From 4708d9b3abd5134646e0c3384e53e403a163de63 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: wieerwill Date: Thu, 23 Sep 2021 15:57:09 +0200 Subject: [PATCH] moved to exam format --- ...aten, Sprachen und Komplexität - Übung.pdf | Bin 376732 -> 384875 bytes ...aten, Sprachen und Komplexität - Übung.tex | 1275 +++++++++-------- 2 files changed, 644 insertions(+), 631 deletions(-) diff --git a/Automaten, Sprachen und Komplexität - Übung.pdf b/Automaten, Sprachen und Komplexität - Übung.pdf index a87da6215da1ada3c1302e642379f1174a749550..4f8d6239065349bc58b8d45a28ad5c1ee3194558 100644 GIT binary patch delta 137952 zcmZs?Q*@Zo8Z8<&w(T^wZ99$8*fyH{vF*mTlg74f+eu^NbnkudI1l%}EPW5_WsNbv ziIw?YOnTeQ**xtwrmX8mXQO?xP+{J>Jg@uzjad(0W znADPXUgyH>ded;Q`=JKci%1$;W*N)-TY+&tMvqmE;K{$qBAi*A8-4NjZA}gopI_v} zipuGnS{-x%l6}9905O{uC7UN8@sthkYuT4DfokWO-w;J*n9%;PnhFuN^*#GG3e}J` z`Ir0#+h;*g$P-iBJ!3pc2@ZDP_b7g{t#3IEVtWZ;7*i_lVdf0TOFIEA#Fve&qWQZFxe=@|b1>rX(yE z9au^i?w-!vc{~6LbH_68;6p>@zZ+NVsD0^bPHsTqdJqMrabJvDX7&f1_B{2gMod5+ 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Zeigen Sie: + \begin{parts} + \part Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ist nicht gleichmächtig zur Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Keine Menge ist gleichmächtig zu ihrer Potenzmenge. (Satz von Cantor) + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 3} -\textit{Eine Menge A heißt gleichmächtig zu einer Menge B, wenn es eine Bijektion von A nach B gibt. Zeigen Sie:} + %########################################## + \question Es sind die DFAs $M_1$ und $M_2$ und die NFAs $M_3$ und $M_4$ (von links nach rechts) gegeben. + \begin{center} + \includegraphics[width=1\linewidth]{Assets/ASK_uebung/u01-01.png} + \end{center} + Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben für alle $i\in \{1, 2, 3, 4\}$. + \begin{parts} + \part Geben Sie jeweils zwei Wörter an, die von $M_i$ akzeptiert bzw. nicht akzeptiert werden. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Geben Sie analog zu Aufgabe 2 eine kurze aber präzise Beschreibung der Sprache $L(M_i)$ an. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(a) Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ist nicht gleichmächtig zur Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$.} + %########################################## + \question Konstruieren Sie mit der Potenzmengenkonstruktion einen DFA, der die gleiche Sprache akzeptiert, wie $M_3$ aus Aufgabe 1. + \begin{solution} + \end{solution} -\textit{(b) Keine Menge ist gleichmächtig zu ihrer Potenzmenge. (Satz von Cantor)} - -\newpage -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Übung 01} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 1} -\textit{Es sind die DFAs $M_1$ und $M_2$ und die NFAs $M_3$ und $M_4$ (von links nach rechts) gegeben.} -\begin{center} - \includegraphics[width=1\linewidth]{Assets/ASK_uebung/u01-01.png} -\end{center} -\textit{Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben für alle $i\in \{1, 2, 3, 4\}$.} - -\textit{(a) Geben Sie jeweils zwei Wörter an, die von $M_i$ akzeptiert bzw. nicht akzeptiert werden.} - -\textit{(b) Geben Sie analog zu Aufgabe 2 eine kurze aber präzise Beschreibung der Sprache $L(M_i)$ an.} - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 2} -\textit{Betrachten Sie die nachfolgenden Sprachen über dem Alphabet $\sum = \{a, b\}$. + %########################################## + \question Betrachten Sie die nachfolgenden Sprachen über dem Alphabet $\sum = \{a, b\}$. \begin{itemize} \item $L_1 = \{w \in\sum^* \vert \text{w enthält die Zeichenfolge baba}\}$ \item $L_2 = \sum^* \backslash \{aa, ab, aab\}$ \item $L_3 = \{w \in\sum^* \vert \text{es existiert } k \geq 1 \text{, so dass w mit } a(ab)^k \text{ beginnt}\}$ \item $L_4 = \{w\in\sum^* \vert \text{w endet auf aab}\}$ \end{itemize} - Geben Sie für alle $i\in\{1, 2, 3, 4\}$ jeweils einen DFA $M_i$ mit $L(M_i)=L_i$ grafisch an. Wählen Sie jeweils zwei Wörter aus $L_i$ und $\sum^*\backslash L_i$ aus und überprüfen Sie, ob $M_i$ auf diesen korrekt arbeitet.} + Geben Sie für alle $i\in\{1, 2, 3, 4\}$ jeweils einen DFA $M_i$ mit $L(M_i)=L_i$ grafisch an. Wählen Sie jeweils zwei Wörter aus $L_i$ und $\sum^*\backslash L_i$ aus und überprüfen Sie, ob $M_i$ auf diesen korrekt arbeitet. + \begin{solution} + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 3} -\textit{Konstruieren Sie mit der Potenzmengenkonstruktion einen DFA, der die gleiche Sprache akzeptiert, wie $M_3$ aus Aufgabe 1.} + %########################################## + \question Sei $\sum = \{a, b, c\}$. Unter den folgenden 16 Sprachen über $\sum$ befinden sich acht Paare gleicher Sprachen. Finden Sie heraus, welche Sprachen gleich sind und begründen Sie jeweils in maximal zwei Sätzen, warum die entsprechende Gleichheit gilt. + \begin{multicols}{2} + $$L_1 = \{w \in \sum^* \vert \quad\vert w\vert_a = \vert w\vert_b = \vert w\vert_c \}$$ + $$L_2 = \{w \in \sum^* \vert \quad\vert w\vert_a = \vert w\vert_b \}$$ + $$L_3 = \{w \in \sum^* \vert \quad\vert w\vert_a = 0\}$$ + $$L_4 = \{w \in \sum^* \vert \quad\vert w\vert_a = 2\}$$ + $$L_5 = \{w \in \sum^* \vert \quad\vert w\vert_a = 4\}$$ + $$L_6 = \{b, c\}^*\{a\}\{b, c\}^* \{a\}\{b, c\}^*$$ + $$L_7 = \{a\}\{ba\}^*\{b\}$$ + $$L_8 = \{a^n b^n \vert n \in \mathbb{N}\}$$ + $$L_9 = L_2 \cap \{a\}^*\{b\}^*$$ + $$L_{10} = L_2 \cap \{w \in \sum^* \vert \quad\vert w \vert_b = \vert w\vert_c\}$$ + $$L_{11} = (L_3 L_4 )^2$$ + $$L_{12} = \sum^* \backslash L_3$$ + $$L_{13} = L_2^3$$ + $$L_{14} = \{ab\}^+$$ + $$L_{15} = \{b, c\}^*$$ + $$L_{16} = \sum^* \{a\}\sum^*$$ + \end{multicols} + \begin{solution} + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 4} -\textit{Sei $\sum = \{a, b, c\}$. Unter den folgenden 16 Sprachen über $\sum$ befinden sich acht Paare gleicher Sprachen. Finden Sie heraus, welche Sprachen gleich sind und begründen Sie jeweils in maximal zwei Sätzen, warum die entsprechende Gleichheit gilt.} -\begin{multicols}{2} - $$L_1 = \{w \in \sum^* \vert \quad\vert w\vert_a = \vert w\vert_b = \vert w\vert_c \}$$ - $$L_2 = \{w \in \sum^* \vert \quad\vert w\vert_a = \vert w\vert_b \}$$ - $$L_3 = \{w \in \sum^* \vert \quad\vert w\vert_a = 0\}$$ - $$L_4 = \{w \in \sum^* \vert \quad\vert w\vert_a = 2\}$$ - $$L_5 = \{w \in \sum^* \vert \quad\vert w\vert_a = 4\}$$ - $$L_6 = \{b, c\}^*\{a\}\{b, c\}^* \{a\}\{b, c\}^*$$ - $$L_7 = \{a\}\{ba\}^*\{b\}$$ - $$L_8 = \{a^n b^n \vert n \in \mathbb{N}\}$$ - $$L_9 = L_2 \cap \{a\}^*\{b\}^*$$ - $$L_{10} = L_2 \cap \{w \in \sum^* \vert \quad\vert w \vert_b = \vert w\vert_c\}$$ - $$L_{11} = (L_3 L_4 )^2$$ - $$L_{12} = \sum^* \backslash L_3$$ - $$L_{13} = L_2^3$$ - $$L_{14} = \{ab\}^+$$ - $$L_{15} = \{b, c\}^*$$ - $$L_{16} = \sum^* \{a\}\sum^*$$ -\end{multicols} + %########################################## + \question Sei $\sum=\{a, b\}$. Für $n\in\mathbb{N}$ sei $\sum^{\leq n} = \bigcup_{i\leq n} \sum^i$ die Menge der Wörter in $\sum$ deren Länge höchstens $n$ ist. Zeigen Sie per vollständiger Induktion über $n\in\mathbb{N}$, dass $\vert\sum^{\leq n}\vert = 2^{n+1} - 1$. + \begin{solution} + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 5} -\textit{Sei $\sum=\{a, b\}$. Für $n\in\mathbb{N}$ sei $\sum^{\leq n} = \bigcup_{i\leq n} \sum^i$ die Menge der Wörter in $\sum$ deren Länge höchstens $n$ ist. Zeigen Sie per vollständiger Induktion über $n\in\mathbb{N}$, dass $\vert\sum^{\leq n}\vert = 2^{n+1} - 1$.} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 6} -\textit{Gegeben sei die Grammatik $G = (\{S, A, B, C\}, \{a, b, c\}, P, S)$, wobei P genau die folgenden Produktionen enthält: + %########################################## + \question Gegeben sei die Grammatik $G = (\{S, A, B, C\}, \{a, b, c\}, P, S)$, wobei P genau die folgenden Produktionen enthält: \begin{multicols}{3} $$S\rightarrow A \vert C$$ $$A \rightarrow Aa \vert a$$ @@ -176,89 +188,105 @@ $$Bc \rightarrow bbc$$ $$C \rightarrow BCc \vert c.$$ \end{multicols} -} + \begin{parts} + \part Geben Sie eine Ableitung von bbbccc an. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Geben Sie eine möglichst kurze aber präzise Beschreibung von L(G) an. Begründen Sie Ihre Antwort. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(a) Geben Sie eine Ableitung von bbbccc an.} + %########################################## + \question Konstruieren Sie Grammatiken $G_1, G_2$ und $G_3$ so, dass folgende Sprachen erzeugt werden. + \begin{parts} + \part $L(G_1)=\sum^*\{a\}\sum^*\cup\sum^*\{b\}\sum^*$ für $\sum=\{a,b,c\}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \part $L(G_2 ) = \{ww^R \vert w \in \{a, b\}^*: \text{w startet mit einem b}\}$ Hinweis: Für $w=w_1w_2...w_{n-1}w_n$ sei $w^{R} = w_{n} w_{n-1} ... w_{2} w_{1}$ das umgekehrte Wort. + \begin{solution} + \end{solution} + \part $L(G_3)$ ist die Menge der Polynomgleichungen über den Variablen x, y. Hinweis: Ein Polynom über den Variablen x, y ist induktiv wie folgt definiert: $0, 1, x, y$ sind Polynome und falls $f,g$ Polynome sind, so auch $(f+g)$ und $(f*g)$. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(b) Geben Sie eine möglichst kurze aber präzise Beschreibung von L(G) an. Begründen Sie Ihre Antwort.} + %########################################## + \question Geben Sie zu den Sprachen $L_a,L_b$ reguläre Ausdrücke $\alpha,\beta$ so an, dass $L(\alpha) = L_a$ und $L(\beta) = L_b$. + \begin{parts} + \part $L_a = \{w\in\{a, b, c\}^*\vert\text{ entweder kommen a und b in w vor oder weder a noch b}\}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \part $L_b = \{w\in\{a, b, c\}^*\vert\text{w enthält nicht das Infix bc}\}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 7} -\textit{Konstruieren Sie Grammatiken $G_1, G_2$ und $G_3$ so, dass folgende Sprachen erzeugt werden.} + %########################################## + \question Zeigen Sie, dass die Klasse der regulären Sprachen nicht unter unendlicher Vereinigung abgeschlossen ist. + \begin{solution} + \end{solution} -\textit{(a) $L(G_1)=\sum^*\{a\}\sum^*\cup\sum^*\{b\}\sum^*$ für $\sum=\{a,b,c\}$} + %########################################## + \question Sei $L\subseteq\sum^*$ eine Sprache. Unter der Verdopplung von L verstehen wir die Sprache $2*L:= \{ww \vert w \in L\}$. Überprüfen Sie, ob die Klasse der regulären Sprachen unter Verdopplung abgeschlossen ist. Beweisen Sie Ihre Behauptung! + \begin{solution} + \end{solution} -\textit{(b) $L(G_2 ) = \{ww^R \vert w \in \{a, b\}^*: \text{w startet mit einem b}\}$ Hinweis: -Für $w=w_1w_2...w_{n-1}w_n$ sei $w^{R} = w_{n} w_{n-1} ... w_{2} w_{1}$ das umgekehrte Wort.} + %########################################## + \question Sei $\sum$ ein Alphabet (eine endliche Menge). Zeigen Sie, dass $\sum^*$ abzählbar ist. + \begin{solution} + \end{solution} -\textit{(c) $L(G_3)$ ist die Menge der Polynomgleichungen über den Variablen x, y. - Hinweis: Ein Polynom über den Variablen x, y ist induktiv wie folgt definiert: $0, 1, x, y$ sind Polynome und falls $f,g$ Polynome sind, so auch $(f+g)$ und $(f*g)$.} + %########################################## + \question Bearbeiten Sie folgende Teilaufgaben: + \begin{parts} + \part Beschreiben Sie die Sprache des folgenden Automaten kurz und präzise + \begin{center} + \includegraphics[width=1\linewidth]{Assets/ASK_uebung/u02-01.png} + \end{center} + \begin{solution} + \end{solution} + \part Sei $\sum = \{a, b, c\}$. Geben Sie einen DFA an, der die Sprache $L = \{w\in\sum^*\vert |w|_a \leq 1 \text{ und } |w|_b = 0\}$ akzeptiert. Dabei steht für $x\in\sum, w\in\sum^*$ der Ausdruck $|w|_x$ für die Anzahl der x in w. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\newpage -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Übung 02} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 1} -\textit{Geben Sie zu den Sprachen $L_a,L_b$ reguläre Ausdrücke $\alpha,\beta$ so an, dass $L(\alpha) = L_a$ und $L(\beta) = L_b$.} + %########################################## + \question Gegeben seien die folgenden DFAs $M_1$ und $M_2$. + \begin{center} + \includegraphics[width=1\linewidth]{Assets/ASK_uebung/u02-02.png} + \end{center} + Konstruieren Sie folgende Automaten: + \begin{parts} + \part einen DFA $M_\cap$ mit $L(M_\cap) = L(M_1) \cap L(M_2)$, + \begin{solution} + \end{solution} + \part einen NFA $M_.$ mit $L(M_.) = L(M_1)*L(M_2)$ und + \begin{solution} + \end{solution} + \part einen NFA $M_* mit L(M_*) = L(M_1)^*$. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(a) $L_a = \{w\in\{a, b, c\}^*\vert\text{ entweder kommen a und b in w vor oder weder a noch b}\}$} + %########################################## + \question Zeigen Sie die folgenden Aussagen: + \begin{parts} + \part Für jeden NFA $M = (Z , \sum, S, \delta, E)$ existiert ein NFA $M_0 = (Z_0 , \sum, S_0 , \delta_0 , E_0)$ mit $L(M) = L(M_0)$ und $|E_0|=1$. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Für jeden NFA $M=(Z,\sum,S,\delta,E)$ existiert ein NFA $M_0=(Z_ 0,\sum,S_0,\delta_0,E_0)$ mit $L(M)=L(M_0)$, $|S_0|=1$ und $|Z_0|=|Z|+1$. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(b) $L_b = \{w\in\{a, b, c\}^*\vert\text{w enthält nicht das Infix bc}\}$} + %########################################## + \question Die Spiegelung eines Wortes $w=a_1a_2...a_n\in\sum^*$ sei $w^R := a_na_{n-1}...a_1$ für $a_i\in\sum$ für alle $1\leq i \leq n$. Die Spiegelung einer Sprache $L$ sei $L^R := \{w^R \vert w\in L\}$. Zeigen Sie, dass die Klasse der regulären Sprachen unter Spiegelung abgeschlossen ist. + \begin{solution} + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 2} -\textit{Zeigen Sie, dass die Klasse der regulären Sprachen nicht unter unendlicher Vereinigung abgeschlossen ist.} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 3} -\textit{Sei $L\subseteq\sum^*$ eine Sprache. Unter der Verdopplung von L verstehen wir die Sprache $2*L:= \{ww \vert w \in L\}$. Überprüfen Sie, ob die Klasse der regulären Sprachen unter Verdopplung abgeschlossen ist. Beweisen Sie Ihre Behauptung!} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 4} -\textit{Sei $\sum$ ein Alphabet (eine endliche Menge). Zeigen Sie, dass $\sum^*$ abzählbar ist.} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 5} -\textit{Bearbeiten Sie folgende Teilaufgaben:} - -\textit{(a) Beschreiben Sie die Sprache des folgenden Automaten kurz und präzise} -\begin{center} - \includegraphics[width=1\linewidth]{Assets/ASK_uebung/u02-01.png} -\end{center} -\textit{(b) Sei $\sum = \{a, b, c\}$. Geben Sie einen DFA an, der die Sprache $L = \{w\in\sum^*\vert |w|_a \leq 1 \text{ und } |w|_b = 0\}$ akzeptiert. Dabei steht für $x\in\sum, w\in\sum^*$ der Ausdruck $|w|_x$ für die Anzahl der x in w.} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 6} -\textit{Gegeben seien die folgenden DFAs $M_1$ und $M_2$.} -\begin{center} - \includegraphics[width=1\linewidth]{Assets/ASK_uebung/u02-02.png} -\end{center} -\textit{Konstruieren Sie folgende Automaten: - \begin{itemize} - \item (a) einen DFA $M_\cap$ mit $L(M_\cap) = L(M_1) \cap L(M_2)$, - \item (b) einen NFA $M_.$ mit $L(M_.) = L(M_1)*L(M_2)$ und - \item (c) einen NFA $M_* mit L(M_*) = L(M_1)^*$. - \end{itemize} -} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 7} -\textit{Zeigen Sie die folgenden Aussagen:} - -\textit{(a) Für jeden NFA $M = (Z , \sum, S, \delta, E)$ existiert ein NFA $M_0 = (Z_0 , \sum, S_0 , \delta_0 , E_0)$ mit $L(M) = L(M_0)$ und $|E_0|=1$.} - -\textit{(b) Für jeden NFA $M=(Z,\sum,S,\delta,E)$ existiert ein NFA $M_0=(Z_ 0,\sum,S_0,\delta_0,E_0)$ mit $L(M)=L(M_0)$, $|S_0|=1$ und $|Z_0|=|Z|+1$.} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 8} -\textit{Die Spiegelung eines Wortes $w=a_1a_2...a_n\in\sum^*$ sei $w^R := a_na_{n-1}...a_1$ für $a_i\in\sum$ für alle $1\leq i \leq n$. Die Spiegelung einer Sprache $L$ sei $L^R := \{w^R \vert w\in L\}$. Zeigen Sie, dass die Klasse der regulären Sprachen unter Spiegelung abgeschlossen ist.} - -\newpage -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Übung 03} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 1} -\textit{Betrachten Sie die nachfolgenden Sprachen über dem Alphabet $\sum = \{a, b\}$. + %########################################## + \question Betrachten Sie die nachfolgenden Sprachen über dem Alphabet $\sum = \{a, b\}$. \begin{itemize} \item $L_1 = \{w\in\sum^*\vert\text{der vorletzte Buchstabe von w ist ein a}\}$ \item $L_1 = \sum^*\backslash \{ aa, ab, aab\}$ @@ -266,582 +294,567 @@ Für $w=w_1w_2...w_{n-1}w_n$ sei $w^{R} = w_{n} w_{n-1} ... w_{2} w_{1}$ das umg \item $L_4 = \sum^*\backslash L_3$ \end{itemize} Konstruieren Sie für alle $i\in\{1, 2, 3, 4\}$ jeweils einen regulären Ausdruck $r_i$ mit $L(r_i) = L_i$. -} -$$L_1 = (a+b)^* a (a+b)$$ -$$L_2 = (b(a+b)^*)+ab(a+b)(a+b)^*+aaa(a+b)^*+aab(a+b)(a+b)^*+a+\lambda$$ -\begin{center} - \includegraphics[width=1\linewidth]{Assets/ASK_uebung/u03-01.png} -\end{center} -Idee: Zuerst den Automaten der die aa,ab,aab Sprache akzeptiert aufzeichnen. Dann alle Endzustände (die doppelt umkreisten) zu normalen Zuständen machen und dann die früheren Nicht-Endzustände zu Endzuständen machen (symbolisiert durch die sonnenähnlichen Gebilde um Zustand 1,2,6) + \begin{solution} + $$L_1 = (a+b)^* a (a+b)$$ -$$L_3 = ((a+b)^*(aa+bb)(a+b)^*(aa+bb)^*(a+b)^*)$$ + $$L_2 = (b(a+b)^*)+ab(a+b)(a+b)^*+aaa(a+b)^*+aab(a+b)(a+b)^*+a+\lambda$$ + \begin{center} + \includegraphics[width=1\linewidth]{Assets/ASK_uebung/u03-01.png} + \end{center} + Idee: Zuerst den Automaten der die aa,ab,aab Sprache akzeptiert aufzeichnen. Dann alle Endzustände (die doppelt umkreisten) zu normalen Zuständen machen und dann die früheren Nicht-Endzustände zu Endzuständen machen (symbolisiert durch die sonnenähnlichen Gebilde um Zustand 1,2,6) -$$L_4 = (ab)^* + (ba)^*+a+b+\lambda$$ + $$L_3 = ((a+b)^*(aa+bb)(a+b)^*(aa+bb)^*(a+b)^*)$$ + $$L_4 = (ab)^* + (ba)^*+a+b+\lambda$$ + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 2} -\textit{Zeigen Sie direkt mit dem Pumping-Lemma, dass die Sprache $L=\{a^i b^j \vert i, j\in\mathbb{N}, i > j\}$ nicht regulär ist.} + %########################################## + \question Zeigen Sie direkt mit dem Pumping-Lemma, dass die Sprache $L=\{a^i b^j \vert i, j\in\mathbb{N}, i > j\}$ nicht regulär ist. -Behauptung: Die Sprache L ist nicht regulär. -\begin{enumerate} - \item[0.] Beweis: indirekt. Angenommen L wäre regulär. Nach dem Pumping-Lemma gibt es ein n $\geq$ 1, sodass die folgende Aussage gilt: - \begin{center} - Für jedes $x \in L$, $\mid x \mid \geq n$ gibt es $u,v,w \in\Sigma^*$ mit - \begin{itemize} - \item[i] $x = uvw$ - \item[ii] $\mid uv \mid\leq n$ - \item[iii] $\mid v \mid\geq 1$ - \item[iv] $uv^iw \in L \forall i \geq 0$ - \end{itemize} - \end{center} - \item Wir wählen ein Wort $x\in L$. Sei $x = a^nb^j$, wobei n nach Definition der Sprache echt größer $j$ ist. - \item Nach der Aussage (*) gibt es $u,v,w \in\Sigma^*$, welche die Eigenschaften (i)-(iv) erfüllen. - \item Sei $x=a^nb^j$ mit $n > j$, wir definieren $j=n-1$. - Wir wählen $\mid uv \mid < = n$ mit $\mid v\mid\geq k$. Es gilt $v\in\{a\}^+$. Nun sei $i = 0$, damit ist $x=a^{n-k}b^j$, da $\mid v\mid\geq 1$ ist, und da nun $j=n-k$ gilt, ist $n=j$, was allerdings der Bedingung $n>j$ widerspricht. \\ - Wählen wir $\mid v\mid = k$ mit $k\in\mathbb{N}$. so gilt: $uw =a^{(n-k)}b^j$ - \item Dieser Widerspruch von $n = j \neq n > j$ ist ein Widerspruch zu Aussage (iv) des Pumping Lemmas.\\ - Somit ist die Aussage bewiesen, dass die Sprache L nicht regulär sein kann. q.e.d -\end{enumerate} + \begin{solution} + Behauptung: Die Sprache L ist nicht regulär. + \begin{enumerate} + \item[0.] Beweis: indirekt. Angenommen L wäre regulär. Nach dem Pumping-Lemma gibt es ein n $\geq$ 1, sodass die folgende Aussage gilt: + \begin{center} + Für jedes $x \in L$, $\mid x \mid \geq n$ gibt es $u,v,w \in\Sigma^*$ mit + \begin{itemize} + \item[i] $x = uvw$ + \item[ii] $\mid uv \mid\leq n$ + \item[iii] $\mid v \mid\geq 1$ + \item[iv] $uv^iw \in L \forall i \geq 0$ + \end{itemize} + \end{center} + \item Wir wählen ein Wort $x\in L$. Sei $x = a^nb^j$, wobei n nach Definition der Sprache echt größer $j$ ist. + \item Nach der Aussage (*) gibt es $u,v,w \in\Sigma^*$, welche die Eigenschaften (i)-(iv) erfüllen. + \item Sei $x=a^nb^j$ mit $n > j$, wir definieren $j=n-1$. + Wir wählen $\mid uv \mid < = n$ mit $\mid v\mid\geq k$. Es gilt $v\in\{a\}^+$. Nun sei $i = 0$, damit ist $x=a^{n-k}b^j$, da $\mid v\mid\geq 1$ ist, und da nun $j=n-k$ gilt, ist $n=j$, was allerdings der Bedingung $n>j$ widerspricht. \\ + Wählen wir $\mid v\mid = k$ mit $k\in\mathbb{N}$. so gilt: $uw =a^{(n-k)}b^j$ + \item Dieser Widerspruch von $n = j \neq n > j$ ist ein Widerspruch zu Aussage (iv) des Pumping Lemmas.\\ + Somit ist die Aussage bewiesen, dass die Sprache L nicht regulär sein kann. q.e.d + \end{enumerate} + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 3} -\textit{Zeigen Sie mit dem Spielschema des Pumping-Lemmas, dass die Sprache $L=\{a^{2^n} | n\in\mathbb{N}\}$ nicht regulär ist.} + %########################################## + \question Zeigen Sie mit dem Spielschema des Pumping-Lemmas, dass die Sprache $L=\{a^{2^n} | n\in\mathbb{N}\}$ nicht regulär ist. -\begin{enumerate} - \item Runde: G wählt eine Zahl $n\geq 1$ - \item Runde: B wählt $x\in L$ mit $\mid x\mid\geq n$. Sei $x = a^{(2^n)}$. - \item Runde: G wählt $u,v,w$ mit i) $x = u,v,w$ ii) $\mid uv\mid\leq n$ iii) $\mid v\mid\geq 1$ - \item Runde: B wählt $i = 2$ und zeigt, dass $uv^iw \not\in L$ \\ - Sei n beliebig. Wir wählen wie in Runde 2 bereits gesagt $x=a^{2^n}$. Es gilt $x\in L$ und $\mid x\mid\geq n$.\\ - Alle möglichen Stückelungen des Worts sind gemäß der Form: $ u = a^p \quad v = a^q \quad w = a^{2^n}-a^q-a^p$ - mit $p+q \leq n$ und $q\geq 1$.\\ - Wir wählen $i=2$, es gilt $uv^iw = a^{{2^n}+q}$. Es gilt $2^n \geq n \rightarrow p+q < 2^n$ und es gilt weiterhin $0 < q < 2^n$.\\ - Dies bedeutet:$$2^n < 2^n+q < 2^n+2^n = 2*2^n = 2^{n+1}$$ - Hieraus folgt, dass $2^n+q$ keine Zweierpotenz ist, dies wiederum verletzt die Eigenschaften der Sprache und somit ist $uv^iw \notin L$ q.e.d -\end{enumerate} + \begin{solution} + \begin{enumerate} + \item Runde: G wählt eine Zahl $n\geq 1$ + \item Runde: B wählt $x\in L$ mit $\mid x\mid\geq n$. Sei $x = a^{(2^n)}$. + \item Runde: G wählt $u,v,w$ mit i) $x = u,v,w$ ii) $\mid uv\mid\leq n$ iii) $\mid v\mid\geq 1$ + \item Runde: B wählt $i = 2$ und zeigt, dass $uv^iw \not\in L$ \\ + Sei n beliebig. Wir wählen wie in Runde 2 bereits gesagt $x=a^{2^n}$. Es gilt $x\in L$ und $\mid x\mid\geq n$.\\ + Alle möglichen Stückelungen des Worts sind gemäß der Form: $ u = a^p \quad v = a^q \quad w = a^{2^n}-a^q-a^p$ + mit $p+q \leq n$ und $q\geq 1$.\\ + Wir wählen $i=2$, es gilt $uv^iw = a^{{2^n}+q}$. Es gilt $2^n \geq n \rightarrow p+q < 2^n$ und es gilt weiterhin $0 < q < 2^n$.\\ + Dies bedeutet:$$2^n < 2^n+q < 2^n+2^n = 2*2^n = 2^{n+1}$$ + Hieraus folgt, dass $2^n+q$ keine Zweierpotenz ist, dies wiederum verletzt die Eigenschaften der Sprache und somit ist $uv^iw \notin L$ q.e.d + \end{enumerate} + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 4} -\textit{Beweisen Sie die folgende verschärfte Version des Pumping-Lemmas: Sei $L\in\sum^*$ eine reguläre Sprache. Dann existiert ein $n>0$, so dass für alle $x\in L$ und alle $x_0,x_1,x_2\in\sum^*$ mit $x=x_0x_1x_2$ und $|x_1|\geq n$ Wörter $u, v, w \in\sum^*$ existieren mit (a) $x_1 = uvw$, (b) $|v| \geq 1$ und - (c) $x_0 uv^i wx_2\in L$ für alle $i\in\mathbb{N}$.} + %########################################## + \question Beweisen Sie die folgende verschärfte Version des Pumping-Lemmas: Sei $L\in\sum^*$ eine reguläre Sprache. Dann existiert ein $n>0$, so dass für alle $x\in L$ und alle $x_0,x_1,x_2\in\sum^*$ mit $x=x_0x_1x_2$ und $|x_1|\geq n$ Wörter $u, v, w \in\sum^*$ existieren mit (a) $x_1 = uvw$, (b) $|v| \geq 1$ und + (c) $x_0 uv^i wx_2\in L$ für alle $i\in\mathbb{N}$. -Sei $L\subseteq\Sigma^*$ eine reguläre Sprache. Dann exisitiert ein $n>0$, sodass für alle $x\in L$ und alle $x_0,x_1,x_2 \in \Sigma^*$ mit $x = x_0x_1x_2$ und $\mid x_1 \mid \geq n$ Wörter $u,v,w\in \Sigma^*$ existieren mit: -\begin{enumerate} - \item $x_1$ = uvw - \item $\mid v \mid \geq 1$ und - \item $x_0uv^iwx_2 \in L$ für alle $i\in\mathbb{N}$. -\end{enumerate} + \begin{solution} + Sei $L\subseteq\Sigma^*$ eine reguläre Sprache. Dann exisitiert ein $n>0$, sodass für alle $x\in L$ und alle $x_0,x_1,x_2 \in \Sigma^*$ mit $x = x_0x_1x_2$ und $\mid x_1 \mid \geq n$ Wörter $u,v,w\in \Sigma^*$ existieren mit: + \begin{enumerate} + \item $x_1$ = uvw + \item $\mid v \mid \geq 1$ und + \item $x_0uv^iwx_2 \in L$ für alle $i\in\mathbb{N}$. + \end{enumerate} -Beweis: Sei $n=\mid Z\mid$, wobei Z die Zustände des zugehörigen NFAs $M=(Z,\Sigma,S,\delta,E)$ sind. Ist $x_0x_1x_2 \in L$, so gibt es Zustände $m,n,o\in Z$ mit: $$z_0 \xrightarrow{x_0} m \xrightarrow{x_1} n \xrightarrow{x_2} o \in E$$ -Die Transition von m nach n kann in $\mid x_1\mid\geq\mid v\mid +1 \geq n$ Schritten, also durch Begehung von so vielen Zuständen geschehen. Nach der Aussage des Schubkastenprinzips ist dies gleichbedeutend damit, dass zwei der Zustände gleich sein müssen. Nun folgt der Beweis analog dem des einfachen Pumping Lemmas.\\ -Es gibt also in $x_1$ Zustände $z_0,z_1,…,z_m$ $\in Z$ mit: $z_0\in S$ (von $x_1$), $z_j \in \delta(z_{j-1},a_j)$ für $1\leq j\leq m$, und $z_m\in E$ (von $x_1$). -Setze $u = a_1 … a_j, v = a_{j+1}…a_k, w=a_{k+1}…a_m$. -Dann gilt: -\begin{itemize} - \item[i] $x_1 = a_1…a_ja_{j+1}…a_ka_{k+1}…a_m = uvw$ und $x=x_0x_1x_2 = x_0a_1…a_ja_{j+1}…a_ka_{k+1}…a_mx_2 = x_0uvwx_2$ - \item[ii] $\mid uv\mid=\mid a_1…a_k = k \leq n$ - \item[iii] $\mid v\mid = k -(j+1)+1 = k-j > 0$, da ($j < k$) - \item[iv] Sei $i\geq 0$ beliebig. Es gelten: - Es führt ein Weg von $z_0\in x_0$ zu dem $z_0^1 \in x_1$ und ein Weg von $z_m^1 \in E \quad von \quad x_1$ nach $z_m \quad von \quad x_2$. Modellieren sozusagen die drei Teilwörter als eigenständige NFAs, bei deren die Überführungen auf die Endzustände der einzelnen NFAs auf die Startzustände des nächsten führen. Betrachten wir nun den NFA zu $x_1$, so folgt nun wie im anderen Beweis auch, dass $uv^iw \in L(x_1)$ ist. Und dies in Kombi mit den weiteren Übergängen $=L$ ist. -\end{itemize} + Beweis: Sei $n=\mid Z\mid$, wobei Z die Zustände des zugehörigen NFAs $M=(Z,\Sigma,S,\delta,E)$ sind. Ist $x_0x_1x_2 \in L$, so gibt es Zustände $m,n,o\in Z$ mit: $$z_0 \xrightarrow{x_0} m \xrightarrow{x_1} n \xrightarrow{x_2} o \in E$$ + Die Transition von m nach n kann in $\mid x_1\mid\geq\mid v\mid +1 \geq n$ Schritten, also durch Begehung von so vielen Zuständen geschehen. Nach der Aussage des Schubkastenprinzips ist dies gleichbedeutend damit, dass zwei der Zustände gleich sein müssen. Nun folgt der Beweis analog dem des einfachen Pumping Lemmas.\\ + Es gibt also in $x_1$ Zustände $z_0,z_1,…,z_m\in Z$ mit: $z_0\in S$ (von $x_1$), $z_j \in \delta(z_{j-1},a_j)$ für $1\leq j\leq m$, und $z_m\in E$ (von $x_1$). + Setze $u = a_1 … a_j, v = a_{j+1}…a_k, w=a_{k+1}…a_m$. + Dann gilt: + \begin{itemize} + \item[i] $x_1 = a_1…a_ja_{j+1}…a_ka_{k+1}…a_m = uvw$ und $x=x_0x_1x_2 = x_0a_1…a_ja_{j+1}…a_ka_{k+1}…a_mx_2 = x_0uvwx_2$ + \item[ii] $\mid uv\mid=\mid a_1…a_k = k \leq n$ + \item[iii] $\mid v\mid = k -(j+1)+1 = k-j > 0$, da ($j < k$) + \item[iv] Sei $i\geq 0$ beliebig. Es gelten: + Es führt ein Weg von $z_0\in x_0$ zu dem $z_0^1 \in x_1$ und ein Weg von $z_m^1 \in E \quad von \quad x_1$ nach $z_m \quad von \quad x_2$. Modellieren sozusagen die drei Teilwörter als eigenständige NFAs, bei deren die Überführungen auf die Endzustände der einzelnen NFAs auf die Startzustände des nächsten führen. Betrachten wir nun den NFA zu $x_1$, so folgt nun wie im anderen Beweis auch, dass $uv^iw \in L(x_1)$ ist. Und dies in Kombi mit den weiteren Übergängen $=L$ ist. + \end{itemize} + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 5} -\textit{Sei $\sum=\{a, b\}$. Wir betrachten die Sprache $L=\{w\in\sum^*\vert\quad |w| \text{ ist gerade und } |w| a \geq 1\}$. Bearbeiten Sie folgende Teilaufgaben:} + %########################################## + \question Sei $\sum=\{a, b\}$. Wir betrachten die Sprache $L=\{w\in\sum^*\vert\quad |w| \text{ ist gerade und } |w| a \geq 1\}$. Bearbeiten Sie folgende Teilaufgaben: + \begin{parts} + \part Bestimmen Sie die Myhill-Nerode Äquivalenzklassen von L. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Geben Sie den Automaten $M_L$ an + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(a) Bestimmen Sie die Myhill-Nerode Äquivalenzklassen von L.} + %########################################## + \question Geben Sie einen Algorithmus an, der bei Eingabe eines DFAs M die Größe von $L(M)$ (also $|L(M)|$) berechnet (entweder eine natürliche Zahl $n$ oder $\infty$). + \begin{solution} + \end{solution} -\textit{(b) Geben Sie den Automaten $M_L$ an} + %########################################## + \question Sei $\sum$ ein Alphabet. Zeigen Sie, dass für alle regulären Sprachen $K_1,K_2\subseteq\sum^*$ und ihre Vereinigung $L=K_1\cup K_2$ gilt, dass $Index(R_L)\leq Index(R_{K_1})* Index(R_{K_2})$. + \begin{solution} + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 6} -\textit{Geben Sie einen Algorithmus an, der bei Eingabe eines DFAs M die Größe von $L(M)$ (also $|L(M)|$) berechnet (entweder eine natürliche Zahl $n$ oder $\infty$).} + %########################################## + \question Seien $u_1, u_2\in\sum$ zwei Wörter und $L\subseteq\sum$ eine Sprache. Ein trennendes Wort für die Myhill-Nerode Äquivalenz-klassen $[u_1]_L, [u_2]_L$ ist ein Wort $w\in\sum^*$, so dass $u_1 w\in L, u_2w < L$ oder umgekehrt. Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben: + \begin{parts} + \part Wir betrachten die paarweise verschiedenen Myhill-Nerode Äquivalenzklassen $[\epsilon], [a], [c]$ der Sprache $L_a = \{w\in \{a, b, c\}^* | |w|_a \text{ ist gerade oder } |w| c \geq 1\}$. Geben Sie für jedes Paar von unterschiedlichen Äquivalenzklassen ein trennendes Wort an. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Wir betrachten die Myhill-Nerode Äquivalenzklassen der Sprache $L_b = \{0^l 10^m 10^{l +m} | l, m \in\mathbb{N}\}$. Geben Sie für $l\in\mathbb{N}, m\not= m'$ ein trennendes Wort für die Äquivalenzklassen $[0^l 10^m ]$ und $[0^l 10^m]$ an. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 7} -\textit{Sei $\sum$ ein Alphabet. Zeigen Sie, dass für alle regulären Sprachen $K_1,K_2\subseteq\sum^*$ und ihre Vereinigung $L=K_1\cup K_2$ gilt, dass $Index(R_L)\leq Index(R_{K_1})* Index(R_{K_2})$.} + %########################################## + \question Wenden Sie das in der Vorlesung vorgestellte Verfahren an, um zu entscheiden, ob die beiden dargestellten DFAs $M_1$ und $M_2$ die gleiche Sprache akzeptieren. -\newpage -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Übung 04} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 1} -\textit{Seien $u_1, u_2\in\sum$ zwei Wörter und $L\subseteq\sum$ eine Sprache. Ein trennendes Wort für die Myhill-Nerode Äquivalenz-klassen $[u_1]_L, [u_2]_L$ ist ein Wort $w\in\sum^*$, so dass $u_1 w\in L, u_2w < L$ oder umgekehrt. Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben:} -\textit{Wir betrachten die paarweise verschiedenen Myhill-Nerode Äquivalenzklassen $[\epsilon], [a], [c]$ der Sprache $L_a = \{w\in \{a, b, c\}^* | |w|_a \text{ ist gerade oder } |w| c \geq 1\}$. Geben Sie für jedes Paar von unterschiedlichen Äquivalenzklassen ein trennendes Wort an.} + \includegraphics{Assets/ASK_uebung/u04_01.png} -\textit{Wir betrachten die Myhill-Nerode Äquivalenzklassen der Sprache $L_b = \{0^l 10^m 10^{l +m} | l, m \in\mathbb{N}\}$. Geben Sie für $l\in\mathbb{N}, m\not= m'$ ein trennendes Wort für die Äquivalenzklassen $[0^l 10^m ]$ und $[0^l 10^m]$ an.} + \begin{solution} + \end{solution} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 2} -\textit{Wenden Sie das in der Vorlesung vorgestellte Verfahren an, um zu entscheiden, ob die beiden dargestellten DFAs $M_1$ und $M_2$ die gleiche Sprache akzeptieren.} - -\includegraphics{Assets/ASK_uebung/u04_01.png} - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 3} -\textit{Wir betrachten das Universalitätsproblem: + %########################################## + \question Wir betrachten das Universalitätsproblem: \begin{description} \item[Eingabe] NFA $M = (Z , \sum, S, \delta, E)$. \item[Frage] Gilt $L(M) = \sum^*$? \end{description} - Geben Sie ein Verfahren an, welches das Universalitätsproblem löst. Begründen Sie Ihre Antwort.} + Geben Sie ein Verfahren an, welches das Universalitätsproblem löst. Begründen Sie Ihre Antwort. + \begin{solution} + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 4} -\textit{In Übung 2 Aufgabe 7 a) haben wir gezeigt, dass es für jeden NFA einen äquivalenten NFA mit genau einem Endzustand gibt. In dieser Aufgabe zeigen wir, dass dies für DFAs nicht der Fall ist. Bearbeiten Sie dazu folgende Teilaufgaben:} + %########################################## + \question In Übung 2 Aufgabe 7 a) haben wir gezeigt, dass es für jeden NFA einen äquivalenten NFA mit genau einem Endzustand gibt. In dieser Aufgabe zeigen wir, dass dies für DFAs nicht der Fall ist. Bearbeiten Sie dazu folgende Teilaufgaben: + \begin{parts} + \part Geben Sie einen DFA M an, sodass jeder DFA $M_0$ mit $L(M_0) = L(M)$ mindestens zwei akzeptierende Zustände hat. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Beweisen Sie, dass Ihr Automat M diese Eigenschaft hat. Hinweis: Es gibt einen Automaten M, der diese Eigenschaft und eine endliche Sprache akzeptiert. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(a) Geben Sie einen DFA M an, sodass jeder DFA $M_0$ mit $L(M_0) = L(M)$ mindestens zwei akzeptierende Zustände hat.} + %########################################## + \question In dieser Aufgabe betrachten wir Sprachen für die ein DFA wesentlich mehr Zustände haben muss als ein NFA. Sei $n\in\mathbb{N}$. Wir betrachten die Sprache $K_n= \{w \in \{a, b\}^* | |w| \geq n$ und der n-letzte Buchstabe von w ist ein a. + \begin{parts} + \part Geben Sie einen NFA mit minimaler Anzahl an Zuständen für $K_n$ an. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Bestimmen Sie den Index der Myhill-Nerode Äquivalenz von $K_n$ , $Index(R_{K_n})$. Begründen Sie Ihre Antwort. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(b) Beweisen Sie, dass Ihr Automat M diese Eigenschaft hat. Hinweis: Es gibt einen Automaten M, der diese Eigenschaft und eine endliche Sprache akzeptiert.} + %########################################## + \question Sei $\sum = \{a, b\}$. Geben Sie für die folgenden Sprachen jeweils eine kontextfreie Grammatik an. + \begin{parts} + \part $L_a = \{a_n b_n | n\in\mathbb{N}\}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \part $L_b = \{w\in\sum^* | |w|_a = |w|_b \}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \part $L_c = \sum^*\backslash \{ww | w\in\sum^*\}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 5} -\textit{In dieser Aufgabe betrachten wir Sprachen für die ein DFA wesentlich mehr Zustände haben muss als ein NFA. Sei $n\in\mathbb{N}$. Wir betrachten die Sprache $K_n= \{w \in \{a, b\}^* | |w| \geq n$ und der n-letzte Buchstabe von w ist ein a}. + %########################################## + \question Entscheiden Sie für jede der folgenden Sprachen, ob sie regulär oder kontextfrei und nicht regulär ist. Geben sie dafür eine rechtslineare Grammatik an oder geben Sie eine kontextfreie Grammatik an und zeigen Sie, dass die Sprache nicht regulär ist. + \begin{parts} + \part $L_a = \{w\in\{a, b, c\}^* | |w|_a \text{ ist gerade oder } |w|_c \geq 1\}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \part $L_b = \{uv | u, v \in\{a, b, c\}^* \text{ und } |u|_a > |v|_b \}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \part $L_c = \{a^l ba^m ba^n | l = m \text{ oder } l = n\}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \part $L_d = \{r \in\{a, b, \lambda,\varnothing, +, ·, * , (, )\}^* | \text{ r ist ein regulärer Ausdruck über }\sum\}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \part $L_e = \{r \in L_d | \epsilon\in L(r)\}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(a) Geben Sie einen NFA mit minimaler Anzahl an Zuständen für $K_n$ an.} + %########################################## + \question Konstruieren Sie zu zwei kontextfreien Grammatiken $G_1 = (V_1 , \sum, P_1 , S_1 )$ und $G_2 = (V_2 , \sum, P_2 , S_2 )$ + \begin{parts} + \part eine kontextfreie Grammatik $G_{\cup}$ mit $L(G_{\cup}) = L(G_1) \cup L(G_2)$. + \begin{solution} + \end{solution} + \part eine kontextfreie Grammatik $G_{\circ}$ mit $L(G_{\circ}) = L(G_1 ) * L(G_2)$. + \begin{solution} + \end{solution} + \part eine kontextfreie Grammatik $G_*$ mit $L(G_*) = L(G_1)^*$ + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(b) Bestimmen Sie den Index der Myhill-Nerode Äquivalenz von $K_n$ , $Index(R_{K_n})$. Begründen Sie Ihre Antwort.} + \textit{Hinweis: Sie müssen die Korrektheit Ihrer Konstruktionen nicht beweisen.} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 6} -\textit{Sei $\sum = \{a, b\}$. Geben Sie für die folgenden Sprachen jeweils eine kontextfreie Grammatik an.} + %########################################## + \question Wir betrachten die Spiegelung einer Sprache. Zeigen Sie, dass die Klasse der kontext-freien Sprachen unter Spiegelung abgeschlossen ist. + \begin{solution} + \end{solution} -\textit{(a) $L_a = \{a_n b_n | n\in\mathbb{N}\}$ } + %########################################## + \question Betrachten Sie diejenige kontextfreie Grammatik G über $\sum = \{a, b\}$ mit Startvariable $S$, die folgenden Ableitungsbaum $T$ ermöglicht und nicht mehr Produktionen enthält, als für $T$ notwendig sind. + \includegraphics{Assets/ASK_uebung/u06_01.png} + \begin{parts} + \part Geben Sie das Blattwort $\alpha(T)$ von $T$ an und ermitteln Sie weiterhin die Variablen und Produktionen der Grammatik G. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Konstruieren Sie die zu $T$ gehörige Links- und Rechtsableitung. Geben Sie eine weitere zu $T$ gehörige Ableitung an, die weder Links- noch Rechtsableitung ist. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Geben Sie einen von $T$ verschiedenen S-Ableitungsbaum für das Wort $\alpha(T)$ an. Ist die Grammatik G mehrdeutig? + \begin{solution} + \end{solution} + \part Beschreiben Sie die von G erzeugte Sprache und geben Sie eine eindeutige Grammatik $G_0$ mit $L(G_0) = L(G)$ an. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(b) $L_b = \{w\in\sum^* | |w|_a = |w|_b \}$ } + %########################################## + \question Betrachten Sie die nachstehende Grammatik $G$ mit Startsymbol $S:S\rightarrow BA | a$, $A\rightarrow BS | \epsilon$, $B\rightarrow bBaB | b$ + \begin{parts} + \part Überführen Sie G in eine äquivalente Grammatik $G_0$ in Chomsky-Normalform. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Entscheiden Sie mithilfe des CYK-Algorithmus, welche der Wörter $w_1 = bbbaba$ und $w_2 = bbaab$ von Ihrer in (a) berechneten Grammatik erzeugt werden. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Geben Sie für diejenigen Wörter aus Aufgabe (b), die von der Grammatik G erzeugt werden, jeweils einen Ableitungsbaum und eine Linksableitung an. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(c) $L_c = \sum^*\backslash \{ww | w\in\sum^*\}$ } - - -\newpage -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Übung 05} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 1} -\textit{Entscheiden Sie für jede der folgenden Sprachen, ob sie regulär oder kontextfrei und nicht regulär ist. Geben sie dafür eine rechtslineare Grammatik an oder geben Sie eine kontextfreie Grammatik an und zeigen Sie, dass die Sprache nicht regulär ist.} - -\textit{(a) $L_a = \{w\in\{a, b, c\}^* | |w|_a \text{ ist gerade oder } |w|_c \geq 1\}$} - -\textit{(b) $L_b = \{uv | u, v \in\{a, b, c\}^* \text{ und } |u|_a > |v|_b \}$ } - -\textit{(c) $L_c = \{a^l ba^m ba^n | l = m \text{ oder } l = n\}$ } - -\textit{(d) $L_d = \{r \in\{a, b, \lambda,\varnothing, +, ·, * , (, )\}^* | \text{ r ist ein regulärer Ausdruck über }\sum\}$ } - -\textit{(e) $L_e = \{r \in L_d | \epsilon\in L(r)\}$ } - - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 2} -\textit{Konstruieren Sie zu zwei kontextfreien Grammatiken $G_1 = (V_1 , \sum, P_1 , S_1 )$ und $G_2 = (V_2 , \sum, P_2 , S_2 )$} - -\textit{(a) eine kontextfreie Grammatik $G_{\cup}$ mit $L(G_{\cup}) = L(G_1) \cup L(G_2)$.} - -\textit{(b) eine kontextfreie Grammatik $G_{\circ}$ mit $L(G_{\circ}) = L(G_1 ) * L(G_2)$ }. - -\textit{(c) eine kontextfreie Grammatik $G_*$ mit $L(G_*) = L(G_1)^*$} - -\textit{Hinweis: Sie müssen die Korrektheit Ihrer Konstruktionen nicht beweisen.} - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 3} -\textit{Wir betrachten die Spiegelung einer Sprache wie in Übung 2, Aufgabe 8. Zeigen Sie, dass die Klasse der kontext-freien Sprachen unter Spiegelung abgeschlossen ist.} - - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 4} -\textit{Betrachten Sie diejenige kontextfreie Grammatik G über $\sum = \{a, b\}$ mit Startvariable $S$, die folgenden Ableitungsbaum $T$ ermöglicht und nicht mehr Produktionen enthält, als für $T$ notwendig sind.} -\includegraphics{Assets/ASK_uebung/u06_01.png} -\textit{(a) Geben Sie das Blattwort $\alpha(T)$ von $T$ an und ermitteln Sie weiterhin die Variablen und Produktionen der Grammatik G.} - - -\textit{(b) Konstruieren Sie die zu $T$ gehörige Links- und Rechtsableitung. Geben Sie eine weitere zu $T$ gehörige Ableitung an, die weder Links- noch Rechtsableitung ist.} - - -\textit{(c) Geben Sie einen von $T$ verschiedenen S-Ableitungsbaum für das Wort $\alpha(T)$ an. Ist die Grammatik G mehrdeutig?} - - -\textit{(d) Beschreiben Sie die von G erzeugte Sprache und geben Sie eine eindeutige Grammatik $G_0$ mit $L(G_0) = L(G)$ an.} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 5} -\textit{Betrachten Sie die nachstehende Grammatik $G$ mit Startsymbol $S$:\\ - $S\rightarrow BA | a$, $A\rightarrow BS | \epsilon$, $B\rightarrow bBaB | b$} - -\textit{(a) Überführen Sie G in eine äquivalente Grammatik $G_0$ in Chomsky-Normalform.} - -\textit{(b) Entscheiden Sie mithilfe des CYK-Algorithmus, welche der Wörter $w_1 = bbbaba$ und $w_2 = bbaab$ von Ihrer in (a) berechneten Grammatik erzeugt werden.} - -\textit{(c) Geben Sie für diejenigen Wörter aus Aufgabe (b), die von der Grammatik G erzeugt werden, jeweils einen Ableitungsbaum und eine Linksableitung an.} - - - -\newpage -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Übung 06} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 1} -\textit{Wir betrachten die kontextfreie Grammatik $G$ mit Startvariable $S$ und den folgenden Produktionen:\\ + %########################################## + \question Wir betrachten die kontextfreie Grammatik $G$ mit Startvariable $S$ und den folgenden Produktionen: $S\rightarrow ABC$, $A\rightarrow aA |\epsilon$, $B\rightarrow aDb | D$, $C \rightarrow bC | aC | \epsilon$, $D \rightarrow bDa | ba$\\ - Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben:} + Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben: + \begin{parts} + \part Geben Sie eine kurze Beschreibung von $L(G)$ an. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Geben Sie je eine Linksableitung für abab, babaa und abbaab an. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Zeigen Sie, dass G eine mehrdeutige Grammatik ist. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Zeigen Sie nun, dass $L(G)$ nicht inhärent mehrdeutig ist. Geben Sie also eine eindeutige kontextfreie Grammatik $G_0$ mit $L(G_0) = L(G)$ an. Sie müssen nicht zeigen, dass $G_0$ eindeutig ist. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(a) Geben Sie eine kurze Beschreibung von $L(G)$ an.} - -\textit{(b) Geben Sie je eine Linksableitung für abab, babaa und abbaab an.} - -\textit{(c) Zeigen Sie, dass G eine mehrdeutige Grammatik ist.} - -\textit{(d) Zeigen Sie nun, dass $L(G)$ nicht inhärent mehrdeutig ist. Geben Sie also eine eindeutige kontextfreie Grammatik $G_0$ mit $L(G_0) = L(G)$ an. Sie müssen nicht zeigen, dass $G_0$ eindeutig ist.} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 2} -\textit{Betrachten Sie die kontextfreie Grammatik G mit Startsymbol S und den nachstehenden Produktionen:\\ + %########################################## + \question Betrachten Sie die kontextfreie Grammatik G mit Startsymbol S und den nachstehenden Produktionen:\\ $S\rightarrow Z | (S + S) | (S * S)$, $Z\rightarrow Q | PY$, $Y\rightarrow Q | YY | epsilon$, $Q\rightarrow 0 | P$, $P\rightarrow 1$\\ - Bearbeiten Sie folgende Teilaufgaben:} + Bearbeiten Sie folgende Teilaufgaben: + \begin{parts} + \part Geben Sie eine Ableitung des Wortes $w = (100 + 1)$ in G an und geben Sie eine kurze, aber präzise Beschreibung von $L(G)$ an. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Überführen Sie G mit dem Verfahren aus der Vorlesung in eine äquivalente Grammatik $G_0$ in Chomsky-Normalform. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Geben Sie eine Ableitung des Wortes w in $G_0$ an. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(a) Geben Sie eine Ableitung des Wortes $w = (100 + 1)$ in G an und geben Sie eine kurze, aber präzise Beschreibung von $L(G)$ an.} - -\textit{(b) Überführen Sie G mit dem Verfahren aus der Vorlesung in eine äquivalente Grammatik $G_0$ in Chomsky-Normalform.} - -\textit{(c) Geben Sie eine Ableitung des Wortes w in $G_0$ an.} - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 3} -\textit{Gegeben sei die kontextfreie Grammatik G in Chomsky-Normalform mit dem Startsymbol S und den Regeln\\ + %########################################## + \question Gegeben sei die kontextfreie Grammatik G in Chomsky-Normalform mit dem Startsymbol S und den Regeln\\ $S \rightarrow AB | CC$, $A \rightarrow BA | a$, $B \rightarrow AC | b$, $C \rightarrow CC | c$\\ - Überprüfen Sie mithilfe des CYK-Algorithmus, folgende Wörter. Geben Sie für jedes dieser beiden Wörter, welches in $L(G)$ enthalten ist, je eine Ableitung und einen Ableitungsbaum des Wortes an.} + Überprüfen Sie mithilfe des CYK-Algorithmus, folgende Wörter. Geben Sie für jedes dieser beiden Wörter, welches in $L(G)$ enthalten ist, je eine Ableitung und einen Ableitungsbaum des Wortes an. + \begin{parts} + \part $aacc \in L(G)$. + \begin{solution} + \end{solution} + \part $bacca \in L(G)$. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(a) $aacc \in L(G)$.} + %########################################## + \question Wir betrachten den PDA M mit folgender grafischen Darstellung mit Kellerinitialisierungszeichen $\#$: + \includegraphics{Assets/ASK_uebung/u06_02.png} + \begin{parts} + \part Gilt $aabb \in L(M)$? Gilt $aabbbb \in L(M)$? + \begin{solution} + \end{solution} + \part Geben Sie eine einfache, aber präzise Beschreibung von $L(M)$ an. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(b) $bacca \in L(G)$. } + %########################################## + \question Sei $L = \{a^n ba^{2n} | n\in\mathbb{N}\}$. + \begin{parts} + \part Geben Sie einen PDA $M_1$ an mit $L(M_1) = L$. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Geben Sie einen PDA $M_2$ mit genau einem Zustand an mit $L(M_2) = L$. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} + %########################################## + \question Sei G die kontextfreie Grammatik mit Startvariable A 1 und den folgenden Produktionen. Konstruieren Sie mithilfe des Verfahrens aus der Vorlesung eine Grammatik $G_0$ in Greibach-Normalform mit $L(G_0) = L(G)$.\\ + $A_1\rightarrow 0 | A_2 A_2$, $A_2 \rightarrow 1 | A_1 A_1$ + \begin{solution} + \end{solution} + %########################################## + \question Wenden Sie das in der Vorlesung vorgestellte Verfahren an, um zu entscheiden, ob die beiden dargestellten DFAs $M_1$ und $M_2$ die gleiche Sprache akzeptieren. + \includegraphics{Assets/ASK_uebung/u06_03.png} + \begin{solution} + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 4} -\textit{Wir betrachten den PDA M mit folgender grafischen Darstellung mit Kellerinitialisierungszeichen $\#$:} -\includegraphics{Assets/ASK_uebung/u06_02.png} + %########################################## + \question Die Syntax von Programmiersprachen wird in der Regel in der Erweiterten Backus-Naur-Form 1 (kurz: EBNF) angegeben. Wir wollen in dieser Aufgabe exemplarisch zeigen, dass solche Programmiersprachen kontextfrei sind. Betrachten Sie also die folgende (funktionale) Programmiersprache: + $ ::= '1' | '2' | . . . |'9'$\\ + $ ::= '0' | { '0' | }$\\ + $ ::= 'x' $\\ + $ ::= | [ '-' ] $\\ + $ ::= 'if' '=' 'then' [ 'else' ]$\\ + $ ::= | '(' ( '+' | '·' | '-' | ':' ) ')' | $\\ + Geben Sie eine kontextfreie Grammatik an, die alle möglichen Werte von $$ erzeugt. + \begin{solution} + \end{solution} -\textit{(a) Gilt $aabb \in L(M)$? Gilt $aabbbb \in L(M)$?} + %########################################## + \question Wir betrachten arithmetische Ausdrücke in Präfixnotation über den Konstanten 0,1,2 und mit den Operatoren + (Addition) und * (Multiplikation). Bei der Präfixnotation stehen der Operator vor den Operanden und es gibt keine Klammern. Die Notation ist dennoch eindeutig, so entspricht zum Beispiel $+21$ dem Ausdruck $(2 + 1)$ und $·2++210$ entspricht $(2 · ((2 + 1) + 0))$. + \begin{parts} + \part Geben Sie eine Regelmenge P an, sodass $G = (\{S, M_0 , M_1 , M_2 \}, \{0, 1, 2, +, *\}, P, S)$ eine kontextfreie Grammatik ist, wobei von S alle arithmetischen Ausdrücke in Präfixnotation erzeugt werden und von $M_i$ alle, die modolu 3 zu i ausgewertet werden. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Geben Sie einen Kellerautomaten an, der genau die arithmetischen Ausdrücke in Postfixnotation akzeptiert, die modulo 3 zu 0 ausgewertet werden. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(b) Geben Sie eine einfache, aber präzise Beschreibung von $L(M)$ an.} + %########################################## + \question Sei $1\leq k \in\mathbb{N}$. Ein k-PDA $M = (Z ,\sum, \Gamma, \delta, z_0 , \#)$ ist ein PDA mit der Eigenschaft, dass der Keller höchstens $k$ Elemente aufnehmen kann. Eine Konfiguration ist also ein Tripel $c\in Z \times\sum^*\times\Gamma^k$ und die Konfigurationsüberführung ist wie folgt definiert: Zunächst wird die Transition wie in den klassischen PDAs ausgeführt und im Falle eines Kellerüberlaufs wird anschließend der Inhalt auf die obersten $k$ Symbole gekürzt. Zeigen Sie, dass die von einem k-PDA M akzeptierte Sprache $L(M)$ regulär ist. + \begin{solution} + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 5} -\textit{Sei $L = \{a^n ba^{2n} | n\in\mathbb{N}\}$.} - -\textit{(a) Geben Sie einen PDA $M_1$ an mit $L(M_1) = L$.} - -\textit{(b) Geben Sie einen PDA $M_2$ mit genau einem Zustand an mit $L(M_2) = L$.} - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 6} -\textit{Sei G die kontextfreie Grammatik mit Startvariable A 1 und den folgenden Produktionen. Konstruieren Sie mithilfe des Verfahrens aus der Vorlesung eine Grammatik $G_0$ in Greibach-Normalform mit $L(G_0) = L(G)$.\\ - $A_1\rightarrow 0 | A_2 A_2$, $A_2 \rightarrow 1 | A_1 A_1$} - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 7} -\textit{Wenden Sie das in der Vorlesung vorgestellte Verfahren an, um zu entscheiden, ob die beiden dargestellten DFAs $M_1$ und $M_2$ die gleiche Sprache akzeptieren.} -\includegraphics{Assets/ASK_uebung/u06_03.png} - - -\newpage -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Übung 07} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 1} -\textit{Die Syntax von Programmiersprachen wird in der Regel in der Erweiterten Backus-Naur-Form 1 (kurz: EBNF) angegeben. Wir wollen in dieser Aufgabe exemplarisch zeigen, dass solche Programmiersprachen kontextfrei sind. Betrachten Sie also die folgende (funktionale) Programmiersprache: -$ ::= '1' | '2' | . . . |'9'$\\ -$ ::= '0' | { '0' | }$\\ -$ ::= 'x' $\\ -$ ::= | [ '-' ] $\\ -$ ::= 'if' '=' 'then' [ 'else' ]$\\ -$ ::= | '(' ( '+' | '·' | '-' | ':' ) ')' | $\\ -Geben Sie eine kontextfreie Grammatik an, die alle möglichen Werte von $$ erzeugt.} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 2} -\textit{Wir betrachten arithmetische Ausdrücke in Präfixnotation über den Konstanten 0,1,2 und mit den Operatoren + (Addition) und * (Multiplikation). Bei der Präfixnotation stehen der Operator vor den Operanden und es gibt keine Klammern. Die Notation ist dennoch eindeutig, so entspricht zum Beispiel $+21$ dem Ausdruck $(2 + 1)$ und $·2++210$ entspricht $(2 · ((2 + 1) + 0))$.} - -\textit{(a) Geben Sie eine Regelmenge P an, sodass $G = (\{S, M_0 , M_1 , M_2 \}, \{0, 1, 2, +, *\}, P, S)$ eine kontextfreie Grammatik ist, wobei von S alle arithmetischen Ausdrücke in Präfixnotation erzeugt werden und von $M_i$ alle, die modolu 3 zu i ausgewertet werden.} - -\textit{(b) Geben Sie einen Kellerautomaten an, der genau die arithmetischen Ausdrücke in Postfixnotation akzeptiert, die modulo 3 zu 0 ausgewertet werden.} - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 3} -\textit{Sei $1\leq k \in\mathbb{N}$. Ein k-PDA $M = (Z ,\sum, \Gamma, \delta, z_0 , \#)$ ist ein PDA mit der Eigenschaft, dass der Keller höchstens $k$ Elemente aufnehmen kann. Eine Konfiguration ist also ein Tripel $c\in Z \times\sum^*\times\Gamma^k$ und die Konfigurationsüberführung ist wie folgt definiert: Zunächst wird die Transition wie in den klassischen PDAs ausgeführt und im Falle eines Kellerüberlaufs wird anschließend der Inhalt auf die obersten $k$ Symbole gekürzt. Zeigen Sie, dass die von einem k-PDA M akzeptierte Sprache $L(M)$ regulär ist.} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 4} -\textit{Wir betrachten arithmetische Ausdrücke in Postfixnotation über den Konstanten 0,1,2 und mit den Operatoren + (Addition) und * (Multiplikation). Diese Ausdrücke werden von der Grammatik $G = (\{S\}, \{0, 1, 2, +, *\}, P, S)$ erzeugt, wobei P gegeben ist durch: $S \vdash 0 | 1 | 2 | SS+ | SS*$\\ + %########################################## + \question Wir betrachten arithmetische Ausdrücke in Postfixnotation über den Konstanten 0,1,2 und mit den Operatoren + (Addition) und * (Multiplikation). Diese Ausdrücke werden von der Grammatik $G = (\{S\}, \{0, 1, 2, +, *\}, P, S)$ erzeugt, wobei P gegeben ist durch: $S \vdash 0 | 1 | 2 | SS+ | SS*$\\ Hierbei werden zuerst die Operanden und dann der Operator notiert. Zum Beispiel entspricht $12+$ dem Ausdruck $(1+2)$ und $012++2*$ entspricht $((0+(1+2))*2)$. Geben Sie einen Kellerautomaten an, der genau die arithmetischen Ausdrücke in Postfixnotation akzeptiert, die modulo 3 zu 0 ausgewertet werden. - Hinweis: Es gibt so einen Kellerautomaten mit Kelleralphabet $\Gamma = \{\#, 0, 1, 2\}$.} + Hinweis: Es gibt so einen Kellerautomaten mit Kelleralphabet $\Gamma = \{\#, 0, 1, 2\}$. + \begin{solution} + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 5} -\textit{Sei $\sum = \{a, b\}$. Entscheiden Sie für jede der folgenden Sprachen, ob sie kontextfrei oder nicht kontextfrei ist. Beweisen Sie Ihre Aussagen.} + %########################################## + \question Sei $\sum = \{a, b\}$. Entscheiden Sie für jede der folgenden Sprachen, ob sie kontextfrei oder nicht kontextfrei ist. Beweisen Sie Ihre Aussagen. + \begin{parts} + \part $L_a = \{a^n ba^n ba^n | n\in\mathbb{N}\}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \part $L_b = \sum^*\backslash L_a$ + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(a) $L_a = \{a^n ba^n ba^n | n\in\mathbb{N}\}$} + %########################################## + \question Ziel dieser Aufgabe ist es, zu zeigen, dass die Klasse der deterministisch kontextfreien Sprachen nicht unter Vereinigung abgeschlossen ist. Bearbeiten Sie dazu folgende Teilaufgaben: + \begin{parts} + \part Zeigen Sie, dass die Sprache $\{a^k b^l c^m | k, l, m \in\mathbb{N}, k \not= l \}$ deterministisch kontextfrei ist. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Folgern Sie aus (a), dass $L = \{a^k b^l c^m | k, l, m\in\mathbb{N}, k \not= l \text{ oder } k\not=m \text{ oder } l\not=m\}$ kontextfrei ist. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Angenommen, L wäre deterministisch kontextfrei. Zeigen Sie, dass unter dieser Annahme auch die Sprache $K=\{a^m b^m c^m | m\in\mathbb{N}\}$ kontextfrei wäre. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Folgern Sie unter Verwendung aus (a) und (c), dass die Klasse der deterministisch kontextfreien Sprachen nicht unter Vereinigung abgeschlossen ist. Hinweis: Die Sprache K ist nicht kontextfrei. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(b) $L_b = \sum^*\backslash L_a$ } + %########################################## + \question Zeigen Sie, dass folgende Sprachen nicht kontextfrei sind: + \begin{parts} + \part $L_a = \{a^k b^m a^{k*m} | k, m\in\mathbb{N}\}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \part $L_b = \{0^p | p \text{ Primzahl}\}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \part $L_c = \{s \# t | s, t\in \{ a, b \}^* \text{ und s ist ein Infix von t } \}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} + %########################################## + \question In dieser Aufgabe zeigen wir, dass die Klasse der deterministisch kontextfreien Sprachen nicht unter Konkatenation abgeschlossen ist. + \begin{parts} + \part Zeigen Sie, dass $L_2 = \{b^i c^j d^k | i \not= j\} \cup \{ab^i c^j d^k | j \not= k\}$ deterministisch kontextfrei ist. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Geben Sie eine deterministisch kontextfreie Sprache $L_1$ an so, dass $L_1* L_2$ nicht deterministisch kontextfrei ist. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Zeigen Sie, dass $L_1*L_2$ nicht deterministisch kontextfrei ist. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\newpage -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Übung 08} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 1} -\textit{Ziel dieser Aufgabe ist es, zu zeigen, dass die Klasse der deterministisch kontextfreien Sprachen nicht unter Vereinigung abgeschlossen ist. Bearbeiten Sie dazu folgende Teilaufgaben:} - -\textit{(a) Zeigen Sie, dass die Sprache $\{a^k b^l c^m | k, l, m \in\mathbb{N}, k \not= l \}$ deterministisch kontextfrei ist.} - -\textit{(b) Folgern Sie aus (a), dass $L = \{a^k b^l c^m | k, l, m\in\mathbb{N}, k \not= l \text{ oder } k\not=m \text{ oder } l\not=m\}$ kontextfrei ist.} - -\textit{(c) Angenommen, L wäre deterministisch kontextfrei. Zeigen Sie, dass unter dieser Annahme auch die Sprache $K=\{a^m b^m c^m | m\in\mathbb{N}\}$ kontextfrei wäre. Hinweis: Verwenden Sie Ergebnisse aus Vorlesung 14.} - -\textit{(d) Folgern Sie unter Verwendung aus (a) und (c), dass die Klasse der deterministisch kontextfreien Sprachen nicht unter Vereinigung abgeschlossen ist. Hinweis: Die Sprache K ist nicht kontextfrei.} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 2} -\textit{Zeigen Sie, dass folgende Sprachen nicht kontextfrei sind:} - -\textit{(a) $L_a = \{a^k b^m a^{k*m} | k, m\in\mathbb{N}\}$ } - -\textit{(b) $L_b = \{0^p | p \text{ Primzahl}\}$ } - -\textit{(c) $L_c = \{s \# t | s, t\in \{ a, b \}^* \text{ und s ist ein Infix von t } \}$ } - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 3} -\textit{In dieser Aufgabe zeigen wir, dass die Klasse der deterministisch kontextfreien Sprachen nicht unter Konkatenation abgeschlossen ist.} -\textit{(a) Zeigen Sie, dass $L_2 = \{b^i c^j d^k | i \not= j\} \cup \{ab^i c^j d^k | j \not= k\}$ deterministisch kontextfrei ist.} - -\textit{(b) Geben Sie eine deterministisch kontextfreie Sprache $L_1$ an so, dass $L_1* L_2$ nicht deterministisch kontextfrei ist.} - -\textit{(c) Zeigen Sie, dass $L_1*L_2$ nicht deterministisch kontextfrei ist.} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 4} -\textit{Geben Sie einen Algorithmus an, der folgende Funktion berechnet: + %########################################## + \question Geben Sie einen Algorithmus an, der folgende Funktion berechnet: \begin{description} \item[Eingabe] kontextfreie Grammatik G \item[Ausgabe:] $|L(G)| \in\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ \end{description} -} + \begin{solution} + \end{solution} - - -\newpage -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Übung 09} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 1} -\textit{Beweisen Sie das doppelte Pumping-Lemma für reguläre Sprachen, das wie folgt lautet: Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann gibt es $n\geq 1$ derart, dass für alle $z\in L$ mit $|z|\geq n$ gilt: Es gibt Wörter $u, v, w, x, y \in\sum^*$ mit + %########################################## + \question Beweisen Sie das doppelte Pumping-Lemma für reguläre Sprachen, das wie folgt lautet: Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann gibt es $n\geq 1$ derart, dass für alle $z\in L$ mit $|z|\geq n$ gilt: Es gibt Wörter $u, v, w, x, y \in\sum^*$ mit \begin{itemize} \item (i) $z = uvwxy$ \item (ii) $|uvwx | \leq n$ \item (iii) $|v|, |x | \geq 1$ \item (iv) $uv^i wx^j y\in L$ für alle $i, j\in\mathbb{N}$. \end{itemize} - Hinweis: Orientieren Sie sich am Beweis des Pumping-Lemmas für reguläre Sprachen aus der Vorlesung.} + Hinweis: Orientieren Sie sich am Beweis des Pumping-Lemmas für reguläre Sprachen aus der Vorlesung. + \begin{solution} + \end{solution} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 2} -\textit{Wir betrachten das vereinfachte doppelte Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen (welches nicht gilt): Wenn L eine kontextfreie Sprache ist, dann gibt es $n\geq 1$ derart, dass für alle $z\in L$ mit $|z|\geq n$ gilt: Es gibt Wörter $q, r, s, t, u, v, w, x, y \in\sum^*$ mit + %########################################## + \question Wir betrachten das vereinfachte doppelte Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen (welches nicht gilt): Wenn L eine kontextfreie Sprache ist, dann gibt es $n\geq 1$ derart, dass für alle $z\in L$ mit $|z|\geq n$ gilt: Es gibt Wörter $q, r, s, t, u, v, w, x, y \in\sum^*$ mit \begin{itemize} \item (i) $z = qrstuvwxy$ \item (ii) $|rt |, |vx | \geq 1$ \item (iii) $qr^i st^i uv^j wx^j y \in L$ für alle $i, j\in\mathbb{N}$. \end{itemize} -} + \begin{parts} + \part Zeigen Sie, dass die Sprache $\{a^n b^n | n\in\mathbb{N}\}$ ein Gegenbeispiel für das Lemma ist. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Formulieren Sie ein gültiges doppeltes Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen. Ein Korrektheitsbeweis ist nicht nötig. Hinweis: Orientieren Sie sich für die Formulierung an Ihrem Beweis aus Aufgabe 1 und an dem Beweis für das Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen aus der Vorlesung. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(a) Zeigen Sie, dass die Sprache $\{a^n b^n | n\in\mathbb{N}\}$ ein Gegenbeispiel für das Lemma ist.} + %########################################## + \question Sei $\sum$ ein Alphabet und $K, L \subseteq\sum^*$. Beweisen Sie die folgenden Aussagen: + \begin{parts} + \part Ist K deterministisch kontextfrei und L regulär, so ist $K\cap L$ deterministisch kontextfrei. + \begin{solution} + \end{solution} + \part Ist L regulär beziehungsweise kontextfrei, so gilt dies auch für den Abschluss von L unter Präfixen, d.h. für die Sprache $\{u\in\sum^*| \exists v\in\sum^*: uv \in L\}$. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(b) Formulieren Sie ein gültiges doppeltes Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen. Ein Korrektheitsbeweis ist nicht nötig. Hinweis: Orientieren Sie sich für die Formulierung an Ihrem Beweis aus Aufgabe 1 und an dem Beweis für das Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen aus der Vorlesung.} + %########################################## + \question Geben Sie einen Algorithmus an, der bei Eingabe eines PDAs M und eines NFAs N entscheidet, ob $L(M)$ Teilmenge von $L(N)$ ist. Anmerkung: Später in der Vorlesung werden wir zeigen, dass es keinen Algorithmus geben kann, der die umgekehrte Teilmengenbeziehung entscheidet. + \begin{solution} + \end{solution} + %########################################## + \question Geben Sie für folgende Funktionen je eine primitiv rekursive Definition und ein Loop-Programm an. + \begin{parts} + \part $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}: n\rightarrow n^2$ + \begin{solution} + \end{solution} + \part $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}: n\rightarrow n^n$ + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 3} -\textit{Sei $\sum$ ein Alphabet und $K, L \subseteq\sum^*$. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:} + %########################################## + \question Zeigen Sie, dass die Funktion $c:\mathbb{N}^2 \rightarrow\mathbb{N}: (m, n) \rightarrow m + \binom{m + n + 1}{2}$ eine Bijektion ist. + \begin{solution} + \end{solution} -\textit{(a) Ist K deterministisch kontextfrei und L regulär, so ist $K\cap L$ deterministisch kontextfrei.} + %########################################## + \question Geben Sie ein Loop-Programm an, das für zwei gegebene Zahlen $m, n \in\mathbb{N}$ den größten gemeinsamen Teiler berechnet. + \begin{solution} + \end{solution} -\textit{(b) Ist L regulär beziehungsweise kontextfrei, so gilt dies auch für den Abschluss von L unter Präfixen, d.h. für die Sprache $\{u\in\sum^*| \exists v\in\sum^*: uv \in L\}$.} + %########################################## + \question Geben Sie für folgende Funktionen je eine primitiv rekursive Definition und ein Loop-Programm an: + \begin{parts} + \part $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}, n \rightarrow 2^n$ + \begin{solution} + \end{solution} + \part $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}, n \rightarrow n!$ + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} + %########################################## + \question Sei $a(k,n) := ack(k, n) mod 2$, d.h., $a(k, n)$ ist die Parität des Wertes $ack(k, n)$. Zeigen oder widerlegen Sie, dass die Funktion $a$ Loop-berechenbar ist. + \begin{solution} + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 4} -\textit{Geben Sie einen Algorithmus an, der bei Eingabe eines PDAs M und eines NFAs N entscheidet, ob $L(M)$ Teilmenge von $L(N)$ ist. Anmerkung: Später in der Vorlesung werden wir zeigen, dass es keinen Algorithmus geben kann, der die umgekehrte Teilmengenbeziehung entscheidet.} + %########################################## + \question Sei $(f_k)_{k\in\mathbb{N}}$ eine Folge von Loop-berechenbaren Funktionen $f_k:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$, so dass jedes $f_k$ durch ein Loop-Programm mit k Loop-Schleifen berechnet werden kann, nicht aber durch ein Programm mit $k-1$ Loop-Schleifen. Zeigen oder widerlegen Sie: Die Funktion $g$ mit $g(k, n) = f_k(n)$ ist Loop-berechenbar. + \begin{solution} + \end{solution} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 5} -\textit{Geben Sie für folgende Funktionen je eine primitiv rekursive Definition und ein Loop-Programm an.} -\textit{(a) $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}: n\rightarrow n^2$} - -\textit{(b) $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}: n\rightarrow n^n$} - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 6} -\textit{Zeigen Sie, dass die Funktion $c:\mathbb{N}^2 \rightarrow\mathbb{N}: (m, n) \rightarrow m + \binom{m + n + 1}{2}$ eine Bijektion ist.} - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 7} -\textit{Geben Sie ein Loop-Programm an, das für zwei gegebene Zahlen $m, n \in\mathbb{N}$ den größten gemeinsamen Teiler berechnet.} - - - - -\newpage -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Übung 10} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 1} -\textit{Geben Sie für folgende Funktionen je eine primitiv rekursive Definition und ein Loop-Programm an:} - -\textit{(a) $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}, n \rightarrow 2^n$} - -\textit{(b) $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}, n \rightarrow n!$ } - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 2} -\textit{Sei $a(k,n) := ack(k, n) mod 2$, d.h., $a(k, n)$ ist die Parität des Wertes $ack(k, n)$. Zeigen oder widerlegen Sie, dass die Funktion $a$ Loop-berechenbar ist.} - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 3} -\textit{Sei $(f_k)_{k\in\mathbb{N}}$ eine Folge von Loop-berechenbaren Funktionen $f_k:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$, so dass jedes $f_k$ durch ein Loop-Programm mit k Loop-Schleifen berechnet werden kann, nicht aber durch ein Programm mit $k-1$ Loop-Schleifen. Zeigen oder widerlegen Sie: Die Funktion $g$ mit $g(k, n) = f_k(n)$ ist Loop-berechenbar.} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 4} -\textit{Jedes Jahr, kurz vor Heiligabend, startet der Weihnachtsmann auf seinem Keller-Rechner ein Loop-Programm, welches die optimale Route für das Verteilen der Geschenke berechnet. Dieses Jahr geschieht jedoch eine Katastrophe. Schon bei der Eingabe gerät eine Zuckerstange in das Getriebe, wodurch der unendliche Kellerspeicher in sich zusammen fällt. „Oh nein, das war der letzte Rechner mit Kellerspeicher! Woher soll ich denn jetzt wissen, wo ich lang fliegen soll?”, fragt Rudolf. „Ich weiß auch nicht weiter”, sagt der Weihnachtsmann, „Wir haben zwar noch andere Rechner auf denen Loop-Programme laufen, aber der Kellerspeicher ist nötig um den Geschenkstapel auf dem Schlitten zu simulieren.” „Könnten wir nicht den Stack in einem Loop-Programm simulieren?” schlägt ein Wichtel vor. „Das könnte funktionieren. . . ”, sagt der Weihnachtsmann.\\ + %########################################## + \question Jedes Jahr, kurz vor Heiligabend, startet der Weihnachtsmann auf seinem Keller-Rechner ein Loop-Programm, welches die optimale Route für das Verteilen der Geschenke berechnet. Dieses Jahr geschieht jedoch eine Katastrophe. Schon bei der Eingabe gerät eine Zuckerstange in das Getriebe, wodurch der unendliche Kellerspeicher in sich zusammen fällt. „Oh nein, das war der letzte Rechner mit Kellerspeicher! Woher soll ich denn jetzt wissen, wo ich lang fliegen soll?”, fragt Rudolf. „Ich weiß auch nicht weiter”, sagt der Weihnachtsmann, „Wir haben zwar noch andere Rechner auf denen Loop-Programme laufen, aber der Kellerspeicher ist nötig um den Geschenkstapel auf dem Schlitten zu simulieren.” „Könnten wir nicht den Stack in einem Loop-Programm simulieren?” schlägt ein Wichtel vor. „Das könnte funktionieren. . . ”, sagt der Weihnachtsmann.\\ Helfen Sie dem Weihnachtsmann, indem Sie zeigen, dass jede Funktion, die durch ein Loop-Programm mit Stack berechnet wird, auch durch ein Loop-Programm ohne Stack berechnet werden kann. Erklärung: Loop-Programme mit Stack verfügen über alle Befehle, die Loop-Programme besitzen. Zusätzlich besitzen sie einen Stack auf den mit dem Befehl $push(x_i)$ der Wert von $x_i$ gelegt werden kann und von dem mit dem Befehl $x_i = pop$ der oberste Wert ausgelesen werden kann, welcher dann gleichzeitig vom Stack entfernt wird. Falls der Stack leer ist gibt $pop$ den Wert $0$ zurück.\\ - Zeigen Sie, dass für jedes Loop-Programm mit Stack, das eine Funktion berechnet, ein Loop-Programm (ohne Stack) existiert, welches die gleiche Funktion berechnet.} + Zeigen Sie, dass für jedes Loop-Programm mit Stack, das eine Funktion berechnet, ein Loop-Programm (ohne Stack) existiert, welches die gleiche Funktion berechnet. + \begin{solution} + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 5} -\textit{Welche Funktion berechnet die folgende Turingmaschine M? $M = (\{z_0, z_1, z_2, z_3, z_e\}, \{0, 1\}, \{0, 1,\Box\}, \delta, z_0 , \Box, \{z_e\})$ -\begin{tabular}{c|ccc} + %########################################## + \question Welche Funktion berechnet die folgende Turingmaschine M? $M = (\{z_0, z_1, z_2, z_3, z_e\}, \{0, 1\}, \{0, 1,\Box\}, \delta, z_0 , \Box, \{z_e\})$ + \begin{tabular}{c|ccc} $\delta$ & 0 & 1 & $\Box$ \\\hline $z_0$ & $(z_0 , 0, R)$ & $(z_1 , 1, R)$ & $(z_3 , 0, L)$ \\ $z_1$ & $(z_1 , 0, R)$ & $(z_1 , 1, R)$ & $(z_2 , \Box, L)$ \\ - $z_2$ & $(z_2 , 1, L)$ & $(z_3 , 0, L)$ & $(z_e , 0, N)$ \\ + $z_2$ & $(z_2 , 1, L)$ & $(z_3 , 0, L)$ & $(z_e , 0, N)$ \\ $z_3$ & $(z_3 , 0, L)$ & $(z_3 , 1, L)$ & $(z_e , \Box, R)$ \\ $z_e$ & $(z_e , 0, N)$ & $(z_e , 1, N)$ & $(z_e ,\Box, N)$ \end{tabular} -} + \begin{solution} + \end{solution} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 6} -\textit{Geben Sie formal je eine Turingmaschine über dem Alphabet $\sum = \{0, 1\}$ an, die als Eingabe ein Wort $w\in\sum^+$ erhält und} + %########################################## + \question Geben Sie formal je eine Turingmaschine über dem Alphabet $\sum = \{0, 1\}$ an, die als Eingabe ein Wort $w\in\sum^+$ erhält und + \begin{parts} + \part den Wert $\lceil w/2 \rceil$ berechnet, wobei $w$ als Binärzahl mit dem höchstwertigsten Bit links betrachtet wird. + \begin{solution} + \end{solution} + \part 1 ausgibt, falls $w$ ein Palindrom ist, und 0 sonst. + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(a) den Wert $\lceil w/2 \rceil$ berechnet, wobei $w$ als Binärzahl mit dem höchstwertigsten Bit links betrachtet wird.} + %########################################## + \question Geben Sie für jede der folgenden Sprachen je einen PDA an, der die Sprache akzeptiert. + \begin{parts} + \part $L_1 = \{a^n b^{3n} | n\in\mathbb{N}\}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \part $L_2 = \{a^n b^m | n \leq m \leq 2n\}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \part $L_3 = \{w\in\{a, b\}^* | 2*|w|_a = 3*|w|_b\}$ + \begin{solution} + \end{solution} + \end{parts} -\textit{(b) 1 ausgibt, falls $w$ ein Palindrom ist, und 0 sonst.} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 7} -\textit{Geben Sie für jede der folgenden Sprachen je einen PDA an, der die Sprache akzeptiert.} -\textit{(a) $L_1 = \{a^n b^{3n} | n\in\mathbb{N}\}$} - -\textit{(b) $L_2 = \{a^n b^m | n \leq m \leq 2n\}$ } - -\textit{(c) $L_3 = \{w\in\{a, b\}^* | 2*|w|_a = 3*|w|_b\}$ } - -\newpage -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Übung 11} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 1} -\textit{} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 2} -\textit{} - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 3} -\textit{} - - - - -\newpage -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Übung 12} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 1} -\textit{} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 2} -\textit{} - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 3} -\textit{} - - - - -\newpage -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Übung 13} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 1} -\textit{} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 2} -\textit{} - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 3} -\textit{} - - - - -\newpage -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Übung 14} -%########################################## -\subsection{Aufgabe 1} -\textit{} - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 2} -\textit{} - - -%########################################## -\subsection{Aufgabe 3} -\textit{} - - - - -\newpage -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Zusätzliche Aufgaben} + %########################################## Übung 11,12,13,14 +\end{questions} \end{document} \ No newline at end of file