übung 6

Automaten, Sprachen und Komplexität - Übung.tex

@@ -423,32 +423,139 @@ Geben Sie ein Verfahren an, welches das Universalitätsproblem löst. Begründen
 \section{Übung 05}
 %##########################################
 \subsection{Aufgabe 1}
+\textit{Entscheiden Sie für jede der folgenden Sprachen, ob sie regulär oder kontextfrei und nicht regulär ist. Geben sie dafür eine rechtslineare Grammatik an oder geben Sie eine kontextfreie Grammatik an und zeigen Sie, dass die Sprache nicht regulär ist.}
+
+\textit{(a) $L_a = \{w\in\{a, b, c\}^* | |w|_a \text{ ist gerade oder } |w|_c \geq 1\}$}
+
+\textit{(b) $L_b = \{uv | u, v \in\{a, b, c\}^* \text{ und } |u|_a > |v|_b \}$ }
+
+\textit{(c) $L_c = \{a^l ba^m ba^n | l = m \text{ oder } l = n\}$ }
+
+\textit{(d) $L_d = \{r \in\{a, b, \lambda,\varnothingœ, +, ·, * , (, )}^* | \text{ r ist ein regulärer Ausdruck über }\sum\}$ }
+
+\textit{(e) $L_e = \{r \in L_d | \epsilon\in L(r)\}$ }
+
+
 
 %##########################################
 \subsection{Aufgabe 2}
+\textit{Konstruieren Sie zu zwei kontextfreien Grammatiken $G_1 = (V_1 , \sum, P_1 , S_1 )$ und $G_2 = (V_2 , \sum, P_2 , S_2 )$}
+
+\textit{(a) eine kontextfreie Grammatik $G_{\cup}$ mit $L(G_{\cup}) = L(G_1) \cup L(G_2)$.}
+
+\textit{(b) eine kontextfreie Grammatik $G_{\circ}$ mit $L(G_{\circ}) = L(G_1 ) * L(G_2)$ }.
+
+\textit{(c) eine kontextfreie Grammatik $G_*$ mit $L(G_*) = L(G_1)^*$}
+
+\textit{Hinweis: Sie müssen die Korrektheit Ihrer Konstruktionen nicht beweisen.}
 
 
 %##########################################
 \subsection{Aufgabe 3}
+\textit{Wir betrachten die Spiegelung einer Sprache wie in Übung 2, Aufgabe 8. Zeigen Sie, dass die Klasse der kontext-freien Sprachen unter Spiegelung abgeschlossen ist.}
 
 
 
+%##########################################
+\subsection{Aufgabe 4}
+\textit{Betrachten Sie diejenige kontextfreie Grammatik G über $\sum = \{a, b\}$ mit Startvariable $S$, die folgenden Ableitungsbaum $T$ ermöglicht und nicht mehr Produktionen enthält, als für $T$ notwendig sind.}
+\includegraphics{Assets/ASK_uebung/u06_01.png}
+\textit{(a) Geben Sie das Blattwort $\alpha(T)$ von $T$ an und ermitteln Sie weiterhin die Variablen und Produktionen der Grammatik G.}
+
+
+\textit{(b) Konstruieren Sie die zu $T$ gehörige Links- und Rechtsableitung. Geben Sie eine weitere zu $T$ gehörige Ableitung an, die weder Links- noch Rechtsableitung ist.}
+
+
+\textit{(c) Geben Sie einen von $T$ verschiedenen S-Ableitungsbaum für das Wort $\alpha(T)$ an. Ist die Grammatik G mehrdeutig?}
+
+
+\textit{(d) Beschreiben Sie die von G erzeugte Sprache und geben Sie eine eindeutige Grammatik $G_0$ mit $L(G_0) = L(G)$ an.}
+
+%##########################################
+\subsection{Aufgabe 5}
+\textit{Betrachten Sie die nachstehende Grammatik $G$ mit Startsymbol $S$:\\
+$S\rightarrow BA | a$, $A\rightarrow BS | \epsilon$, $B\rightarrow bBaB | b$}
+
+\textit{(a) Überführen Sie G in eine äquivalente Grammatik $G_0$ in Chomsky-Normalform.}
+
+\textit{(b) Entscheiden Sie mithilfe des CYK-Algorithmus, welche der Wörter $w_1 = bbbaba$ und $w_2 = bbaab$ von Ihrer in (a) berechneten Grammatik erzeugt werden.}
+
+\textit{(c) Geben Sie für diejenigen Wörter aus Aufgabe (b), die von der Grammatik G erzeugt werden, jeweils einen Ableitungsbaum und eine Linksableitung an.}
+
+
 
 \newpage
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Übung 06}
 %##########################################
 \subsection{Aufgabe 1}
+\textit{Wir betrachten die kontextfreie Grammatik $G$ mit Startvariable $S$ und den folgenden Produktionen:\\
+$S\rightarrow ABC$, $A\rightarrow aA |\epsilon$, $B\rightarrow aDb | D$, $C \rightarrow bC | aC | \epsilon$, $D \rightarrow bDa | ba$\\
+Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben:}
+
+\textit{(a) Geben Sie eine kurze Beschreibung von $L(G)$ an.}
+
+\textit{(b) Geben Sie je eine Linksableitung für abab, babaa und abbaab an.}
+
+\textit{(c) Zeigen Sie, dass G eine mehrdeutige Grammatik ist.}
+
+\textit{(d) Zeigen Sie nun, dass $L(G)$ nicht inhärent mehrdeutig ist. Geben Sie also eine eindeutige kontextfreie Grammatik $G_0$ mit $L(G_0) = L(G)$ an. Sie müssen nicht zeigen, dass $G_0$ eindeutig ist.}
 
 %##########################################
 \subsection{Aufgabe 2}
+\textit{Betrachten Sie die kontextfreie Grammatik G mit Startsymbol S und den nachstehenden Produktionen:\\
+$S\rightarrow Z | (S + S) | (S ∗ S)$, $Z\rightarrow Q | PY$, $Y\rightarrow Q | YY | epsilon$, 
+$Q\rightarrow 0 | P$, $P\rightarrow 1$\\
+Bearbeiten Sie folgende Teilaufgaben:}
+
+\textit{(a) Geben Sie eine Ableitung des Wortes $w = (100 + 1)$ in G an und geben Sie eine kurze, aber präzise Beschreibung von $L(G)$ an.}
+
+\textit{(b) Überführen Sie G mit dem Verfahren aus der Vorlesung in eine äquivalente Grammatik $G_0$ in Chomsky-Normalform.}
+
+\textit{(c) Geben Sie eine Ableitung des Wortes w in $G_0$ an.}
 
 
 %##########################################
 \subsection{Aufgabe 3}
+\textit{Gegeben sei die kontextfreie Grammatik G in Chomsky-Normalform mit dem Startsymbol S und den Regeln\\
+$S \rightarrow AB | CC$, $A \rightarrow BA | a$, $B \rightarrow AC | b$, $C \rightarrow CC | c$\\
+Überprüfen Sie mithilfe des CYK-Algorithmus, folgende Wörter. Geben Sie für jedes dieser beiden Wörter, welches in $L(G)$ enthalten ist, je eine Ableitung und einen Ableitungsbaum des Wortes an.}
+
+\textit{(a) $aacc \in L(G)$.}
+
+\textit{(b) $bacca \in L(G)$. }
 
 
 
+%##########################################
+\subsection{Aufgabe 4}
+\textit{Wir betrachten den PDA M mit folgender grafischen Darstellung mit Kellerinitialisierungszeichen $\#$:}
+\includegraphics{Assets/ASK_uebung/u06_02.png}
+
+\textit{(a) Gilt $aabb \in L(M)$? Gilt $aabbbb \in L(M)$?}
+
+\textit{(b) Geben Sie eine einfache, aber präzise Beschreibung von $L(M)$ an.}
+
+%##########################################
+\subsection{Aufgabe 5}
+\textit{Sei $L = \{a^n ba^{2n} | n\in\mathbb{N}\}$.}
+
+\textit{(a) Geben Sie einen PDA $M_1$ an mit $L(M_1) = L$.}
+
+\textit{(b) Geben Sie einen PDA $M_2$ mit genau einem Zustand an mit $L(M_2) = L$.}
+
+
+%##########################################
+\subsection{Aufgabe 6}
+\textit{Sei G die kontextfreie Grammatik mit Startvariable A 1 und den folgenden Produktionen. Konstruieren Sie mithilfe des Verfahrens aus der Vorlesung eine Grammatik $G_0$ in Greibach-Normalform mit $L(G_0) = L(G)$.\\
+$A_1\rightarrow 0 | A_2 A_2$, $A_2 \rightarrow 1 | A_1 A_1$}
+
+
+%##########################################
+\subsection{Aufgabe 7}
+\textit{Wenden Sie das in der Vorlesung vorgestellte Verfahren an, um zu entscheiden, ob die beiden dargestellten DFAs $M_1$ und $M_2$ die gleiche Sprache akzeptieren.}
+\includegraphics{Assets/ASK_uebung/u06_03.png}
+
 
 \newpage
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%