im Notfall den Admin fragen.
@@ -20,8 +21,8 @@ Dieses Repo ist zum Selbststudium und erlernen neuen Wissens gedacht. Kein Inhal
 Wir freuen uns über jeden der mitmacht.
 
 ## Bild- und Textrechte
-Der Inhalt aller Dokumente hier ist die (zT gemeinsame) Mitschrift aus besuchten Vorlesungen. Es werden keine Bücher kopiert oder andersweitig Copyright verletzt. Die Verletzung des Copyright oder anderer Rechte Dritte wird mit einem Ausschluss aus dem Repository gehandelt. Sollte Ihnen ein Verstoß auffallen geben Sie uns bitte umgehend bescheid, wir werden jedem Fall nachgehen.
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 ## Lizenz
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