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Automaten, Sprachen und Komplexität.md

@@ -372,3 +372,89 @@ Sei $L\subseteq \sum^*$ eine Sprache, dann sind äquivalent
 - Reguläre Ausdrücke
   - erlauben kompakte Darstellung in Textform
 
+## Nicht-Reguläre Sprachen
+ist vielleicht jede Sprache regulär? Zeige für jede Alphabet $\sum$
+1. es gibt nur abzählbar unendlich viele Sprachen über $\sum$, die Sprache einer Grammatik sind
+2. Es gibt überabzählbar viele Sprachen über $\sum$
+
+> Lemma: Für jedes Alphabet $\sum$ ist die Menge ${L(G) | \text{G Grammatik über} \sum}$ abzählbar unendlich.
+
+$|P(\sum^*)\cap RE|=|RE|=|\N|$
+
+> Satz: Für jedes Alphabet $\sum$ ist die Menge $P(\sum^*)={L|L \text{Sprache über} \sum}$ überabzählbar, d.h. es gibt keine bijektive Funktion $F:\N \rightarrow P(\sum^*)$.
+
+Beweis: Indirekt "Diagonalisierung"
+
+> Korollar: Für jedes Alphabet $\sum$ existiert eine Sprache L über $\sum$, die von keiner Grammatik G erzeugt wird.
+
+### Konkrete nicht-reguläre Sprachen
+Um zu zeigen, dass eine konkrete Sprache L regulär ist, kann man
+- einen NFA M angeben mit $L(M)=L$, oder
+- eine rechtslineare Grammatik G angeben mit $L(G)=L$, oder
+- einen regulären Ausdruck $\gamma$ angeben mit $L(\gamma)=L$, oder
+- zeigen, dass $L=L_1 \cap L_2$ ist und $L_1$ und $L_2$ regulär sind, oder
+- ...
+
+### Pumping Lemma (auswendig lernen!)
+Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann gibt es $n\leq 1$ derart, dass für alle $x\in L$ mit $|x|\geq n$ gilt: es gibt Wörter $u,v,w \in \sum^*$ mit:
+1. $x=uvw$
+2. $|uv|\leq n$
+3. $|v|\geq 1$
+4. $uv^i w\in L$ für alle $i\geq 0$
+
+Dieses Lemma spricht nicht über Automaten, sondern nur über die Eigenschaften der Sprache.
+
+### Myhill-Nerode Äquivalenz
+[...]
+
+Der Index $index(R)$ von R ist die Anzahl der Äquivalenzklassen von R.
+
+> Satz von Myhill-Nerode: Sei L eine Sprache. L ist regulär $\leftrightarrow index(R_L)< \infty$
+(d.h. nur wenn die Myhill-Nerode-Äquivalenz endliche Klassen hat)
+
+Beweis:
+- "$Rightarrow$": Sei L regulär -> es gibt DFA M mit $L(M)=L$;
+- "$Leftarrow$": sei $index(R_L)< \infty$;
+
+## Minimalautomat
+Es gibt bekanntlich sehr verschiedene endliche Beschreibungen einer regulären Sprache. Diese können ineinander übersetzt werden aber eine einzelne Sprache kann auch durch verschiedene DFAs dargestellt werden.
+
+Gibt es einen "besten DFA" bzw was macht einen Automaten besser? D.h. gibt es einen DFA mit möglichst wenig Zuständen?
+
+> Definition: Ein DFA M heißt reduziert, wenn es für jeden Zustand $z \in Z$ ein Wort $x_z\in \sum^*$ gibt mit $\hat{\sigma}(l, x_z)=z$
+
+Wenn in einem DFA M aus Startzustand X und Y dieselben Sprachen akzeptiert werden, heißen diese "erkennungsäquivalent" und werden "verschmolzen" (es entsteht M'). M und M' akzeptieren diesselbe Sprache. Sind keine Zustände mehr erkennungsäquivalent können keine weiteren verschmolzen werden und es gibt keinen DFA der mit weniger Zuständen L(M) akzeptiert
+
+> Definition: Sei M ein DFA. Zwei Zustände $z,z'\in Z$ heißen erkennungsäquivalent (in Zeichen $z\equiv z'$) wenn für jedes Wort $w\in \sum^*$ gilt: $\hat{\sigma}(z,w)\in E \leftrightarrow \hat{\sigma}(z',w)\in E$
+
+> Lemma: Sei M ein DFA, $z,z'\in Z$ und $a\in \sum$:
+> - $\equiv$ ist eine Äquivalenzrelation auf Z
+> - $z\equiv z'$ impliziert $(z\in E \leftrightarrow z'\in E)$
+> - $z\equiv z'$ impliziert $\hat{\sigma}(z,a)\equiv \sigma(z',a)$
+
+> Definition: Sei M ein DFA. Dann ist $M'=(Z\/_{\equiv},\sum, [z_0],\sigma', E')$ mit
+> - $\sigma'([z],a)=[\sigma (z,a)]$ für $z\in Z$ und $a\in \sum$ und
+> - $E'=\{[z]|z\in E\}
+> der Quotient von M bzgl $\equiv$
+(es wird nicht mehr jeder einzelne Fall betrachtet sondern "ganze Gruppen"; Bsp Sitz->Reihe)
+
+> Lemma: Ist M ein DFA und M' sein Quotient bzgl. $\equiv$, so ist M' ein DFA mit $L(M)=L(M')$
+
+Es bleibt zu zeigen, dass $\sigma'$ wohldefiniert ist $\rightarrow z\equiv z' \rightarrow \sigma (z,a)\equiv \sigma (z',a) \rightarrow [\sigma (z,a)]=[\sigma (z',a)]$. Also ist M' tatsächlich ein DFA.
+
+> Definition: Seien $M_i$ DFAs und $f:Z_1 \rightarrow Z_2$ eine Funktion. Dann ist f ein Homomorphismus von $M_1$ auf $M_2$, falls gilt:
+> - $f(l_1)=l_2$
+> - $f(\sigma_1(z,a))=\sigma_2(f(z),a)$ für alle $z\in Z_1$ und $a\in \sum$
+> - $z\in E_1 \leftrightarrow f(z)\in E_2$ für alle $z\in Z_1$ (bildet Endzustände aufeinander ab)
+
+> Satz: Seien $M_i$ reduzierte DFAs mit $L(M_1)=L(M_2)$. Sei weiter $M_2'$ der Quotient von $M_2$ bzgl $\equiv$. Dann existiert ein surjektiver Homomorphismus von $M_1$ auf $M_2'$
+
+- die Abbildung f ist surjektiv (auf $M_2$). Und damit ist $M_2 < M_1$
+- die Abbildung f ist ein Homomorphismus
+
+> Satz: Seien $M_1$ und $M_2$ reduzierte DFAs mit $L(M_1)=L(M_2)$. Sei $M_1'$ der Quotient von M bzgl $\equiv$
+> - $M_2$ hat wenigstens so viele Zustände wie $M_1'$
+> - Hat $M_2$ genauso viele Zustände wie $M_1'$, so sind $M_2$ und $M_1'$ bis auf Umbennenung der Zustände identisch (sie sind Isomorph)
+
+> Folgerung: Seien $M_1$ und $M_2$ reduzierte DFAs mit $L(M_1)=L(M_2)$. Seien $M_1'$ und $M_2'$ die Quotienten bzgl $\equiv$. Dann sind $M_1'$ und $M_2'$ isomorph, d.h. für jede reguläre Sprache gibt es (bis auf Umbenennung der Zustände) genau einen minimalen DFA
+

Softwaretechnik 1.md

@@ -4,3 +4,123 @@ date: Wintersemester 20/21
 author: Robert Jeutter
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+> Software: Menge von Programmen oder Daten zusammen mit begleitenden Dokumenten, die für Ihre Anwendung notwendig oder hilfreich sind [Hesse]
+
+Gute Software ist schwer herzustellen
+- Entspricht Kundenwünsche, Vollständigkeit
+- Funktioniert Korrekt
+- Kosten- und Termintreue bei der Erstellung
+- weitere nicht-funktionale Qualitätsforderungen
+  - Benutzerfreundlichkeit, Ergonomie
+  - Sicherheit
+  - Zuverlässigkeit, Fehlertoleranz
+  - Performanz
+  - Ressourcen-Effizienz, Skalierbarkeit, Übertragbarkeit
+  - Wartbarkeit, Änder- und Erweiterbarkeit
+
+Softwaretechnik
+- Technische Disziplin der Software Herstellung
+- Zielorientierte Bereitstellung uns systematische Verwendung von Prinzipien, Methoden und Werkzeugen für die arbeitsteilige, ingenieurmäßige Entwicklung und Anwendung von umfangreichen Softwaresystemen [Balzert]
+
+Wie kann man Software besser entwickeln?
+- Ingenieursmäßige Herangehensweise
+  - Verwendung bekannter Prinzipien und Methoden
+  - Systematische Vorgehensweise
+- Verwendung von: 
+  - Abstraktion, Modelle, Notation, Simulation
+  - Wiederverwendung:Muster, Komponenten, Framework
+- Organisation
+  - Arbeitsteilung, Integration, Planung
+- Verwendung von Werkzeugen
+  - IDE (Integrated Development Environment)
+  - Versionierung, Bugtracker, Modellierungswerkzeug
+
+# Modellierungskonzepte
+> Modell: ist eine Abstraktion eines Systems mit der Zielsetzung, das Nachdenken über ein System zu vereinfachen, indem irrelevante Details ausgelassen werden [Brügge]
+$\rightarrow$ Beschreibung eines Ausschnitts der Realität
+
+- erstellen einer Abstraktion
+- abbilden signifikanter Eigenschaften
+- Deskriptiv/präskriptiv (real oder geplant)
+- Sichtweise auf ein System (Struktur, Verhalten, Zustand,...)
+- heißt Weglassen
+- setzt Verstehen voraus
+- ist nicht automatisierbar
+
+Verschiedene Modelle:
+- Analysemodell
+- Entwurfsmodell
+- Implementierung (-smodell)
+- Vorgehensmodell
+- Produktmodell
+- Dokumentation, Alternativen-Auswahl
+
+Modelle für:
+- Sichten
+- Funktionen
+- Daten
+- Algorithmen
+- Systemumgebung
+- Dynamisches Verhalten
+- Objektorientierte Modelle
+
+## Klassische Modelle
+- Funktionen: 
+  - Funktionsbaum
+    - Hierarchische Dekomosition der Fkt
+    - nummerieren der Ebenen/Funktionen möglich
+    - Bsp: Abonnement Verwaltung
+  - Blockschaltbild
+    - eingebettetes System, HW/SW
+- Daten
+  - Data Dictionary
+    - Verzeichnis von Daten mit Strukturinformationen
+    - Backus-Naur-Form, kontextfreie Grammatik
+  - Entity Relationship Diagram
+    - Daten und ihre Beziehungen
+- Systemumgebung
+  - Datenflussdiagramm
+    - Fluss und Transformation von Daten zwischen Funktionen, Speichern und Schnittstellen
+    - kein Kontrollfluss
+- Algorithmen
+  - Entscheidungstabelle
+    - Regelbasierte Beschreibung
+    - Bedingung
+    - Aktionen
+    - Reduktionsregeln
+  - Pseudocode
+    - von Programmiersprache abstrahierende, detaillierte Beschreibung eines Algorithmus
+  - Programmablaufplan
+    - Grafische Beschreibung des Kontrollflusses
+    - DIN 66001
+    - Unstrukturiert
+  - Struktogramm
+    - Nassi-Shneidermann-Diagramm
+    - keine Sprünge
+- Dynamisches Verhalten (diskrete Zustände und atomare zustandübergänge)
+  - Zustandsautomat
+    - Verhalten mit Zuständen und -übergängen
+    - Automatenmodelle und -theorie
+    - Ggf zerlegung oder kommunizierende Automaten
+  - Flow-Chart
+  - Ereignisgesteuerte Prozesskette (EPK)
+    - Geschäftsprozesse
+    - BPM
+  - Petri-Netz (ggf. mit Zeitmodell)
+    - Grafische Beschreibung von Nebenläufigkeit und Synchronisation
+- Objektorientierte Modelle
+  - Klassendiagramme
+  - UML
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+## Objektorientierung
+- bessere Strukturierung für komplexe Zusammenhänge
+- Abstraktere Sichtweise
+- Objekt hat
+  - definiertes Verhalten
+  - inneren Zustand
+  - eindeutige Identität
+- Klasse: gleichartige Objekte mit ggf versch Zu
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+## Unified Modeling Language
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